Ünite 2: Sayılar
1. Sayı Kümeleri
Matematikte işlemlerin temelini oluşturan sayıların sınıflandırılmasıdır. KPSS sorularında, sorunun başında verilen tanım kümesi (Örneğin: "x ve y birer tam sayı olmak üzere...") çözüm yolunu ve cevabın hangi kümeden seçileceğini belirler. Bu nedenle sayı kümelerini iyi tanımak hayati önem taşır.
Kümelerin Detaylı Tanımı ve İlişkisi
- Rakam: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir.
- Doğal Sayılar (N): {0, 1, 2, 3, ...}. Sıfır bir doğal sayıdır.
- Sayma Sayıları (N+): {1, 2, 3, ...}. Pozitif doğal sayılar olarak da bilinir.
- Tam Sayılar (Z): {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Pozitif tam sayılar (Z+), negatif tam sayılar (Z-) ve sıfırın birleşimidir. Sıfır nötrdür (işaretsizdir).
- Rasyonel Sayılar (Q): a/b şeklinde (a ve b tam sayı, b≠0) yazılabilen sayılardır. Tüm tam sayılar, kesirler, ondalık ve devirli sayılar rasyoneldir.
- İrrasyonel Sayılar (Q'): Rasyonel olmayan, yani a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık açılımları sonsuz ve düzensiz devam eder (π, e, √2, √5 gibi).
- Reel (Gerçel) Sayılar (R): Rasyonel ve İrrasyonel sayıların birleşimidir. Sayı doğrusunu tamamen doldurur.
Hiyerarşi: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
1. Sayı Kümeleri - Örnek Sorular
Aşağıdakilerden hangisi bir rakam değildir?
Rakamlar 0'dan 9'a kadar olan sembollerdir. 10 bir sayıdır, rakam değildir.
Cevap: E
En küçük doğal sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
En küçük doğal sayı 0'dır. En küçük pozitif tam sayı 1'dir. Toplamları 0+1=1.
Cevap: B
Aşağıdakilerden hangisi irrasyonel bir sayıdır?
3.14, 22/7 ve 0.5 rasyoneldir. √16 = 4 rasyoneldir. √3 kök dışına tam çıkamaz, irrasyoneldir.
Cevap: C
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
D seçeneği yanlıştır, çünkü irrasyonel sayılar (örn: √2) da reel sayıdır ancak rasyonel değildir.
Cevap: D
Birbirinden farklı en büyük iki negatif tam sayının toplamı kaçtır?
En büyük negatif tam sayı -1'dir. Bir sonraki en büyük negatif tam sayı -2'dir. Toplamları (-1) + (-2) = -3.
Cevap: C
√4 + √5 toplamı hangi sayı kümesine aittir?
√4 = 2 (Rasyonel). √5 (İrrasyonel). Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı daima irrasyoneldir (ve dolayısıyla reeldir). En spesifik küme İrrasyonel Sayılardır.
Cevap: D
a bir rakam olmak üzere, 3a + 5 ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
a bir rakam olduğu için en büyük değeri 9'dur. 3(9) + 5 = 27 + 5 = 32.
Cevap: C
x ve y birer tam sayıdır. x = 12/y olduğuna göre, x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
x'in tam sayı olması için y'nin 12'yi tam bölmesi gerekir. y tam sayı olduğu için pozitif ve negatif bölenler alınır.
12'nin pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 tane).
Negatif bölenleri: -1, -2, -3, -4, -6, -12 (6 tane).
Toplam 12 farklı y değeri vardır, dolayısıyla 12 farklı x değeri vardır.
Cevap: D
I. 0 (Sıfır) bir doğal sayıdır.
II. 0 (Sıfır) pozitif bir tam sayıdır.
III. En küçük sayma sayısı 1'dir.
Yukarıdakilerden hangileri doğrudur?
I doğrudur. II yanlıştır (Sıfır nötrdür, işareti yoktur). III doğrudur.
Cevap: C
a ve b birer tam sayı olmak üzere,
Bir kesirli ifadenin rasyonel sayı belirtmemesi için paydasının sıfır olması gerekir (Tanımsızlık durumu).
b-2 = 0 ⇒ b=2. a herhangi bir tam sayı olabilir. a+b = a+2. a bir tam sayı olduğu için a+2 de herhangi bir tam sayı değeri alabilir.
Cevap: E
x bir irrasyonel sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle irrasyoneldir?
A) x=√2 ise x²=2 (Rasyonel). B) x=-√2 ise x+√2=0 (Rasyonel). D) x/x=1 (Rasyonel). E) x=√3 ise x·√3=3 (Rasyonel).
C) Bir irrasyonel sayı ile bir rasyonel sayının (sıfır hariç) toplamı daima irrasyoneldir.
Cevap: C
x ve y birer rakamdır.
Toplamın en büyük olması için paydalar en küçük seçilmelidir. x ve y rakam ve paydada oldukları için 0 olamazlar.
x=1 ve y=1 seçilirse (rakamların farklı olduğu belirtilmemiş): 15/1 + 12/1 = 27.
Cevap: A
İki basamaklı en büyük tam sayı ile rakamları farklı üç basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?
İki basamaklı en büyük tam sayı 99'dur.
Rakamları farklı üç basamaklı en küçük doğal sayı 102'dir.
Toplam: 99 + 102 = 201.
Cevap: B
A ve B irrasyonel sayılar olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) √2 + (-√2) = 0 (Rasyonel). B) √2 · √8 = √16 = 4 (Rasyonel). C) 2√2 / √2 = 2 (Rasyonel). E) (√2)² = 2 (Rasyonel).
D) İrrasyonel sayılar kümesi, Reel sayılar kümesinin alt kümesidir. Daima doğrudur.
Cevap: D
İki basamaklı en küçük tam sayı ile en büyük rakamın farkı kaçtır?
İki basamaklı en küçük tam sayı -99'dur (Dikkat: 10 değil).
En büyük rakam 9'dur.
Fark: (-99) - 9 = -108.
Cevap: B
2. Doğal Sayılar (Değer Verme Stratejileri)
N = {0, 1, 2, 3, ...}. Bu bölümde, doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan denklemlerde en büyük (maksimum) ve en küçük (minimum) değerleri bulma stratejileri incelenir. Bu soru tipleri KPSS'de sıklıkla karşımıza çıkar.
Temel Stratejiler
1. Toplamları Sabitse (a+b=K):
- a·b çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilir.
- a·b çarpımının en küçük olması için sayılar birbirine en uzak seçilir (Doğal sayılarda genellikle 0 kullanılır).
2. Çarpımları Sabitse (a·b=K):
- a+b toplamının en büyük olması için sayılar birbirine en uzak seçilir (Genellikle 1 ve K kullanılır).
- a+b toplamının en küçük olması için sayılar birbirine en yakın seçilir.
3. Katsayılı Denklemler (ax+by+cz=K):
- Toplamın (x+y+z) en küçük olması için katsayısı büyük olana en büyük değer verilir.
- Bir değişkenin (örn: x) en büyük değerini bulmak için diğer değişkenlere (y ve z) mümkün olan en küçük değerler verilir.
Kritik Uyarılar
Sorunun tanım kümesine (Doğal sayı mı, Pozitif Doğal sayı mı?) ve kısıtlamalara ("birbirinden farklı", "rakamları farklı") mutlaka dikkat edilmelidir.
2. Doğal Sayılar - Örnek Sorular
Birbirinden farklı en küçük üç doğal sayının toplamı kaçtır?
En küçük farklı doğal sayılar 0, 1 ve 2'dir. Toplamları 0+1+2 = 3.
Cevap: C
a ve b doğal sayılardır. a + b = 10 olduğuna göre, a·b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çarpımın en büyük olması için sayılar en yakın seçilir. Sayıların farklı olduğu belirtilmediği için a=5, b=5 seçilir. Çarpım 5·5 = 25.
Cevap: D
x ve y pozitif doğal sayılardır. x·y = 18 olduğuna göre, x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
Çarpımları sabitken toplamın en küçük olması için sayılar en yakın seçilir. 3 ve 6 seçilir. 3+6 = 9.
Cevap: C
a ve b birbirinden farklı doğal sayılardır. a + b = 16 olduğuna göre, a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
En yakın 8 ve 8'dir. Ancak sayılar farklı denildiği için 7 ve 9 seçilir. 7·9 = 63.
Cevap: B
a, b, c birbirinden farklı rakamlardır. 3a + b + 2c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
En küçük değeri bulmak için katsayısı büyük olana en küçük rakamı veririz. Rakamlar farklı olmalı (0, 1, 2).
Katsayısı en büyük olan a (3), sonra c (2), sonra b (1).
a=0, c=1, b=2 seçilir. 3(0) + 2 + 2(1) = 0 + 2 + 2 = 4.
Cevap: D
x, y, z pozitif doğal sayılardır. x·y = 12 ve y·z = 18 olduğuna göre, x+y+z toplamının en küçük değeri kaçtır?
Toplamın en küçük olması için ortak çarpan olan y'nin en büyük seçilmesi gerekir. EBOB(12, 18) = 6.
y=6 seçilirse, x=2, z=3 olur. Toplam 2+6+3 = 11.
Cevap: D
a ve b doğal sayılardır. 2a + 3b = 30 olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir?
b=0 için 2a=30, a=15. b=2 için 2a=24, a=12. b=4 için 2a=18, a=9. b=6 için 2a=12, a=6. b=8 için 2a=6, a=3. b=10 için 2a=0, a=0.
a'nın alabileceği değerler: 0, 3, 6, 9, 12, 15 (6 farklı değer).
Cevap: C
a, b, c pozitif doğal sayılardır. a+b+c=20 olduğuna göre, a·b·c çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çarpımın en büyük olması için sayılar en yakın seçilir. 20/3 ≈ 6.66.
Sayıları 6, 7, 7 olarak seçeriz (farklı denilmediği için). 6·7·7 = 294.
Cevap: B
x bir doğal sayı olmak üzere, A = 10-x ve B = x+4 ise A·B çarpımının en büyük değeri kaçtır?
A+B = (10-x) + (x+4) = 14. Toplam sabittir.
Çarpımın en büyük olması için sayılar en yakın seçilir. 14/2=7. A=7, B=7 seçilir. (x=3 için bu sağlanır ve x doğal sayıdır).
A·B = 7·7 = 49.
Cevap: C
a ve b doğal sayılardır. a =
İfadeyi parçalayalım: a =
a'nın doğal sayı olması için b'nin 12'yi tam bölmesi gerekir. b de doğal sayı olmalı (b=0 tanımsız yapar, bu yüzden b pozitif olmalı).
b'nin değerleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 farklı değer). Her b değeri için farklı bir a değeri bulunur. 6 farklı a değeri vardır.
Cevap: C
a, b, c pozitif doğal sayılardır. 3a + 4b + 5c = 65 olduğuna göre, a+b+c toplamının en küçük değeri kaçtır?
