RASYONEL SAYILAR
Rasyonel sayılar, KPSS matematiğinin temel taşıdır. İşlem yeteneği, hız ve dikkat gerektiren bu konu, sınavda genellikle 2-3 soru ile karşımıza çıkar. Bu rehberde konuyu tüm detaylarıyla ele alacağız.
1. Rasyonel Sayıların Tanımı ve Kesir Çeşitleri
A. Rasyonel Sayı Nedir?
a ve b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel Sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi "Q" harfi ile gösterilir.
Bir sayının sıfıra bölümü TANIMSIZDIR. Örneğin \( \frac{5}{0} \) tanımsızdır.
Ancak sıfırın bir sayıya bölümü (sayı sıfır hariç) sıfırdır. \( \frac{0}{5} = 0 \).
B. Kesir Çeşitleri
1. Basit Kesir: İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlerdir (\(|a| < |b|\)). Değerleri -1 ile 1 arasındadır. Örnek: \( \frac{2}{5} \).
2. Bileşik Kesir: İşaretine bakılmaksızın payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlerdir (\(|a| \geq |b|\)). Örnek: \( \frac{7}{5}, \frac{4}{4} \).
3. Tamsayılı Kesir: Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlerdir. Örnek: \( 2\frac{3}{5} \).
C. Kesir Dönüşümleri
Tamsayılıyı Bileşiğe Çevirme: \(A\frac{b}{c} = \frac{(A \times c) + b}{c}\).
Örnek: \( 2\frac{3}{5} = \frac{(2 \times 5) + 3}{5} = \frac{13}{5} \).
\( -2\frac{3}{5} \) ifadesi \( -2 + \frac{3}{5} \) demek DEĞİLDİR!
Bu ifade \( -(2\frac{3}{5}) \) demektir. Yani önce pozitifi çevirir, sonra eksiyi koyarız.
\( -2\frac{3}{5} = -\frac{13}{5} \).
Yaygın Hata: ((-2)*5)+3 / 5 = -7/5 (Yanlış!).
2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
A. Toplama ve Çıkarma
Toplama veya çıkarma yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşitlenir, paylar toplanır/çıkarılır ve ortak payda yazılır.
B. Çarpma
Paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. Çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapmak işlemi kolaylaştırır.
C. Bölme
Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip (pay ve payda yer değiştirir) çarpılır.
D. İşlem Önceliği (Çok Önemli!)
- Üslü İfadeler
- Parantez İçleri
- Çarpma ve Bölme (Soldan sağa hangisi önce gelirse)
- Toplama ve Çıkarma
Çok adımlı işlemlerde, ana kesir çizgisine dikkat edilir. İşleme genellikle ana kesir çizgisinden en uzaktaki basamaktan (en alttan veya en üstten) başlanarak ilerlenir.
3. Ondalık Sayılar
Paydası 10'un pozitif tam sayı kuvvetleri (10, 100, 1000...) olan rasyonel sayılara Ondalık Sayı denir.
Ondalık Sayılarda Bölme (Virgül Kaydırma)
KPSS'de hız kazandıran en önemli yöntemdir. Pay ve paydadaki virgülleri sağa doğru kaydırarak sayıları tam sayı haline getiririz. Eksik basamaklar için sıfır eklenir.
Örnek: \( \frac{0,12}{0,003} \). Paydayı kurtarmak için 3 basamak sağa kaydırmak gerekir (1000 ile çarpmak). Payı da 3 basamak kaydırırız: \( \frac{120}{3} = 40 \).
4. Devirli Ondalık Sayılar
Bir ondalık sayıda virgülden sonraki kısmın belirli bir düzende tekrar etmesine devirli ondalık sayı denir. Örnek: \( 0,\bar{3} \).
Rasyonel Sayıya Çevirme Formülü
Örnek: \( 2,1\bar{4} \) sayısını çevirelim.
\( \frac{214 - 21}{90} = \frac{193}{90} \).
Eğer devreden sayı sadece 9 ise, solundaki basamağı 1 artırırız ve 9'u sileriz.
Örnek: \( 1,9\bar{9} = 2 \). Örnek: \( 0,4\bar{9} = 0,5 \).
