Ünite 6: Eşitsizlikler ve Mutlak Değer

2x - 5 ≤ 7

-5'i karşıya atalım: 2x ≤ 7 + 5

2x ≤ 12

Her iki tarafı 2'ye bölelim: x ≤ 6

Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı 6'dır.

Cevap: C

4 - 3x > 13

4'ü karşıya atalım: -3x > 13 - 4

-3x > 9

Her iki tarafı -3'e bölelim. Negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirir.

x < 9 / (-3)

x < -3

Cevap: D

Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşitse, içindeki ifade o sayının pozitif veya negatif değerine eşit olabilir.

1) x + 4 = 9 ⇒ x = 5

2) x + 4 = -9 ⇒ x = -13

Çözüm Kümesi = {5, -13}

Cevap: E

Her terimin mutlak değerini alalım:

|-8| = 8

|3 - 5| = |-2| = 2

|-1| = 1

İşlemi yapalım: 8 + 2 - 1 = 9

Cevap: C

Verilen eşitsizlikten 3x-2 ifadesini elde etmeye çalışalım.

Önce her tarafı 3 ile çarpalım: 3(-1) < 3x < 3(4) ⇒ -3 < 3x < 12

Şimdi her taraftan 2 çıkaralım: -3 - 2 < 3x - 2 < 12 - 2

-5 < 3x - 2 < 10

Bu aralıktaki en küçük tam sayı -4, en büyük tam sayı 9'dur.

Toplamları: -4 + 9 = 5

Cevap: B

Eşitsizliğin her iki tarafını -2 ile çarpalım. Negatif bir sayı ile çarptığımız için eşitsizlik yön değiştirir.

x - 5 ≤ 3 * (-2)

x - 5 ≤ -6

x ≤ -6 + 5

x ≤ -1

Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı -1'dir.

Cevap: A

|x| < a ise -a < x < a kuralını uygulayalım.

-5 < x - 2 < 5

Her tarafa 2 ekleyelim:

-5 + 2 < x < 5 + 2

-3 < x < 7

Bu aralıktaki tam sayılar: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6'dır.

Toplamda 9 tane tam sayı vardır.

Cevap: C

İki mutlak değerli ifade birbirine eşitse, içleri ya birbirine eşittir ya da birbirinin zıt işaretlisidir.

1) 3x - 1 = x + 7 ⇒ 2x = 8 ⇒ x₁ = 4

2) 3x - 1 = -(x + 7) ⇒ 3x - 1 = -x - 7 ⇒ 4x = -6 ⇒ x₂ = -6/4 = -1.5

x değerlerinin toplamı: 4 + (-1.5) = 2.5

Cevap: B

Her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.

1) 2x + 1 < 9 ⇒ 2x < 8 ⇒ x < 4

2) x - 3 ≥ -1 ⇒ x ≥ -1 + 3 ⇒ x ≥ 2

İki sonucu birleştirelim: 2 ≤ x < 4

Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3'tür.

Toplamları: 2 + 3 = 5

Cevap: C

|x| > a ise x > a veya x < -a kuralını uygulayalım.

1) x + 1 ≥ 3 ⇒ x ≥ 2

2) x + 1 ≤ -3 ⇒ x ≤ -4

Çözüm kümelerini birleştirirsek: x, -4'e eşit veya küçük ya da 2'ye eşit veya büyüktür.

Bu aralık (-∞, -4] ∪ [2, ∞) şeklinde ifade edilir.

Cevap: A

x < 0 (x negatif) olduğu için mutlak değer dışına işaret değiştirerek çıkarlar.

|x| = -x

-2x ifadesi (negatif * negatif) pozitif olur. |-2x| = -2x

5x ifadesi (pozitif * negatif) negatif olur. |5x| = -(5x) = -5x

İfadeyi yeniden yazalım: (-x) + (-2x) - (-5x)

-x - 2x + 5x = 2x

Cevap: C

Soruda a ve b'nin tam sayı olduğu belirtilmiş. Bu durumda aralık çözümü yapmak yerine doğrudan değer seçebiliriz.

2a - 3b ifadesinin en büyük olması için, a'nın en büyük, b'nin ise en küçük değerini alması gerekir.

-4 < a < 3 aralığında a'nın en büyük tam sayı değeri 2'dir.

-2 < b < 5 aralığında b'nin en küçük tam sayı değeri -1'dir.

Değerleri yerine yazalım: 2(2) - 3(-1) = 4 + 3 = 7

Cevap: B

Soruda a ve b'nin gerçel sayı olduğu belirtilmiş. Bu durumda aralıkları düzenlemeliyiz.

