KAREKÖKLÜ SAYILAR
Kareköklü sayılar, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Bu rehber, KPSS'de karşınıza çıkabilecek tüm köklü sayı kurallarını ve soru tiplerini kapsamaktadır.
1. Temel Tanımlar ve Tam Kare Sayılar
A. Karekök Nedir?
Verilen bir sayının, hangi pozitif sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma denir ve "√" sembolü ile gösterilir.
Örnek: 25 sayısı 5'in karesidir (52=25). Bu yüzden √25 = 5'tir.
B. Tam Kare Sayılar
Kök dışına tam sayı olarak çıkabilen sayılara tam kare sayılar denir. Bunları ezbere bilmek sınavda hız kazandırır.
- √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10
- √121=11, √144=12, √169=13, √196=14, √225=15, √256=16, √400=20
2. Karekökün Temel Özellikleri ve Mutlak Değer İlişkisi
Kareköklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içindeki sayının 0'dan büyük veya 0'a eşit olması gerekir (Reel sayılarda).
√(x) tanımlı ise x ≥ 0 olmalıdır.
Mutlak Değer İlişkisi (KPSS'nin En Önemli Kuralı!)
Kökün derecesi çift ise (karekökün derecesi 2'dir), bir sayı kök dışına çıkarılırken mutlak değer içinde çıkar.
Eğer a pozitifse (a>0), √(a2) = a olarak çıkar.
Eğer a negatifse (a<0), √(a2) = -a olarak çıkar.
Örnek: √((-5)2) = |-5| = 5. Direkt -5 olarak çıkarmak yanlıştır. Kareköklü bir ifadenin sonucu asla negatif olamaz!
3. Kök Dışına Çıkarma ve Kök İçine Alma (a√b Formatı)
A. Kök Dışına Çıkarma
Tam kare olmayan sayıları kök dışına çıkarmak için asal çarpanlarına ayırırız. Çift sayıda olan çarpanlar dışarı çıkar.
Örnek: √72'yi çıkaralım.
72 = 36 · 2 = 62 · 2. → √72 = √(62·2) = 6√2.
B. Kök İçine Alma
Kök dışındaki bir sayıyı kök içine alırken, sayının karesi alınarak içerideki sayı ile çarpılır.
Örnek: 3√5'i kök içine alalım.
3√5 = √(32·5) = √(9·5) = √45.
4. Kareköklü Sayılarda Dört İşlem
A. Toplama ve Çıkarma
Sadece kök içleri tamamen aynı olan sayılar toplanabilir veya çıkarılabilir. Katsayılar arasında işlem yapılır, ortak kök aynen yazılır.
Örnek: √50 + √8 = 5√2 + 2√2 = 7√2.
Eğer kök içleri farklıysa ve a√b şeklinde yazılamıyorsa toplama yapılamaz. √2 + √3 işlemi bu şekilde kalır.
B. Çarpma ve Bölme
Katsayılar kendi aralarında, kök içindeki sayılar kendi aralarında çarpılır veya bölünür.
(a√x) / (b√y) = (a/b)√(x/y)
Örnek: 3√2 · 5√3 = 15√6.
5. Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik)
Matematikte genellikle paydada köklü ifade bırakılmaz. Paydayı kökten kurtarmak için kesri, paydanın eşleniği ile genişletiriz.
A. Tek Terimli Payda
Paydada sadece √a varsa, kesri √a ile genişletiriz.
Örnek: 6/√3. Kesri √3 ile genişletelim: (6√3) / (√3·√3) = 6√3 / 3 = 2√3.
B. İki Terimli Payda (Eşlenik Çarpımı)
İki kare farkı özdeşliğinden (x2-y2 = (x-y)(x+y)) yararlanılır.
- (√a + √b)'nin eşleniği (√a - √b)'dir. Çarpımları a-b olur.
- (√a - b)'nin eşleniği (√a + b)'dir. Çarpımları a-b2 olur.