5. Rasyonel Sayılarda Sıralama
A. Pozitif Rasyonel Sayılarda Sıralama
1. Paydalar Eşitse: Payı büyük olan daha büyüktür.
2. Paylar Eşitse: Paydası küçük olan daha büyüktür.
3. Pay ve Payda Arasındaki Fark Eşitse (KPSS Favorisi):
- Basit kesirlerde sayılar büyüdükçe kesrin değeri artar. (Örn: \( \frac{1}{2} < \frac{99}{100} \))
- Bileşik kesirlerde sayılar büyüdükçe kesrin değeri azalır. (Örn: \( \frac{3}{2} > \frac{100}{99} \))
B. Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama
Sayılar pozitifmiş gibi sıralanır, ardından sıralama tam tersine çevrilir.
RASYONEL SAYILAR TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: \( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \) işleminin sonucu kaçtır?
Paydaları 8'de eşitleriz.
\( \frac{1 \times 4}{2 \times 4} + \frac{3 \times 2}{4 \times 2} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4+6-1}{8} = \frac{9}{8} \).
Soru 2: \( \left(1 - \frac{1}{3}\right) \times \left(1 + \frac{1}{3}\right) \) işleminin sonucu kaçtır?
Parantez içlerini yapalım.
\( \left(\frac{3-1}{3}\right) \times \left(\frac{3+1}{3}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9} \).
Soru 3: \( -2\frac{1}{5} \) kesrinin bileşik kesir olarak karşılığı nedir?
Negatif tamsayılı kesirlerde eksi yokmuş gibi işlem yapılır, sonra eksi eklenir.
\( 2\frac{1}{5} = \frac{(2 \times 5) + 1}{5} = \frac{11}{5} \). Sonuç: \( -\frac{11}{5} \).
Soru 4: \( \frac{0.6}{0.2} + \frac{0.9}{0.3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Virgül kaydırma (10 ile genişletme) yapılır.
\( \frac{6}{2} + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6 \).
Soru 5: Aşağıdakilerden hangisi basit kesirdir?
Basit kesirde pay, paydadan mutlak değerce küçük olmalıdır. 5 < 9 olduğu için \( \frac{5}{9} \) basit kesirdir.
Soru 6: \( \frac{12}{18} \) kesrinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
12 ve 18'in en büyük ortak böleni 6'dır. Pay ve paydayı 6'ya böleriz.
\( \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} \).
Soru 7: \( \frac{1}{5} \div \frac{3}{10} \) işleminin sonucu kaçtır?
Bölme işleminde ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
\( \frac{1}{5} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{15} \). 5 ile sadeleştirirsek \( \frac{2}{3} \).
Soru 8: \( 0.25 \) sayısının rasyonel sayı olarak en sade karşılığı nedir?
\( 0.25 = \frac{25}{100} \). 25 ile sadeleştirirsek \( \frac{1}{4} \).
Soru 9: \( a = \frac{3}{7}, b = \frac{5}{7}, c = \frac{2}{7} \) sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Paydalar eşit olduğunda, payı büyük olan daha büyüktür.
5 > 3 > 2 olduğundan b > a > c.
Soru 10: \( 1 + \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
En alttan başlanır. \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
İşlem \( 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}} \) haline geldi. \( \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \times \frac{2}{1} = 2 \).
Sonuç: 1 + 2 = 3.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: \( \frac{0.04}{0.01} + \frac{1.2}{0.3} - \frac{5}{0.5} \) işleminin sonucu kaçtır?
Virgül kaydırma (genişletme) yapılır.
1. Terim (100 ile genişlet): \( \frac{4}{1} = 4 \).
2. Terim (10 ile genişlet): \( \frac{12}{3} = 4 \).
3. Terim (10 ile genişlet): \( \frac{50}{5} = 10 \).
Sonuç: \( 4 + 4 - 10 = 8 - 10 = -2 \).
Soru 12: \( \frac{3}{4} \div \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \) işleminin sonucu kaçtır?
Önce parantez içi: \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} \).
İşlem: \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{6} = \frac{3}{4} \times \frac{6}{1} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \).
Soru 13: \( 0.\overline{6} \) devirli ondalık sayısının rasyonel karşılığı nedir?