İlk eşitsizliği 2 ile çarpalım: -8 < 2a < 6

İkinci eşitsizliği -3 ile çarpalım (eşitsizlik yön değiştirir):
(-3)(-2) > -3b > (-3)(5) ⇒ 6 > -3b > -15

Daha düzgün yazalım: -15 < -3b < 6

Şimdi iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım:
-8 < 2a < 6
-15 < -3b < 6
--------------------
-23 < 2a - 3b < 12

Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 11'dir.

Cevap: C

İkinci mutlak değerli ifadeyi düzenleyebiliriz: |12 - 4x| = |4(3 - x)| = |4|·|3 - x| = 4|3 - x|.

Ayrıca |3 - x| = |-(x-3)| = |x-3|'tür.

Denklem şu hale gelir: |x - 3| + 4|x - 3| = 15

5|x - 3| = 15 ⇒ |x - 3| = 3

1) x - 3 = 3 ⇒ x₁ = 6

2) x - 3 = -3 ⇒ x₂ = 0

x değerlerinin toplamı: 6 + 0 = 6.

Cevap: D

Bu tür eşitsizlikleri iki durumda inceleriz:

1) İçerisi pozitif ise: 2 < x - 1 < 5. Her tarafa 1 ekleyelim: 3 < x < 6. Buradan tam sayılar: 4, 5.

2) İçerisi negatif ise: 2 < -(x - 1) < 5 ⇒ 2 < -x + 1 < 5. Her taraftan 1 çıkaralım: 1 < -x < 4. Her tarafı -1 ile çarpalım (yön değişir): -1 > x > -4. Buradan tam sayılar: -2, -3.

Tüm tam sayıları toplayalım: 4 + 5 + (-2) + (-3) = 9 - 5 = 4.

Cevap: C

Karesi alınan bir ifadenin aralığını bulurken, aralıkta 0'ın olup olmadığına dikkat edilir. Eğer aralık 0'ı içeriyorsa, alt sınır 0 olur.

-3 ≤ x < 2 aralığı 0'ı içerir. Bu nedenle x²'nin alabileceği en küçük değer 0² = 0'dır. Yani x² ≥ 0.

Üst sınırı bulmak için sınırdaki sayıların karelerine bakarız: (-3)² = 9 ve 2² = 4. Büyük olanı (9) alırız. x=-3 olabildiği için x² de 9 olabilir.

Aralığı birleştirirsek: 0 ≤ x² ≤ 9

Bu aralıktaki tam sayılar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Toplam 10 tanedir.

Cevap: E

Mutlak değerin sonucu negatif olamayacağı için, 2x - 7 ≥ 0 yani x ≥ 3.5 olmalıdır. Bu bizim kontrol şartımızdır.

Şimdi denklemi çözelim:

1) x - 5 = 2x - 7 ⇒ -x = -2 ⇒ x = 2.

2) x - 5 = -(2x - 7) ⇒ x - 5 = -2x + 7 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4.

Bulduğumuz kökleri kontrol şartımızla (x ≥ 3.5) karşılaştıralım. x=2 bu şartı sağlamaz (yalancı kök). x=4 bu şartı sağlar.

Tek çözüm x=4'tür.

Cevap: A

Negatif rasyonel sayıları sıralarken önce pozitifmiş gibi sıralayıp sonra sıralamayı ters çevirmek kolaylık sağlar.

Paydaları eşitleyelim (12'de):
2/3 = 8/12
3/4 = 9/12
5/6 = 10/12

Pozitif sıralama: 8/12 < 9/12 < 10/12 yani 2/3 < 3/4 < 5/6.

Sayılar negatif olduğu için bu sıralama ters döner:

-2/3 > -3/4 > -5/6

Yani a > b > c veya c < b < a.

Cevap: C

Bu ifadenin en küçük değeri, mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar arasındaki uzaklıktır.

Kritik noktalar: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 ve x + 3 = 0 ⇒ x = -3.

Bu iki nokta arasındaki uzaklık, ifadenin alabileceği en küçük değeri verir.

Uzaklık = |2 - (-3)| = |2 + 3| = 5.

Alternatif olarak kritik noktalardan birini (x=2 veya x=-3) denklemde yerine koyarak da aynı sonuca ulaşılır. Örneğin x=2 için: |2 - 2| + |2 + 3| = 0 + 5 = 5.

Cevap: D

Eşitsizlikteki tüm terimler aynı işaretli (pozitif) olduğu için, terimlerin çarpmaya göre tersini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.

1 / (1/7) > 1/x > 1 / (1/3)

7 > 1/x > 3

Daha düzgün yazarsak: 3 < 1/x < 7

Bu aralıktaki tam sayı değerleri 4, 5, 6'dır.

Toplamları: 4 + 5 + 6 = 15.

Cevap: C