(√5+√2) · (√5-√2) işlemini yaparken uzun uzun dağıtmak yerine kuralı uygulayın:
Birincinin karesi - İkincinin karesi = (√5)2 - (√2)2 = 5 - 2 = 3.
6. Sıralama ve Yaklaşık Değer
A. Sıralama
Kareköklü sayıları sıralarken genellikle tüm sayıları kök içine almak en garanti yoldur. Kök içindeki sayısı büyük olan daha büyüktür.
B. Yaklaşık Değer
Bir köklü sayının yaklaşık değerini bulmak için, sayının hangi iki tam kare sayı arasında olduğunu belirleriz.
Örnek: √12. 12 sayısı √9 (3) ile √16 (4) arasındadır. Yani √12, 3 ile 4 arasında bir sayıdır.
KAREKÖKLÜ SAYILAR TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: √144 + √81 - √49 işleminin sonucu kaçtır?
√144 = 12, √81 = 9, √49 = 7.
İşlem: 12 + 9 - 7 = 21 - 7 = 14.
Soru 2: √50 sayısının a√b şeklindeki yazımı hangisidir?
50 = 25 · 2. 25 dışarı 5 olarak çıkar.
√50 = √(25·2) = 5√2.
Soru 3: 3√7 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3 içeriye karesi alınarak (32=9) girer.
3√7 = √(9·7) = √63.
Soru 4: √3 · √12 işleminin sonucu kaçtır?
Kök içleri çarpılır: √(3·12) = √36.
√36 = 6.
Soru 5: √48 / √3 işleminin sonucu kaçtır?
Kök içleri bölünür: √(48/3) = √16.
√16 = 4.
Soru 6: 5√3 + 2√3 - √3 işleminin sonucu kaçtır?
Kök içleri aynı olduğu için katsayılar toplanır/çıkarılır.
(5 + 2 - 1)√3 = 6√3.
Soru 7: √((-7)2) işleminin sonucu kaçtır?
Kural: √(x2) = |x|.
√((-7)2) = |-7| = 7.
Alternatif yol: (-7)2 = 49. √49 = 7.
Soru 8: √20 sayısı hangi iki tam sayı arasındadır?
20'den küçük en büyük tam kare 16 (42).
20'den büyük en küçük tam kare 25 (52).
√16 < √20 < √25. Yani 4 < √20 < 5.
Soru 9: √(0.36) işleminin sonucu kaçtır?
0.36 = 36/100.
√(36/100) = √36 / √100 = 6 / 10 = 0.6.
Soru 10: (√5)4 işleminin sonucu kaçtır?
(√5)4 = (√5)2 · (√5)2 = 5 · 5 = 25.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: √75 + √12 - √27 işleminin sonucu kaçtır?
Hepsini a√b formatına getirelim.
√75 = √(25·3) = 5√3.
√12 = √(4·3) = 2√3.
√27 = √(9·3) = 3√3.
İşlem: 5√3 + 2√3 - 3√3 = (5+2-3)√3 = 4√3.
Soru 12: 10/√2 işleminin sonucu kaçtır?
Paydayı rasyonel yapmak için √2 ile genişletiriz.
(10·√2) / (√2·√2) = 10√2 / 2 = 5√2.
Soru 13: √(1.44) - √(0.81) işleminin sonucu kaçtır?
√(1.44) = √(144/100) = 12/10 = 1.2.
√(0.81) = √(81/100) = 9/10 = 0.9.
İşlem: 1.2 - 0.9 = 0.3.
Soru 14: a=2√3, b=3√2, c=√15 sayılarının sıralanışı nasıldır?
Tüm sayıları kök içine alalım.
a = √(22·3) = √(4·3) = √12.
b = √(32·2) = √(9·2) = √18.
c = √15.
Sıralama: 12 < 15 < 18. Yani a < c < b.
Soru 15: (√5 - 1) · (√5 + 1) işleminin sonucu kaçtır?