Formül: (Sayının tamamı - Devretmeyen kısım) / (Devreden kadar 9).
\( \frac{6-0}{9} = \frac{6}{9} \). Sadeleştirirsek \( \frac{2}{3} \).
Soru 14: \( a = \frac{10}{11}, b = \frac{100}{101}, c = \frac{1000}{1001} \) sayılarının sıralanışı nasıldır?
Kesirler basit kesirdir ve pay ile payda arasındaki fark 1'dir (Sabit).
Basit kesirlerde fark sabitken, sayıları büyük olan kesir daha büyüktür (1'e daha yakındır).
1000 > 100 > 10 olduğundan c > b > a. Yani a < b < c.
Soru 15: \( \frac{2x+1}{5} \) ifadesi bir basit kesir olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Basit kesirler -1 ile 1 arasındadır. \( -1 < \frac{2x+1}{5} < 1 \).
Her tarafı 5 ile çarpalım: \( -5 < 2x+1 < 5 \).
Her taraftan 1 çıkaralım: \( -6 < 2x < 4 \).
Her tarafı 2'ye bölelim: \( -3 < x < 2 \).
x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 1'dir.
Soru 16: \( \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)...\left(1-\frac{1}{20}\right) \) işleminin sonucu kaçtır?
Parantez içlerini yapalım: \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times ... \times \frac{19}{20} \).
Sadeleştirmeler çapraz olarak gerçekleşir (2'ler, 3'ler, ..., 19'lar gider).
Geriye ilk terimin payı (1) ve son terimin paydası (20) kalır. Sonuç \( \frac{1}{20} \).
Soru 17: \( \frac{0.48}{0.12} + \frac{0.75}{0.15} - 2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Virgül kaydıralım (100 ile genişletelim).
\( \frac{48}{12} + \frac{75}{15} - 2 \).
\( 4 + 5 - 2 = 9 - 2 = 7 \).
Soru 18: \( 1.2\overline{3} \) devirli sayısının rasyonel karşılığı nedir?
Formül: (Sayının tamamı - Devretmeyen kısım) / (Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0).
\( \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90} \).
3 ile sadeleştirirsek: \( \frac{37}{30} \).
Soru 19: \( x = -\frac{5}{6}, y = -\frac{7}{8}, z = -\frac{9}{10} \) sayılarının sıralanışı nasıldır?
Pozitif gibi düşünelim. Basit kesirler ve farklar eşit (1).
Sayılar büyüdükçe değer artar: \( \frac{5}{6} < \frac{7}{8} < \frac{9}{10} \).
Negatif oldukları için sıralama ters çevrilir: \( -\frac{5}{6} > -\frac{7}{8} > -\frac{9}{10} \).
Yani x > y > z.
Soru 20: \( \frac{2 - \frac{1}{3}}{3 + \frac{1}{3}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Pay kısmı: \( 2 - \frac{1}{3} = \frac{6-1}{3} = \frac{5}{3} \).
Payda kısmı: \( 3 + \frac{1}{3} = \frac{9+1}{3} = \frac{10}{3} \).
İşlem: \( \frac{5/3}{10/3} = \frac{5}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: \( \frac{2025 + \frac{1}{3}}{2024 + \frac{4}{3}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Paydayı düzenleyelim: \( 2024 + \frac{4}{3} \).
\( \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3} \) olarak yazılabilir.
Payda: \( 2024 + 1 + \frac{1}{3} = 2025 + \frac{1}{3} \).
Pay ve payda birbirine eşit olduğu için sonuç 1'dir.
Soru 22: \( x \) bir pozitif tam sayıdır. \( A = \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} \) ifadesinin bir tam sayı olması için x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Paydaları 12'de eşitleyelim: \( A = \frac{6x}{12} + \frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} = \frac{13x}{12} \).
A'nın tam sayı olması için \(13x\)'in 12'ye tam bölünmesi gerekir. 13 ve 12 aralarında asal olduğu için x'in 12'ye tam bölünmesi gerekir.
En küçük pozitif x değeri 12'dir.
Soru 23: \( \frac{0.1}{0.01} + \frac{0.02}{0.002} + \frac{0.003}{0.0003} \) işleminin sonucu kaçtır?
