ÜSLÜ SAYILAR
Üslü sayılar, sayıların tekrarlı çarpımını ifade eden matematiksel bir gösterimdir. KPSS'de işlem hızı ve kural hakimiyeti gerektiren bu konuyu tüm detaylarıyla inceleyelim.
1. Temel Tanımlar ve Özellikler
A. Tanım
a bir reel sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a'nın çarpımına a'nın n. kuvveti denir ve an şeklinde gösterilir.
an = a · a · a · … · a (n tane)
Burada a taban, n ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır.
B. Temel Özellikler
- Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'dir. a0 = 1 (a≠0).
- Tüm sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir. a1 = a.
- 1'in tüm kuvvetleri 1'dir. 1n = 1.
- 0'ın pozitif kuvvetleri 0'dır. 0n = 0 (n>0).
00 ifadesi matematikte belirsizdir. Denklemlerde üs sıfır olduğunda tabanın sıfır olmadığından emin olunmalıdır.
2. İşaret Tespiti ve Parantezin Önemi
A. Pozitif Sayılar
Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
B. Negatif Sayılar
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
- (-a)2n = a2n (Çift kuvvet) → Örnek: (-2)4 = 16
- (-a)2n+1 = -a2n+1 (Tek kuvvet) → Örnek: (-2)3 = -8
KPSS'de en çok hata yapılan yer burasıdır. Parantez yoksa veya üs parantezin içindeyse, üs sadece sayıyı ilgilendirir, işareti ilgilendirmez.
(-2)4 = +16 (Parantez var, üs dışarıda)
-24 = -(24) = -16 (Parantez yok)
Bu iki ifade birbirinden farklıdır!
3. Negatif Üs ve Üssün Üssü
A. Negatif Üs (Ters Çevirme)
Negatif üs, sayıyı çarpmaya göre ters çevirir. İşareti etkilemez.
(a/b)-n = (b/a)n
Örnek: 3-2 = 1 / 32 = 1/9.
Örnek: (-4)-3 = 1 / (-4)3 = 1 / (-64) = -1/64.
B. Üssün Üssü (Kuvvetin Kuvveti)
Bir üslü ifadenin tekrar kuvveti alınıyorsa, üsler çarpılır.
Bu kural, tabanları eşitlemek (Taban Dönüştürme) için sıklıkla kullanılır. Örneğin 85 = (23)5 = 215.
Taban negatifse, doğrudan üsleri çarpmak hatalı olabilir. İşaret analizi yapılmalıdır.
Örnek: (-23)2. İçerisi (-8). Sonuç (-8)2 = 64.
Örnek: (-22)3. İçerisi (-4). Sonuç (-4)3 = -64.
4. Üslü Sayılarda Dört İşlem
A. Çarpma ve Bölme
1. Tabanlar Aynıysa: Çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır.
am / an = am-n
2. Üsler Aynıysa: Tabanlar çarpılır veya bölünür, ortak üs yazılır.
an / bn = (a/b)n
B. Toplama ve Çıkarma (Ortak Parantez)
Toplama ve çıkarma yapabilmek için hem tabanların hem de üslerin aynı olması gerekir. Aynıysa, katsayılar toplanır veya çıkarılır.
Eğer üsler farklıysa, genellikle büyük olan üs küçük olana benzetilerek ortak paranteze alınır.
Örnek: 212 + 210.
210 · 22 + 210 · 1 = 210(22 + 1) = 210(4+1) = 5 · 210.
5. Üslü Denklemler ve Eşitsizlikler
A. Üslü Denklemler
1. Tabanların Eşitliği: Tabanlar eşitse (ve taban -1, 0, 1 değilse), üsler de eşittir. ax = ay ise x = y.
2. Üslerin Eşitliği:
- Üs tek ise tabanlar direkt eşittir.
- Üs çift ise tabanlar mutlak değerce eşittir (a=b veya a=-b).
3. an = 1 Durumu: Üç ihtimal incelenmelidir:
- Taban 1 olabilir.
- Üs 0 olabilir (Taban 0 olmamak şartıyla).
- Taban -1 ve üs çift olabilir.
B. Üslü Eşitsizlikler
- Taban 1'den Büyükse: Eşitsizlik yönü korunur. 2x < 25 ise x < 5.
