Ünite 3: Asal Çarpanlar, EBOB ve EKOK
Bölüm 1: Asal Çarpanlara Ayırma
Bu bölüm, sayıların yapı taşları olan asal sayıları, bir sayının nasıl asal çarpanlarına ayrılacağını ve bu çarpanlar yardımıyla bölen sayılarının nasıl bulunacağını kapsar.
1.1. Asal Sayılar ve Aralarında Asallık
Asal Sayı: Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılardır. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
- En küçük asal sayı 2'dir.
- 2'den başka çift asal sayı yoktur.
- 1 asal sayı değildir.
Aralarında Asal (Relatively Prime): İki veya daha fazla sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır.
- Örnek: 8 ve 15 aralarında asaldır. (8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8; 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15. Ortak bölen sadece 1).
- Ardışık sayılar (örn: 10 ve 11) daima aralarında asaldır.
- 1 ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır.
- Aralarında asal sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.
1.2. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi
Bir doğal sayıyı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Genellikle "bölen listesi" yöntemi kullanılır.
Örnek: 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
120 = 2·2·2·3·5 = 2³ · 3¹ · 5¹ şeklinde yazılır. 120'nin asal çarpanları (bölenleri) 2, 3 ve 5'tir.
1.3. Pozitif Bölen Sayısı (PBS) ve Diğer Bölenler
Bir sayının kaç tane böleni olduğunu bulmak için asal çarpanlara ayırma işlemi temel alınır.
A sayısı asal çarpanlarına A = xᵃ · yᵇ · zᶜ şeklinde ayrılmış olsun (x, y, z asal sayılar).
- Pozitif Bölen Sayısı (PBS): Üslerin birer fazlasının çarpımıdır. PBS = (a+1)·(b+1)·(c+1).
- Tüm Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı: Pozitif bölenler kadar negatif bölenler de vardır. 2 · PBS.
- Asal Bölenlerin Sayısı: x, y, z olmak üzere 3 tanedir.
- Asal Olmayan Pozitif Bölenlerin Sayısı: PBS - Asal Bölen Sayısı.
Örnek: 120 = 2³ · 3¹ · 5¹
PBS = (3+1)·(1+1)·(1+1) = 4·2·2 = 16. (120'yi bölen 16 pozitif sayı vardır).
Tüm bölen sayısı = 2·16 = 32.
Asal bölen sayısı = 3 (2, 3, 5).
İleri Düzey Uygulamalar
Tam Kare/Tam Küp Yapma: Bir sayıyı en küçük hangi sayıyla çarparsak sonucun tam kare (veya küp) olacağını bulmak için, asal çarpanların üslerinin 2'nin (veya 3'ün) katı olması sağlanır.
Örnek: 72 = 2³·3². Tam kare yapmak için 2³'ü 2⁴ yapmalıyız (3² zaten çift). Yani 2 ile çarpmak yeterlidir. 72·2=144 (12²).
1. Asal Çarpanlara Ayırma - Örnek Sorular
Aşağıdakilerden hangisi asal sayı değildir?
51 sayısı 3'e bölünebilir (5+1=6). 51 = 3·17. Bu nedenle asal değildir.
Cevap: D
90 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
90 = 9·10 = (3·3)·(2·5) = 2¹·3²·5¹.
Cevap: C
60 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?
60 = 6·10 = (2·3)·(2·5) = 2²·3¹·5¹.
PBS = (2+1)·(1+1)·(1+1) = 3·2·2 = 12.
Cevap: D
Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?
A) Ortak bölen 3. B) Ortak bölen 3. C) Ortak bölen 7. D) Ortak bölen 5.
E) 16=2⁴, 27=3³. Ortak asal çarpanları yoktur, dolayısıyla 1'den başka ortak bölenleri yoktur.
Cevap: E
140 sayısının asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
140 = 14·10 = (2·7)·(2·5) = 2²·5¹·7¹.
Asal bölenleri 2, 5 ve 7'dir. Toplamları 2+5+7 = 14.
Cevap: D
A = 2⁴ · 3² · 5³ olduğuna göre, A sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi çifttir?
Bir bölenin çift olması için içinde en az bir tane 2 çarpanı bulunmalıdır. A sayısını A = 2 · (2³ · 3² · 5³) şeklinde yazalım.
Parantez içindeki sayının (2³ · 3² · 5³) her pozitif böleni, baştaki 2 ile çarpıldığında A'nın çift bir bölenini verir.
Parantez içindeki sayının PBS'si: (3+1)·(2+1)·(3+1) = 4·3·4 = 48.
Alternatif Yöntem: Tüm PBS - Tek PBS.
Tüm PBS = (4+1)(2+1)(3+1) = 5·3·4 = 60.
Tek PBS (2 çarpanı hiç olmayanlar, yani 3²·5³'ün bölenleri): (2+1)(3+1) = 3·4 = 12.
Çift PBS = 60 - 12 = 48.
Cevap: B
İki basamaklı bir A sayısının 5 tane pozitif böleni olduğuna göre, A'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
PBS = 5'tir. 5 asal bir sayı olduğu için, bu sayı sadece tek bir asal sayının kuvveti şeklinde yazılabilir (çünkü (a+1)=5 olmalı).
A = x⁴ formatında olmalıdır.
x=2 için A=2⁴=16.
x=3 için A=3⁴=81.
x=4 için A=4⁴=256 (iki basamaklı değil).
En büyük değer 81'dir.
Cevap: B
a ve b aralarında asal sayılardır. a/b = 24/30 olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
a ve b aralarında asal ise, a/b kesri en sade halinde olmalıdır.
24/30 kesrini sadeleştirelim. Her iki tarafı 6'ya bölersek 4/5 olur.
a/b = 4/5. 4 ve 5 aralarında asaldır. a=4, b=5.
a+b = 4+5 = 9.
Cevap: E
180 sayısını en küçük hangi pozitif tam sayı ile çarparsak sonuç bir tam kare olur?
180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 180 = 18·10 = (2·9)·(2·5) = 2²·3²·5¹.
Bir sayının tam kare olması için tüm asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
2² (çift), 3² (çift), 5¹ (tek).
5¹'i çift yapmak için en az bir tane daha 5 ile çarpmalıyız (5² olur).
Çarpmamız gereken sayı 5'tir.
Cevap: C
x ve y pozitif tam sayılardır. 54·x = y³ olduğuna göre, x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
54'ü asal çarpanlarına ayıralım. 54 = 2·27 = 2¹·3³.
Denklem: (2¹·3³)·x = y³. Sol tarafın bir tam küp olması için üsler 3'ün katı olmalıdır.
3³ zaten 3'ün katıdır. 2¹'i 3'ün katı yapmak için 2² ile çarpmalıyız (2³ olur).
x en az 2² = 4 olmalıdır.