1. Terim (100 ile genişlet): \( \frac{10}{1} = 10 \).
2. Terim (1000 ile genişlet): \( \frac{20}{2} = 10 \).
3. Terim (10000 ile genişlet): \( \frac{30}{3} = 10 \).
Toplam: 10 + 10 + 10 = 30.
Soru 24: \( A = \frac{17}{15} + \frac{19}{17} + \frac{21}{19} \) olduğuna göre, \( \frac{2}{15} + \frac{2}{17} + \frac{2}{19} \) ifadesinin A türünden eşiti nedir?
İkinci ifadeye B diyelim.
A ve B'yi taraf tarafa çıkaralım (A-B):
\( (\frac{17}{15}-\frac{2}{15}) + (\frac{19}{17}-\frac{2}{17}) + (\frac{21}{19}-\frac{2}{19}) \)
\( = \frac{15}{15} + \frac{17}{17} + \frac{19}{19} = 1 + 1 + 1 = 3 \).
A - B = 3 ise, B = A - 3.
Soru 25: \( 3 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = 2 \) olduğuna göre x kaçtır?
3'ten ne çıkarsa 2 kalır? 1.
\( \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = 1 \).
Pay 1 ise payda da 1 olmalı. \( 1 - \frac{1}{x} = 1 \).
1'den ne çıkarsa 1 kalır? 0.
\( \frac{1}{x} = 0 \). Payı 1 olan bir kesrin sonucu 0 olamaz. Bu denklemi sağlayan bir x değeri yoktur.
Soru 26: \( \frac{3x-1}{7} \) ifadesi bir bileşik kesir olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri ile en büyük negatif tam sayı değeri toplamı kaçtır?
Bileşik kesir için \( |Pay| \geq |Payda| \) olmalı. \( |3x-1| \geq 7 \).
Bu mutlak değer eşitsizliği iki durumda incelenir:
Durum 1: \( 3x-1 \geq 7 \implies 3x \geq 8 \implies x \geq 8/3 \) (yaklaşık 2.66). En küçük pozitif tam sayı x=3.
Durum 2: \( 3x-1 \leq -7 \implies 3x \leq -6 \implies x \leq -2 \). En büyük negatif tam sayı x=-2.
Toplam: 3 + (-2) = 1.
Soru 27: \( \frac{1}{12} < \frac{x}{18} < \frac{1}{4} \) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
Paydaları eşitleyelim. EKOK(12, 18, 4) = 36.
\( \frac{3}{36} < \frac{2x}{36} < \frac{9}{36} \).
Paydaları atarsak: \( 3 < 2x < 9 \).
Her tarafı 2'ye bölelim: \( 1.5 < x < 4.5 \).
x'in alabileceği tam sayı değerleri: 2, 3, 4. Toplam 3 tane.
Soru 28: \( 0.1\overline{2} + 0.2\overline{3} \) işleminin sonucu kaçtır? (En sade haliyle)
Sayıları rasyonel hale getirelim.
\( 0.1\overline{2} = \frac{12-1}{90} = \frac{11}{90} \).
\( 0.2\overline{3} = \frac{23-2}{90} = \frac{21}{90} \).
Toplam: \( \frac{11}{90} + \frac{21}{90} = \frac{32}{90} \).
En sade hali (2 ile sadeleştir): \( \frac{16}{45} \).
Soru 29: \( x = 2.345, y = 2.3\overline{45}, z = 2.34\overline{5} \) sayılarının sıralanışı nasıldır?
Sayıları açarak karşılaştıralım:
x = 2.345000...
y = 2.345454...
z = 2.345555...
İlk dört basamak aynı (2.345). Beşinci basamaklara bakalım: x=0, y=4, z=5.
0 < 4 < 5 olduğundan x < y < z.
Soru 30: \( \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + ... + \frac{1}{19\cdot20} \) işleminin sonucu kaçtır?
Bu bir teleskopik seridir. \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \) kuralını kullanırız.
\( (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{19}-\frac{1}{20}) \).
Aradaki terimler birbirini götürür (\(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\) vb.).
Geriye ilk terim ve son terim kalır: \( \frac{1}{1} - \frac{1}{20} \).
\( 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20} \).