Toplamın en küçük olması için katsayısı büyük olana en büyük değer verilir (c'ye).
c=11 olsa 5c=55. 3a+4b=10. b=1 için 3a=6, a=2. Toplam 11+1+2=14.
c=12 olsa 5c=60. 3a+4b=5. b=1 için 3a=1 (a pozitif tam sayı olmaz).
c=10 olsa 5c=50. 3a+4b=15. b=3 için 3a=3, a=1. Toplam 10+3+1=14.
En küçük değer 14'tür.
Cevap: B
x, y, z birbirinden farklı pozitif doğal sayılardır. 2x + 3y + z = 40 olduğuna göre, z'nin en büyük değeri kaçtır?
z'nin en büyük olması için x ve y en küçük seçilmelidir. Sayılar farklı ve pozitif (en az 1).
Katsayısı büyük olana (y'ye) en küçük değeri vererek toplamı minimize edelim. y=1 olsun. x=2 olsun (farklı olmalı).
2(2) + 3(1) + z = 40 ⇒ 4 + 3 + z = 40 ⇒ 7 + z = 40 ⇒ z = 33.
Cevap: C
a, b, c pozitif doğal sayılardır. a > b > c ve a + b/c = 15 olduğuna göre, a+b+c toplamının en büyük değeri kaçtır?
Toplamın en büyük olması için a'yı en büyük seçmeliyiz.
a=14 olamaz çünkü b/c=1 olur, bu da b=c demektir (b>c şartı sağlanmaz).
a=13 ise b/c=2 ⇒ b=2c. a>b>c şartını sağlamalıyız. 13 > 2c > c.
13 > 2c ise c < 6.5. c'yi en büyük seçmek için c=6 alırız. b=12 olur.
Şart sağlanır: 13 > 12 > 6.
Toplam: 13+12+6 = 31.
Cevap: A
a ve b doğal sayılardır. 3a + 5b = 60 olduğuna göre, a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çarpımın en büyük olması için 3a ve 5b terimleri birbirine en yakın olmalıdır. 60/2=30.
3a=30 ⇒ a=10. 5b=30 ⇒ b=6.
a·b = 10·6 = 60.
Cevap: D
x, y pozitif doğal sayılar. x +
y, 12'nin böleni olmalıdır: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ayrıca x pozitif olmalı (x>0). x = 10 - 12/y > 0 ⇒ 10 > 12/y.
y=1 için x=10-12=-2 (Pozitif değil, olmaz).
y=2 için x=10-6=4. y=3 için x=10-4=6. y=4 için x=10-3=7. y=6 için x=10-2=8. y=12 için x=10-1=9.
y'nin değerleri: 2, 3, 4, 6, 12. Toplamları: 2+3+4+6+12 = 27.
Cevap: B
3. Tam Sayılar
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Tam sayılar üzerinde yapılan işlemlerde teklik/çiftlik analizi ve işaret incelemesi (pozitif/negatif) önemlidir.
Tek ve Çift Sayı Analizi
Kurallar: T±T=Ç, T±Ç=T, DZÇ=Ç. T·T=T, T·Ç=Ç, Ç·Ç=Ç.
Strateji: Bir çarpımın sonucu tek ise tüm çarpanlar tektir. Bir denklemi düzenlerken, katsayısı çift olan terimler (Örn: 4x, 2y) daima çifttir. Bölme içeren ifadeler içler-dışlar çarpımı yapılarak tam sayı haline getirilir.
Pozitif ve Negatif Sayı Analizi
Kurallar: Aynı işaretlilerin çarpımı/bölümü (+), zıt işaretlilerin (–). Büyük sayıdan küçük sayı çıkarsa sonuç (+), küçükten büyük çıkarsa (–).
Strateji: İşaret incelemesi sorularında, çift kuvvetli terimlerden (x², y⁴) başlanır, çünkü bunlar (taban sıfır değilse) daima pozitiftir.
3. Tam Sayılar - Örnek Sorular
x negatif bir tam sayı ise aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?
Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitiftir. x⁶ pozitiftir. E seçeneğinde x² pozitiftir ancak -5 ile çarpıldığı için sonuç negatiftir.
Cevap: D
Aşağıdaki ifadelerden hangisi tek sayıdır?
A) Ç+Ç=Ç. B) T+T=Ç. C) Ç+T=T. D) Ç·T=Ç. E) T+T=Ç.
Cevap: C
a < 0 < b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir?
a negatif, b pozitiftir. Zıt işaretli sayıların çarpımı (a·b) daima negatiftir.
Cevap: C
x bir çift tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tektir?
x=Ç. D) 2x + 5 = Ç + T = T. E seçeneği x=4 için 2 (Çift), x=6 için 3 (Tek) olabilir, daima tek değildir.
Cevap: D
a²·b⁵ < 0, b·c > 0 olduğuna göre a, b, c'nin işaretleri sırasıyla hangisi olabilir?
a² pozitiftir (çarpım 0'dan küçük olduğu için a≠0). a²·b⁵ < 0 ise b⁵ < 0, dolayısıyla b negatiftir.
b·c > 0 ise b ve c aynı işaretlidir. b negatifse c de negatiftir.
a pozitif veya negatif olabilir. (–, –, –) veya (+, –, –) olabilir. C seçeneği uyar.
Cevap: C
x, y, z tam sayılardır. x·y·z çarpımı tek sayı ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir?
Çarpım tek ise x, y ve z'nin hepsi tektir (T).
A) T+T+T = T. B) T+T = Ç. C) Ç+T=T. D) T·T·T+Ç = T+Ç = T. E) T+T+T=T.
Sadece B seçeneği kesinlikle çifttir.
Cevap: B
x < y < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir?
x ve y negatiftir. x, y'den küçüktür.
A) Negatif + Negatif = Negatif. B) Küçük-Büyük = Negatif. C) (Büyük-Küçük)/(Negatif) = (+)/(-) = Negatif. D) (-)*(-) = Pozitif. E) (-)/(+) = Negatif.
Cevap: D
a, b tam sayılardır. (a+1)·(b-3) çarpımı çift sayı ise hangisi kesinlikle doğrudur?
Çarpımın çift olması için en az bir çarpan çift olmalı.
a+1 çift ise a tektir. VEYA b-3 çift ise b tektir.
Yani a tek veya b tek olmalıdır.
Cevap: D
a, b, c tam sayılardır.
a·b+7 = 4c. 4c daima çifttir (Ç).
a·b+7 = Ç ⇒ a·b+T = Ç ⇒ a·b = T olmalı.
a·b tek ise hem a hem de b tektir. c hakkında yorum yapılamaz.
Cevap: C
x < y < z olduğuna göre,
x-y (Küçük-Büyük) = Negatif (–).
z-y (Büyük-Küçük) = Pozitif (+).
x-z (Küçük-Büyük) = Negatif (–).
İşlem:
Cevap: A
a, b, c pozitif tam sayılardır. a+2b+3c toplamı çift sayı ise hangisi daima çifttir?
a+2b+3c = Ç. 2b daima çifttir (Ç).
a+Ç+3c = Ç ⇒ a+3c = Ç olmalı.
Bu durumda a ve 3c aynı paritede olmalı. 3c'nin paritesi c'ye bağlıdır. Yani a ve c aynı paritede olmalıdır (İkisi de T veya ikisi de Ç).
C) a+c toplamı (T+T veya Ç+Ç) daima çifttir.
Cevap: C
x < 0 < y < z olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi sıfır olabilir?
x negatif, y ve z pozitiftir. C) 2y+z pozitiftir. x negatiftir. Pozitif bir toplam ile negatif bir sayının toplamı sıfır olabilir (Örn: y=2, z=4, x=-8).
Cevap: C
a, b, c tam sayılardır. a·b tek ve a+c çift ise hangisi daima tektir?
a·b tek ise a=T, b=T.
a+c çift ise T+c=Ç ⇒ c=T.
Hepsi tektir. D) a+b+c = T+T+T = T.
Cevap: D
a < b < 0 < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu sıfır olabilir?
a ve b negatif, c pozitiftir.
D) a+b toplamı negatiftir. Bu negatif toplam c (pozitif) ile toplandığında sonuç sıfır olabilir (Örn: a=-5, b=-2, c=7).
C) b-a pozitiftir (Büyük-Küçük). c de pozitiftir. Toplamları pozitiftir.
Cevap: D
a ve b tam sayılardır. 5a + 3 = 4b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
4b ifadesi daima çifttir (Ç).
5a + 3 = Ç. 3 tektir (T).
5a + T = Ç ⇒ 5a = T olmalıdır.
5a tek ise, a tektir.
b hakkında kesin bir yorum yapılamaz. (Örneğin a=1 ise 4b=8, b=2; a=5 ise 4b=28, b=7).
Cevap: D
4. Faktöriyel
1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir (n!). n! = n·(n-1)·...·2·1.
Önemli Değerler ve Özellikler
0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120.
- 2! ve sonrası daima çifttir.
- 5! ve sonrasının birler basamağı daima 0'dır.
- Sadeleştirme Kuralı: Büyük faktöriyel küçüğe benzetilir. Örn: 8! = 8·7!.
Faktöriyel İçindeki Çarpan Sayısı
n! = A·px (p asal) eşitliğinde x'in en büyük değerini bulmak için n sürekli p'ye bölünür ve bölümler toplanır.
Sondan Kaç Basamağı Sıfır: İçindeki 10 çarpanı sayısı demektir. 10=2·5 olduğundan, 5 çarpanı sayısına bakmak yeterlidir (sürekli 5'e bölünür).
Asal Olmayan Çarpanlar: Sayı asal çarpanlara ayrılır (Örn: 6x = 2x·3x). Genellikle büyük asal çarpana göre işlem yapılır.
4. Faktöriyel - Örnek Sorular
4! + 0! + 1! toplamı kaçtır?
4! = 24. 0! = 1. 1! = 1. Toplam 24 + 1 + 1 = 26.
Cevap: C
Cevap: D
Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
C) 4! + 1! = 24 + 1 = 25 (Tek).
Cevap: C
Cevap: C
5! = 120'dir.
Pay kısmını 5! parantezine alalım: 5!(1+6) = 5!·7 = 120·7.
(120·7) / 120 = 7.
Cevap: C
(n-2)! = 1 olduğuna göre, n'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
0! = 1 ve 1! = 1'dir. n-2=0 ise n=2. n-2=1 ise n=3. Toplam 2+3=5.
Cevap: D
20! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için içindeki 5 çarpanı sayısına bakılır. 20'yi sürekli 5'e böleriz. 20/5 = 4. Bölüm (4) 5'ten küçük olduğu için dururuz. Sonuç 4.
Cevap: C
Cevap: B
50! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
50'yi sürekli 5'e böleriz. 50/5 = 10. 10/5 = 2. Bölümleri toplarız: 10+2 = 12.
Cevap: C
40! = A·3n eşitliğinde n en çok kaçtır?
40'ı sürekli 3'e böleriz. 40/3 = 13. 13/3 = 4. 4/3 = 1. Bölümleri toplarız: 13+4+1 = 18.
Cevap: C
30! = A·6n eşitliğinde n en çok kaçtır?
