Sayılar Test 2
1. a ve b doğal sayılardır. a! = 42 * b! olduğuna göre, b'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Durum 1: 42'yi ardışık yazalım. 42 = 7 * 6. a! / b! = 7 * 6 => 7! / 5! = 7 * 6. Bu durumda a=7, b=5. Durum 2: 42'yi tek sayı olarak düşünelim. a! = 42 * 41! => a! = 42!. Bu durumda a=42, b=41. b'nin alabileceği değerler 5 ve 41'dir. Toplamı 5 + 41 = 46.
2. A, B, C pozitif tam sayılardır. A sayısı 5'e bölündüğünde kalan 4, B sayısı 3'e bölündüğünde kalan 1'dir. A = 5B + 4 ve B = 3C + 1 olduğuna göre, A sayısının 15 ile bölümünden kalan kaçtır?
A = 5B + 4 denkleminde B yerine (3C + 1) yazalım. A = 5 * (3C + 1) + 4 A = 15C + 5 + 4 A = 15C + 9. 15C ifadesi 15'e tam bölünür. Dolayısıyla A sayısının 15 ile bölümünden kalan 9'dur.
3. Dört basamaklı 5A2B sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre, A'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
45 ile bölünme: Hem 5 hem de 9 ile tam bölünmeli. 5 ile bölünme: B=0 veya B=5. Durum 1 (B=0): Sayı 5A20. 9 ile bölünmeli. Rakamlar toplamı 5+A+2+0 = 7+A = 9k. A=2 olmalı. Durum 2 (B=5): Sayı 5A25. 9 ile bölünmeli. Rakamlar toplamı 5+A+2+5 = 12+A = 9k. A=6 olmalı. A'nın alabileceği değerler {2, 6}. Toplamları 2 + 6 = 8.
4. 5 tabanındaki (203)5 sayısının 10 tabanındaki karşılığı kaçtır?
10 tabanına çevirirken basamak değerleri ile çarparız (sağdan sola 5⁰, 5¹, 5²...): (2 * 5²) + (0 * 5¹) + (3 * 5⁰) = (2 * 25) + (0 * 5) + (3 * 1) = 50 + 0 + 3 = 53.
5. x, y, z negatif tam sayılardır. x*y = 18 ve y*z = 30 olduğuna göre, x+y+z toplamının alabileceği en büyük değer (0'a en yakın) kaçtır?
Toplamın en büyük (negatif sayılarda 0'a en yakın) olması için ortak çarpan olan y'ye 18 ve 30'un EBOB'unu vermeliyiz. EBOB(18, 30) = 6. Sayılar negatif olduğu için y = -6. x * (-6) = 18 => x = -3. (-6) * z = 30 => z = -5. Toplam: (-3) + (-6) + (-5) = -14.
6. İki basamaklı AB sayısının sağına 2 yazılarak elde edilen üç basamaklı AB2 sayısı, soluna 2 yazılarak elde edilen 2AB sayısından 90 fazladır. Buna göre A+B toplamı kaçtır?
Sayıları çözümleyelim: AB2 = (AB * 10) + 2 2AB = 200 + AB Denklem: (10 * AB + 2) = (200 + AB) + 90 10*AB + 2 = 290 + AB 9 * AB = 288 AB = 288 / 9 = 32. A=3, B=2. Toplam A+B = 5.
7. 2323...23 şeklinde devam eden 30 basamaklı sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
9 ile bölünebilme için rakamlar toplamına bakılır. 30 basamaklı sayıda 15 tane '2' ve 15 tane '3' rakamı vardır. Rakamlar Toplamı = (15 * 2) + (15 * 3) = 30 + 45 = 75. 75'in 9 ile bölümünden kalanı bulmak için 7+5=12. 12'nin 9 ile bölümünden kalan 3'tür.
8. 50! - 1 sayısının sondan kaç basamağı 9'dur?
Bir sayıdan 1 çıkarıldığında sondaki 9 sayısı, o sayının sonundaki 0 sayısına eşittir (Örn: 1000-1=999). 50! sayısının sonundaki 0 sayısını (yani 5 çarpanı sayısını) bulmalıyız. 50 / 5 = 10 10 / 5 = 2 Toplam 0 sayısı = 10 + 2 = 12. Sondan 12 basamak 9'dur.
