ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
Asal çarpanlara ayırma konusunun temellerinden başlayarak, KPSS'de karşınıza çıkabilecek ileri düzey soru tiplerine kadar tüm detayları kapsamaktadır.
1. Temel Kavramlar
A. Asal Sayı Nedir?
Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
- Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
- En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayıdır.
B. Bileşik Sayı Nedir?
1'den büyük olan ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı denir. En az üç tane pozitif böleni vardır.
1 sayısı ne asal ne de bileşik sayıdır. Bu ayrım sorularda çok önemlidir.
C. Aralarında Asal Sayılar
1'den başka ortak pozitif böleni olmayan iki veya daha fazla sayıya aralarında asal sayılar denir.
- Örnek: 9 ve 10 aralarında asaldır. (Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.)
- Ardışık sayılar daima aralarında asaldır.
2. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi
En yaygın yöntem Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması) yöntemidir.
Örnek: 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2³ * 3¹ * 5¹
120'nin asal çarpanları (asal bölenleri): 2, 3 ve 5'tir.
3. Bölen Sayılarını Bulma (KPSS'nin Favorisi)
Bir A sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali A = xᵃ * yᵇ * zᶜ olsun.
A. Pozitif Bölen Sayısı (PBS)
Asal çarpanların üslerini 1 artırıp çarparız.
Formül: PBS = (a+1) * (b+1) * (c+1)
Örnek (120): PBS = (3+1) * (1+1) * (1+1) = 16.
B. Tam Sayı Bölenleri Sayısı (TBS)
Formül: TBS = 2 * PBS
Örnek (120): TBS = 2 * 16 = 32.
C. Asal Olmayan Bölenler
- Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı: PBS - (Asal Bölen Sayısı). Örnek 120: 16 - 3 = 13.
- Asal Olmayan Tam Sayı Bölen Sayısı: TBS - (Asal Bölen Sayısı). Örnek 120: 32 - 3 = 29.
Eğer sayı A = 6² * 10³ gibi verilirse, bu haliyle üsleri toplayamazsınız! Tabanlar asal olmalı:
A = (2*3)² * (2*5)³ = 2² * 3² * 2³ * 5³ = 2⁵ * 3² * 5³.
PBS = (5+1)*(2+1)*(3+1) = 72.
D. Belirli Özellikteki Bölenleri Bulma (Çift, Tek, Katı)
Örnek: 120 (2³ * 3¹ * 5¹) sayısının pozitif bölenlerinden kaçı çifttir?
- Yöntem 1 (Şartı Sağlama): Çift olması için bir tane 2'yi ayırırız: 120 = 2 * (2² * 3¹ * 5¹). Parantez içindeki kısmın PBS'si alınır: (2+1)*(1+1)*(1+1) = 12.
- Yöntem 2 (Tümünden Çıkarma): Tüm PBS - Tek PBS. Tek bölenler için 2 çarpanını (2³) atarız: 3¹ * 5¹. Tek PBS = (1+1)*(1+1) = 4. Çift PBS = 16 - 4 = 12.
4. Tam Kare ve Tam Küpe Tamamlama
- Tam Kare: Tüm asal çarpanların üsleri çift (0, 2, 4...) olmalıdır.
- Tam Küp: Tüm asal çarpanların üsleri 3'ün katı (0, 3, 6...) olmalıdır.
Örnek: 180 * x = y² eşitliğini sağlayan en küçük pozitif x kaçtır?
- 180'i ayır: 180 = 2² * 3² * 5¹.
- Üsleri kontrol et: 5¹ eksik. 5² yapmak için bir tane 5 çarpanına ihtiyaç var. x = 5.
5. Faktöriyel İçindeki Asal Çarpanlar
n! içinde belirli bir asal çarpandan (p) kaç tane olduğunu bulmak için, n sayısını p'ye sürekli böleriz ve bölümleri toplarız.
Örnek: 40! içinde kaç tane 3 çarpanı vardır?
40/3 = 13; 13/3 = 4; 4/3 = 1. Toplam: 13 + 4 + 1 = 18.