6=2·3. Büyük asal çarpana (3) bakılır. 30'u sürekli 3'e böleriz.
30/3=10. 10/3=3. 3/3=1. Toplam: 10+3+1=14.
Cevap: C
25! - 1 sayısının sondan kaç basamağı 9'dur?
Bir sayının sonundan 1 çıkarıldığında, sondaki sıfır sayısı kadar 9 oluşur (Örn: 1000-1=999).
25! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmalıyız. 25'i 5'e böleriz.
25/5=5. 5/5=1. Toplam 5+1=6.
Cevap: C
a ve n pozitif tam sayılardır. 15! = a·2n ise n en fazla kaçtır?
15'i sürekli 2'ye böleriz. 15/2=7. 7/2=3. 3/2=1. Toplam 7+3+1=11.
Cevap: C
20! + 21! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Toplamı paranteze alalım: 20!(1 + 21) = 20!·22.
Sıfır sayısını 5 çarpanları belirler. 20! içindeki 5 sayısı: 20/5=4.
22 içinde 5 çarpanı yoktur. Toplam 4 basamak sıfırdır.
Cevap: A
a ve b doğal sayılardır. a! = 12·b! olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Durum 1: a! = a·(b!) şeklinde düşünürsek (yani b=a-1 ise), a=12 olur (b=11).
Durum 2: Ardışık sayıların çarpımı 12 olabilir mi? 4·3=12. Bu durumda a=4 olur (b=2 olur, çünkü 4! = 4·3·2! = 12·2!).
a'nın değerleri toplamı 12+4=16.
Cevap: C
5. Sayma Sistemleri (Taban Aritmetiği)
Günlük hayatta 10'luk sistem (Desimal) kullanılır. Farklı tabanlarda sayı yazımı da mümkündür. (abc)t gösteriminde t tabandır.
Temel Kurallar ve Çevirme
Kural 1: Bir sayıda kullanılan rakamlar, tabandan daima küçük olmalıdır. (abc)t ise a, b, c < t.
Tabandan 10'luk Tabana Çevirme (Çözümleme): Her rakam bulunduğu basamağın taban kuvvetiyle çarpılır ve toplanır.
(abc)t = a·t² + b·t¹ + c·t⁰
10'luk Tabandan Başka Tabana Çevirme: Sayı, istenen tabana sürekli bölünür ve kalanlar sondan başa doğru yazılır.
5. Sayma Sistemleri - Örnek Sorular
(34)5 sayısının 10 tabanındaki karşılığı nedir?
3·5¹ + 4·5⁰ = 15 + 4 = 19.
Cevap: B
10 tabanındaki 12 sayısının 5 tabanındaki karşılığı nedir?
12'yi 5'e bölelim. Bölüm 2, Kalan 2. 2'yi 5'e bölelim. Bölüm 0, Kalan 2. Kalanlar sondan başa yazılır: (22)₅.
Cevap: A
(1011)₂ sayısının 10 tabanındaki karşılığı nedir?
1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11.
Cevap: B
(2A5)₇ sayısında A yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Rakamlar tabandan (7) küçük olmalı. A < 7. A: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 olabilir.
Toplam: 0+1+2+3+4+5+6 = 21.
Cevap: B
(123)ₓ sayısında x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Taban, sayıdaki en büyük rakamdan büyük olmalıdır. En büyük rakam 3'tür. x > 3 olmalı. En küçük x değeri 4'tür.
Cevap: D
(44)ₓ = 32 olduğuna göre, x kaçtır? (32 onluk tabandadır)
4·x¹ + 4·x⁰ = 32. 4x + 4 = 32. 4x = 28. x = 7. (x>4 olmalı, 7 uygundur).
Cevap: C
10 tabanındaki 50 sayısının 7 tabanındaki karşılığı nedir?
50'yi 7'ye bölelim. Bölüm 7, Kalan 1.
7'yi 7'ye bölelim. Bölüm 1, Kalan 0.
1'i 7'ye bölelim. Bölüm 0, Kalan 1.
Kalanları sondan başa yazalım: (101)₇.
Cevap: B
(13)₄ + (22)₄ toplamının 4 tabanındaki sonucu nedir?
Taban aritmetiğinde toplama yapılırken, toplam tabanı geçerse elde alınır.
Birler basamağı: 3+2=5. 5'in 4 ile bölümünden kalan 1'dir, elde 1 vardır.
Dörtler basamağı: 1+2=3. Elde 1 vardı. 3+1=4. 4'ün 4 ile bölümünden kalan 0'dır, elde 1 vardır.
Sonuç (101)₄.
Cevap: B
(121)ₓ = (100)₆ olduğuna göre, x kaçtır?
Her iki tarafı 10'luk tabana çevirelim.
1·x² + 2·x¹ + 1·x⁰ = 1·6² + 0·6¹ + 0·6⁰
x² + 2x + 1 = 36.
(x+1)² = 36. x+1 = 6 (Taban negatif olamaz). x=5.
Cevap: B
54 sayısı 5 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir?
t tabanında tⁿ sayısı, 1'in yanında n tane sıfır olan sayıdır. (100...0)t. Basamak sayısı n+1'dir.
5⁴ sayısının 5 tabanındaki yazılışı (10000)₅ şeklindedir. 4+1=5 basamaklıdır.
Cevap: C
x>4 olmak üzere, x² + 3x + 4 sayısının x tabanındaki yazılışı nedir?
İfade zaten x tabanına göre çözümlenmiş haldedir: 1·x² + 3·x¹ + 4·x⁰.
Katsayılar doğrudan rakamları verir: (134)ₓ. x>4 olduğu için bu rakamlar geçerlidir.
Cevap: A
(213)₅ sayısının 4 tabanındaki karşılığı nedir?
Önce 10'luk tabana çevirelim: 2·5² + 1·5¹ + 3·5⁰ = 50 + 5 + 3 = 58.
Şimdi 58'i 4 tabanına çevirelim.
58/4 = Bölüm 14, Kalan 2. 14/4 = Bölüm 3, Kalan 2. 3/4 = Bölüm 0, Kalan 3.
Sondan başa: (322)₄.
Cevap: A
(abc)₇ sayısında a rakamı 1 artırılır, c rakamı 3 azaltılırsa sayının 10 tabanındaki değeri nasıl değişir?
a rakamı 7²=49'lar basamağındadır. 1 artarsa sayı 49 artar.
c rakamı birler basamağındadır (7⁰=1). 3 azalırsa sayı 3 azalır.
Toplam değişim: +49 - 3 = 46 artar.
Cevap: A
5 tabanında yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı en büyük sayı nedir?
5 tabanında kullanılabilecek rakamlar {0, 1, 2, 3, 4}.
Rakamları farklı en büyük üç basamaklı sayı için en büyük rakamları kullanırız: 4, 3, 2.
Sayı: (432)₅.
Cevap: C
(324)₅ sayısının 10 tabanındaki değerinin birler basamağı kaçtır?
3·5² + 2·5¹ + 4·5⁰ = 75 + 10 + 4 = 89.
Birler basamağı 9'dur.
Cevap: A
6. Bölme Algoritması
A (Bölünen), B (Bölen), C (Bölüm), K (Kalan) olmak üzere, A = B·C + K işlemidir.
Temel Kurallar
Kural 1 (Kalanın Sınırı): Kalan, bölenden daima küçüktür ve negatif olamaz (0 ≤ K < B).
Kural 2 (Yer Değiştirme): Eğer kalan, bölümden küçük ise (K < C), bölen (B) ile bölüm (C) yer değiştirebilir, kalan değişmez.
Kural 3: Bir sayının x ile bölümünden kalan m, başka bir sayının x ile bölümünden kalan n ise, bu sayıların toplamının x ile bölümünden kalan m+n'dir (Eğer m+n, x'ten büyükse tekrar x'e bölünür). Çarpımlarının kalanı m·n'dir.
6. Bölme - Örnek Sorular
83 sayısının 7 ile bölümünden elde edilen bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
83 = 7·11 + 6. Bölüm 11, Kalan 6. Toplam 11+6=17.
Cevap: C
Bir bölme işleminde bölen 12, bölüm 5 ise bölünen sayı en az kaç olabilir?
A = 12·5 + K. Bölünenin en az olması için kalan en az olmalıdır. Kalan en az 0 olabilir. A = 60 + 0 = 60.
Cevap: A
Bir bölme işleminde bölen 8, bölüm 6 ise bölünen sayı en fazla kaç olabilir?
A = 8·6 + K. Kalan bölenden (8) küçük olmalı. K en fazla 7 olabilir. A = 48 + 7 = 55.
Cevap: C
A sayısının 15 ile bölümünden kalan 7'dir. A sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A = 15k + 7. 5, 15'in bir çarpanı olduğu için sadece kalanı (7) 5'e bölmek yeterlidir. 7'nin 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
Cevap: C
Doğal sayılarda yapılan bir bölme işleminde bölen x, bölüm 5, kalan 3'tür. x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Bölme kuralına göre bölen kalandan büyük olmalıdır. x > 3. x en az 4 olabilir.
Cevap: C
A sayısının 6 ile bölümünden kalan 4, B sayısının 6 ile bölümünden kalan 5'tir. A+B toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
Kalanlar toplanır: 4 + 5 = 9. 9'un 6 ile bölümünden kalan 3'tür.
Cevap: C
Toplamları 65 olan iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 7, kalan 1 oluyor. Büyük sayı kaçtır?
Büyük sayı A, küçük sayı B olsun. A+B=65. A = 7B + 1.
(7B+1) + B = 65 ⇒ 8B+1 = 65 ⇒ 8B = 64 ⇒ B=8.
A = 65 - 8 = 57.
Cevap: A
A sayısının 8 ile bölümünden kalan 3 ise, A² sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
A yerine kalanı (3) kullanabiliriz. A² yerine 3²=9 kullanılır. 9'un 8 ile bölümünden kalan 1'dir.
Cevap: A
A sayısının B ile bölümünden bölüm 4, kalan 3'tür. A+B toplamı 58 ise B kaçtır?
A = 4B + 3. (B>3 olmalı). A+B=58 denkleminde yerine koyalım.
(4B+3) + B = 58 ⇒ 5B+3 = 58 ⇒ 5B = 55 ⇒ B=11.
Cevap: C
A doğal sayısının 10 ile bölümünden bölüm x, kalan y'dir. A sayısının 5 ile bölümünden bölüm aşağıdakilerden hangisidir?
A = 10x + y (0≤y<10).
A = 5(2x) + y. A sayısını 5'e böldüğümüzde bölüm 2x olur, ancak kalan (y) 5'ten büyük olabilir.
Eğer y<5 ise (0,1,2,3,4), bölüm 2x olur.
Eğer y≥5 ise (5,6,7,8,9), y=5+r (r<5) şeklinde yazılır. A=5(2x)+5+r = 5(2x+1)+r. Bölüm 2x+1 olur.
Bölüm 2x veya 2x+1'dir.
Cevap: C
A sayısının B ile bölümü 3, kalanı 5'tir. B sayısının 4 ile bölümünden kalan 2'dir. A sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
A=3B+5. B=4k+2.