9. x ve y pozitif tam sayılardır. 3x + 4y = 48 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?
İlk değeri bulalım. x=4 için 3(4) + 4y = 48 => 12 + 4y = 48 => 4y = 36 => y = 9. İlk ikili (4, 9). x, y'nin katsayısı (4) artarken, y, x'in katsayısı (3) azalır (veya tersi). (4+4, 9-3) = (8, 6) (8+4, 6-3) = (12, 3) (12+4, 3-3) = (16, 0). 0 pozitif tam sayı değildir. İkililer: (4,9), (8,6), (12,3). Toplam 3 tane.
10. Üç basamaklı bir sayı 5'e bölündüğünde 3, 7'ye bölündüğünde 4 kalanını vermektedir. Bu şartı sağlayan en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
Sayı A olsun. A = 5k+3 = 7m+4. Her tarafa öyle bir sayı ekleyelim ki 5'in ve 7'nin katı olsun. A+2 = 5k+5 = 7m+6 (Olmadı). A+17 = 5k+20 (5'in katı) = 7m+21 (7'nin katı). A+17 sayısı OKEK(5,7)=35'in katıdır. A+17 = 35k. En küçük üç basamaklı için k=3 verelim. A+17 = 105. A = 88. (Üç basamaklı değil). k=4 verelim. A+17 = 140. A = 123. Sayı 123'tür. Rakamlar toplamı 1+2+3 = 6.
11. 4 tabanındaki (103)4 sayısı, 5 tabanında kaçtır?
Önce 10 tabanına çevirelim: (103)4 = (1 * 4²) + (0 * 4¹) + (3 * 4⁰) = (1 * 16) + 0 + (3 * 1) = 19. Şimdi 19'u 5 tabanına çevirelim: 19 / 5 = Bölüm 3, Kalan 4. 3 / 5 = Bölüm 0, Kalan 3. Kalanları sondan başa doğru yazarız: (34)5.
12. Dört basamaklı 4A3B sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, A+B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
12 ile bölünme: Hem 3 hem de 4 ile tam bölünmeli. 4 ile bölünme: Son iki basamak (3B) 4'ün katı olmalı. B=2 (32) veya B=6 (36) olabilir. Durum 1 (B=2): Sayı 4A32. 3 ile bölünmeli. Rakamlar toplamı 4+A+3+2 = 9+A = 3k. A=0, 3, 6, 9. En büyük A+B = 9+2 = 11. Durum 2 (B=6): Sayı 4A36. 3 ile bölünmeli. Rakamlar toplamı 4+A+3+6 = 13+A = 3k. A=2, 5, 8. En büyük A+B = 8+6 = 14. Alınabilecek en büyük değer 14'tür.
13. a, b, c birbirinden farklı asal sayılardır. a * (b - c) = 11 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
11 asal bir sayıdır. Çarpanları 1 ve 11'dir. 'a' asal sayı olduğuna göre 1 olamaz. O halde a = 11. (b - c) = 1 olmalıdır. Arasındaki fark 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. (b=3, c=2). Sayılar (11, 3, 2) birbirinden farklı ve asaldır. Toplam: 11 + 3 + 2 = 16.
14. 20! + 21! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Küçük olan 20! parantezine alınır: 20! * (1 + 21) = 20! * 22. Sondaki 0 sayısını 5 çarpanları belirler. 20! içindeki 5'ler: 20 / 5 = 4. (4 tane). 22 (yani 2 * 11) içinde 5 çarpanı yoktur (0 tane). Toplam 5 çarpanı sayısı 4 + 0 = 4. Sondan 4 basamağı sıfırdır.
15. İki basamaklı AB sayısı, rakamları yer değiştirdiğinde (BA) 36 artmaktadır. A + B = 10 koşulunu sağladığına göre, A * B çarpımı kaçtır?
Denklem 1: BA - AB = 36 (10B + A) - (10A + B) = 36 9B - 9A = 36 => B - A = 4. Denklem 2: A + B = 10. İki denklemi alt alta toplayalım: (B - A) + (B + A) = 4 + 10 2B = 14 => B = 7. A + 7 = 10 => A = 3. Çarpım A * B = 3 * 7 = 21.