Bu durumda y³ = 2³·3³ = (2·3)³ = 6³. y=6 olur.
x+y = 4+6 = 10.
Cevap: B
300 sayısının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
300 = 3·100 = 3·(10²) = 3·(2·5)² = 2²·3¹·5².
Pozitif Bölen Sayısı (PBS) = (2+1)·(1+1)·(2+1) = 3·2·3 = 18.
Asal bölenler 2, 3, 5'tir (3 tane).
Asal olmayan pozitif bölen sayısı = PBS - Asal bölen sayısı = 18 - 3 = 15.
Cevap: B
x ve y aralarında asal sayılardır. x·y = 40 olduğuna göre x+y toplamı kaç farklı değer alabilir?
Çarpımları 40 olan sayı çiftlerini inceleyelim ve aralarında asal olup olmadıklarına bakalım.
1 ve 40 (Aralarında asal). Toplam=41.
2 ve 20 (Aralarında asal değil).
4 ve 10 (Aralarında asal değil).
5 ve 8 (Aralarında asal). Toplam=13.
x+y toplamı 41 ve 13 olmak üzere 2 farklı değer alabilir.
Cevap: B
(a+3) ile (b-2) aralarında asal sayılardır. 5a - 4b = -23 olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
Verilen denklemi (a+3) ve (b-2) terimlerini içerecek şekilde düzenlemeliyiz.
5a - 4b = -23
5a + 15 - 4b + 8 = -23 + 15 + 8 (Eşitliğin bozulmaması için eklenenler sağa da eklenir)
5(a+3) - 4(b-2) = 0
5(a+3) = 4(b-2)
(a+3)/(b-2) = 4/5.
4 ve 5 aralarında asaldır. (a+3) ve (b-2) de aralarında asal olduğu için doğrudan eşitlenir.
a+3=4 ⇒ a=1. b-2=5 ⇒ b=7.
a+b = 1+7 = 8.
Cevap: C
A = 12² + 24² + 36² sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?
Bu tür sorularda sayıyı hesaplamak yerine ortak paranteze alarak asal çarpanlarına ayırmak gerekir.
A = 12² + (2·12)² + (3·12)²
A = 12² + 4·12² + 9·12²
A = 12²(1 + 4 + 9) = 12² · 14.
Şimdi bu ifadeyi asal çarpanlarına ayıralım.
12 = 2²·3. 12² = (2²·3)² = 2⁴·3².
14 = 2·7.
A = (2⁴·3²) · (2·7) = 2⁵·3²·7¹.
PBS = (5+1)·(2+1)·(1+1) = 6·3·2 = 36.
Cevap: D
A = 720 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 12'nin katıdır?
720 = 72·10 = (8·9)·(2·5) = 2³·3²·2·5 = 2⁴·3²·5¹.
Bir bölenin 12'nin katı olması için içinde 12 (yani 2²·3¹) çarpanını barındırması gerekir.
A sayısını 12 çarpanını ayırarak yazalım:
A = (2²·3¹) · (2²·3¹·5¹).
Parantez içindeki sayının (2²·3¹·5¹) her pozitif böleni, baştaki 12 ile çarpıldığında A'nın 12'nin katı olan bir bölenini verir.
Parantez içindeki sayının PBS'si: (2+1)·(1+1)·(1+1) = 3·2·2 = 12.
Cevap: D
x, y, z birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, A = x²·y·z³ sayısının pozitif bölen sayısı en az kaç olabilir?
A = x²·y¹·z³. Pozitif Bölen Sayısı (PBS) formülü üslere bağlıdır, tabandaki asal sayıların büyüklüğüne bağlı değildir.
PBS = (2+1)·(1+1)·(3+1) = 3·2·4 = 24.
x, y, z'nin hangi asal sayılar olduğu (farklı olmaları şartıyla) PBS'yi değiştirmez.
Cevap: C
48! sayısının içinde kaç tane 6 çarpanı vardır?
Faktöriyel içinde asal olmayan bir çarpanın (6) sayısını bulmak için, o sayının en büyük asal çarpanına bakılır. 6 = 2·3. Büyük asal çarpan 3'tür.
48! içinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulmalıyız.
48/3 = 16. 16/3 = 5. 5/3 = 1.
Toplam = 16 + 5 + 1 = 22.
48! içinde 22 tane 3 çarpanı vardır. (2 çarpanı daha fazladır). Bu nedenle 22 tane 6 çarpanı oluşturulabilir.
Cevap: C
2a+3 ve 3b-5 aralarında asal sayılardır. (2a+3)·(3b-5) = 63 olduğuna göre, a+b toplamı kaç farklı değer alabilir?
Çarpımları 63 olan ve aralarında asal olan sayı çiftlerini bulalım.
1) 1 ve 63. 2a+3=1 ⇒ a=-1. 3b-5=63 ⇒ 3b=68 (b tam sayı değil). Veya tersi: 2a+3=63 ⇒ a=30. 3b-5=1 ⇒ b=2. Toplam=32.
2) 3 ve 21 (Aralarında asal değil).
3) 7 ve 9. 2a+3=7 ⇒ a=2. 3b-5=9 ⇒ 3b=14 (b tam sayı değil). Veya tersi: 2a+3=9 ⇒ a=3. 3b-5=7 ⇒ b=4. Toplam=7.
Toplam 32 ve 7 olmak üzere 2 farklı değer alabilir.
Cevap: B
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, 120·a = b⁴ eşitliğini sağlayan en küçük a değeri için b kaçtır?
120 = 2³·3¹·5¹.
(2³·3¹·5¹)·a = b⁴. Sol tarafın tam dördüncü kuvvet olması için üsler 4'ün katı olmalıdır.
2³ için 2¹ eksik. 3¹ için 3³ eksik. 5¹ için 5³ eksik.
a = 2¹·3³·5³ = 2·27·125 = 2700.
b⁴ = 2⁴·3⁴·5⁴ = (2·3·5)⁴ = 30⁴.
b = 30.
Cevap: C
A = 44² · 15³ sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?
Önce A'yı asal çarpanlarına ayıralım.
A = (4·11)² · (3·5)³ = (2²·11)² · 3³·5³ = 2⁴·11²·3³·5³.
Bir bölenin tam kare olması için, o bölenin asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
2 için üsler {0, 2, 4} olabilir (3 seçenek).
11 için üsler {0, 2} olabilir (2 seçenek).
3 için üsler {0, 2} olabilir (2 seçenek).
5 için üsler {0, 2} olabilir (2 seçenek).
Tam kare olan bölen sayısı = 3·2·2·2 = 24.
Cevap: C
Bölüm 2: EBOB ve EKOK
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK), sayıların birbirleriyle olan ilişkilerini anlamada ve çeşitli matematiksel problemlerde (özellikle periyodik olaylar ve paylaşım/gruplama) kullanılan temel kavramlardır.