A=3(4k+2)+5 = 12k+6+5 = 12k+11.
A'nın 12 ile bölümünden kalan 11'dir.
Cevap: D
A doğal sayısı 20 ile bölündüğünde bölüm B, kalan B-3'tür. A en fazla kaç olabilir?
A = 20B + (B-3).
Kural gereği kalan bölenden küçük olmalı: B-3 < 20 ⇒ B < 23. Ayrıca kalan negatif olamaz: B-3 ≥ 0 ⇒ B ≥ 3.
A'nın en büyük olması için B en büyük seçilir. B=22.
A = 20(22) + (22-3) = 440 + 19 = 459.
Cevap: D
abc üç basamaklı, xy iki basamaklı sayılardır. abc sayısının 10 ile bölümünden kalan 5, xy sayısının 10 ile bölümünden kalan 3'tür. abc·xy çarpımının 10 ile bölümünden kalan kaçtır?
Kalanlar çarpılır: 5·3 = 15. 15'in 10 ile bölümünden kalan 5'tir.
Cevap: B
A sayısının B ile bölümünden bölüm 5, kalan 4'tür. B sayısının C ile bölümünden bölüm 6, kalan 7'dir. A sayısının 30 ile bölümünden kalan kaçtır?
Verilenlere göre denklemleri yazalım:
A = 5B + 4
B = 6C + 7
A denkleminde B'yi yerine yazalım:
A = 5(6C + 7) + 4
A = 30C + 35 + 4
A = 30C + 39
A sayısının 30 ile bölümünden kalanı bulmak için 39'u 30'a böleriz. 39 = 30·1 + 9.
A = 30C + 30 + 9 = 30(C+1) + 9. Kalan 9'dur.
Cevap: C
Beş basamaklı 12345 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Sağdan sola +, -, +, -, + kuralı uygulanır.
(+5 -4 +3 -2 +1) = (5+3+1) - (4+2) = 9 - 6 = 3. Kalan 3'tür.
Cevap: B
7. Bölünebilme Kuralları
Bir sayının başka bir sayıya kalansız (tam) bölünüp bölünmediğini anlamak için kullanılan pratik yöntemlerdir.
Temel Kurallar
- 2 ile: Birler basamağı çift (0, 2, 4, 6, 8) olmalı.
- 3 ile: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
- 4 ile: Son iki basamağı (onlar ve birler) 00 veya 4'ün katı olmalı.
- 5 ile: Birler basamağı 0 veya 5 olmalı.
- 8 ile: Son üç basamağı 8'in katı olmalı.
- 9 ile: Rakamları toplamı 9'un katı olmalı.
- 10 ile: Birler basamağı 0 olmalı.
- 11 ile: Sağdan sola +, -, +, -... ile gruplandırılıp toplandığında sonuç 11'in katı (0 dahil) olmalı.
Bileşik Kurallar ve Strateji
6 (2 ve 3), 12 (3 ve 4), 15 (3 ve 5), 30 (3 ve 10), 36 (4 ve 9), 45 (5 ve 9) gibi sayılarla bölünebilme için sayı aralarında asal çarpanlarına ayrılır. Sayı her iki kuralı da sağlamalıdır.
Öncelik Stratejisi: Sorularda daima birler basamağını veya son basamakları ilgilendiren kurallarla (2, 4, 5, 8, 10) başlanır, sonra toplama dayalı kurallara (3, 9) geçilir.
7. Bölünebilme Kuralları - Örnek Sorular
Aşağıdaki sayılardan hangisi 3 ile tam bölünür?
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
C) 9+0+1+2 = 12. 12, 3'ün katıdır.
Cevap: C
Dört basamaklı 5A23 sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 ise A kaçtır?
Rakamlar toplamı 9k+4 olmalı. 5+A+2+3 = 10+A = 9k+4.
10+A = 13 (k=1 için) ⇒ A=3. 10+A = 22 (k=2 için) ⇒ A=12 (Rakam değil).
Cevap: A
Aşağıdakilerden hangisi 4 ile tam bölünür?
Son iki basamağa bakılır. C) 24, 4'ün katıdır.
Cevap: C
Üç basamaklı 47A sayısı 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa A'nın alabileceği değerler hangileridir?
5 ile bölümünden kalan 2 ise birler basamağı (A) 2 (0+2) veya 7 (5+2) olmalıdır.
Cevap: D
Dört basamaklı 2X5Y sayısı 10 ile tam bölünüyor. Bu sayı 3 ile de tam bölündüğüne göre X kaç farklı değer alır?
10 ile tam bölünüyorsa Y=0'dır. Sayı 2X50.
3 ile tam bölünüyorsa 2+X+5+0 = 7+X = 3k olmalı.
X=2, 5, 8 olabilir. 3 farklı değer.
Cevap: B
Dört basamaklı 6A1B sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
45 ile bölünüyorsa 5 ve 9 ile bölünmelidir.
5 ile bölünüyorsa B=0 veya B=5.
Durum 1: B=0 (6A10). 9 ile bölünüyorsa 6+A+1+0 = 7+A=9k. A=2.
Durum 2: B=5 (6A15). 9 ile bölünüyorsa 6+A+1+5 = 12+A=9k. A=6.
A'nın değerleri toplamı 2+6=8.
Cevap: B
Beş basamaklı 76A3B sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre A+B en çok kaç olabilir?
36 ile bölünüyorsa 4 ve 9 ile bölünmelidir.
4 ile bölünüyorsa son iki basamak (3B) 4'ün katı olmalı. B=2 veya B=6.
Durum 1: B=2 (76A32). 9 ile bölünüyorsa 7+6+A+3+2 = 18+A=9k. A=0 veya A=9.
Durum 2: B=6 (76A36). 9 ile bölünüyorsa 7+6+A+3+6 = 22+A=9k. A=5.
A+B toplamları: (A=9, B=2) için 11. (A=5, B=6) için 11. (A=0, B=2) için 2.
En büyük toplam 11'dir.
Cevap: C
Rakamları farklı dört basamaklı 8M5N sayısı 30 ile tam bölünebiliyor. M kaç farklı değer alır?
30 ile bölünüyorsa 3 ve 10 ile bölünür.
10 ile bölünüyorsa N=0. Sayı 8M50.
3 ile bölünüyorsa 8+M+5+0 = 13+M=3k. M=2, 5, 8 olabilir.
Rakamları farklı olmalı (8, M, 5, 0). M=5 ve M=8 olamaz. Sadece M=2 olabilir. 1 farklı değer.
Cevap: A
Dört basamaklı 5A7B sayısının 5 ile bölümünden kalan 3'tür. Bu sayı 9 ile tam bölündüğüne göre A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
5 ile bölümünden kalan 3 ise B=3 veya B=8.
Durum 1: B=3 (5A73). 9 ile tam bölünüyorsa 5+A+7+3 = 15+A=9k. A=3.
Durum 2: B=8 (5A78). 9 ile tam bölünüyorsa 5+A+7+8 = 20+A=9k. A=7.
A'nın değerleri toplamı 3+7=10.
Cevap: C
Beş basamaklı 23A4B sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre A+B'nin en büyük değeri kaçtır?
12 ile bölünüyorsa 3 ve 4 ile bölünür.
4 ile bölünüyorsa son iki basamak (4B) 4'ün katı olmalı. B=0, 4, 8.
En büyük toplamı aradığımız için B'nin en büyük değerinden başlayalım.
Durum 1: B=8 (23A48). 3 ile bölünüyorsa 2+3+A+4+8 = 17+A=3k. A=1, 4, 7. En büyük A=7. A+B=7+8=15.
Durum 2: B=4 (23A44). 3 ile bölünüyorsa 2+3+A+4+4 = 13+A=3k. A=2, 5, 8. En büyük A=8. A+B=8+4=12.
Durum 3: B=0 (23A40). 3 ile bölünüyorsa 2+3+A+4+0 = 9+A=3k. A=0, 3, 6, 9. En büyük A=9. A+B=9+0=9.
En büyük değer 15'tir.
Cevap: B
A sayısının 9 ile bölümünden kalan 5, B sayısının 9 ile bölümünden kalan 7'dir. A·B+A² toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Kalanlarla işlem yapılır. A yerine 5, B yerine 7 yazılır.
A·B+A² = 5·7 + 5² = 35 + 25 = 60.
60'ın 9 ile bölümünden kalan (60=9·6+6) 6'dır.
Cevap: C
Dört basamaklı AAAA sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için A kaç farklı değer alabilir?
Rakamlar toplamı 4A = 3k olmalı. 4, 3'ün katı olmadığı için A, 3'ün katı olmalıdır.
A=3, 6, 9 olabilir. (A=0 olamaz çünkü sayı dört basamaklı olmalı).
3 farklı değer.
Cevap: B
Üç basamaklı ABC sayısı 5 ile tam bölünüyor. A=2B şartını sağlayan kaç farklı ABC sayısı yazılabilir?
5 ile tam bölünüyorsa C=0 veya C=5.
A=2B şartı için (A ve B rakam, A≠0): B=1, A=2; B=2, A=4; B=3, A=6; B=4, A=8 olabilir.
C=0 için: 210, 420, 630, 840 (4 sayı).
C=5 için: 215, 425, 635, 845 (4 sayı).
Toplam 8 farklı sayı.
Cevap: C
Dört basamaklı 3A4B sayısının 15 ile bölümünden kalan 2 ise A+B toplamının en büyük değeri kaçtır?
15 (3 ve 5) ile bölümünden kalan 2 ise, 5 ile bölümünden kalan 2, 3 ile bölümünden kalan 2'dir.
5 ile kalan 2 ise B=2 veya B=7.
Durum 1: B=7 (3A47). 3 ile kalan 2 ise 3+A+4+7 = 14+A=3k+2. 12+A=3k. A=0, 3, 6, 9. En büyük A+B=9+7=16.
Durum 2: B=2 (3A42). 3 ile kalan 2 ise 3+A+4+2 = 9+A=3k+2. A=2, 5, 8. En büyük A+B=8+2=10.
En büyük değer 16.
Cevap: A
Rakamları farklı beş basamaklı 9A5B2 sayısı 11 ile tam bölünebildiğine göre A-B farkı kaç olabilir?
11 kuralı (+, -, +, -, +): (2+5+9) - (B+A) = 11k.
16 - (A+B) = 11k.
k=0 için A+B=16. k=1 için A+B=5.
A+B=16 için: (7,9), (8,8), (9,7). Rakamlar farklı olmalı ve {9,5,2} kullanılmamalı. (7,9) olamaz (9 kullanılmış). (8,8) olamaz (farklı değil).
A+B=5 için: (5,0), (4,1), (3,2), (2,3), (1,4), (0,5). Kullanılan rakamlar {9,5,2}. (5,0), (3,2), (2,3), (0,5) olamaz. (4,1) ve (1,4) olabilir.
A=4, B=1 ise A-B=3. A=1, B=4 ise A-B=-3.
Şıklarda 3 bulunmaktadır.