Bu bir eşlenik çarpımıdır (İki kare farkı).
Birincinin karesi - İkincinin karesi: (√5)2 - (1)2 = 5 - 1 = 4.
Soru 16: √(7 + √16) işleminin sonucu kaçtır?
İç içe köklerde en içten başlanır. √16 = 4.
İşlem: √(7 + 4) = √11.
Soru 17: √180 sayısının yaklaşık değerinin hesaplanabilmesi için aşağıdakilerden hangisinin yaklaşık değeri bilinmelidir?
Sayının a√b formatındaki en sade halini bulmalıyız.
√180 = √(36·5) = 6√5.
Bu sayının değerini bulmak için kök içinde kalan sayının (√5) değerini bilmek gerekir.
Soru 18: √(0.09) + √(0.64) / √(0.01) işleminin sonucu kaçtır?
√(0.09) = 0.3. √(0.64) = 0.8. √(0.01) = 0.1.
İşlem önceliğine dikkat (önce bölme): 0.8 / 0.1 = 8.
Sonuç: 0.3 + 8 = 8.3.
Soru 19: x < 0 olduğuna göre, √(x2) + x işleminin sonucu nedir?
√(x2) = |x| olarak çıkar.
x < 0 olduğu için |x| = -x olarak çıkar.
İşlem: (-x) + x = 0.
Soru 20: (√3 - 2)2 işleminin sonucu kaçtır?
Tam kare açılımı: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2.
(√3)2 - 2·(√3)·(2) + (2)2
3 - 4√3 + 4 = 7 - 4√3.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: 1/(√3 - √2) işleminin sonucu kaçtır?
Paydanın eşleniği olan (√3 + √2) ile genişletiriz.
Pay: 1 · (√3 + √2) = √3 + √2.
Payda: (√3 - √2)·(√3 + √2) = (√3)2 - (√2)2 = 3 - 2 = 1.
Sonuç: (√3 + √2) / 1 = √3 + √2.
Soru 22: x < y < 0 olduğuna göre, √(x2) - √(y2) + |x-y| ifadesinin eşiti nedir?
√(x2) = |x|. x negatif olduğu için |x| = -x.
√(y2) = |y|. y negatif olduğu için |y| = -y.
|x-y|. x, y'den küçük olduğu için (x-y) negatiftir. |x-y| = -(x-y) = -x+y.
İşlem: (-x) - (-y) + (-x+y) = -x + y - x + y = -2x + 2y (veya 2y-2x).
Soru 23: √72 · √50 / √8 işleminin sonucu kaçtır?
Yöntem 1: a√b formatına çevirme.
√72=6√2. √50=5√2. √8=2√2.
(6√2 · 5√2) / 2√2 = (30·2) / 2√2 = 60 / 2√2 = 30/√2.
Eşlenik ile çarp: 30√2 / 2 = 15√2.
Yöntem 2: Tek kök içinde yazma.
√((72·50)/8). 72/8 = 9. √(9·50) = √450 = √(225·2) = 15√2.
Soru 24: √(4 + 2√3) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? (Özel Kök Kuralı)
√(a ± 2√b) kuralı: b'nin çarpanları (m·n=b) toplamı a'yı (m+n=a) veriyorsa, sonuç √m ± √n olur.
√(4 + 2√3). Çarpımları 3 (3·1), toplamları 4 (3+1) olan sayılar 3 ve 1'dir.
Sonuç: √3 + √1 = √3 + 1.
Soru 25: √(x+5) + √(5-x) ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Kök içleri negatif olamaz.
1. Durum: x+5 ≥ 0 ise x ≥ -5.
2. Durum: 5-x ≥ 0 ise 5 ≥ x (yani x ≤ 5).
x, -5 ile 5 arasında olmalıdır (-5 ≤ x ≤ 5).
Tam sayı değerleri: -5, -4, ..., 0, ..., 4, 5.
Bu sayıların toplamı 0'dır.