2.1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen - GCD)
Tanım: İki veya daha fazla sayının her birini tam bölebilen en büyük pozitif tam sayıdır.
Bulunması:
1. Yöntem (Algoritma): Sayılar yan yana yazılır ve asal sayılara bölünür. Her iki sayıyı da bölen asal çarpanlar işaretlenir. İşaretli sayıların çarpımı EBOB'u verir.
2. Yöntem (Asal Çarpanlar): Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar alınır ve çarpılır.
Örnek: 24 ve 36'nın EBOB'u
24 36 | 2*
12 18 | 2*
6 9 | 2
3 9 | 3*
1 3 | 3
1
EBOB(24, 36) = 2·2·3 = 12.
Veya: 24 = 2³·3¹, 36 = 2²·3². Ortak tabanlar 2 ve 3. Küçük üsler 2² ve 3¹. EBOB = 2²·3¹ = 12.
2.2. EKOK (En Küçük Ortak Kat - LCM)
Tanım: İki veya daha fazla sayının her birine tam bölünebilen (katı olan) en küçük pozitif tam sayıdır.
Bulunması:
1. Yöntem (Algoritma): Sayılar yan yana yazılır ve asal sayılara bölünür. Listedeki tüm asal çarpanların çarpımı EKOK'u verir.
2. Yöntem (Asal Çarpanlar): Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ve ortak olmayan tüm çarpanlar alınır ve çarpılır.
Örnek: 24 ve 36'nın EKOK'u
Yukarıdaki algoritmadaki tüm sayıların çarpımı: 2·2·2·3·3 = 72.
Veya: 24 = 2³·3¹, 36 = 2²·3². Ortak tabanlar 2 ve 3. Büyük üsler 2³ ve 3². EKOK = 2³·3² = 8·9 = 72.
2.3. EBOB-EKOK Özellikleri ve İlişkisi
Temel Özellikler
- İki sayı A ve B olsun (A
- Önemli İlişki: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir. A · B = EBOB(A,B) · EKOK(A,B).
- Eğer sayılar aralarında asal ise EBOB(A,B) = 1 ve EKOK(A,B) = A·B.
- Eğer A, B'nin tam katı ise EBOB(A,B) = B (küçük sayı) ve EKOK(A,B) = A (büyük sayı).
2.4. EBOB ve EKOK Problemleri
Problem çözümlerinde hangi kavramın kullanılacağını belirlemek kritiktir:
EBOB Problemleri (Bütünden Parçaya):
- Büyük çuvallardaki ürünlerin küçük paketlere ayrılması.
- Dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın eş kare parsellere ayrılması.
- Bir kumaşın eş uzunlukta parçalara bölünmesi.
- Genellikle "en az kaç paket/parsel/ağaç gerekir?" diye sorulur.
EKOK Problemleri (Parçadan Bütüne / Döngüsel):
- Farklı zamanlarda çalan zillerin, nöbet tutan doktorların tekrar birlikte denk gelmesi.
- Küçük tuğlaların birleştirilerek büyük bir küp oluşturulması.
- Sayılara bölündüğünde belirli kalanları veren en küçük sayının bulunması.
- Genellikle "en erken ne zaman karşılaşırlar?" veya "en küçük yapı kaç tuğladan oluşur?" diye sorulur.
2. EBOB ve EKOK - Örnek Sorular
48 ve 60 sayılarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) kaçtır?
48 = 2⁴·3¹. 60 = 2²·3¹·5¹.
EBOB için ortak tabanların (2 ve 3) en küçük üsleri alınır: 2²·3¹ = 4·3 = 12.
Cevap: C
12 ve 15 sayılarının En Küçük Ortak Katı (EKOK) kaçtır?
12 = 2²·3¹. 15 = 3¹·5¹.
EKOK için tüm tabanların (2, 3, 5) en büyük üsleri alınır: 2²·3¹·5¹ = 4·3·5 = 60.
Cevap: C
A ve B iki doğal sayıdır. EBOB(A,B)=5 ve EKOK(A,B)=60 olduğuna göre A·B çarpımı kaçtır?
Kural gereği A·B = EBOB(A,B) · EKOK(A,B).
A·B = 5 · 60 = 300.
Cevap: D
8 ve 9 sayılarının EBOB'u ile EKOK'unun toplamı kaçtır?
8 ve 9 ardışık sayılardır, dolayısıyla aralarında asaldır.
Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir.
Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarıdır: 8·9=72.
Toplam = 1 + 72 = 73.
Cevap: C
Biri 6 günde bir, diğeri 8 günde bir nöbet tutan iki asker, birlikte nöbet tuttuktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar?
Bu bir EKOK problemidir. 6 ve 8'in en küçük ortak katını bulmalıyız.
EKOK(6, 8) = 24.
Cevap: C
A = 2³·3²·5¹ ve B = 2²·3³·7¹ olduğuna göre EBOB(A, B) kaçtır?
EBOB bulunurken ortak tabanların (2 ve 3) en küçük üsleri alınır.
2 için küçük üs 2²'dir. 3 için küçük üs 3²'dir.
EBOB(A, B) = 2²·3² = 4·9 = 36.
Cevap: C
A = 2³·3²·5¹ ve B = 2²·3³·7¹ olduğuna göre EKOK(A, B) kaçtır?
EKOK bulunurken tüm tabanların (2, 3, 5, 7) en büyük üsleri alınır.
2 için büyük üs 2³. 3 için büyük üs 3³. 5 için 5¹. 7 için 7¹.
EKOK(A, B) = 2³·3³·5¹·7¹ = 8·27·5·7 = 7560.
Cevap: D
A ve B pozitif tam sayılardır. EBOB(A,B)=6 ve EKOK(A,B)=72 olduğuna göre A+B toplamı en az kaçtır?
EBOB(A,B)=6 ise A=6x ve B=6y'dir. Burada x ve y aralarında asal olmalıdır.
EKOK(A,B) = EKOK(6x, 6y) = 6·x·y = 72.
x·y = 12.
Toplamın (A+B = 6(x+y)) en az olması için x ve y birbirine en yakın ve aralarında asal seçilmelidir.
x=3, y=4 seçilir.
A=6·3=18. B=6·4=24.
A+B = 18+24 = 42.
Cevap: D
Kenar uzunlukları 40m ve 56m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarla, eş kare parsellere ayrılacaktır. En az kaç parsel oluşur?
Bu bir EBOB problemidir (Bütünden parçaya). En az parsel için karelerin kenar uzunluğu en büyük olmalıdır.
Karenin kenarı = EBOB(40, 56).
EBOB(40, 56) = 8m.
Parsel Sayısı = Toplam Alan / Bir Parsel Alanı = (40·56) / (8·8).
Parsel Sayısı = (40/8) · (56/8) = 5 · 7 = 35.