Cevap: A
Ünite 2: Sayılar
1. Sayı Kümeleri
Matematikte işlemlerin temelini oluşturan sayıların sınıflandırılmasıdır. KPSS sorularında, sorunun başında verilen tanım kümesi (Örneğin: "x ve y birer tam sayı olmak üzere...") çözüm yolunu ve cevabın hangi kümeden seçileceğini belirler. Bu nedenle sayı kümelerini iyi tanımak hayati önem taşır.
Kümelerin Detaylı Tanımı ve İlişkisi
- Rakam: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir.
- Doğal Sayılar (N): {0, 1, 2, 3, ...}. Sıfır bir doğal sayıdır.
- Sayma Sayıları (N+): {1, 2, 3, ...}. Pozitif doğal sayılar olarak da bilinir.
- Tam Sayılar (Z): {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Pozitif tam sayılar (Z+), negatif tam sayılar (Z-) ve sıfırın birleşimidir. Sıfır nötrdür (işaretsizdir).
- Rasyonel Sayılar (Q): a/b şeklinde (a ve b tam sayı, b≠0) yazılabilen sayılardır. Tüm tam sayılar, kesirler, ondalık ve devirli sayılar rasyoneldir.
- İrrasyonel Sayılar (Q'): Rasyonel olmayan, yani a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık açılımları sonsuz ve düzensiz devam eder (π, e, √2, √5 gibi).
- Reel (Gerçel) Sayılar (R): Rasyonel ve İrrasyonel sayıların birleşimidir. Sayı doğrusunu tamamen doldurur.
Hiyerarşi: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
1. Sayı Kümeleri - Örnek Sorular
Aşağıdakilerden hangisi bir rakam değildir?
Rakamlar 0'dan 9'a kadar olan sembollerdir. 10 bir sayıdır, rakam değildir.
Cevap: E
En küçük doğal sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
En küçük doğal sayı 0'dır. En küçük pozitif tam sayı 1'dir. Toplamları 0+1=1.
Cevap: B
Aşağıdakilerden hangisi irrasyonel bir sayıdır?
3.14, 22/7 ve 0.5 rasyoneldir. √16 = 4 rasyoneldir. √3 kök dışına tam çıkamaz, irrasyoneldir.
Cevap: C
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
D seçeneği yanlıştır, çünkü irrasyonel sayılar (örn: √2) da reel sayıdır ancak rasyonel değildir.
Cevap: D
Birbirinden farklı en büyük iki negatif tam sayının toplamı kaçtır?
En büyük negatif tam sayı -1'dir. Bir sonraki en büyük negatif tam sayı -2'dir. Toplamları (-1) + (-2) = -3.
Cevap: C
√4 + √5 toplamı hangi sayı kümesine aittir?
√4 = 2 (Rasyonel). √5 (İrrasyonel). Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı daima irrasyoneldir (ve dolayısıyla reeldir). En spesifik küme İrrasyonel Sayılardır.
Cevap: D
a bir rakam olmak üzere, 3a + 5 ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
a bir rakam olduğu için en büyük değeri 9'dur. 3(9) + 5 = 27 + 5 = 32.
Cevap: C
x ve y birer tam sayıdır. x = 12/y olduğuna göre, x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
x'in tam sayı olması için y'nin 12'yi tam bölmesi gerekir. y tam sayı olduğu için pozitif ve negatif bölenler alınır.
12'nin pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 tane).
Negatif bölenleri: -1, -2, -3, -4, -6, -12 (6 tane).
Toplam 12 farklı y değeri vardır, dolayısıyla 12 farklı x değeri vardır.
Cevap: D
I. 0 (Sıfır) bir doğal sayıdır.
II. 0 (Sıfır) pozitif bir tam sayıdır.
III. En küçük sayma sayısı 1'dir.
Yukarıdakilerden hangileri doğrudur?
I doğrudur. II yanlıştır (Sıfır nötrdür, işareti yoktur). III doğrudur.
Cevap: C
a ve b birer tam sayı olmak üzere,
Bir kesirli ifadenin rasyonel sayı belirtmemesi için paydasının sıfır olması gerekir (Tanımsızlık durumu).
b-2 = 0 ⇒ b=2. a herhangi bir tam sayı olabilir. a+b = a+2. a bir tam sayı olduğu için a+2 de herhangi bir tam sayı değeri alabilir.
Cevap: E
x bir irrasyonel sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle irrasyoneldir?
A) x=√2 ise x²=2 (Rasyonel). B) x=-√2 ise x+√2=0 (Rasyonel). D) x/x=1 (Rasyonel). E) x=√3 ise x·√3=3 (Rasyonel).
C) Bir irrasyonel sayı ile bir rasyonel sayının (sıfır hariç) toplamı daima irrasyoneldir.
Cevap: C
x ve y birer rakamdır.
Toplamın en büyük olması için paydalar en küçük seçilmelidir. x ve y rakam ve paydada oldukları için 0 olamazlar.
x=1 ve y=1 seçilirse (rakamların farklı olduğu belirtilmemiş): 15/1 + 12/1 = 27.
Cevap: A
İki basamaklı en büyük tam sayı ile rakamları farklı üç basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?
İki basamaklı en büyük tam sayı 99'dur.
Rakamları farklı üç basamaklı en küçük doğal sayı 102'dir.
Toplam: 99 + 102 = 201.
Cevap: B
A ve B irrasyonel sayılar olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) √2 + (-√2) = 0 (Rasyonel). B) √2 · √8 = √16 = 4 (Rasyonel). C) 2√2 / √2 = 2 (Rasyonel). E) (√2)² = 2 (Rasyonel).
D) İrrasyonel sayılar kümesi, Reel sayılar kümesinin alt kümesidir. Daima doğrudur.
Cevap: D
İki basamaklı en küçük tam sayı ile en büyük rakamın farkı kaçtır?
İki basamaklı en küçük tam sayı -99'dur (Dikkat: 10 değil).
En büyük rakam 9'dur.
Fark: (-99) - 9 = -108.
Cevap: B
2. Doğal Sayılar (Değer Verme Stratejileri)
N = {0, 1, 2, 3, ...}. Bu bölümde, doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan denklemlerde en büyük (maksimum) ve en küçük (minimum) değerleri bulma stratejileri incelenir. Bu soru tipleri KPSS'de sıklıkla karşımıza çıkar.
Temel Stratejiler
1. Toplamları Sabitse (a+b=K):
- a·b çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilir.
- a·b çarpımının en küçük olması için sayılar birbirine en uzak seçilir (Doğal sayılarda genellikle 0 kullanılır).
2. Çarpımları Sabitse (a·b=K):
- a+b toplamının en büyük olması için sayılar birbirine en uzak seçilir (Genellikle 1 ve K kullanılır).
- a+b toplamının en küçük olması için sayılar birbirine en yakın seçilir.
3. Katsayılı Denklemler (ax+by+cz=K):
- Toplamın (x+y+z) en küçük olması için katsayısı büyük olana en büyük değer verilir.
- Bir değişkenin (örn: x) en büyük değerini bulmak için diğer değişkenlere (y ve z) mümkün olan en küçük değerler verilir.
Kritik Uyarılar
Sorunun tanım kümesine (Doğal sayı mı, Pozitif Doğal sayı mı?) ve kısıtlamalara ("birbirinden farklı", "rakamları farklı") mutlaka dikkat edilmelidir.
2. Doğal Sayılar - Örnek Sorular
Birbirinden farklı en küçük üç doğal sayının toplamı kaçtır?
En küçük farklı doğal sayılar 0, 1 ve 2'dir. Toplamları 0+1+2 = 3.
Cevap: C
a ve b doğal sayılardır. a + b = 10 olduğuna göre, a·b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çarpımın en büyük olması için sayılar en yakın seçilir. Sayıların farklı olduğu belirtilmediği için a=5, b=5 seçilir. Çarpım 5·5 = 25.
Cevap: D
x ve y pozitif doğal sayılardır. x·y = 18 olduğuna göre, x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
Çarpımları sabitken toplamın en küçük olması için sayılar en yakın seçilir. 3 ve 6 seçilir. 3+6 = 9.
Cevap: C
a ve b birbirinden farklı doğal sayılardır. a + b = 16 olduğuna göre, a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
En yakın 8 ve 8'dir. Ancak sayılar farklı denildiği için 7 ve 9 seçilir. 7·9 = 63.
Cevap: B
a, b, c birbirinden farklı rakamlardır. 3a + b + 2c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
En küçük değeri bulmak için katsayısı büyük olana en küçük rakamı veririz. Rakamlar farklı olmalı (0, 1, 2).
Katsayısı en büyük olan a (3), sonra c (2), sonra b (1).
a=0, c=1, b=2 seçilir. 3(0) + 2 + 2(1) = 0 + 2 + 2 = 4.
Cevap: D
x, y, z pozitif doğal sayılardır. x·y = 12 ve y·z = 18 olduğuna göre, x+y+z toplamının en küçük değeri kaçtır?
Toplamın en küçük olması için ortak çarpan olan y'nin en büyük seçilmesi gerekir. EBOB(12, 18) = 6.
y=6 seçilirse, x=2, z=3 olur. Toplam 2+6+3 = 11.
Cevap: D
a ve b doğal sayılardır. 2a + 3b = 30 olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir?
b=0 için 2a=30, a=15. b=2 için 2a=24, a=12. b=4 için 2a=18, a=9. b=6 için 2a=12, a=6. b=8 için 2a=6, a=3. b=10 için 2a=0, a=0.
a'nın alabileceği değerler: 0, 3, 6, 9, 12, 15 (6 farklı değer).
Cevap: C
a, b, c pozitif doğal sayılardır. a+b+c=20 olduğuna göre, a·b·c çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çarpımın en büyük olması için sayılar en yakın seçilir. 20/3 ≈ 6.66.
Sayıları 6, 7, 7 olarak seçeriz (farklı denilmediği için). 6·7·7 = 294.
Cevap: B
x bir doğal sayı olmak üzere, A = 10-x ve B = x+4 ise A·B çarpımının en büyük değeri kaçtır?
A+B = (10-x) + (x+4) = 14. Toplam sabittir.
Çarpımın en büyük olması için sayılar en yakın seçilir. 14/2=7. A=7, B=7 seçilir. (x=3 için bu sağlanır ve x doğal sayıdır).
A·B = 7·7 = 49.
Cevap: C
a ve b doğal sayılardır. a =
İfadeyi parçalayalım: a =
a'nın doğal sayı olması için b'nin 12'yi tam bölmesi gerekir. b de doğal sayı olmalı (b=0 tanımsız yapar, bu yüzden b pozitif olmalı).
b'nin değerleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 farklı değer). Her b değeri için farklı bir a değeri bulunur. 6 farklı a değeri vardır.
Cevap: C
a, b, c pozitif doğal sayılardır. 3a + 4b + 5c = 65 olduğuna göre, a+b+c toplamının en küçük değeri kaçtır?