Sondan Kaç Basamağı Sıfırdır?
İçindeki 10 (2*5) çarpanı sayısına bağlıdır. Belirleyici olan 5 çarpanıdır. n! sayısında sondaki sıfır sayısını bulmak için sürekli 5'e böleriz.
Asal Olmayan Çarpanlar (Örn: 6=2*3): Büyük asal çarpana (3'e) bakılır.
Üslü Çarpanlar (Örn: 8=2³): Önce tabandaki asalın (2) toplam sayısı bulunur. Sonra bu sayı üsse (3'e) bölünür. Örneğin 40! içinde 38 tane 2 vardır. 38/3 = 12 tane 8 vardır.
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
180 = 18 * 10 = (2 * 9) * (2 * 5) = (2 * 3²) * (2 * 5).
Düzenlersek: 2² * 3² * 5.
Soru 2: 120 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?
120 = 12 * 10 = (4*3) * (2*5) = 2³ * 3¹ * 5¹.
PBS = (3+1) * (1+1) * (1+1) = 4 * 2 * 2 = 16.
Soru 3: 210 sayısının asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
210 = 21 * 10 = (3*7) * (2*5) = 2 * 3 * 5 * 7.
Asal bölenleri: 2, 3, 5, 7.
Toplamları: 2 + 3 + 5 + 7 = 17.
Soru 4: 100 sayısının kaç tane tam sayı böleni vardır?
100 = 10² = (2*5)² = 2² * 5².
PBS = (2+1) * (2+1) = 9.
Tam Sayı Bölenleri Sayısı (TBS) = 2 * PBS = 2 * 9 = 18.
Soru 5: 72 sayısının asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısı kaçtır?
72 = 8 * 9 = 2³ * 3².
PBS = (3+1)*(2+1) = 12.
Asal bölenleri: 2 ve 3 (2 tane).
Asal olmayan pozitif bölen sayısı = 12 - 2 = 10.
Soru 6: 20! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Sondaki sıfır sayısını bulmak için 5 çarpanı sayısına bakılır.
20 / 5 = 4.
Toplam 4 tane 5 çarpanı vardır.
Soru 7: x ve y pozitif tam sayılardır. 18 * x = y² olduğuna göre x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
18 = 2¹ * 3².
(2¹ * 3²) * x = y². Üsler çift olmalı.
2¹'i 2² yapmak için bir tane 2 çarpanına ihtiyaç vardır. x en az 2 olmalıdır.
Soru 8: EBOB(30, 45) kaçtır?
30 = 2 * 3 * 5
45 = 3² * 5
EBOB için ortak olanların küçük üslüsü alınır: 3¹ * 5¹ = 15.
Soru 9: EKOK(12, 15) kaçtır?
12 = 2² * 3
15 = 3 * 5
EKOK için tüm çarpanların büyük üslüsü alınır: 2² * 3¹ * 5¹ = 60.
Soru 10: Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?
C) 15 = 3*5. 28 = 2²*7. Ortak asal çarpanları yoktur.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: A = 6² * 10³ sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?
A = (2*3)² * (2*5)³ = 2² * 3² * 2³ * 5³ = 2⁵ * 3² * 5³.
PBS = (5+1) * (2+1) * (3+1) = 6 * 3 * 4 = 72.
Soru 12: 360 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi çifttir?
360 = 2³ * 3² * 5¹.
Tüm PBS = 24.
Tek PBS (2'yi atarız: 3²*5¹): (2+1)*(1+1) = 6.
Çift PBS = 24 - 6 = 18.
Soru 13: 300 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 5'in katıdır?
300 = 2² * 3¹ * 5².
300 = 5 * (2² * 3¹ * 5¹).
Parantez içindeki kısmın PBS'si: (2+1)*(1+1)*(1+1) = 12.
Soru 14: 40! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır?
40/3 = 13; 13/3 = 4; 4/3 = 1.
Toplam = 13 + 4 + 1 = 18.
Soru 15: a ve b pozitif tam sayılardır. 75 * a = b³ olduğuna göre a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?