- Taban 0 ile 1 Arasındaysa (Basit Kesir): Eşitsizlik yön değiştirir. (1/2)x < (1/2)5 ise x > 5.
6. Sıralama ve Basamak Sayısı
A. Sıralama
Sıralama yapmak için ya tabanlar ya da üsler eşitlenir. Genellikle üslerin EBOB'unu alarak üsleri eşitlemek tercih edilir.
B. Basamak Sayısı Bulma
Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için A × 10n formatına getirilir (2 ve 5 çarpanları kullanılır). Basamak sayısı, A'nın basamak sayısı ile n'in toplamıdır.
ÜSLÜ SAYILAR TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: 24 + 32 + 70 işleminin sonucu kaçtır?
24 = 16. 32 = 9. 70 = 1.
Toplam: 16 + 9 + 1 = 26.
Soru 2: (-3)2 + (-24) işleminin sonucu kaçtır?
(-3)2: Parantez var, üs çift. Sonuç +9.
-24: Parantez yok (veya üs içeride), üs sadece 2'yi etkiler. -(24) = -16.
İşlem: 9 + (-16) = 9 - 16 = -7.
Soru 3: 4-2 ifadesinin değeri kaçtır?
Negatif üs sayıyı ters çevirir. 4-2 = 1 / 42 = 1/16.
Soru 4: 23 · 25 · 2-1 işleminin sonucu kaçtır?
Tabanlar aynı (2), üsler toplanır.
23+5+(-1) = 28-1 = 27.
Soru 5: 512 / 54 işleminin sonucu kaçtır?
Tabanlar aynı (5), bölmede üsler çıkarılır.
512-4 = 58.
Soru 6: (32)5 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Üssün üssü kuralına göre üsler çarpılır.
32·5 = 310.
Soru 7: 3x = 27 olduğuna göre x kaçtır?
27 sayısını 3'ün kuvveti olarak yazmalıyız. 27 = 33.
3x = 33. Tabanlar eşitse üsler de eşittir. x = 3.
Soru 8: 43 · 53 işleminin sonucu kaçtır?
Üsler aynı (3), tabanlar çarpılır.
(4 · 5)3 = 203.
Soru 9: 34 + 34 + 34 işleminin sonucu kaçtır?
3 tane 34'ün toplamı, 3 · 34 demektir.
31 · 34 = 31+4 = 35.
Soru 10: (1/5)-2 ifadesinin değeri kaçtır?
Negatif üs kesri ters çevirir.
(5/1)2 = 52 = 25.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: (45 · 83) / 164 işleminin sonucu kaçtır?
Tüm tabanları 2 yapalım.
45 = (22)5 = 210.
83 = (23)3 = 29.
164 = (24)4 = 216.
İşlem: (210 · 29) / 216 = 219 / 216 = 219-16 = 23 = 8.
Soru 12: (2x+1 + 2x) / 2x-1 işleminin sonucu kaçtır?
İfadeleri parçalayalım ve 2x ortak parantezine alalım.
Pay: 2x · 21 + 2x · 1 = 2x(2+1) = 3 · 2x.
Payda: 2x · 2-1 = (1/2) · 2x.
Oran: (3 · 2x) / ((1/2) · 2x). 2x'ler sadeleşir.
3 / (1/2) = 3 · 2 = 6.
Soru 13: 212 sayısının yarısı kaçtır?
Bir sayının yarısını bulmak için 2'ye böleriz.
212 / 2 = 212 / 21 = 212-1 = 211.
Soru 14: 5x-1 = 125 olduğuna göre, x2 kaçtır?
125 = 53.
5x-1 = 53 ise x-1 = 3, yani x=4.
Soruda x2 soruluyor: 42 = 16.
Soru 15: (0.2)-3 işleminin sonucu kaçtır?
0.2 = 2/10 = 1/5.
İşlem: (1/5)-3. Negatif üs ters çevirir.
(5/1)3 = 53 = 125.
Soru 16: 3x = k ise 3x+2 ifadesinin k türünden eşiti nedir?
3x+2 ifadesini parçalayalım: 3x · 32.
3x = k ve 32 = 9.
Sonuç: k · 9 = 9k.
Soru 17: a=260, b=340, c=520 sayılarının sıralanışı nasıldır?