RASYONEL SAYILAR
Rasyonel sayılar, KPSS matematiğinin temel taşıdır. İşlem yeteneği, hız ve dikkat gerektiren bu konu, sınavda genellikle 2-3 soru ile karşımıza çıkar. Bu rehberde konuyu tüm detaylarıyla ele alacağız.
1. Rasyonel Sayıların Tanımı ve Kesir Çeşitleri
A. Rasyonel Sayı Nedir?
a ve b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel Sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi "Q" harfi ile gösterilir.
Bir sayının sıfıra bölümü TANIMSIZDIR. Örneğin \( \frac{5}{0} \) tanımsızdır.
Ancak sıfırın bir sayıya bölümü (sayı sıfır hariç) sıfırdır. \( \frac{0}{5} = 0 \).
B. Kesir Çeşitleri
1. Basit Kesir: İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlerdir (\(|a| < |b|\)). Değerleri -1 ile 1 arasındadır. Örnek: \( \frac{2}{5} \).
2. Bileşik Kesir: İşaretine bakılmaksızın payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlerdir (\(|a| \geq |b|\)). Örnek: \( \frac{7}{5}, \frac{4}{4} \).
3. Tamsayılı Kesir: Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlerdir. Örnek: \( 2\frac{3}{5} \).
C. Kesir Dönüşümleri
Tamsayılıyı Bileşiğe Çevirme: \(A\frac{b}{c} = \frac{(A \times c) + b}{c}\).
Örnek: \( 2\frac{3}{5} = \frac{(2 \times 5) + 3}{5} = \frac{13}{5} \).
\( -2\frac{3}{5} \) ifadesi \( -2 + \frac{3}{5} \) demek DEĞİLDİR!
Bu ifade \( -(2\frac{3}{5}) \) demektir. Yani önce pozitifi çevirir, sonra eksiyi koyarız.
\( -2\frac{3}{5} = -\frac{13}{5} \).
Yaygın Hata: ((-2)*5)+3 / 5 = -7/5 (Yanlış!).
2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
A. Toplama ve Çıkarma
Toplama veya çıkarma yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşitlenir, paylar toplanır/çıkarılır ve ortak payda yazılır.
B. Çarpma
Paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. Çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapmak işlemi kolaylaştırır.
C. Bölme
Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip (pay ve payda yer değiştirir) çarpılır.
D. İşlem Önceliği (Çok Önemli!)
- Üslü İfadeler
- Parantez İçleri
- Çarpma ve Bölme (Soldan sağa hangisi önce gelirse)
- Toplama ve Çıkarma
Çok adımlı işlemlerde, ana kesir çizgisine dikkat edilir. İşleme genellikle ana kesir çizgisinden en uzaktaki basamaktan (en alttan veya en üstten) başlanarak ilerlenir.
3. Ondalık Sayılar
Paydası 10'un pozitif tam sayı kuvvetleri (10, 100, 1000...) olan rasyonel sayılara Ondalık Sayı denir.
Ondalık Sayılarda Bölme (Virgül Kaydırma)
KPSS'de hız kazandıran en önemli yöntemdir. Pay ve paydadaki virgülleri sağa doğru kaydırarak sayıları tam sayı haline getiririz. Eksik basamaklar için sıfır eklenir.
Örnek: \( \frac{0,12}{0,003} \). Paydayı kurtarmak için 3 basamak sağa kaydırmak gerekir (1000 ile çarpmak). Payı da 3 basamak kaydırırız: \( \frac{120}{3} = 40 \).
4. Devirli Ondalık Sayılar
Bir ondalık sayıda virgülden sonraki kısmın belirli bir düzende tekrar etmesine devirli ondalık sayı denir. Örnek: \( 0,\bar{3} \).
Rasyonel Sayıya Çevirme Formülü
Örnek: \( 2,1\bar{4} \) sayısını çevirelim.
\( \frac{214 - 21}{90} = \frac{193}{90} \).
Eğer devreden sayı sadece 9 ise, solundaki basamağı 1 artırırız ve 9'u sileriz.
Örnek: \( 1,9\bar{9} = 2 \). Örnek: \( 0,4\bar{9} = 0,5 \).