75 = 3¹ * 5².
(3¹ * 5²) * a = b³. Üsler 3'ün katı olmalı.
a = 3² * 5¹ = 45.
b³ = 3³ * 5³. b = 15.
a + b = 45 + 15 = 60.
Soru 16: A = 11² + 33² sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?
A = 11² + (3*11)² = 11² * (1 + 3²) = 11² * 10.
A = 11² * 2¹ * 5¹.
PBS = (2+1)*(1+1)*(1+1) = 12.
Soru 17: n bir pozitif tam sayı olmak üzere, A = 12 * 2ⁿ sayısının 20 tane pozitif böleni olduğuna göre n kaçtır?
A = (2² * 3¹) * 2ⁿ = 2ⁿ⁺² * 3¹.
PBS = (n+2+1) * (1+1) = 20.
(n+3) * 2 = 20. n+3 = 10. n = 7.
Soru 18: 200 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?
200 = 2³ * 5².
Tam kare olması için üsler çift olmalı.
2'nin üssü için seçenekler (3'ü geçemez): 2⁰, 2² (2 tane).
5'in üssü için seçenekler (2'yi geçemez): 5⁰, 5² (2 tane).
Tam kare bölen sayısı = 2 * 2 = 4.
Soru 19: 60! - 1 sayısının sondan kaç basamağı 9'dur?
Sondan kaç basamağın 9 olduğu, 60! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğuna eşittir (5 çarpanı sayısı).
60/5 = 12; 12/5 = 2. Toplam = 14.
Soru 20: Pozitif bölen sayısı 10 olan en küçük doğal sayı kaçtır?
PBS = 10. Durum 1: 10=10. 2⁹ = 512.
Durum 2: 10=5*2. Üsler 4 ve 1. Büyük üsse küçük taban: 2⁴ * 3¹ = 16 * 3 = 48.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: x ve y pozitif tam sayılardır. 54 * x = y⁴ olduğuna göre x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
54 = 2¹ * 3³. Üsler 4'ün katı olmalı.
2¹'i 2⁴ yapmak için 2³ lazım. 3³'ü 3⁴ yapmak için 3¹ lazım.
x = 2³ * 3¹ = 8 * 3 = 24.
Soru 22: 50! sayısının içinde kaç tane 12 çarpanı vardır?
12 = 2² * 3¹.
50! içindeki 2 sayısı: 25+12+6+3+1 = 47. (2⁴⁷)
50! içindeki 3 sayısı: 16+5+1 = 22. (3²²)
2'lerden kaç tane 2² oluşturabiliriz? 47/2 = 23 tane.
3'lerden kaç tane 3¹ oluşturabiliriz? 22 tane.
Az olan belirleyicidir. 22 tane 12 oluşturabiliriz.
Soru 23: A = 2⁵ * 3⁴ * 5³ sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam küptür?
Üsler 3'ün katı olmalı.
2'nin üssü (5'i geçemez): 2⁰, 2³ (2 tane).
3'ün üssü (4'ü geçemez): 3⁰, 3³ (2 tane).
5'in üssü (3'ü geçemez): 5⁰, 5³ (2 tane).
Tam küp bölen sayısı = 2 * 2 * 2 = 8.
Soru 24: n bir pozitif tam sayı olmak üzere, A = 6 * 10ⁿ sayısının 112 tane pozitif böleni olduğuna göre n kaçtır?
A = (2*3) * (2*5)ⁿ = 2ⁿ⁺¹ * 3¹ * 5ⁿ.
PBS = (n+2) * (1+1) * (n+1) = 112.
(n+1) * (n+2) = 56.
Ardışık iki sayının çarpımı 56 ise bu sayılar 7 ve 8'dir. n+1 = 7 => n = 6.
Soru 25: A = 40! / 2ⁿ ifadesi bir tek sayı olduğuna göre n kaçtır?
İfadenin tek sayı olması için 40! içindeki tüm 2 çarpanlarının sadeleşmesi gerekir.
40/2=20; 20/2=10; 10/2=5; 5/2=2; 2/2=1.