Üsleri eşitleyelim. EBOB(60, 40, 20) = 20.
a = 23·20 = (23)20 = 820.
b = 32·20 = (32)20 = 920.
c = 520.
Tabanlara göre sıralarsak: 5 < 8 < 9. Yani c < a < b.
Soru 18: (-2)-2 + (-3)-1 işleminin sonucu kaçtır?
(-2)-2 = 1 / (-2)2 = 1/4.
(-3)-1 = 1 / (-3)1 = -1/3.
İşlem: 1/4 - 1/3. Payda eşitlersek: 3/12 - 4/12 = -1/12.
Soru 19: (-a3) · (-a)4 · a-5 işleminin sonucu nedir? (a pozitif bir reel sayıdır)
Önce işaretleri belirleyelim.
(-a3): Üs sadece a'nın üzerinde. İşaret negatif (-).
(-a)4: Üs çift, parantezin dışında. İşaret pozitif (+).
a-5: İşaret pozitif (+).
Sonucun işareti: (-) * (+) * (+) = (-).
Şimdi üsleri toplayalım: a3+4+(-5) = a7-5 = a2.
Sonuç: -a2.
Soru 20: (x-4)5 = 243 olduğuna göre x kaçtır?
243 = 35.
(x-4)5 = 35. Üsler eşit ve tek olduğu için tabanlar eşit olmalıdır.
x-4 = 3 ise x = 7.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: 2x = a ve 3x = b olduğuna göre, 144x ifadesinin a ve b türünden eşiti nedir?
144'ü asal çarpanlarına ayıralım: 144 = 122 = (4 · 3)2 = (22 · 3)2 = 24 · 32.
144x = (24 · 32)x = (24)x · (32)x.
Üslerin yerini değiştirebiliriz: (2x)4 · (3x)2.
2x=a ve 3x=b yerine yazarsak: a4 · b2.
Soru 22: (x-2)6 = (2x-10)6 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı kaçtır?
Üsler eşit ve çift sayı (6) olduğu için tabanlar ya birbirine eşittir ya da zıt işaretlisidir.
Durum 1: x-2 = 2x-10 ise 8 = x.
Durum 2: x-2 = -(2x-10) ise x-2 = -2x+10 ise 3x = 12 yani x = 4.
x değerlerinin toplamı: 8 + 4 = 12.
Soru 23: (1/4)x-1 > 64 eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
Tabanları eşitleyelim. 1/4 = 4-1. 64 = 43.
(4-1)x-1 > 43.
4-x+1 > 43.
Taban 1'den büyük (4) olduğu için eşitsizlik yönü korunur.
-x+1 > 3 ise -x > 2 ise x < -2.
x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri -3'tür.
Soru 24: (x-4)x-6 = 1 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı kaçtır?
Sonucun 1 olması için 3 durum vardır:
1. Taban 1 olmalı: x-4 = 1 ise x=5.
2. Üs 0 olmalı (Taban ≠ 0): x-6 = 0 ise x=6. (Taban: 6-4=2 ≠ 0. Sağlar).
3. Taban -1 olmalı (Üs çift olmalı): x-4 = -1 ise x=3. (Üs: 3-6=-3. Tek sayı. Sağlamaz).
Toplam: 5 + 6 = 11.
Soru 25: 2a = 27 ve 3b = 16 olduğuna göre a · b çarpımı kaçtır?
Denklemleri düzenleyelim:
2a = 33.
3b = 24.
Tabanları alt alta yazıp üsleri oranlayalım (Çapraz kural):
2a = 33
24 = 3b (İkinci denklemi ters çevirdik)
a/4 = 3/b ise a · b = 12.
Soru 26: 1/(1+5x) + 1/(1+5-x) işleminin sonucu kaçtır?
Bu bir kalıp sorudur. İkinci terimi düzenleyelim: 5-x = 1/5x.
1/(1 + 1/5x) = 1/((5x+1)/5x) = 5x/(5x+1).
İşlem: 1/(1+5x) + 5x/(1+5x) = (1+5x)/(1+5x) = 1.
Soru 27: 1254 · 163 sayısı kaç basamaklıdır?
Basamak sayısını bulmak için 10'un kuvveti şeklinde yazmalıyız (2 ve 5 çarpanları).
1254 = (53)4 = 512.
163 = (24)3 = 212.
İşlem: 512 · 212 = (5 · 2)12 = 1012.