Cevap: D
Boyutları 4cm, 6cm ve 10cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalar kullanılarak en küçük hacimli bir küp yapılmak isteniyor. Kaç tuğla gereklidir?
Bu bir EKOK problemidir (Parçadan bütüne). Küpün bir kenar uzunluğu, tuğla boyutlarının en küçük ortak katı olmalıdır.
Küpün kenarı = EKOK(4, 6, 10).
EKOK(4, 6, 10) = 60cm.
Tuğla Sayısı = Küpün Hacmi / Bir Tuğla Hacmi = (60·60·60) / (4·6·10).
Tuğla Sayısı = (60/4) · (60/6) · (60/10) = 15 · 10 · 6 = 900.
Cevap: E
A ve B farklı pozitif tam sayılardır. EKOK(A,B) = 50 olduğuna göre A+B toplamının en büyük değeri kaçtır?
EKOK'u 50 olan sayıların toplamının en büyük olması için sayılar mümkün olduğunca büyük seçilmelidir.
En büyük sayı EKOK'un kendisidir (50).
Diğer sayı, EKOK'u değiştirmeyecek şekilde ondan farklı en büyük sayı olmalıdır. Bu genellikle EKOK'un en büyük asal çarpana bölünmesiyle bulunur. 50/2 = 25.
A=50, B=25. EKOK(50, 25)=50.
Toplam = 50 + 25 = 75.
Cevap: B
A ve B pozitif tam sayılardır. EBOB(A,B) = 8 olduğuna göre A+B toplamı en az kaçtır?
EBOB(A,B)=8 ise A=8x, B=8y (x ve y aralarında asal).
Toplamın (8(x+y)) en az olması için x ve y en küçük seçilmelidir.
x=1, y=1 seçilebilir (Sayıların farklı olduğu belirtilmemiş).
A=8, B=8. Toplam = 16.
(Eğer farklı deseydi x=1, y=2 seçilirdi. Toplam 8(1+2)=24 olurdu).
Cevap: B
EKOK(1/3, 3/4) kaçtır?
Rasyonel sayıların EKOK'u bulunurken şu formül kullanılır:
EKOK(a/b, c/d) = EKOK(a, c) / EBOB(b, d).
EKOK(1/3, 3/4) = EKOK(1, 3) / EBOB(3, 4).
EKOK(1, 3) = 3. EBOB(3, 4) = 1.
Sonuç = 3/1 = 3.
Cevap: D
Kenar uzunlukları 72m ve 90m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına ve köşelerine eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç gereklidir?
En az ağaç için aralık en büyük olmalıdır. Bu bir EBOB problemidir.
Aralık = EBOB(72, 90) = 18m.
Ağaç Sayısı = Çevre / Aralık.
Çevre = 2·(72+90) = 2·162 = 324m.
Ağaç Sayısı = 324 / 18 = 18.
Cevap: B
Bir sepetteki güller 5'erli sayıldığında 2 gül, 6'şarlı sayıldığında 3 gül artmaktadır. Sepetteki gül sayısı en az kaçtır?
Gül sayısına A diyelim. A = 5k+2 ve A = 6m+3.
Bölenler ile kalanlar arasındaki farka bakalım: 5-2=3, 6-3=3. Fark sabittir.
Eğer sepete 3 gül daha ekleseydik (A+3), sayı hem 5'e hem de 6'ya tam bölünecekti.
A+3 = EKOK(5, 6)·Kat.
EKOK(5, 6) = 30.
A+3 = 30k. En az için k=1 alınır. A+3=30 ⇒ A=27.
Cevap: B
A, B, C pozitif tam sayılardır. EBOB(A,B)=4, EBOB(B,C)=6 olduğuna göre A+B+C toplamı en az kaçtır?
B sayısı hem 4'ün hem de 6'nın katı olmalıdır. B en az EKOK(4,6)=12 olabilir.
B=12 alalım.
EBOB(A,12)=4. A en az 4 olabilir (A=4 seçersek EBOB sağlanır).
EBOB(12,C)=6. C en az 6 olabilir (C=6 seçersek EBOB sağlanır).
En küçük toplam A+B+C = 4+12+6 = 22.
Cevap: B
x ve y pozitif tam sayılardır. EBOB(x,y)=5 ve x/y = 3/4 olduğuna göre EKOK(x,y) kaçtır?
EBOB(x,y)=5 ise x=5a, y=5b (a ve b aralarında asal).
x/y = (5a)/(5b) = a/b.
a/b = 3/4. 3 ve 4 aralarında asal olduğu için a=3, b=4.
x=5·3=15. y=5·4=20.
EKOK(15, 20) = 60.
Cevap: D
Bir A sayısı 4, 5 ve 6 ile bölündüğünde her seferinde 3 kalanını vermektedir. A sayısı 200'den küçük olduğuna göre en büyük A değeri kaçtır?
A = 4k+3 = 5m+3 = 6n+3.
A-3 = 4k = 5m = 6n. A-3 sayısı 4, 5 ve 6'nın ortak katıdır.
EKOK(4, 5, 6) = 60.
A-3 = 60·Kat.
A < 200 olmalı.
Kat=1 için A-3=60, A=63.
Kat=2 için A-3=120, A=123.
Kat=3 için A-3=180, A=183.
Kat=4 için A-3=240 (200'ü geçer).
En büyük A değeri 183'tür.
Cevap: C
x ve y pozitif tam sayılarının EBOB'u 7'dir. x+y=56 olduğuna göre kaç farklı (x,y) ikilisi vardır?
EBOB(x,y)=7 ise x=7a, y=7b (a ve b aralarında asal).
x+y = 7a+7b = 7(a+b) = 56.
a+b = 8.
Toplamı 8 olan ve aralarında asal olan (a,b) çiftlerini bulmalıyız.
(1, 7) - Aralarında asal.
(2, 6) - Aralarında asal değil.
(3, 5) - Aralarında asal.
(4, 4) - Aralarında asal değil.
(5, 3) - Aralarında asal.
(6, 2) - Aralarında asal değil.
(7, 1) - Aralarında asal.
4 farklı (a,b) çifti vardır, dolayısıyla 4 farklı (x,y) ikilisi vardır.
Cevap: C
48 litre zeytinyağı, 60 litre ayçiçek yağı ve 78 litre mısırözü yağı birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere doldurulacaktır. Bu iş için en az kaç şişe gereklidir?
Bu bir EBOB problemidir. En az şişe için şişe hacmi en büyük olmalıdır.
Şişe Hacmi = EBOB(48, 60, 78).
48=2⁴·3. 60=2²·3·5. 78=2·3·13.
EBOB = 2¹·3¹ = 6 litre.
Şişe Sayısı = Toplam Hacim / Şişe Hacmi = (48+60+78)/6.
Şişe Sayısı = 48/6 + 60/6 + 78/6 = 8 + 10 + 13 = 31.