Toplam = 20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38.
Soru 26: 360 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 6'nın katıdır ancak 15'in katı değildir?
Formül: (6'nın katı olanlar) - (Hem 6'nın hem 15'in katı olanlar).
EKOK(6, 15) = 30.
6'nın katı olanlar: 360 = 6 * 60. PBS(60) = 12.
30'un katı olanlar: 360 = 30 * 12. PBS(12) = 6.
Cevap = 12 - 6 = 6.
Soru 27: Pozitif bölen sayısı 18 olan en küçük doğal sayı kaçtır?
PBS = 18. Büyük üsse küçük taban vermeliyiz.
Durum 1: 18 = 6 * 3. A = 2⁵ * 3² = 32 * 9 = 288.
Durum 2: 18 = 3 * 3 * 2. A = 2² * 3² * 5¹ = 4 * 9 * 5 = 180.
En küçük sayı 180'dir.
Soru 28: n! sayısının sondan 10 basamağı sıfır olduğuna göre, n'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
n! içindeki 5 çarpanı sayısı 10 olmalıdır.
n=40 için: 8+1=9. (Az geldi).
n=45 için: 9+1=10. (Oldu).
Soru 29: A = 2⁴ * 3³ olduğuna göre, A = x * y şeklinde yazdığımızda x ve y aralarında asal olacak şekilde kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır?
Aralarında asal (x, y) ikililerinin sayısı 2k formülüyle bulunur. k, sayının farklı asal çarpan sayısıdır.
A'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. k=2.
İkili sayısı = 2² = 4.
Soru 30: EBOB(A, 540) = 18 olduğuna göre, 200'den küçük kaç farklı A pozitif tam sayısı vardır?
A = 18k, 540 = 18*30. k ve 30 aralarında asal olmalı.
A < 200 => 18k < 200 => k < 11.11...
k, 11.11'den küçük ve 30 (2, 3, 5) ile aralarında asal olmalı.
k değerleri: 1, 7, 11.
3 farklı değer vardır.
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
Asal çarpanlara ayırma konusunun temellerinden başlayarak, KPSS'de karşınıza çıkabilecek ileri düzey soru tiplerine kadar tüm detayları kapsamaktadır.
1. Temel Kavramlar
A. Asal Sayı Nedir?
Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
- Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
- En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayıdır.
B. Bileşik Sayı Nedir?
1'den büyük olan ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı denir. En az üç tane pozitif böleni vardır.
1 sayısı ne asal ne de bileşik sayıdır. Bu ayrım sorularda çok önemlidir.
C. Aralarında Asal Sayılar
1'den başka ortak pozitif böleni olmayan iki veya daha fazla sayıya aralarında asal sayılar denir.
- Örnek: 9 ve 10 aralarında asaldır. (Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.)
- Ardışık sayılar daima aralarında asaldır.
2. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi
En yaygın yöntem Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması) yöntemidir.
Örnek: 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2³ * 3¹ * 5¹
120'nin asal çarpanları (asal bölenleri): 2, 3 ve 5'tir.
3. Bölen Sayılarını Bulma (KPSS'nin Favorisi)
Bir A sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali A = xᵃ * yᵇ * zᶜ olsun.
A. Pozitif Bölen Sayısı (PBS)
Asal çarpanların üslerini 1 artırıp çarparız.
Formül: PBS = (a+1) * (b+1) * (c+1)
Örnek (120): PBS = (3+1) * (1+1) * (1+1) = 16.
B. Tam Sayı Bölenleri Sayısı (TBS)
Formül: TBS = 2 * PBS
Örnek (120): TBS = 2 * 16 = 32.
C. Asal Olmayan Bölenler
- Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı: PBS - (Asal Bölen Sayısı). Örnek 120: 16 - 3 = 13.
- Asal Olmayan Tam Sayı Bölen Sayısı: TBS - (Asal Bölen Sayısı). Örnek 120: 32 - 3 = 29.