Bu sayı 1 · 1012 demektir. 1'in yanında 12 sıfır vardır. Toplam basamak sayısı 1 + 12 = 13.
Soru 28: [(-a)-2 · (-a3) · (a-4)] / [(-a)-5] işleminin sonucu kaçtır? (a pozitif bir reel sayıdır)
Önce sadece işaretleri inceleyelim.
1. Terim: (-a)-2. Üs çift (-2) olduğu için işaret (+).
2. Terim: (-a3). Parantez işareti kapsamaz (Üs sadece a'nın üzerinde). İşaret (-).
3. Terim: (a-4). İşaret (+).
Payda: (-a)-5. Üs tek (-5) olduğu için işaret (-).
İşaret sonucu: [(+) · (-) · (+)] / [(-)] = (-) / (-) = (+).
Şimdi üsleri hesaplayalım (İşaretleri dikkate almadan): (a-2 · a3 · a-4) / a-5.
Pay: a-2+3-4 = a-3.
Sonuç: a-3 / a-5 = a-3-(-5) = a-3+5 = a2.
Soru 29: 5x = 40 olduğuna göre, x hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?
5x = 40.
5'in kuvvetlerini düşünelim: 51=5, 52=25, 53=125.
40 sayısı 25 ile 125 arasındadır. 52 < 40 < 53.
Demek ki x üssü 2 ile 3 arasındadır. 2 < x < 3.
Soru 30: x ve y tam sayılardır. 52x+y-7 = 7x-y-2 olduğuna göre x · y çarpımı kaçtır?
5 ve 7 aralarında asaldır. İki asal sayının tam sayı kuvvetleri sadece üsler 0 olduğunda birbirine eşit olabilir (50 = 1, 70 = 1).
Denklem 1: 2x+y-7 = 0 ise 2x+y = 7.
Denklem 2: x-y-2 = 0 ise x-y = 2.
İki denklemi taraf tarafa toplayalım:
(2x+y) + (x-y) = 7 + 2 ise 3x = 9 ise x = 3.
x=3 ise, 3-y=2 ise y=1.
Çarpım: x · y = 3 · 1 = 3.
ÜSLÜ SAYILAR
Üslü sayılar, sayıların tekrarlı çarpımını ifade eden matematiksel bir gösterimdir. KPSS'de işlem hızı ve kural hakimiyeti gerektiren bu konuyu tüm detaylarıyla inceleyelim.
1. Temel Tanımlar ve Özellikler
A. Tanım
a bir reel sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a'nın çarpımına a'nın n. kuvveti denir ve an şeklinde gösterilir.
an = a · a · a · … · a (n tane)
Burada a taban, n ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır.
B. Temel Özellikler
- Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'dir. a0 = 1 (a≠0).
- Tüm sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir. a1 = a.
- 1'in tüm kuvvetleri 1'dir. 1n = 1.
- 0'ın pozitif kuvvetleri 0'dır. 0n = 0 (n>0).
00 ifadesi matematikte belirsizdir. Denklemlerde üs sıfır olduğunda tabanın sıfır olmadığından emin olunmalıdır.
2. İşaret Tespiti ve Parantezin Önemi
A. Pozitif Sayılar
Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
B. Negatif Sayılar
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
- (-a)2n = a2n (Çift kuvvet) → Örnek: (-2)4 = 16
- (-a)2n+1 = -a2n+1 (Tek kuvvet) → Örnek: (-2)3 = -8
KPSS'de en çok hata yapılan yer burasıdır. Parantez yoksa veya üs parantezin içindeyse, üs sadece sayıyı ilgilendirir, işareti ilgilendirmez.
(-2)4 = +16 (Parantez var, üs dışarıda)
-24 = -(24) = -16 (Parantez yok)
Bu iki ifade birbirinden farklıdır!
3. Negatif Üs ve Üssün Üssü
A. Negatif Üs (Ters Çevirme)
Negatif üs, sayıyı çarpmaya göre ters çevirir. İşareti etkilemez.
(a/b)-n = (b/a)n
Örnek: 3-2 = 1 / 32 = 1/9.
Örnek: (-4)-3 = 1 / (-4)3 = 1 / (-64) = -1/64.
B. Üssün Üssü (Kuvvetin Kuvveti)
Bir üslü ifadenin tekrar kuvveti alınıyorsa, üsler çarpılır.