Cevap: D
Ünite 3: Asal Çarpanlar, EBOB ve EKOK
Bölüm 1: Asal Çarpanlara Ayırma
Bu bölüm, sayıların yapı taşları olan asal sayıları, bir sayının nasıl asal çarpanlarına ayrılacağını ve bu çarpanlar yardımıyla bölen sayılarının nasıl bulunacağını kapsar.
1.1. Asal Sayılar ve Aralarında Asallık
Asal Sayı: Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılardır. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
- En küçük asal sayı 2'dir.
- 2'den başka çift asal sayı yoktur.
- 1 asal sayı değildir.
Aralarında Asal (Relatively Prime): İki veya daha fazla sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır.
- Örnek: 8 ve 15 aralarında asaldır. (8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8; 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15. Ortak bölen sadece 1).
- Ardışık sayılar (örn: 10 ve 11) daima aralarında asaldır.
- 1 ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır.
- Aralarında asal sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.
1.2. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi
Bir doğal sayıyı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Genellikle "bölen listesi" yöntemi kullanılır.
Örnek: 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
120 = 2·2·2·3·5 = 2³ · 3¹ · 5¹ şeklinde yazılır. 120'nin asal çarpanları (bölenleri) 2, 3 ve 5'tir.
1.3. Pozitif Bölen Sayısı (PBS) ve Diğer Bölenler
Bir sayının kaç tane böleni olduğunu bulmak için asal çarpanlara ayırma işlemi temel alınır.
A sayısı asal çarpanlarına A = xᵃ · yᵇ · zᶜ şeklinde ayrılmış olsun (x, y, z asal sayılar).
- Pozitif Bölen Sayısı (PBS): Üslerin birer fazlasının çarpımıdır. PBS = (a+1)·(b+1)·(c+1).
- Tüm Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı: Pozitif bölenler kadar negatif bölenler de vardır. 2 · PBS.
- Asal Bölenlerin Sayısı: x, y, z olmak üzere 3 tanedir.
- Asal Olmayan Pozitif Bölenlerin Sayısı: PBS - Asal Bölen Sayısı.
Örnek: 120 = 2³ · 3¹ · 5¹
PBS = (3+1)·(1+1)·(1+1) = 4·2·2 = 16. (120'yi bölen 16 pozitif sayı vardır).
Tüm bölen sayısı = 2·16 = 32.
Asal bölen sayısı = 3 (2, 3, 5).
İleri Düzey Uygulamalar
Tam Kare/Tam Küp Yapma: Bir sayıyı en küçük hangi sayıyla çarparsak sonucun tam kare (veya küp) olacağını bulmak için, asal çarpanların üslerinin 2'nin (veya 3'ün) katı olması sağlanır.
Örnek: 72 = 2³·3². Tam kare yapmak için 2³'ü 2⁴ yapmalıyız (3² zaten çift). Yani 2 ile çarpmak yeterlidir. 72·2=144 (12²).
1. Asal Çarpanlara Ayırma - Örnek Sorular
Aşağıdakilerden hangisi asal sayı değildir?
51 sayısı 3'e bölünebilir (5+1=6). 51 = 3·17. Bu nedenle asal değildir.
Cevap: D
90 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
90 = 9·10 = (3·3)·(2·5) = 2¹·3²·5¹.
Cevap: C
60 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?
60 = 6·10 = (2·3)·(2·5) = 2²·3¹·5¹.
PBS = (2+1)·(1+1)·(1+1) = 3·2·2 = 12.
Cevap: D
Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?
A) Ortak bölen 3. B) Ortak bölen 3. C) Ortak bölen 7. D) Ortak bölen 5.
E) 16=2⁴, 27=3³. Ortak asal çarpanları yoktur, dolayısıyla 1'den başka ortak bölenleri yoktur.
Cevap: E
140 sayısının asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
140 = 14·10 = (2·7)·(2·5) = 2²·5¹·7¹.
Asal bölenleri 2, 5 ve 7'dir. Toplamları 2+5+7 = 14.
Cevap: D
A = 2⁴ · 3² · 5³ olduğuna göre, A sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi çifttir?
Bir bölenin çift olması için içinde en az bir tane 2 çarpanı bulunmalıdır. A sayısını A = 2 · (2³ · 3² · 5³) şeklinde yazalım.
Parantez içindeki sayının (2³ · 3² · 5³) her pozitif böleni, baştaki 2 ile çarpıldığında A'nın çift bir bölenini verir.
Parantez içindeki sayının PBS'si: (3+1)·(2+1)·(3+1) = 4·3·4 = 48.
Alternatif Yöntem: Tüm PBS - Tek PBS.
Tüm PBS = (4+1)(2+1)(3+1) = 5·3·4 = 60.
Tek PBS (2 çarpanı hiç olmayanlar, yani 3²·5³'ün bölenleri): (2+1)(3+1) = 3·4 = 12.
Çift PBS = 60 - 12 = 48.
Cevap: B
İki basamaklı bir A sayısının 5 tane pozitif böleni olduğuna göre, A'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
PBS = 5'tir. 5 asal bir sayı olduğu için, bu sayı sadece tek bir asal sayının kuvveti şeklinde yazılabilir (çünkü (a+1)=5 olmalı).
A = x⁴ formatında olmalıdır.
x=2 için A=2⁴=16.
x=3 için A=3⁴=81.
x=4 için A=4⁴=256 (iki basamaklı değil).
En büyük değer 81'dir.
Cevap: B
a ve b aralarında asal sayılardır. a/b = 24/30 olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
a ve b aralarında asal ise, a/b kesri en sade halinde olmalıdır.
24/30 kesrini sadeleştirelim. Her iki tarafı 6'ya bölersek 4/5 olur.
a/b = 4/5. 4 ve 5 aralarında asaldır. a=4, b=5.
a+b = 4+5 = 9.
Cevap: E
180 sayısını en küçük hangi pozitif tam sayı ile çarparsak sonuç bir tam kare olur?
180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 180 = 18·10 = (2·9)·(2·5) = 2²·3²·5¹.
Bir sayının tam kare olması için tüm asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
2² (çift), 3² (çift), 5¹ (tek).
5¹'i çift yapmak için en az bir tane daha 5 ile çarpmalıyız (5² olur).
Çarpmamız gereken sayı 5'tir.
Cevap: C
x ve y pozitif tam sayılardır. 54·x = y³ olduğuna göre, x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
54'ü asal çarpanlarına ayıralım. 54 = 2·27 = 2¹·3³.
Denklem: (2¹·3³)·x = y³. Sol tarafın bir tam küp olması için üsler 3'ün katı olmalıdır.
3³ zaten 3'ün katıdır. 2¹'i 3'ün katı yapmak için 2² ile çarpmalıyız (2³ olur).
x en az 2² = 4 olmalıdır.