Eğer sayı A = 6² * 10³ gibi verilirse, bu haliyle üsleri toplayamazsınız! Tabanlar asal olmalı:
A = (2*3)² * (2*5)³ = 2² * 3² * 2³ * 5³ = 2⁵ * 3² * 5³.
PBS = (5+1)*(2+1)*(3+1) = 72.
D. Belirli Özellikteki Bölenleri Bulma (Çift, Tek, Katı)
Örnek: 120 (2³ * 3¹ * 5¹) sayısının pozitif bölenlerinden kaçı çifttir?
- Yöntem 1 (Şartı Sağlama): Çift olması için bir tane 2'yi ayırırız: 120 = 2 * (2² * 3¹ * 5¹). Parantez içindeki kısmın PBS'si alınır: (2+1)*(1+1)*(1+1) = 12.
- Yöntem 2 (Tümünden Çıkarma): Tüm PBS - Tek PBS. Tek bölenler için 2 çarpanını (2³) atarız: 3¹ * 5¹. Tek PBS = (1+1)*(1+1) = 4. Çift PBS = 16 - 4 = 12.
4. Tam Kare ve Tam Küpe Tamamlama
- Tam Kare: Tüm asal çarpanların üsleri çift (0, 2, 4...) olmalıdır.
- Tam Küp: Tüm asal çarpanların üsleri 3'ün katı (0, 3, 6...) olmalıdır.
Örnek: 180 * x = y² eşitliğini sağlayan en küçük pozitif x kaçtır?
- 180'i ayır: 180 = 2² * 3² * 5¹.
- Üsleri kontrol et: 5¹ eksik. 5² yapmak için bir tane 5 çarpanına ihtiyaç var. x = 5.
5. Faktöriyel İçindeki Asal Çarpanlar
n! içinde belirli bir asal çarpandan (p) kaç tane olduğunu bulmak için, n sayısını p'ye sürekli böleriz ve bölümleri toplarız.
Örnek: 40! içinde kaç tane 3 çarpanı vardır?
40/3 = 13; 13/3 = 4; 4/3 = 1. Toplam: 13 + 4 + 1 = 18.
Sondan Kaç Basamağı Sıfırdır?
İçindeki 10 (2*5) çarpanı sayısına bağlıdır. Belirleyici olan 5 çarpanıdır. n! sayısında sondaki sıfır sayısını bulmak için sürekli 5'e böleriz.
Asal Olmayan Çarpanlar (Örn: 6=2*3): Büyük asal çarpana (3'e) bakılır.
Üslü Çarpanlar (Örn: 8=2³): Önce tabandaki asalın (2) toplam sayısı bulunur. Sonra bu sayı üsse (3'e) bölünür. Örneğin 40! içinde 38 tane 2 vardır. 38/3 = 12 tane 8 vardır.
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
180 = 18 * 10 = (2 * 9) * (2 * 5) = (2 * 3²) * (2 * 5).
Düzenlersek: 2² * 3² * 5.
Soru 2: 120 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?
120 = 12 * 10 = (4*3) * (2*5) = 2³ * 3¹ * 5¹.
PBS = (3+1) * (1+1) * (1+1) = 4 * 2 * 2 = 16.
Soru 3: 210 sayısının asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
210 = 21 * 10 = (3*7) * (2*5) = 2 * 3 * 5 * 7.
Asal bölenleri: 2, 3, 5, 7.
Toplamları: 2 + 3 + 5 + 7 = 17.
Soru 4: 100 sayısının kaç tane tam sayı böleni vardır?
100 = 10² = (2*5)² = 2² * 5².
PBS = (2+1) * (2+1) = 9.
Tam Sayı Bölenleri Sayısı (TBS) = 2 * PBS = 2 * 9 = 18.
Soru 5: 72 sayısının asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısı kaçtır?
72 = 8 * 9 = 2³ * 3².
PBS = (3+1)*(2+1) = 12.
Asal bölenleri: 2 ve 3 (2 tane).
Asal olmayan pozitif bölen sayısı = 12 - 2 = 10.
Soru 6: 20! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Sondaki sıfır sayısını bulmak için 5 çarpanı sayısına bakılır.