Bu kural, tabanları eşitlemek (Taban Dönüştürme) için sıklıkla kullanılır. Örneğin 85 = (23)5 = 215.
Taban negatifse, doğrudan üsleri çarpmak hatalı olabilir. İşaret analizi yapılmalıdır.
Örnek: (-23)2. İçerisi (-8). Sonuç (-8)2 = 64.
Örnek: (-22)3. İçerisi (-4). Sonuç (-4)3 = -64.
4. Üslü Sayılarda Dört İşlem
A. Çarpma ve Bölme
1. Tabanlar Aynıysa: Çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır.
am / an = am-n
2. Üsler Aynıysa: Tabanlar çarpılır veya bölünür, ortak üs yazılır.
an / bn = (a/b)n
B. Toplama ve Çıkarma (Ortak Parantez)
Toplama ve çıkarma yapabilmek için hem tabanların hem de üslerin aynı olması gerekir. Aynıysa, katsayılar toplanır veya çıkarılır.
Eğer üsler farklıysa, genellikle büyük olan üs küçük olana benzetilerek ortak paranteze alınır.
Örnek: 212 + 210.
210 · 22 + 210 · 1 = 210(22 + 1) = 210(4+1) = 5 · 210.
5. Üslü Denklemler ve Eşitsizlikler
A. Üslü Denklemler
1. Tabanların Eşitliği: Tabanlar eşitse (ve taban -1, 0, 1 değilse), üsler de eşittir. ax = ay ise x = y.
2. Üslerin Eşitliği:
- Üs tek ise tabanlar direkt eşittir.
- Üs çift ise tabanlar mutlak değerce eşittir (a=b veya a=-b).
3. an = 1 Durumu: Üç ihtimal incelenmelidir:
- Taban 1 olabilir.
- Üs 0 olabilir (Taban 0 olmamak şartıyla).
- Taban -1 ve üs çift olabilir.
B. Üslü Eşitsizlikler
- Taban 1'den Büyükse: Eşitsizlik yönü korunur. 2x < 25 ise x < 5.
- Taban 0 ile 1 Arasındaysa (Basit Kesir): Eşitsizlik yön değiştirir. (1/2)x < (1/2)5 ise x > 5.
6. Sıralama ve Basamak Sayısı
A. Sıralama
Sıralama yapmak için ya tabanlar ya da üsler eşitlenir. Genellikle üslerin EBOB'unu alarak üsleri eşitlemek tercih edilir.
B. Basamak Sayısı Bulma
Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için A × 10n formatına getirilir (2 ve 5 çarpanları kullanılır). Basamak sayısı, A'nın basamak sayısı ile n'in toplamıdır.
ÜSLÜ SAYILAR TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: 24 + 32 + 70 işleminin sonucu kaçtır?
24 = 16. 32 = 9. 70 = 1.
Toplam: 16 + 9 + 1 = 26.
Soru 2: (-3)2 + (-24) işleminin sonucu kaçtır?
(-3)2: Parantez var, üs çift. Sonuç +9.
-24: Parantez yok (veya üs içeride), üs sadece 2'yi etkiler. -(24) = -16.
İşlem: 9 + (-16) = 9 - 16 = -7.
Soru 3: 4-2 ifadesinin değeri kaçtır?
Negatif üs sayıyı ters çevirir. 4-2 = 1 / 42 = 1/16.
Soru 4: 23 · 25 · 2-1 işleminin sonucu kaçtır?
Tabanlar aynı (2), üsler toplanır.
23+5+(-1) = 28-1 = 27.
Soru 5: 512 / 54 işleminin sonucu kaçtır?
Tabanlar aynı (5), bölmede üsler çıkarılır.
512-4 = 58.
Soru 6: (32)5 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Üssün üssü kuralına göre üsler çarpılır.
32·5 = 310.
Soru 7: 3x = 27 olduğuna göre x kaçtır?
27 sayısını 3'ün kuvveti olarak yazmalıyız. 27 = 33.
3x = 33. Tabanlar eşitse üsler de eşittir. x = 3.
Soru 8: 43 · 53 işleminin sonucu kaçtır?
Üsler aynı (3), tabanlar çarpılır.
(4 · 5)3 = 203.