Bu durumda y³ = 2³·3³ = (2·3)³ = 6³. y=6 olur.
x+y = 4+6 = 10.
Cevap: B
300 sayısının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
300 = 3·100 = 3·(10²) = 3·(2·5)² = 2²·3¹·5².
Pozitif Bölen Sayısı (PBS) = (2+1)·(1+1)·(2+1) = 3·2·3 = 18.
Asal bölenler 2, 3, 5'tir (3 tane).
Asal olmayan pozitif bölen sayısı = PBS - Asal bölen sayısı = 18 - 3 = 15.
Cevap: B
x ve y aralarında asal sayılardır. x·y = 40 olduğuna göre x+y toplamı kaç farklı değer alabilir?
Çarpımları 40 olan sayı çiftlerini inceleyelim ve aralarında asal olup olmadıklarına bakalım.
1 ve 40 (Aralarında asal). Toplam=41.
2 ve 20 (Aralarında asal değil).
4 ve 10 (Aralarında asal değil).
5 ve 8 (Aralarında asal). Toplam=13.
x+y toplamı 41 ve 13 olmak üzere 2 farklı değer alabilir.
Cevap: B
(a+3) ile (b-2) aralarında asal sayılardır. 5a - 4b = -23 olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
Verilen denklemi (a+3) ve (b-2) terimlerini içerecek şekilde düzenlemeliyiz.
5a - 4b = -23
5a + 15 - 4b + 8 = -23 + 15 + 8 (Eşitliğin bozulmaması için eklenenler sağa da eklenir)
5(a+3) - 4(b-2) = 0
5(a+3) = 4(b-2)
(a+3)/(b-2) = 4/5.
4 ve 5 aralarında asaldır. (a+3) ve (b-2) de aralarında asal olduğu için doğrudan eşitlenir.
a+3=4 ⇒ a=1. b-2=5 ⇒ b=7.
a+b = 1+7 = 8.
Cevap: C
A = 12² + 24² + 36² sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?
Bu tür sorularda sayıyı hesaplamak yerine ortak paranteze alarak asal çarpanlarına ayırmak gerekir.
A = 12² + (2·12)² + (3·12)²
A = 12² + 4·12² + 9·12²
A = 12²(1 + 4 + 9) = 12² · 14.
Şimdi bu ifadeyi asal çarpanlarına ayıralım.
12 = 2²·3. 12² = (2²·3)² = 2⁴·3².
14 = 2·7.
A = (2⁴·3²) · (2·7) = 2⁵·3²·7¹.
PBS = (5+1)·(2+1)·(1+1) = 6·3·2 = 36.
Cevap: D
A = 720 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 12'nin katıdır?
720 = 72·10 = (8·9)·(2·5) = 2³·3²·2·5 = 2⁴·3²·5¹.
Bir bölenin 12'nin katı olması için içinde 12 (yani 2²·3¹) çarpanını barındırması gerekir.
A sayısını 12 çarpanını ayırarak yazalım:
A = (2²·3¹) · (2²·3¹·5¹).
Parantez içindeki sayının (2²·3¹·5¹) her pozitif böleni, baştaki 12 ile çarpıldığında A'nın 12'nin katı olan bir bölenini verir.
Parantez içindeki sayının PBS'si: (2+1)·(1+1)·(1+1) = 3·2·2 = 12.
Cevap: D
x, y, z birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, A = x²·y·z³ sayısının pozitif bölen sayısı en az kaç olabilir?
A = x²·y¹·z³. Pozitif Bölen Sayısı (PBS) formülü üslere bağlıdır, tabandaki asal sayıların büyüklüğüne bağlı değildir.
PBS = (2+1)·(1+1)·(3+1) = 3·2·4 = 24.
x, y, z'nin hangi asal sayılar olduğu (farklı olmaları şartıyla) PBS'yi değiştirmez.
Cevap: C
48! sayısının içinde kaç tane 6 çarpanı vardır?
Faktöriyel içinde asal olmayan bir çarpanın (6) sayısını bulmak için, o sayının en büyük asal çarpanına bakılır. 6 = 2·3. Büyük asal çarpan 3'tür.
48! içinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulmalıyız.
48/3 = 16. 16/3 = 5. 5/3 = 1.
Toplam = 16 + 5 + 1 = 22.
48! içinde 22 tane 3 çarpanı vardır. (2 çarpanı daha fazladır). Bu nedenle 22 tane 6 çarpanı oluşturulabilir.
Cevap: C
2a+3 ve 3b-5 aralarında asal sayılardır. (2a+3)·(3b-5) = 63 olduğuna göre, a+b toplamı kaç farklı değer alabilir?
Çarpımları 63 olan ve aralarında asal olan sayı çiftlerini bulalım.
1) 1 ve 63. 2a+3=1 ⇒ a=-1. 3b-5=63 ⇒ 3b=68 (b tam sayı değil). Veya tersi: 2a+3=63 ⇒ a=30. 3b-5=1 ⇒ b=2. Toplam=32.
2) 3 ve 21 (Aralarında asal değil).
3) 7 ve 9. 2a+3=7 ⇒ a=2. 3b-5=9 ⇒ 3b=14 (b tam sayı değil). Veya tersi: 2a+3=9 ⇒ a=3. 3b-5=7 ⇒ b=4. Toplam=7.
Toplam 32 ve 7 olmak üzere 2 farklı değer alabilir.
Cevap: B
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, 120·a = b⁴ eşitliğini sağlayan en küçük a değeri için b kaçtır?
120 = 2³·3¹·5¹.
(2³·3¹·5¹)·a = b⁴. Sol tarafın tam dördüncü kuvvet olması için üsler 4'ün katı olmalıdır.
2³ için 2¹ eksik. 3¹ için 3³ eksik. 5¹ için 5³ eksik.
a = 2¹·3³·5³ = 2·27·125 = 2700.
b⁴ = 2⁴·3⁴·5⁴ = (2·3·5)⁴ = 30⁴.
b = 30.
Cevap: C
A = 44² · 15³ sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?
Önce A'yı asal çarpanlarına ayıralım.
A = (4·11)² · (3·5)³ = (2²·11)² · 3³·5³ = 2⁴·11²·3³·5³.
Bir bölenin tam kare olması için, o bölenin asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
2 için üsler {0, 2, 4} olabilir (3 seçenek).
11 için üsler {0, 2} olabilir (2 seçenek).
3 için üsler {0, 2} olabilir (2 seçenek).
5 için üsler {0, 2} olabilir (2 seçenek).
Tam kare olan bölen sayısı = 3·2·2·2 = 24.
Cevap: C
Bölüm 2: EBOB ve EKOK
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK), sayıların birbirleriyle olan ilişkilerini anlamada ve çeşitli matematiksel problemlerde (özellikle periyodik olaylar ve paylaşım/gruplama) kullanılan temel kavramlardır.