20 / 5 = 4.
Toplam 4 tane 5 çarpanı vardır.
Soru 7: x ve y pozitif tam sayılardır. 18 * x = y² olduğuna göre x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
18 = 2¹ * 3².
(2¹ * 3²) * x = y². Üsler çift olmalı.
2¹'i 2² yapmak için bir tane 2 çarpanına ihtiyaç vardır. x en az 2 olmalıdır.
Soru 8: EBOB(30, 45) kaçtır?
30 = 2 * 3 * 5
45 = 3² * 5
EBOB için ortak olanların küçük üslüsü alınır: 3¹ * 5¹ = 15.
Soru 9: EKOK(12, 15) kaçtır?
12 = 2² * 3
15 = 3 * 5
EKOK için tüm çarpanların büyük üslüsü alınır: 2² * 3¹ * 5¹ = 60.
Soru 10: Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?
C) 15 = 3*5. 28 = 2²*7. Ortak asal çarpanları yoktur.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: A = 6² * 10³ sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?
A = (2*3)² * (2*5)³ = 2² * 3² * 2³ * 5³ = 2⁵ * 3² * 5³.
PBS = (5+1) * (2+1) * (3+1) = 6 * 3 * 4 = 72.
Soru 12: 360 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi çifttir?
360 = 2³ * 3² * 5¹.
Tüm PBS = 24.
Tek PBS (2'yi atarız: 3²*5¹): (2+1)*(1+1) = 6.
Çift PBS = 24 - 6 = 18.
Soru 13: 300 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 5'in katıdır?
300 = 2² * 3¹ * 5².
300 = 5 * (2² * 3¹ * 5¹).
Parantez içindeki kısmın PBS'si: (2+1)*(1+1)*(1+1) = 12.
Soru 14: 40! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır?
40/3 = 13; 13/3 = 4; 4/3 = 1.
Toplam = 13 + 4 + 1 = 18.
Soru 15: a ve b pozitif tam sayılardır. 75 * a = b³ olduğuna göre a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?
75 = 3¹ * 5².
(3¹ * 5²) * a = b³. Üsler 3'ün katı olmalı.
a = 3² * 5¹ = 45.
b³ = 3³ * 5³. b = 15.
a + b = 45 + 15 = 60.
Soru 16: A = 11² + 33² sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?
A = 11² + (3*11)² = 11² * (1 + 3²) = 11² * 10.
A = 11² * 2¹ * 5¹.
PBS = (2+1)*(1+1)*(1+1) = 12.
Soru 17: n bir pozitif tam sayı olmak üzere, A = 12 * 2ⁿ sayısının 20 tane pozitif böleni olduğuna göre n kaçtır?
A = (2² * 3¹) * 2ⁿ = 2ⁿ⁺² * 3¹.
PBS = (n+2+1) * (1+1) = 20.
(n+3) * 2 = 20. n+3 = 10. n = 7.
Soru 18: 200 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?
200 = 2³ * 5².
Tam kare olması için üsler çift olmalı.
2'nin üssü için seçenekler (3'ü geçemez): 2⁰, 2² (2 tane).
5'in üssü için seçenekler (2'yi geçemez): 5⁰, 5² (2 tane).
Tam kare bölen sayısı = 2 * 2 = 4.
Soru 19: 60! - 1 sayısının sondan kaç basamağı 9'dur?
Sondan kaç basamağın 9 olduğu, 60! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğuna eşittir (5 çarpanı sayısı).
60/5 = 12; 12/5 = 2. Toplam = 14.
Soru 20: Pozitif bölen sayısı 10 olan en küçük doğal sayı kaçtır?
PBS = 10. Durum 1: 10=10. 2⁹ = 512.
Durum 2: 10=5*2. Üsler 4 ve 1. Büyük üsse küçük taban: 2⁴ * 3¹ = 16 * 3 = 48.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: x ve y pozitif tam sayılardır. 54 * x = y⁴ olduğuna göre x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
54 = 2¹ * 3³. Üsler 4'ün katı olmalı.