Sayılar Test 2
1. a ve b doğal sayılardır. a! = 42 * b! olduğuna göre, b'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Durum 1: 42'yi ardışık yazalım. 42 = 7 * 6. a! / b! = 7 * 6 => 7! / 5! = 7 * 6. Bu durumda a=7, b=5. Durum 2: 42'yi tek sayı olarak düşünelim. a! = 42 * 41! => a! = 42!. Bu durumda a=42, b=41. b'nin alabileceği değerler 5 ve 41'dir. Toplamı 5 + 41 = 46.
2. A, B, C pozitif tam sayılardır. A sayısı 5'e bölündüğünde kalan 4, B sayısı 3'e bölündüğünde kalan 1'dir. A = 5B + 4 ve B = 3C + 1 olduğuna göre, A sayısının 15 ile bölümünden kalan kaçtır?
A = 5B + 4 denkleminde B yerine (3C + 1) yazalım. A = 5 * (3C + 1) + 4 A = 15C + 5 + 4 A = 15C + 9. 15C ifadesi 15'e tam bölünür. Dolayısıyla A sayısının 15 ile bölümünden kalan 9'dur.
3. Dört basamaklı 5A2B sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre, A'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
45 ile bölünme: Hem 5 hem de 9 ile tam bölünmeli. 5 ile bölünme: B=0 veya B=5. Durum 1 (B=0): Sayı 5A20. 9 ile bölünmeli. Rakamlar toplamı 5+A+2+0 = 7+A = 9k. A=2 olmalı. Durum 2 (B=5): Sayı 5A25. 9 ile bölünmeli. Rakamlar toplamı 5+A+2+5 = 12+A = 9k. A=6 olmalı. A'nın alabileceği değerler {2, 6}. Toplamları 2 + 6 = 8.
4. 5 tabanındaki (203)5 sayısının 10 tabanındaki karşılığı kaçtır?
10 tabanına çevirirken basamak değerleri ile çarparız (sağdan sola 5⁰, 5¹, 5²...): (2 * 5²) + (0 * 5¹) + (3 * 5⁰) = (2 * 25) + (0 * 5) + (3 * 1) = 50 + 0 + 3 = 53.
5. x, y, z negatif tam sayılardır. x*y = 18 ve y*z = 30 olduğuna göre, x+y+z toplamının alabileceği en büyük değer (0'a en yakın) kaçtır?
Toplamın en büyük (negatif sayılarda 0'a en yakın) olması için ortak çarpan olan y'ye 18 ve 30'un EBOB'unu vermeliyiz. EBOB(18, 30) = 6. Sayılar negatif olduğu için y = -6. x * (-6) = 18 => x = -3. (-6) * z = 30 => z = -5. Toplam: (-3) + (-6) + (-5) = -14.
6. İki basamaklı AB sayısının sağına 2 yazılarak elde edilen üç basamaklı AB2 sayısı, soluna 2 yazılarak elde edilen 2AB sayısından 90 fazladır. Buna göre A+B toplamı kaçtır?
Sayıları çözümleyelim: AB2 = (AB * 10) + 2 2AB = 200 + AB Denklem: (10 * AB + 2) = (200 + AB) + 90 10*AB + 2 = 290 + AB 9 * AB = 288 AB = 288 / 9 = 32. A=3, B=2. Toplam A+B = 5.
7. 2323...23 şeklinde devam eden 30 basamaklı sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
9 ile bölünebilme için rakamlar toplamına bakılır. 30 basamaklı sayıda 15 tane '2' ve 15 tane '3' rakamı vardır. Rakamlar Toplamı = (15 * 2) + (15 * 3) = 30 + 45 = 75. 75'in 9 ile bölümünden kalanı bulmak için 7+5=12. 12'nin 9 ile bölümünden kalan 3'tür.
8. 50! - 1 sayısının sondan kaç basamağı 9'dur?
Bir sayıdan 1 çıkarıldığında sondaki 9 sayısı, o sayının sonundaki 0 sayısına eşittir (Örn: 1000-1=999). 50! sayısının sonundaki 0 sayısını (yani 5 çarpanı sayısını) bulmalıyız. 50 / 5 = 10 10 / 5 = 2 Toplam 0 sayısı = 10 + 2 = 12. Sondan 12 basamak 9'dur.