2.1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen - GCD)
Tanım: İki veya daha fazla sayının her birini tam bölebilen en büyük pozitif tam sayıdır.
Bulunması:
1. Yöntem (Algoritma): Sayılar yan yana yazılır ve asal sayılara bölünür. Her iki sayıyı da bölen asal çarpanlar işaretlenir. İşaretli sayıların çarpımı EBOB'u verir.
2. Yöntem (Asal Çarpanlar): Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar alınır ve çarpılır.
Örnek: 24 ve 36'nın EBOB'u
24 36 | 2*
12 18 | 2*
6 9 | 2
3 9 | 3*
1 3 | 3
1
EBOB(24, 36) = 2·2·3 = 12.
Veya: 24 = 2³·3¹, 36 = 2²·3². Ortak tabanlar 2 ve 3. Küçük üsler 2² ve 3¹. EBOB = 2²·3¹ = 12.
2.2. EKOK (En Küçük Ortak Kat - LCM)
Tanım: İki veya daha fazla sayının her birine tam bölünebilen (katı olan) en küçük pozitif tam sayıdır.
Bulunması:
1. Yöntem (Algoritma): Sayılar yan yana yazılır ve asal sayılara bölünür. Listedeki tüm asal çarpanların çarpımı EKOK'u verir.
2. Yöntem (Asal Çarpanlar): Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ve ortak olmayan tüm çarpanlar alınır ve çarpılır.
Örnek: 24 ve 36'nın EKOK'u
Yukarıdaki algoritmadaki tüm sayıların çarpımı: 2·2·2·3·3 = 72.
Veya: 24 = 2³·3¹, 36 = 2²·3². Ortak tabanlar 2 ve 3. Büyük üsler 2³ ve 3². EKOK = 2³·3² = 8·9 = 72.
2.3. EBOB-EKOK Özellikleri ve İlişkisi
Temel Özellikler
- İki sayı A ve B olsun (A
- Önemli İlişki: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir. A · B = EBOB(A,B) · EKOK(A,B).
- Eğer sayılar aralarında asal ise EBOB(A,B) = 1 ve EKOK(A,B) = A·B.
- Eğer A, B'nin tam katı ise EBOB(A,B) = B (küçük sayı) ve EKOK(A,B) = A (büyük sayı).
2.4. EBOB ve EKOK Problemleri
Problem çözümlerinde hangi kavramın kullanılacağını belirlemek kritiktir:
EBOB Problemleri (Bütünden Parçaya):
- Büyük çuvallardaki ürünlerin küçük paketlere ayrılması.
- Dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın eş kare parsellere ayrılması.
- Bir kumaşın eş uzunlukta parçalara bölünmesi.
- Genellikle "en az kaç paket/parsel/ağaç gerekir?" diye sorulur.
EKOK Problemleri (Parçadan Bütüne / Döngüsel):
- Farklı zamanlarda çalan zillerin, nöbet tutan doktorların tekrar birlikte denk gelmesi.
- Küçük tuğlaların birleştirilerek büyük bir küp oluşturulması.
- Sayılara bölündüğünde belirli kalanları veren en küçük sayının bulunması.
- Genellikle "en erken ne zaman karşılaşırlar?" veya "en küçük yapı kaç tuğladan oluşur?" diye sorulur.
2. EBOB ve EKOK - Örnek Sorular
48 ve 60 sayılarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) kaçtır?
48 = 2⁴·3¹. 60 = 2²·3¹·5¹.
EBOB için ortak tabanların (2 ve 3) en küçük üsleri alınır: 2²·3¹ = 4·3 = 12.
Cevap: C
12 ve 15 sayılarının En Küçük Ortak Katı (EKOK) kaçtır?
12 = 2²·3¹. 15 = 3¹·5¹.
EKOK için tüm tabanların (2, 3, 5) en büyük üsleri alınır: 2²·3¹·5¹ = 4·3·5 = 60.
Cevap: C
A ve B iki doğal sayıdır. EBOB(A,B)=5 ve EKOK(A,B)=60 olduğuna göre A·B çarpımı kaçtır?
Kural gereği A·B = EBOB(A,B) · EKOK(A,B).
A·B = 5 · 60 = 300.
Cevap: D
8 ve 9 sayılarının EBOB'u ile EKOK'unun toplamı kaçtır?
8 ve 9 ardışık sayılardır, dolayısıyla aralarında asaldır.
Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir.
Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarıdır: 8·9=72.
Toplam = 1 + 72 = 73.
Cevap: C
Biri 6 günde bir, diğeri 8 günde bir nöbet tutan iki asker, birlikte nöbet tuttuktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar?
Bu bir EKOK problemidir. 6 ve 8'in en küçük ortak katını bulmalıyız.
EKOK(6, 8) = 24.
Cevap: C
A = 2³·3²·5¹ ve B = 2²·3³·7¹ olduğuna göre EBOB(A, B) kaçtır?
EBOB bulunurken ortak tabanların (2 ve 3) en küçük üsleri alınır.
2 için küçük üs 2²'dir. 3 için küçük üs 3²'dir.
EBOB(A, B) = 2²·3² = 4·9 = 36.
Cevap: C
A = 2³·3²·5¹ ve B = 2²·3³·7¹ olduğuna göre EKOK(A, B) kaçtır?
EKOK bulunurken tüm tabanların (2, 3, 5, 7) en büyük üsleri alınır.
2 için büyük üs 2³. 3 için büyük üs 3³. 5 için 5¹. 7 için 7¹.
EKOK(A, B) = 2³·3³·5¹·7¹ = 8·27·5·7 = 7560.
Cevap: D
A ve B pozitif tam sayılardır. EBOB(A,B)=6 ve EKOK(A,B)=72 olduğuna göre A+B toplamı en az kaçtır?
EBOB(A,B)=6 ise A=6x ve B=6y'dir. Burada x ve y aralarında asal olmalıdır.
EKOK(A,B) = EKOK(6x, 6y) = 6·x·y = 72.
x·y = 12.
Toplamın (A+B = 6(x+y)) en az olması için x ve y birbirine en yakın ve aralarında asal seçilmelidir.
x=3, y=4 seçilir.
A=6·3=18. B=6·4=24.
A+B = 18+24 = 42.
Cevap: D
Kenar uzunlukları 40m ve 56m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarla, eş kare parsellere ayrılacaktır. En az kaç parsel oluşur?
Bu bir EBOB problemidir (Bütünden parçaya). En az parsel için karelerin kenar uzunluğu en büyük olmalıdır.
Karenin kenarı = EBOB(40, 56).
EBOB(40, 56) = 8m.
Parsel Sayısı = Toplam Alan / Bir Parsel Alanı = (40·56) / (8·8).
Parsel Sayısı = (40/8) · (56/8) = 5 · 7 = 35.