Soru 9: 34 + 34 + 34 işleminin sonucu kaçtır?
3 tane 34'ün toplamı, 3 · 34 demektir.
31 · 34 = 31+4 = 35.
Soru 10: (1/5)-2 ifadesinin değeri kaçtır?
Negatif üs kesri ters çevirir.
(5/1)2 = 52 = 25.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: (45 · 83) / 164 işleminin sonucu kaçtır?
Tüm tabanları 2 yapalım.
45 = (22)5 = 210.
83 = (23)3 = 29.
164 = (24)4 = 216.
İşlem: (210 · 29) / 216 = 219 / 216 = 219-16 = 23 = 8.
Soru 12: (2x+1 + 2x) / 2x-1 işleminin sonucu kaçtır?
İfadeleri parçalayalım ve 2x ortak parantezine alalım.
Pay: 2x · 21 + 2x · 1 = 2x(2+1) = 3 · 2x.
Payda: 2x · 2-1 = (1/2) · 2x.
Oran: (3 · 2x) / ((1/2) · 2x). 2x'ler sadeleşir.
3 / (1/2) = 3 · 2 = 6.
Soru 13: 212 sayısının yarısı kaçtır?
Bir sayının yarısını bulmak için 2'ye böleriz.
212 / 2 = 212 / 21 = 212-1 = 211.
Soru 14: 5x-1 = 125 olduğuna göre, x2 kaçtır?
125 = 53.
5x-1 = 53 ise x-1 = 3, yani x=4.
Soruda x2 soruluyor: 42 = 16.
Soru 15: (0.2)-3 işleminin sonucu kaçtır?
0.2 = 2/10 = 1/5.
İşlem: (1/5)-3. Negatif üs ters çevirir.
(5/1)3 = 53 = 125.
Soru 16: 3x = k ise 3x+2 ifadesinin k türünden eşiti nedir?
3x+2 ifadesini parçalayalım: 3x · 32.
3x = k ve 32 = 9.
Sonuç: k · 9 = 9k.
Soru 17: a=260, b=340, c=520 sayılarının sıralanışı nasıldır?
Üsleri eşitleyelim. EBOB(60, 40, 20) = 20.
a = 23·20 = (23)20 = 820.
b = 32·20 = (32)20 = 920.
c = 520.
Tabanlara göre sıralarsak: 5 < 8 < 9. Yani c < a < b.
Soru 18: (-2)-2 + (-3)-1 işleminin sonucu kaçtır?
(-2)-2 = 1 / (-2)2 = 1/4.
(-3)-1 = 1 / (-3)1 = -1/3.
İşlem: 1/4 - 1/3. Payda eşitlersek: 3/12 - 4/12 = -1/12.
Soru 19: (-a3) · (-a)4 · a-5 işleminin sonucu nedir? (a pozitif bir reel sayıdır)
Önce işaretleri belirleyelim.
(-a3): Üs sadece a'nın üzerinde. İşaret negatif (-).
(-a)4: Üs çift, parantezin dışında. İşaret pozitif (+).
a-5: İşaret pozitif (+).
Sonucun işareti: (-) * (+) * (+) = (-).
Şimdi üsleri toplayalım: a3+4+(-5) = a7-5 = a2.
Sonuç: -a2.
Soru 20: (x-4)5 = 243 olduğuna göre x kaçtır?
243 = 35.
(x-4)5 = 35. Üsler eşit ve tek olduğu için tabanlar eşit olmalıdır.
x-4 = 3 ise x = 7.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: 2x = a ve 3x = b olduğuna göre, 144x ifadesinin a ve b türünden eşiti nedir?
144'ü asal çarpanlarına ayıralım: 144 = 122 = (4 · 3)2 = (22 · 3)2 = 24 · 32.
144x = (24 · 32)x = (24)x · (32)x.
Üslerin yerini değiştirebiliriz: (2x)4 · (3x)2.
2x=a ve 3x=b yerine yazarsak: a4 · b2.
Soru 22: (x-2)6 = (2x-10)6 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı kaçtır?
Üsler eşit ve çift sayı (6) olduğu için tabanlar ya birbirine eşittir ya da zıt işaretlisidir.
Durum 1: x-2 = 2x-10 ise 8 = x.