Toplamın en küçük olması için katsayısı büyük olana en büyük değer verilir (c'ye).
c=11 olsa 5c=55. 3a+4b=10. b=1 için 3a=6, a=2. Toplam 11+1+2=14.
c=12 olsa 5c=60. 3a+4b=5. b=1 için 3a=1 (a pozitif tam sayı olmaz).
c=10 olsa 5c=50. 3a+4b=15. b=3 için 3a=3, a=1. Toplam 10+3+1=14.
En küçük değer 14'tür.
Cevap: B
x, y, z birbirinden farklı pozitif doğal sayılardır. 2x + 3y + z = 40 olduğuna göre, z'nin en büyük değeri kaçtır?
z'nin en büyük olması için x ve y en küçük seçilmelidir. Sayılar farklı ve pozitif (en az 1).
Katsayısı büyük olana (y'ye) en küçük değeri vererek toplamı minimize edelim. y=1 olsun. x=2 olsun (farklı olmalı).
2(2) + 3(1) + z = 40 ⇒ 4 + 3 + z = 40 ⇒ 7 + z = 40 ⇒ z = 33.
Cevap: C
a, b, c pozitif doğal sayılardır. a > b > c ve a + b/c = 15 olduğuna göre, a+b+c toplamının en büyük değeri kaçtır?
Toplamın en büyük olması için a'yı en büyük seçmeliyiz.
a=14 olamaz çünkü b/c=1 olur, bu da b=c demektir (b>c şartı sağlanmaz).
a=13 ise b/c=2 ⇒ b=2c. a>b>c şartını sağlamalıyız. 13 > 2c > c.
13 > 2c ise c < 6.5. c'yi en büyük seçmek için c=6 alırız. b=12 olur.
Şart sağlanır: 13 > 12 > 6.
Toplam: 13+12+6 = 31.
Cevap: A
a ve b doğal sayılardır. 3a + 5b = 60 olduğuna göre, a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çarpımın en büyük olması için 3a ve 5b terimleri birbirine en yakın olmalıdır. 60/2=30.
3a=30 ⇒ a=10. 5b=30 ⇒ b=6.
a·b = 10·6 = 60.
Cevap: D
x, y pozitif doğal sayılar. x +
y, 12'nin böleni olmalıdır: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ayrıca x pozitif olmalı (x>0). x = 10 - 12/y > 0 ⇒ 10 > 12/y.
y=1 için x=10-12=-2 (Pozitif değil, olmaz).
y=2 için x=10-6=4. y=3 için x=10-4=6. y=4 için x=10-3=7. y=6 için x=10-2=8. y=12 için x=10-1=9.
y'nin değerleri: 2, 3, 4, 6, 12. Toplamları: 2+3+4+6+12 = 27.
Cevap: B
3. Tam Sayılar
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Tam sayılar üzerinde yapılan işlemlerde teklik/çiftlik analizi ve işaret incelemesi (pozitif/negatif) önemlidir.
Tek ve Çift Sayı Analizi
Kurallar: T±T=Ç, T±Ç=T, DZÇ=Ç. T·T=T, T·Ç=Ç, Ç·Ç=Ç.
Strateji: Bir çarpımın sonucu tek ise tüm çarpanlar tektir. Bir denklemi düzenlerken, katsayısı çift olan terimler (Örn: 4x, 2y) daima çifttir. Bölme içeren ifadeler içler-dışlar çarpımı yapılarak tam sayı haline getirilir.
Pozitif ve Negatif Sayı Analizi
Kurallar: Aynı işaretlilerin çarpımı/bölümü (+), zıt işaretlilerin (–). Büyük sayıdan küçük sayı çıkarsa sonuç (+), küçükten büyük çıkarsa (–).
Strateji: İşaret incelemesi sorularında, çift kuvvetli terimlerden (x², y⁴) başlanır, çünkü bunlar (taban sıfır değilse) daima pozitiftir.
3. Tam Sayılar - Örnek Sorular
x negatif bir tam sayı ise aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?
Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitiftir. x⁶ pozitiftir. E seçeneğinde x² pozitiftir ancak -5 ile çarpıldığı için sonuç negatiftir.
Cevap: D
Aşağıdaki ifadelerden hangisi tek sayıdır?
A) Ç+Ç=Ç. B) T+T=Ç. C) Ç+T=T. D) Ç·T=Ç. E) T+T=Ç.
Cevap: C
a < 0 < b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir?
a negatif, b pozitiftir. Zıt işaretli sayıların çarpımı (a·b) daima negatiftir.
Cevap: C
x bir çift tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tektir?
x=Ç. D) 2x + 5 = Ç + T = T. E seçeneği x=4 için 2 (Çift), x=6 için 3 (Tek) olabilir, daima tek değildir.
Cevap: D
a²·b⁵ < 0, b·c > 0 olduğuna göre a, b, c'nin işaretleri sırasıyla hangisi olabilir?
a² pozitiftir (çarpım 0'dan küçük olduğu için a≠0). a²·b⁵ < 0 ise b⁵ < 0, dolayısıyla b negatiftir.
b·c > 0 ise b ve c aynı işaretlidir. b negatifse c de negatiftir.
a pozitif veya negatif olabilir. (–, –, –) veya (+, –, –) olabilir. C seçeneği uyar.
Cevap: C
x, y, z tam sayılardır. x·y·z çarpımı tek sayı ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir?
Çarpım tek ise x, y ve z'nin hepsi tektir (T).
A) T+T+T = T. B) T+T = Ç. C) Ç+T=T. D) T·T·T+Ç = T+Ç = T. E) T+T+T=T.
Sadece B seçeneği kesinlikle çifttir.
Cevap: B
x < y < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir?
x ve y negatiftir. x, y'den küçüktür.
A) Negatif + Negatif = Negatif. B) Küçük-Büyük = Negatif. C) (Büyük-Küçük)/(Negatif) = (+)/(-) = Negatif. D) (-)*(-) = Pozitif. E) (-)/(+) = Negatif.
Cevap: D
a, b tam sayılardır. (a+1)·(b-3) çarpımı çift sayı ise hangisi kesinlikle doğrudur?
Çarpımın çift olması için en az bir çarpan çift olmalı.
a+1 çift ise a tektir. VEYA b-3 çift ise b tektir.
Yani a tek veya b tek olmalıdır.
Cevap: D
a, b, c tam sayılardır.
a·b+7 = 4c. 4c daima çifttir (Ç).
a·b+7 = Ç ⇒ a·b+T = Ç ⇒ a·b = T olmalı.
a·b tek ise hem a hem de b tektir. c hakkında yorum yapılamaz.
Cevap: C
x < y < z olduğuna göre,
x-y (Küçük-Büyük) = Negatif (–).
z-y (Büyük-Küçük) = Pozitif (+).
x-z (Küçük-Büyük) = Negatif (–).
İşlem:
Cevap: A
a, b, c pozitif tam sayılardır. a+2b+3c toplamı çift sayı ise hangisi daima çifttir?
a+2b+3c = Ç. 2b daima çifttir (Ç).
a+Ç+3c = Ç ⇒ a+3c = Ç olmalı.
Bu durumda a ve 3c aynı paritede olmalı. 3c'nin paritesi c'ye bağlıdır. Yani a ve c aynı paritede olmalıdır (İkisi de T veya ikisi de Ç).
C) a+c toplamı (T+T veya Ç+Ç) daima çifttir.
Cevap: C
x < 0 < y < z olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi sıfır olabilir?
x negatif, y ve z pozitiftir. C) 2y+z pozitiftir. x negatiftir. Pozitif bir toplam ile negatif bir sayının toplamı sıfır olabilir (Örn: y=2, z=4, x=-8).
Cevap: C
a, b, c tam sayılardır. a·b tek ve a+c çift ise hangisi daima tektir?
a·b tek ise a=T, b=T.
a+c çift ise T+c=Ç ⇒ c=T.
Hepsi tektir. D) a+b+c = T+T+T = T.
Cevap: D
a < b < 0 < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu sıfır olabilir?
a ve b negatif, c pozitiftir.
D) a+b toplamı negatiftir. Bu negatif toplam c (pozitif) ile toplandığında sonuç sıfır olabilir (Örn: a=-5, b=-2, c=7).
C) b-a pozitiftir (Büyük-Küçük). c de pozitiftir. Toplamları pozitiftir.
Cevap: D
a ve b tam sayılardır. 5a + 3 = 4b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
4b ifadesi daima çifttir (Ç).
5a + 3 = Ç. 3 tektir (T).
5a + T = Ç ⇒ 5a = T olmalıdır.
5a tek ise, a tektir.
b hakkında kesin bir yorum yapılamaz. (Örneğin a=1 ise 4b=8, b=2; a=5 ise 4b=28, b=7).
Cevap: D
4. Faktöriyel
1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir (n!). n! = n·(n-1)·...·2·1.
Önemli Değerler ve Özellikler
0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120.
- 2! ve sonrası daima çifttir.
- 5! ve sonrasının birler basamağı daima 0'dır.
- Sadeleştirme Kuralı: Büyük faktöriyel küçüğe benzetilir. Örn: 8! = 8·7!.
Faktöriyel İçindeki Çarpan Sayısı
n! = A·px (p asal) eşitliğinde x'in en büyük değerini bulmak için n sürekli p'ye bölünür ve bölümler toplanır.
Sondan Kaç Basamağı Sıfır: İçindeki 10 çarpanı sayısı demektir. 10=2·5 olduğundan, 5 çarpanı sayısına bakmak yeterlidir (sürekli 5'e bölünür).
Asal Olmayan Çarpanlar: Sayı asal çarpanlara ayrılır (Örn: 6x = 2x·3x). Genellikle büyük asal çarpana göre işlem yapılır.
4. Faktöriyel - Örnek Sorular
4! + 0! + 1! toplamı kaçtır?
4! = 24. 0! = 1. 1! = 1. Toplam 24 + 1 + 1 = 26.
Cevap: C
Cevap: D
Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
C) 4! + 1! = 24 + 1 = 25 (Tek).
Cevap: C
Cevap: C
5! = 120'dir.
Pay kısmını 5! parantezine alalım: 5!(1+6) = 5!·7 = 120·7.
(120·7) / 120 = 7.
Cevap: C
(n-2)! = 1 olduğuna göre, n'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
0! = 1 ve 1! = 1'dir. n-2=0 ise n=2. n-2=1 ise n=3. Toplam 2+3=5.
Cevap: D
20! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için içindeki 5 çarpanı sayısına bakılır. 20'yi sürekli 5'e böleriz. 20/5 = 4. Bölüm (4) 5'ten küçük olduğu için dururuz. Sonuç 4.
Cevap: C
Cevap: B
50! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
50'yi sürekli 5'e böleriz. 50/5 = 10. 10/5 = 2. Bölümleri toplarız: 10+2 = 12.
Cevap: C
40! = A·3n eşitliğinde n en çok kaçtır?
40'ı sürekli 3'e böleriz. 40/3 = 13. 13/3 = 4. 4/3 = 1. Bölümleri toplarız: 13+4+1 = 18.
Cevap: C
30! = A·6n eşitliğinde n en çok kaçtır?