Cevap: D
Boyutları 4cm, 6cm ve 10cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalar kullanılarak en küçük hacimli bir küp yapılmak isteniyor. Kaç tuğla gereklidir?
Bu bir EKOK problemidir (Parçadan bütüne). Küpün bir kenar uzunluğu, tuğla boyutlarının en küçük ortak katı olmalıdır.
Küpün kenarı = EKOK(4, 6, 10).
EKOK(4, 6, 10) = 60cm.
Tuğla Sayısı = Küpün Hacmi / Bir Tuğla Hacmi = (60·60·60) / (4·6·10).
Tuğla Sayısı = (60/4) · (60/6) · (60/10) = 15 · 10 · 6 = 900.
Cevap: E
A ve B farklı pozitif tam sayılardır. EKOK(A,B) = 50 olduğuna göre A+B toplamının en büyük değeri kaçtır?
EKOK'u 50 olan sayıların toplamının en büyük olması için sayılar mümkün olduğunca büyük seçilmelidir.
En büyük sayı EKOK'un kendisidir (50).
Diğer sayı, EKOK'u değiştirmeyecek şekilde ondan farklı en büyük sayı olmalıdır. Bu genellikle EKOK'un en büyük asal çarpana bölünmesiyle bulunur. 50/2 = 25.
A=50, B=25. EKOK(50, 25)=50.
Toplam = 50 + 25 = 75.
Cevap: B
A ve B pozitif tam sayılardır. EBOB(A,B) = 8 olduğuna göre A+B toplamı en az kaçtır?
EBOB(A,B)=8 ise A=8x, B=8y (x ve y aralarında asal).
Toplamın (8(x+y)) en az olması için x ve y en küçük seçilmelidir.
x=1, y=1 seçilebilir (Sayıların farklı olduğu belirtilmemiş).
A=8, B=8. Toplam = 16.
(Eğer farklı deseydi x=1, y=2 seçilirdi. Toplam 8(1+2)=24 olurdu).
Cevap: B
EKOK(1/3, 3/4) kaçtır?
Rasyonel sayıların EKOK'u bulunurken şu formül kullanılır:
EKOK(a/b, c/d) = EKOK(a, c) / EBOB(b, d).
EKOK(1/3, 3/4) = EKOK(1, 3) / EBOB(3, 4).
EKOK(1, 3) = 3. EBOB(3, 4) = 1.
Sonuç = 3/1 = 3.
Cevap: D
Kenar uzunlukları 72m ve 90m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına ve köşelerine eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç gereklidir?
En az ağaç için aralık en büyük olmalıdır. Bu bir EBOB problemidir.
Aralık = EBOB(72, 90) = 18m.
Ağaç Sayısı = Çevre / Aralık.
Çevre = 2·(72+90) = 2·162 = 324m.
Ağaç Sayısı = 324 / 18 = 18.
Cevap: B
Bir sepetteki güller 5'erli sayıldığında 2 gül, 6'şarlı sayıldığında 3 gül artmaktadır. Sepetteki gül sayısı en az kaçtır?
Gül sayısına A diyelim. A = 5k+2 ve A = 6m+3.
Bölenler ile kalanlar arasındaki farka bakalım: 5-2=3, 6-3=3. Fark sabittir.
Eğer sepete 3 gül daha ekleseydik (A+3), sayı hem 5'e hem de 6'ya tam bölünecekti.
A+3 = EKOK(5, 6)·Kat.
EKOK(5, 6) = 30.
A+3 = 30k. En az için k=1 alınır. A+3=30 ⇒ A=27.
Cevap: B
A, B, C pozitif tam sayılardır. EBOB(A,B)=4, EBOB(B,C)=6 olduğuna göre A+B+C toplamı en az kaçtır?
B sayısı hem 4'ün hem de 6'nın katı olmalıdır. B en az EKOK(4,6)=12 olabilir.
B=12 alalım.
EBOB(A,12)=4. A en az 4 olabilir (A=4 seçersek EBOB sağlanır).
EBOB(12,C)=6. C en az 6 olabilir (C=6 seçersek EBOB sağlanır).
En küçük toplam A+B+C = 4+12+6 = 22.
Cevap: B
x ve y pozitif tam sayılardır. EBOB(x,y)=5 ve x/y = 3/4 olduğuna göre EKOK(x,y) kaçtır?
EBOB(x,y)=5 ise x=5a, y=5b (a ve b aralarında asal).
x/y = (5a)/(5b) = a/b.
a/b = 3/4. 3 ve 4 aralarında asal olduğu için a=3, b=4.
x=5·3=15. y=5·4=20.
EKOK(15, 20) = 60.
Cevap: D
Bir A sayısı 4, 5 ve 6 ile bölündüğünde her seferinde 3 kalanını vermektedir. A sayısı 200'den küçük olduğuna göre en büyük A değeri kaçtır?
A = 4k+3 = 5m+3 = 6n+3.
A-3 = 4k = 5m = 6n. A-3 sayısı 4, 5 ve 6'nın ortak katıdır.
EKOK(4, 5, 6) = 60.
A-3 = 60·Kat.
A < 200 olmalı.
Kat=1 için A-3=60, A=63.
Kat=2 için A-3=120, A=123.
Kat=3 için A-3=180, A=183.
Kat=4 için A-3=240 (200'ü geçer).
En büyük A değeri 183'tür.
Cevap: C
x ve y pozitif tam sayılarının EBOB'u 7'dir. x+y=56 olduğuna göre kaç farklı (x,y) ikilisi vardır?
EBOB(x,y)=7 ise x=7a, y=7b (a ve b aralarında asal).
x+y = 7a+7b = 7(a+b) = 56.
a+b = 8.
Toplamı 8 olan ve aralarında asal olan (a,b) çiftlerini bulmalıyız.
(1, 7) - Aralarında asal.
(2, 6) - Aralarında asal değil.
(3, 5) - Aralarında asal.
(4, 4) - Aralarında asal değil.
(5, 3) - Aralarında asal.
(6, 2) - Aralarında asal değil.
(7, 1) - Aralarında asal.
4 farklı (a,b) çifti vardır, dolayısıyla 4 farklı (x,y) ikilisi vardır.
Cevap: C
48 litre zeytinyağı, 60 litre ayçiçek yağı ve 78 litre mısırözü yağı birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere doldurulacaktır. Bu iş için en az kaç şişe gereklidir?
Bu bir EBOB problemidir. En az şişe için şişe hacmi en büyük olmalıdır.
Şişe Hacmi = EBOB(48, 60, 78).
48=2⁴·3. 60=2²·3·5. 78=2·3·13.
EBOB = 2¹·3¹ = 6 litre.
Şişe Sayısı = Toplam Hacim / Şişe Hacmi = (48+60+78)/6.
Şişe Sayısı = 48/6 + 60/6 + 78/6 = 8 + 10 + 13 = 31.
Cevap: D