2¹'i 2⁴ yapmak için 2³ lazım. 3³'ü 3⁴ yapmak için 3¹ lazım.
x = 2³ * 3¹ = 8 * 3 = 24.
Soru 22: 50! sayısının içinde kaç tane 12 çarpanı vardır?
12 = 2² * 3¹.
50! içindeki 2 sayısı: 25+12+6+3+1 = 47. (2⁴⁷)
50! içindeki 3 sayısı: 16+5+1 = 22. (3²²)
2'lerden kaç tane 2² oluşturabiliriz? 47/2 = 23 tane.
3'lerden kaç tane 3¹ oluşturabiliriz? 22 tane.
Az olan belirleyicidir. 22 tane 12 oluşturabiliriz.
Soru 23: A = 2⁵ * 3⁴ * 5³ sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam küptür?
Üsler 3'ün katı olmalı.
2'nin üssü (5'i geçemez): 2⁰, 2³ (2 tane).
3'ün üssü (4'ü geçemez): 3⁰, 3³ (2 tane).
5'in üssü (3'ü geçemez): 5⁰, 5³ (2 tane).
Tam küp bölen sayısı = 2 * 2 * 2 = 8.
Soru 24: n bir pozitif tam sayı olmak üzere, A = 6 * 10ⁿ sayısının 112 tane pozitif böleni olduğuna göre n kaçtır?
A = (2*3) * (2*5)ⁿ = 2ⁿ⁺¹ * 3¹ * 5ⁿ.
PBS = (n+2) * (1+1) * (n+1) = 112.
(n+1) * (n+2) = 56.
Ardışık iki sayının çarpımı 56 ise bu sayılar 7 ve 8'dir. n+1 = 7 => n = 6.
Soru 25: A = 40! / 2ⁿ ifadesi bir tek sayı olduğuna göre n kaçtır?
İfadenin tek sayı olması için 40! içindeki tüm 2 çarpanlarının sadeleşmesi gerekir.
40/2=20; 20/2=10; 10/2=5; 5/2=2; 2/2=1.
Toplam = 20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38.
Soru 26: 360 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 6'nın katıdır ancak 15'in katı değildir?
Formül: (6'nın katı olanlar) - (Hem 6'nın hem 15'in katı olanlar).
EKOK(6, 15) = 30.
6'nın katı olanlar: 360 = 6 * 60. PBS(60) = 12.
30'un katı olanlar: 360 = 30 * 12. PBS(12) = 6.
Cevap = 12 - 6 = 6.
Soru 27: Pozitif bölen sayısı 18 olan en küçük doğal sayı kaçtır?
PBS = 18. Büyük üsse küçük taban vermeliyiz.
Durum 1: 18 = 6 * 3. A = 2⁵ * 3² = 32 * 9 = 288.
Durum 2: 18 = 3 * 3 * 2. A = 2² * 3² * 5¹ = 4 * 9 * 5 = 180.
En küçük sayı 180'dir.
Soru 28: n! sayısının sondan 10 basamağı sıfır olduğuna göre, n'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
n! içindeki 5 çarpanı sayısı 10 olmalıdır.
n=40 için: 8+1=9. (Az geldi).
n=45 için: 9+1=10. (Oldu).
Soru 29: A = 2⁴ * 3³ olduğuna göre, A = x * y şeklinde yazdığımızda x ve y aralarında asal olacak şekilde kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır?
Aralarında asal (x, y) ikililerinin sayısı 2k formülüyle bulunur. k, sayının farklı asal çarpan sayısıdır.
A'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. k=2.
İkili sayısı = 2² = 4.
Soru 30: EBOB(A, 540) = 18 olduğuna göre, 200'den küçük kaç farklı A pozitif tam sayısı vardır?
A = 18k, 540 = 18*30. k ve 30 aralarında asal olmalı.
A < 200 => 18k < 200 => k < 11.11...
k, 11.11'den küçük ve 30 (2, 3, 5) ile aralarında asal olmalı.
k değerleri: 1, 7, 11.
3 farklı değer vardır.