5. Rasyonel Sayılarda Sıralama
A. Pozitif Rasyonel Sayılarda Sıralama
1. Paydalar Eşitse: Payı büyük olan daha büyüktür.
2. Paylar Eşitse: Paydası küçük olan daha büyüktür.
3. Pay ve Payda Arasındaki Fark Eşitse (KPSS Favorisi):
- Basit kesirlerde sayılar büyüdükçe kesrin değeri artar. (Örn: \( \frac{1}{2} < \frac{99}{100} \))
- Bileşik kesirlerde sayılar büyüdükçe kesrin değeri azalır. (Örn: \( \frac{3}{2} > \frac{100}{99} \))
B. Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama
Sayılar pozitifmiş gibi sıralanır, ardından sıralama tam tersine çevrilir.
RASYONEL SAYILAR TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: \( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \) işleminin sonucu kaçtır?
Paydaları 8'de eşitleriz.
\( \frac{1 \times 4}{2 \times 4} + \frac{3 \times 2}{4 \times 2} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4+6-1}{8} = \frac{9}{8} \).
Soru 2: \( \left(1 - \frac{1}{3}\right) \times \left(1 + \frac{1}{3}\right) \) işleminin sonucu kaçtır?
Parantez içlerini yapalım.
\( \left(\frac{3-1}{3}\right) \times \left(\frac{3+1}{3}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9} \).
Soru 3: \( -2\frac{1}{5} \) kesrinin bileşik kesir olarak karşılığı nedir?
Negatif tamsayılı kesirlerde eksi yokmuş gibi işlem yapılır, sonra eksi eklenir.
\( 2\frac{1}{5} = \frac{(2 \times 5) + 1}{5} = \frac{11}{5} \). Sonuç: \( -\frac{11}{5} \).
Soru 4: \( \frac{0.6}{0.2} + \frac{0.9}{0.3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Virgül kaydırma (10 ile genişletme) yapılır.
\( \frac{6}{2} + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6 \).
Soru 5: Aşağıdakilerden hangisi basit kesirdir?
Basit kesirde pay, paydadan mutlak değerce küçük olmalıdır. 5 < 9 olduğu için \( \frac{5}{9} \) basit kesirdir.
Soru 6: \( \frac{12}{18} \) kesrinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
12 ve 18'in en büyük ortak böleni 6'dır. Pay ve paydayı 6'ya böleriz.
\( \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} \).
Soru 7: \( \frac{1}{5} \div \frac{3}{10} \) işleminin sonucu kaçtır?
Bölme işleminde ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
\( \frac{1}{5} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{15} \). 5 ile sadeleştirirsek \( \frac{2}{3} \).
Soru 8: \( 0.25 \) sayısının rasyonel sayı olarak en sade karşılığı nedir?
\( 0.25 = \frac{25}{100} \). 25 ile sadeleştirirsek \( \frac{1}{4} \).
Soru 9: \( a = \frac{3}{7}, b = \frac{5}{7}, c = \frac{2}{7} \) sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Paydalar eşit olduğunda, payı büyük olan daha büyüktür.
5 > 3 > 2 olduğundan b > a > c.
Soru 10: \( 1 + \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
En alttan başlanır. \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
İşlem \( 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}} \) haline geldi. \( \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \times \frac{2}{1} = 2 \).
Sonuç: 1 + 2 = 3.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: \( \frac{0.04}{0.01} + \frac{1.2}{0.3} - \frac{5}{0.5} \) işleminin sonucu kaçtır?
Virgül kaydırma (genişletme) yapılır.
1. Terim (100 ile genişlet): \( \frac{4}{1} = 4 \).
2. Terim (10 ile genişlet): \( \frac{12}{3} = 4 \).
3. Terim (10 ile genişlet): \( \frac{50}{5} = 10 \).
Sonuç: \( 4 + 4 - 10 = 8 - 10 = -2 \).
Soru 12: \( \frac{3}{4} \div \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \) işleminin sonucu kaçtır?
Önce parantez içi: \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} \).
İşlem: \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{6} = \frac{3}{4} \times \frac{6}{1} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \).
Soru 13: \( 0.\overline{6} \) devirli ondalık sayısının rasyonel karşılığı nedir?