6=2·3. Büyük asal çarpana (3) bakılır. 30'u sürekli 3'e böleriz.
30/3=10. 10/3=3. 3/3=1. Toplam: 10+3+1=14.
Cevap: C
25! - 1 sayısının sondan kaç basamağı 9'dur?
Bir sayının sonundan 1 çıkarıldığında, sondaki sıfır sayısı kadar 9 oluşur (Örn: 1000-1=999).
25! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmalıyız. 25'i 5'e böleriz.
25/5=5. 5/5=1. Toplam 5+1=6.
Cevap: C
a ve n pozitif tam sayılardır. 15! = a·2n ise n en fazla kaçtır?
15'i sürekli 2'ye böleriz. 15/2=7. 7/2=3. 3/2=1. Toplam 7+3+1=11.
Cevap: C
20! + 21! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Toplamı paranteze alalım: 20!(1 + 21) = 20!·22.
Sıfır sayısını 5 çarpanları belirler. 20! içindeki 5 sayısı: 20/5=4.
22 içinde 5 çarpanı yoktur. Toplam 4 basamak sıfırdır.
Cevap: A
a ve b doğal sayılardır. a! = 12·b! olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Durum 1: a! = a·(b!) şeklinde düşünürsek (yani b=a-1 ise), a=12 olur (b=11).
Durum 2: Ardışık sayıların çarpımı 12 olabilir mi? 4·3=12. Bu durumda a=4 olur (b=2 olur, çünkü 4! = 4·3·2! = 12·2!).
a'nın değerleri toplamı 12+4=16.
Cevap: C
5. Sayma Sistemleri (Taban Aritmetiği)
Günlük hayatta 10'luk sistem (Desimal) kullanılır. Farklı tabanlarda sayı yazımı da mümkündür. (abc)t gösteriminde t tabandır.
Temel Kurallar ve Çevirme
Kural 1: Bir sayıda kullanılan rakamlar, tabandan daima küçük olmalıdır. (abc)t ise a, b, c < t.
Tabandan 10'luk Tabana Çevirme (Çözümleme): Her rakam bulunduğu basamağın taban kuvvetiyle çarpılır ve toplanır.
(abc)t = a·t² + b·t¹ + c·t⁰
10'luk Tabandan Başka Tabana Çevirme: Sayı, istenen tabana sürekli bölünür ve kalanlar sondan başa doğru yazılır.
5. Sayma Sistemleri - Örnek Sorular
(34)5 sayısının 10 tabanındaki karşılığı nedir?
3·5¹ + 4·5⁰ = 15 + 4 = 19.
Cevap: B
10 tabanındaki 12 sayısının 5 tabanındaki karşılığı nedir?
12'yi 5'e bölelim. Bölüm 2, Kalan 2. 2'yi 5'e bölelim. Bölüm 0, Kalan 2. Kalanlar sondan başa yazılır: (22)₅.
Cevap: A
(1011)₂ sayısının 10 tabanındaki karşılığı nedir?
1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11.
Cevap: B
(2A5)₇ sayısında A yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Rakamlar tabandan (7) küçük olmalı. A < 7. A: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 olabilir.
Toplam: 0+1+2+3+4+5+6 = 21.
Cevap: B
(123)ₓ sayısında x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Taban, sayıdaki en büyük rakamdan büyük olmalıdır. En büyük rakam 3'tür. x > 3 olmalı. En küçük x değeri 4'tür.
Cevap: D
(44)ₓ = 32 olduğuna göre, x kaçtır? (32 onluk tabandadır)
4·x¹ + 4·x⁰ = 32. 4x + 4 = 32. 4x = 28. x = 7. (x>4 olmalı, 7 uygundur).
Cevap: C
10 tabanındaki 50 sayısının 7 tabanındaki karşılığı nedir?
50'yi 7'ye bölelim. Bölüm 7, Kalan 1.
7'yi 7'ye bölelim. Bölüm 1, Kalan 0.
1'i 7'ye bölelim. Bölüm 0, Kalan 1.
Kalanları sondan başa yazalım: (101)₇.
Cevap: B
(13)₄ + (22)₄ toplamının 4 tabanındaki sonucu nedir?
Taban aritmetiğinde toplama yapılırken, toplam tabanı geçerse elde alınır.
Birler basamağı: 3+2=5. 5'in 4 ile bölümünden kalan 1'dir, elde 1 vardır.
Dörtler basamağı: 1+2=3. Elde 1 vardı. 3+1=4. 4'ün 4 ile bölümünden kalan 0'dır, elde 1 vardır.
Sonuç (101)₄.
Cevap: B
(121)ₓ = (100)₆ olduğuna göre, x kaçtır?
Her iki tarafı 10'luk tabana çevirelim.
1·x² + 2·x¹ + 1·x⁰ = 1·6² + 0·6¹ + 0·6⁰
x² + 2x + 1 = 36.
(x+1)² = 36. x+1 = 6 (Taban negatif olamaz). x=5.
Cevap: B
54 sayısı 5 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir?
t tabanında tⁿ sayısı, 1'in yanında n tane sıfır olan sayıdır. (100...0)t. Basamak sayısı n+1'dir.
5⁴ sayısının 5 tabanındaki yazılışı (10000)₅ şeklindedir. 4+1=5 basamaklıdır.
Cevap: C
x>4 olmak üzere, x² + 3x + 4 sayısının x tabanındaki yazılışı nedir?
İfade zaten x tabanına göre çözümlenmiş haldedir: 1·x² + 3·x¹ + 4·x⁰.
Katsayılar doğrudan rakamları verir: (134)ₓ. x>4 olduğu için bu rakamlar geçerlidir.
Cevap: A
(213)₅ sayısının 4 tabanındaki karşılığı nedir?
Önce 10'luk tabana çevirelim: 2·5² + 1·5¹ + 3·5⁰ = 50 + 5 + 3 = 58.
Şimdi 58'i 4 tabanına çevirelim.
58/4 = Bölüm 14, Kalan 2. 14/4 = Bölüm 3, Kalan 2. 3/4 = Bölüm 0, Kalan 3.
Sondan başa: (322)₄.
Cevap: A
(abc)₇ sayısında a rakamı 1 artırılır, c rakamı 3 azaltılırsa sayının 10 tabanındaki değeri nasıl değişir?
a rakamı 7²=49'lar basamağındadır. 1 artarsa sayı 49 artar.
c rakamı birler basamağındadır (7⁰=1). 3 azalırsa sayı 3 azalır.
Toplam değişim: +49 - 3 = 46 artar.
Cevap: A
5 tabanında yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı en büyük sayı nedir?
5 tabanında kullanılabilecek rakamlar {0, 1, 2, 3, 4}.
Rakamları farklı en büyük üç basamaklı sayı için en büyük rakamları kullanırız: 4, 3, 2.
Sayı: (432)₅.
Cevap: C
(324)₅ sayısının 10 tabanındaki değerinin birler basamağı kaçtır?
3·5² + 2·5¹ + 4·5⁰ = 75 + 10 + 4 = 89.
Birler basamağı 9'dur.
Cevap: A
6. Bölme Algoritması
A (Bölünen), B (Bölen), C (Bölüm), K (Kalan) olmak üzere, A = B·C + K işlemidir.
Temel Kurallar
Kural 1 (Kalanın Sınırı): Kalan, bölenden daima küçüktür ve negatif olamaz (0 ≤ K < B).
Kural 2 (Yer Değiştirme): Eğer kalan, bölümden küçük ise (K < C), bölen (B) ile bölüm (C) yer değiştirebilir, kalan değişmez.
Kural 3: Bir sayının x ile bölümünden kalan m, başka bir sayının x ile bölümünden kalan n ise, bu sayıların toplamının x ile bölümünden kalan m+n'dir (Eğer m+n, x'ten büyükse tekrar x'e bölünür). Çarpımlarının kalanı m·n'dir.
6. Bölme - Örnek Sorular
83 sayısının 7 ile bölümünden elde edilen bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
83 = 7·11 + 6. Bölüm 11, Kalan 6. Toplam 11+6=17.
Cevap: C
Bir bölme işleminde bölen 12, bölüm 5 ise bölünen sayı en az kaç olabilir?
A = 12·5 + K. Bölünenin en az olması için kalan en az olmalıdır. Kalan en az 0 olabilir. A = 60 + 0 = 60.
Cevap: A
Bir bölme işleminde bölen 8, bölüm 6 ise bölünen sayı en fazla kaç olabilir?
A = 8·6 + K. Kalan bölenden (8) küçük olmalı. K en fazla 7 olabilir. A = 48 + 7 = 55.
Cevap: C
A sayısının 15 ile bölümünden kalan 7'dir. A sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A = 15k + 7. 5, 15'in bir çarpanı olduğu için sadece kalanı (7) 5'e bölmek yeterlidir. 7'nin 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
Cevap: C
Doğal sayılarda yapılan bir bölme işleminde bölen x, bölüm 5, kalan 3'tür. x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Bölme kuralına göre bölen kalandan büyük olmalıdır. x > 3. x en az 4 olabilir.
Cevap: C
A sayısının 6 ile bölümünden kalan 4, B sayısının 6 ile bölümünden kalan 5'tir. A+B toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
Kalanlar toplanır: 4 + 5 = 9. 9'un 6 ile bölümünden kalan 3'tür.
Cevap: C
Toplamları 65 olan iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 7, kalan 1 oluyor. Büyük sayı kaçtır?
Büyük sayı A, küçük sayı B olsun. A+B=65. A = 7B + 1.
(7B+1) + B = 65 ⇒ 8B+1 = 65 ⇒ 8B = 64 ⇒ B=8.
A = 65 - 8 = 57.
Cevap: A
A sayısının 8 ile bölümünden kalan 3 ise, A² sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
A yerine kalanı (3) kullanabiliriz. A² yerine 3²=9 kullanılır. 9'un 8 ile bölümünden kalan 1'dir.
Cevap: A
A sayısının B ile bölümünden bölüm 4, kalan 3'tür. A+B toplamı 58 ise B kaçtır?
A = 4B + 3. (B>3 olmalı). A+B=58 denkleminde yerine koyalım.
(4B+3) + B = 58 ⇒ 5B+3 = 58 ⇒ 5B = 55 ⇒ B=11.
Cevap: C
A doğal sayısının 10 ile bölümünden bölüm x, kalan y'dir. A sayısının 5 ile bölümünden bölüm aşağıdakilerden hangisidir?
A = 10x + y (0≤y<10).
A = 5(2x) + y. A sayısını 5'e böldüğümüzde bölüm 2x olur, ancak kalan (y) 5'ten büyük olabilir.
Eğer y<5 ise (0,1,2,3,4), bölüm 2x olur.
Eğer y≥5 ise (5,6,7,8,9), y=5+r (r<5) şeklinde yazılır. A=5(2x)+5+r = 5(2x+1)+r. Bölüm 2x+1 olur.
Bölüm 2x veya 2x+1'dir.
Cevap: C
A sayısının B ile bölümü 3, kalanı 5'tir. B sayısının 4 ile bölümünden kalan 2'dir. A sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
A=3B+5. B=4k+2.