Durum 2: x-2 = -(2x-10) ise x-2 = -2x+10 ise 3x = 12 yani x = 4.
x değerlerinin toplamı: 8 + 4 = 12.
Soru 23: (1/4)x-1 > 64 eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
Tabanları eşitleyelim. 1/4 = 4-1. 64 = 43.
(4-1)x-1 > 43.
4-x+1 > 43.
Taban 1'den büyük (4) olduğu için eşitsizlik yönü korunur.
-x+1 > 3 ise -x > 2 ise x < -2.
x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri -3'tür.
Soru 24: (x-4)x-6 = 1 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı kaçtır?
Sonucun 1 olması için 3 durum vardır:
1. Taban 1 olmalı: x-4 = 1 ise x=5.
2. Üs 0 olmalı (Taban ≠ 0): x-6 = 0 ise x=6. (Taban: 6-4=2 ≠ 0. Sağlar).
3. Taban -1 olmalı (Üs çift olmalı): x-4 = -1 ise x=3. (Üs: 3-6=-3. Tek sayı. Sağlamaz).
Toplam: 5 + 6 = 11.
Soru 25: 2a = 27 ve 3b = 16 olduğuna göre a · b çarpımı kaçtır?
Denklemleri düzenleyelim:
2a = 33.
3b = 24.
Tabanları alt alta yazıp üsleri oranlayalım (Çapraz kural):
2a = 33
24 = 3b (İkinci denklemi ters çevirdik)
a/4 = 3/b ise a · b = 12.
Soru 26: 1/(1+5x) + 1/(1+5-x) işleminin sonucu kaçtır?
Bu bir kalıp sorudur. İkinci terimi düzenleyelim: 5-x = 1/5x.
1/(1 + 1/5x) = 1/((5x+1)/5x) = 5x/(5x+1).
İşlem: 1/(1+5x) + 5x/(1+5x) = (1+5x)/(1+5x) = 1.
Soru 27: 1254 · 163 sayısı kaç basamaklıdır?
Basamak sayısını bulmak için 10'un kuvveti şeklinde yazmalıyız (2 ve 5 çarpanları).
1254 = (53)4 = 512.
163 = (24)3 = 212.
İşlem: 512 · 212 = (5 · 2)12 = 1012.
Bu sayı 1 · 1012 demektir. 1'in yanında 12 sıfır vardır. Toplam basamak sayısı 1 + 12 = 13.
Soru 28: [(-a)-2 · (-a3) · (a-4)] / [(-a)-5] işleminin sonucu kaçtır? (a pozitif bir reel sayıdır)
Önce sadece işaretleri inceleyelim.
1. Terim: (-a)-2. Üs çift (-2) olduğu için işaret (+).
2. Terim: (-a3). Parantez işareti kapsamaz (Üs sadece a'nın üzerinde). İşaret (-).
3. Terim: (a-4). İşaret (+).
Payda: (-a)-5. Üs tek (-5) olduğu için işaret (-).
İşaret sonucu: [(+) · (-) · (+)] / [(-)] = (-) / (-) = (+).
Şimdi üsleri hesaplayalım (İşaretleri dikkate almadan): (a-2 · a3 · a-4) / a-5.
Pay: a-2+3-4 = a-3.
Sonuç: a-3 / a-5 = a-3-(-5) = a-3+5 = a2.
Soru 29: 5x = 40 olduğuna göre, x hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?
5x = 40.
5'in kuvvetlerini düşünelim: 51=5, 52=25, 53=125.
40 sayısı 25 ile 125 arasındadır. 52 < 40 < 53.
Demek ki x üssü 2 ile 3 arasındadır. 2 < x < 3.
Soru 30: x ve y tam sayılardır. 52x+y-7 = 7x-y-2 olduğuna göre x · y çarpımı kaçtır?
5 ve 7 aralarında asaldır. İki asal sayının tam sayı kuvvetleri sadece üsler 0 olduğunda birbirine eşit olabilir (50 = 1, 70 = 1).
Denklem 1: 2x+y-7 = 0 ise 2x+y = 7.
Denklem 2: x-y-2 = 0 ise x-y = 2.
İki denklemi taraf tarafa toplayalım:
(2x+y) + (x-y) = 7 + 2 ise 3x = 9 ise x = 3.
x=3 ise, 3-y=2 ise y=1.
Çarpım: x · y = 3 · 1 = 3.