9. x ve y pozitif tam sayılardır. 3x + 4y = 48 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?
İlk değeri bulalım. x=4 için 3(4) + 4y = 48 => 12 + 4y = 48 => 4y = 36 => y = 9. İlk ikili (4, 9). x, y'nin katsayısı (4) artarken, y, x'in katsayısı (3) azalır (veya tersi). (4+4, 9-3) = (8, 6) (8+4, 6-3) = (12, 3) (12+4, 3-3) = (16, 0). 0 pozitif tam sayı değildir. İkililer: (4,9), (8,6), (12,3). Toplam 3 tane.
10. Üç basamaklı bir sayı 5'e bölündüğünde 3, 7'ye bölündüğünde 4 kalanını vermektedir. Bu şartı sağlayan en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
Sayı A olsun. A = 5k+3 = 7m+4. Her tarafa öyle bir sayı ekleyelim ki 5'in ve 7'nin katı olsun. A+2 = 5k+5 = 7m+6 (Olmadı). A+17 = 5k+20 (5'in katı) = 7m+21 (7'nin katı). A+17 sayısı OKEK(5,7)=35'in katıdır. A+17 = 35k. En küçük üç basamaklı için k=3 verelim. A+17 = 105. A = 88. (Üç basamaklı değil). k=4 verelim. A+17 = 140. A = 123. Sayı 123'tür. Rakamlar toplamı 1+2+3 = 6.
11. 4 tabanındaki (103)4 sayısı, 5 tabanında kaçtır?
Önce 10 tabanına çevirelim: (103)4 = (1 * 4²) + (0 * 4¹) + (3 * 4⁰) = (1 * 16) + 0 + (3 * 1) = 19. Şimdi 19'u 5 tabanına çevirelim: 19 / 5 = Bölüm 3, Kalan 4. 3 / 5 = Bölüm 0, Kalan 3. Kalanları sondan başa doğru yazarız: (34)5.
12. Dört basamaklı 4A3B sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, A+B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
12 ile bölünme: Hem 3 hem de 4 ile tam bölünmeli. 4 ile bölünme: Son iki basamak (3B) 4'ün katı olmalı. B=2 (32) veya B=6 (36) olabilir. Durum 1 (B=2): Sayı 4A32. 3 ile bölünmeli. Rakamlar toplamı 4+A+3+2 = 9+A = 3k. A=0, 3, 6, 9. En büyük A+B = 9+2 = 11. Durum 2 (B=6): Sayı 4A36. 3 ile bölünmeli. Rakamlar toplamı 4+A+3+6 = 13+A = 3k. A=2, 5, 8. En büyük A+B = 8+6 = 14. Alınabilecek en büyük değer 14'tür.
13. a, b, c birbirinden farklı asal sayılardır. a * (b - c) = 11 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
11 asal bir sayıdır. Çarpanları 1 ve 11'dir. 'a' asal sayı olduğuna göre 1 olamaz. O halde a = 11. (b - c) = 1 olmalıdır. Arasındaki fark 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. (b=3, c=2). Sayılar (11, 3, 2) birbirinden farklı ve asaldır. Toplam: 11 + 3 + 2 = 16.
14. 20! + 21! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Küçük olan 20! parantezine alınır: 20! * (1 + 21) = 20! * 22. Sondaki 0 sayısını 5 çarpanları belirler. 20! içindeki 5'ler: 20 / 5 = 4. (4 tane). 22 (yani 2 * 11) içinde 5 çarpanı yoktur (0 tane). Toplam 5 çarpanı sayısı 4 + 0 = 4. Sondan 4 basamağı sıfırdır.
15. İki basamaklı AB sayısı, rakamları yer değiştirdiğinde (BA) 36 artmaktadır. A + B = 10 koşulunu sağladığına göre, A * B çarpımı kaçtır?
Denklem 1: BA - AB = 36 (10B + A) - (10A + B) = 36 9B - 9A = 36 => B - A = 4. Denklem 2: A + B = 10. İki denklemi alt alta toplayalım: (B - A) + (B + A) = 4 + 10 2B = 14 => B = 7. A + 7 = 10 => A = 3. Çarpım A * B = 3 * 7 = 21.