A=3(4k+2)+5 = 12k+6+5 = 12k+11.
A'nın 12 ile bölümünden kalan 11'dir.
Cevap: D
A doğal sayısı 20 ile bölündüğünde bölüm B, kalan B-3'tür. A en fazla kaç olabilir?
A = 20B + (B-3).
Kural gereği kalan bölenden küçük olmalı: B-3 < 20 ⇒ B < 23. Ayrıca kalan negatif olamaz: B-3 ≥ 0 ⇒ B ≥ 3.
A'nın en büyük olması için B en büyük seçilir. B=22.
A = 20(22) + (22-3) = 440 + 19 = 459.
Cevap: D
abc üç basamaklı, xy iki basamaklı sayılardır. abc sayısının 10 ile bölümünden kalan 5, xy sayısının 10 ile bölümünden kalan 3'tür. abc·xy çarpımının 10 ile bölümünden kalan kaçtır?
Kalanlar çarpılır: 5·3 = 15. 15'in 10 ile bölümünden kalan 5'tir.
Cevap: B
A sayısının B ile bölümünden bölüm 5, kalan 4'tür. B sayısının C ile bölümünden bölüm 6, kalan 7'dir. A sayısının 30 ile bölümünden kalan kaçtır?
Verilenlere göre denklemleri yazalım:
A = 5B + 4
B = 6C + 7
A denkleminde B'yi yerine yazalım:
A = 5(6C + 7) + 4
A = 30C + 35 + 4
A = 30C + 39
A sayısının 30 ile bölümünden kalanı bulmak için 39'u 30'a böleriz. 39 = 30·1 + 9.
A = 30C + 30 + 9 = 30(C+1) + 9. Kalan 9'dur.
Cevap: C
Beş basamaklı 12345 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Sağdan sola +, -, +, -, + kuralı uygulanır.
(+5 -4 +3 -2 +1) = (5+3+1) - (4+2) = 9 - 6 = 3. Kalan 3'tür.
Cevap: B
7. Bölünebilme Kuralları
Bir sayının başka bir sayıya kalansız (tam) bölünüp bölünmediğini anlamak için kullanılan pratik yöntemlerdir.
Temel Kurallar
- 2 ile: Birler basamağı çift (0, 2, 4, 6, 8) olmalı.
- 3 ile: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
- 4 ile: Son iki basamağı (onlar ve birler) 00 veya 4'ün katı olmalı.
- 5 ile: Birler basamağı 0 veya 5 olmalı.
- 8 ile: Son üç basamağı 8'in katı olmalı.
- 9 ile: Rakamları toplamı 9'un katı olmalı.
- 10 ile: Birler basamağı 0 olmalı.
- 11 ile: Sağdan sola +, -, +, -... ile gruplandırılıp toplandığında sonuç 11'in katı (0 dahil) olmalı.
Bileşik Kurallar ve Strateji
6 (2 ve 3), 12 (3 ve 4), 15 (3 ve 5), 30 (3 ve 10), 36 (4 ve 9), 45 (5 ve 9) gibi sayılarla bölünebilme için sayı aralarında asal çarpanlarına ayrılır. Sayı her iki kuralı da sağlamalıdır.
Öncelik Stratejisi: Sorularda daima birler basamağını veya son basamakları ilgilendiren kurallarla (2, 4, 5, 8, 10) başlanır, sonra toplama dayalı kurallara (3, 9) geçilir.
7. Bölünebilme Kuralları - Örnek Sorular
Aşağıdaki sayılardan hangisi 3 ile tam bölünür?
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
C) 9+0+1+2 = 12. 12, 3'ün katıdır.
Cevap: C
Dört basamaklı 5A23 sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 ise A kaçtır?
Rakamlar toplamı 9k+4 olmalı. 5+A+2+3 = 10+A = 9k+4.
10+A = 13 (k=1 için) ⇒ A=3. 10+A = 22 (k=2 için) ⇒ A=12 (Rakam değil).
Cevap: A
Aşağıdakilerden hangisi 4 ile tam bölünür?
Son iki basamağa bakılır. C) 24, 4'ün katıdır.
Cevap: C
Üç basamaklı 47A sayısı 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa A'nın alabileceği değerler hangileridir?
5 ile bölümünden kalan 2 ise birler basamağı (A) 2 (0+2) veya 7 (5+2) olmalıdır.
Cevap: D
Dört basamaklı 2X5Y sayısı 10 ile tam bölünüyor. Bu sayı 3 ile de tam bölündüğüne göre X kaç farklı değer alır?
10 ile tam bölünüyorsa Y=0'dır. Sayı 2X50.
3 ile tam bölünüyorsa 2+X+5+0 = 7+X = 3k olmalı.
X=2, 5, 8 olabilir. 3 farklı değer.
Cevap: B
Dört basamaklı 6A1B sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
45 ile bölünüyorsa 5 ve 9 ile bölünmelidir.
5 ile bölünüyorsa B=0 veya B=5.
Durum 1: B=0 (6A10). 9 ile bölünüyorsa 6+A+1+0 = 7+A=9k. A=2.
Durum 2: B=5 (6A15). 9 ile bölünüyorsa 6+A+1+5 = 12+A=9k. A=6.
A'nın değerleri toplamı 2+6=8.
Cevap: B
Beş basamaklı 76A3B sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre A+B en çok kaç olabilir?
36 ile bölünüyorsa 4 ve 9 ile bölünmelidir.
4 ile bölünüyorsa son iki basamak (3B) 4'ün katı olmalı. B=2 veya B=6.
Durum 1: B=2 (76A32). 9 ile bölünüyorsa 7+6+A+3+2 = 18+A=9k. A=0 veya A=9.
Durum 2: B=6 (76A36). 9 ile bölünüyorsa 7+6+A+3+6 = 22+A=9k. A=5.
A+B toplamları: (A=9, B=2) için 11. (A=5, B=6) için 11. (A=0, B=2) için 2.
En büyük toplam 11'dir.
Cevap: C
Rakamları farklı dört basamaklı 8M5N sayısı 30 ile tam bölünebiliyor. M kaç farklı değer alır?
30 ile bölünüyorsa 3 ve 10 ile bölünür.
10 ile bölünüyorsa N=0. Sayı 8M50.
3 ile bölünüyorsa 8+M+5+0 = 13+M=3k. M=2, 5, 8 olabilir.
Rakamları farklı olmalı (8, M, 5, 0). M=5 ve M=8 olamaz. Sadece M=2 olabilir. 1 farklı değer.
Cevap: A
Dört basamaklı 5A7B sayısının 5 ile bölümünden kalan 3'tür. Bu sayı 9 ile tam bölündüğüne göre A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
5 ile bölümünden kalan 3 ise B=3 veya B=8.
Durum 1: B=3 (5A73). 9 ile tam bölünüyorsa 5+A+7+3 = 15+A=9k. A=3.
Durum 2: B=8 (5A78). 9 ile tam bölünüyorsa 5+A+7+8 = 20+A=9k. A=7.
A'nın değerleri toplamı 3+7=10.
Cevap: C
Beş basamaklı 23A4B sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre A+B'nin en büyük değeri kaçtır?
12 ile bölünüyorsa 3 ve 4 ile bölünür.
4 ile bölünüyorsa son iki basamak (4B) 4'ün katı olmalı. B=0, 4, 8.
En büyük toplamı aradığımız için B'nin en büyük değerinden başlayalım.
Durum 1: B=8 (23A48). 3 ile bölünüyorsa 2+3+A+4+8 = 17+A=3k. A=1, 4, 7. En büyük A=7. A+B=7+8=15.
Durum 2: B=4 (23A44). 3 ile bölünüyorsa 2+3+A+4+4 = 13+A=3k. A=2, 5, 8. En büyük A=8. A+B=8+4=12.
Durum 3: B=0 (23A40). 3 ile bölünüyorsa 2+3+A+4+0 = 9+A=3k. A=0, 3, 6, 9. En büyük A=9. A+B=9+0=9.
En büyük değer 15'tir.
Cevap: B
A sayısının 9 ile bölümünden kalan 5, B sayısının 9 ile bölümünden kalan 7'dir. A·B+A² toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Kalanlarla işlem yapılır. A yerine 5, B yerine 7 yazılır.
A·B+A² = 5·7 + 5² = 35 + 25 = 60.
60'ın 9 ile bölümünden kalan (60=9·6+6) 6'dır.
Cevap: C
Dört basamaklı AAAA sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için A kaç farklı değer alabilir?
Rakamlar toplamı 4A = 3k olmalı. 4, 3'ün katı olmadığı için A, 3'ün katı olmalıdır.
A=3, 6, 9 olabilir. (A=0 olamaz çünkü sayı dört basamaklı olmalı).
3 farklı değer.
Cevap: B
Üç basamaklı ABC sayısı 5 ile tam bölünüyor. A=2B şartını sağlayan kaç farklı ABC sayısı yazılabilir?
5 ile tam bölünüyorsa C=0 veya C=5.
A=2B şartı için (A ve B rakam, A≠0): B=1, A=2; B=2, A=4; B=3, A=6; B=4, A=8 olabilir.
C=0 için: 210, 420, 630, 840 (4 sayı).
C=5 için: 215, 425, 635, 845 (4 sayı).
Toplam 8 farklı sayı.
Cevap: C
Dört basamaklı 3A4B sayısının 15 ile bölümünden kalan 2 ise A+B toplamının en büyük değeri kaçtır?
15 (3 ve 5) ile bölümünden kalan 2 ise, 5 ile bölümünden kalan 2, 3 ile bölümünden kalan 2'dir.
5 ile kalan 2 ise B=2 veya B=7.
Durum 1: B=7 (3A47). 3 ile kalan 2 ise 3+A+4+7 = 14+A=3k+2. 12+A=3k. A=0, 3, 6, 9. En büyük A+B=9+7=16.
Durum 2: B=2 (3A42). 3 ile kalan 2 ise 3+A+4+2 = 9+A=3k+2. A=2, 5, 8. En büyük A+B=8+2=10.
En büyük değer 16.
Cevap: A
Rakamları farklı beş basamaklı 9A5B2 sayısı 11 ile tam bölünebildiğine göre A-B farkı kaç olabilir?
11 kuralı (+, -, +, -, +): (2+5+9) - (B+A) = 11k.
16 - (A+B) = 11k.
k=0 için A+B=16. k=1 için A+B=5.
A+B=16 için: (7,9), (8,8), (9,7). Rakamlar farklı olmalı ve {9,5,2} kullanılmamalı. (7,9) olamaz (9 kullanılmış). (8,8) olamaz (farklı değil).
A+B=5 için: (5,0), (4,1), (3,2), (2,3), (1,4), (0,5). Kullanılan rakamlar {9,5,2}. (5,0), (3,2), (2,3), (0,5) olamaz. (4,1) ve (1,4) olabilir.
A=4, B=1 ise A-B=3. A=1, B=4 ise A-B=-3.
Şıklarda 3 bulunmaktadır.
Cevap: A