Formül: (Sayının tamamı - Devretmeyen kısım) / (Devreden kadar 9).
\( \frac{6-0}{9} = \frac{6}{9} \). Sadeleştirirsek \( \frac{2}{3} \).
Soru 14: \( a = \frac{10}{11}, b = \frac{100}{101}, c = \frac{1000}{1001} \) sayılarının sıralanışı nasıldır?
Kesirler basit kesirdir ve pay ile payda arasındaki fark 1'dir (Sabit).
Basit kesirlerde fark sabitken, sayıları büyük olan kesir daha büyüktür (1'e daha yakındır).
1000 > 100 > 10 olduğundan c > b > a. Yani a < b < c.
Soru 15: \( \frac{2x+1}{5} \) ifadesi bir basit kesir olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Basit kesirler -1 ile 1 arasındadır. \( -1 < \frac{2x+1}{5} < 1 \).
Her tarafı 5 ile çarpalım: \( -5 < 2x+1 < 5 \).
Her taraftan 1 çıkaralım: \( -6 < 2x < 4 \).
Her tarafı 2'ye bölelim: \( -3 < x < 2 \).
x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 1'dir.
Soru 16: \( \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)...\left(1-\frac{1}{20}\right) \) işleminin sonucu kaçtır?
Parantez içlerini yapalım: \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times ... \times \frac{19}{20} \).
Sadeleştirmeler çapraz olarak gerçekleşir (2'ler, 3'ler, ..., 19'lar gider).
Geriye ilk terimin payı (1) ve son terimin paydası (20) kalır. Sonuç \( \frac{1}{20} \).
Soru 17: \( \frac{0.48}{0.12} + \frac{0.75}{0.15} - 2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Virgül kaydıralım (100 ile genişletelim).
\( \frac{48}{12} + \frac{75}{15} - 2 \).
\( 4 + 5 - 2 = 9 - 2 = 7 \).
Soru 18: \( 1.2\overline{3} \) devirli sayısının rasyonel karşılığı nedir?
Formül: (Sayının tamamı - Devretmeyen kısım) / (Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0).
\( \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90} \).
3 ile sadeleştirirsek: \( \frac{37}{30} \).
Soru 19: \( x = -\frac{5}{6}, y = -\frac{7}{8}, z = -\frac{9}{10} \) sayılarının sıralanışı nasıldır?
Pozitif gibi düşünelim. Basit kesirler ve farklar eşit (1).
Sayılar büyüdükçe değer artar: \( \frac{5}{6} < \frac{7}{8} < \frac{9}{10} \).
Negatif oldukları için sıralama ters çevrilir: \( -\frac{5}{6} > -\frac{7}{8} > -\frac{9}{10} \).
Yani x > y > z.
Soru 20: \( \frac{2 - \frac{1}{3}}{3 + \frac{1}{3}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Pay kısmı: \( 2 - \frac{1}{3} = \frac{6-1}{3} = \frac{5}{3} \).
Payda kısmı: \( 3 + \frac{1}{3} = \frac{9+1}{3} = \frac{10}{3} \).
İşlem: \( \frac{5/3}{10/3} = \frac{5}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: \( \frac{2025 + \frac{1}{3}}{2024 + \frac{4}{3}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Paydayı düzenleyelim: \( 2024 + \frac{4}{3} \).
\( \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3} \) olarak yazılabilir.
Payda: \( 2024 + 1 + \frac{1}{3} = 2025 + \frac{1}{3} \).
Pay ve payda birbirine eşit olduğu için sonuç 1'dir.
Soru 22: \( x \) bir pozitif tam sayıdır. \( A = \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} \) ifadesinin bir tam sayı olması için x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Paydaları 12'de eşitleyelim: \( A = \frac{6x}{12} + \frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} = \frac{13x}{12} \).
A'nın tam sayı olması için \(13x\)'in 12'ye tam bölünmesi gerekir. 13 ve 12 aralarında asal olduğu için x'in 12'ye tam bölünmesi gerekir.
En küçük pozitif x değeri 12'dir.
Soru 23: \( \frac{0.1}{0.01} + \frac{0.02}{0.002} + \frac{0.003}{0.0003} \) işleminin sonucu kaçtır?
1. Terim (100 ile genişlet): \( \frac{10}{1} = 10 \).
2. Terim (1000 ile genişlet): \( \frac{20}{2} = 10 \).
3. Terim (10000 ile genişlet): \( \frac{30}{3} = 10 \).
Toplam: 10 + 10 + 10 = 30.
Soru 24: \( A = \frac{17}{15} + \frac{19}{17} + \frac{21}{19} \) olduğuna göre, \( \frac{2}{15} + \frac{2}{17} + \frac{2}{19} \) ifadesinin A türünden eşiti nedir?
İkinci ifadeye B diyelim.
A ve B'yi taraf tarafa çıkaralım (A-B):
\( (\frac{17}{15}-\frac{2}{15}) + (\frac{19}{17}-\frac{2}{17}) + (\frac{21}{19}-\frac{2}{19}) \)
\( = \frac{15}{15} + \frac{17}{17} + \frac{19}{19} = 1 + 1 + 1 = 3 \).
A - B = 3 ise, B = A - 3.
Soru 25: \( 3 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = 2 \) olduğuna göre x kaçtır?
3'ten ne çıkarsa 2 kalır? 1.
\( \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = 1 \).
Pay 1 ise payda da 1 olmalı. \( 1 - \frac{1}{x} = 1 \).
1'den ne çıkarsa 1 kalır? 0.
\( \frac{1}{x} = 0 \). Payı 1 olan bir kesrin sonucu 0 olamaz. Bu denklemi sağlayan bir x değeri yoktur.
Soru 26: \( \frac{3x-1}{7} \) ifadesi bir bileşik kesir olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri ile en büyük negatif tam sayı değeri toplamı kaçtır?
Bileşik kesir için \( |Pay| \geq |Payda| \) olmalı. \( |3x-1| \geq 7 \).
Bu mutlak değer eşitsizliği iki durumda incelenir:
Durum 1: \( 3x-1 \geq 7 \implies 3x \geq 8 \implies x \geq 8/3 \) (yaklaşık 2.66). En küçük pozitif tam sayı x=3.
Durum 2: \( 3x-1 \leq -7 \implies 3x \leq -6 \implies x \leq -2 \). En büyük negatif tam sayı x=-2.
Toplam: 3 + (-2) = 1.
Soru 27: \( \frac{1}{12} < \frac{x}{18} < \frac{1}{4} \) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
Paydaları eşitleyelim. EKOK(12, 18, 4) = 36.
\( \frac{3}{36} < \frac{2x}{36} < \frac{9}{36} \).
Paydaları atarsak: \( 3 < 2x < 9 \).
Her tarafı 2'ye bölelim: \( 1.5 < x < 4.5 \).
x'in alabileceği tam sayı değerleri: 2, 3, 4. Toplam 3 tane.
Soru 28: \( 0.1\overline{2} + 0.2\overline{3} \) işleminin sonucu kaçtır? (En sade haliyle)
Sayıları rasyonel hale getirelim.
\( 0.1\overline{2} = \frac{12-1}{90} = \frac{11}{90} \).
\( 0.2\overline{3} = \frac{23-2}{90} = \frac{21}{90} \).
Toplam: \( \frac{11}{90} + \frac{21}{90} = \frac{32}{90} \).
En sade hali (2 ile sadeleştir): \( \frac{16}{45} \).
Soru 29: \( x = 2.345, y = 2.3\overline{45}, z = 2.34\overline{5} \) sayılarının sıralanışı nasıldır?
Sayıları açarak karşılaştıralım:
x = 2.345000...
y = 2.345454...
z = 2.345555...
İlk dört basamak aynı (2.345). Beşinci basamaklara bakalım: x=0, y=4, z=5.
0 < 4 < 5 olduğundan x < y < z.
Soru 30: \( \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + ... + \frac{1}{19\cdot20} \) işleminin sonucu kaçtır?
Bu bir teleskopik seridir. \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \) kuralını kullanırız.
\( (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{19}-\frac{1}{20}) \).
Aradaki terimler birbirini götürür (\(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\) vb.).
Geriye ilk terim ve son terim kalır: \( \frac{1}{1} - \frac{1}{20} \).
\( 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20} \).