Soru 26: 1/(√2+1) + 1/(√3+√2) + 1/(√4+√3) işleminin sonucu kaçtır?
Her terimi eşleniği ile çarpalım.
1/(√2+1) Eşlenik (√2-1): (√2-1)/(2-1) = √2-1.
1/(√3+√2) Eşlenik (√3-√2): (√3-√2)/(3-2) = √3-√2.
1/(√4+√3) Eşlenik (√4-√3): (√4-√3)/(4-3) = √4-√3.
Toplam: (√2-1) + (√3-√2) + (√4-√3).
Sadeleştirmeler yapılır: -1 + √4 = -1 + 2 = 1.
Soru 27: a = √5 + 2 olduğuna göre, a·(a-4) çarpımının sonucu kaçtır?
a'yı yerine yazalım. a = √5+2.
a-4 = (√5+2) - 4 = √5-2.
İşlem: a·(a-4) = (√5+2)·(√5-2).
Bu bir eşlenik çarpımıdır: (√5)2 - (2)2 = 5 - 4 = 1.
Soru 28: √(9-4√5) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
√(a ± 2√b) kuralını kullanmak için içerideki kökün önünde 2 olmalı.
√(9 - 4√5) = √(9 - 2·2√5). 2'yi içeri atalım: √(9 - 2√(4·5)) = √(9 - 2√20).
Çarpımları 20 (5·4), toplamları 9 (5+4) olan sayılar 5 ve 4'tür.
Aradaki işaret eksi olduğu için büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarırız: √5 - √4 = √5 - 2.
Soru 29: x=√3 ve y=√2 olduğuna göre (x+y)2 - 2xy ifadesinin değeri kaçtır?
İfadeyi düzenleyelim. (x+y)2 = x2 + 2xy + y2.
İşlem: (x2 + 2xy + y2) - 2xy = x2 + y2.
Değerleri yerine koyalım: (√3)2 + (√2)2 = 3 + 2 = 5.
Soru 30: √2 < x < √10 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
Sayıların yaklaşık değerlerini bulalım.
√2 yaklaşık 1.4'tür (√1=1, √4=2).
√10 yaklaşık 3.1'dir (√9=3, √16=4).
Eşitsizlik: 1.4 < x < 3.1.
Bu aralıktaki tam sayılar: 2 ve 3.
Toplam 2 tane tam sayı vardır.
KAREKÖKLÜ SAYILAR
Kareköklü sayılar, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Bu rehber, KPSS'de karşınıza çıkabilecek tüm köklü sayı kurallarını ve soru tiplerini kapsamaktadır.
1. Temel Tanımlar ve Tam Kare Sayılar
A. Karekök Nedir?
Verilen bir sayının, hangi pozitif sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma denir ve "√" sembolü ile gösterilir.
Örnek: 25 sayısı 5'in karesidir (52=25). Bu yüzden √25 = 5'tir.
B. Tam Kare Sayılar
Kök dışına tam sayı olarak çıkabilen sayılara tam kare sayılar denir. Bunları ezbere bilmek sınavda hız kazandırır.
- √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10
- √121=11, √144=12, √169=13, √196=14, √225=15, √256=16, √400=20
2. Karekökün Temel Özellikleri ve Mutlak Değer İlişkisi
Kareköklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içindeki sayının 0'dan büyük veya 0'a eşit olması gerekir (Reel sayılarda).
√(x) tanımlı ise x ≥ 0 olmalıdır.
Mutlak Değer İlişkisi (KPSS'nin En Önemli Kuralı!)
Kökün derecesi çift ise (karekökün derecesi 2'dir), bir sayı kök dışına çıkarılırken mutlak değer içinde çıkar.
Eğer a pozitifse (a>0), √(a2) = a olarak çıkar.
Eğer a negatifse (a<0), √(a2) = -a olarak çıkar.
Örnek: √((-5)2) = |-5| = 5. Direkt -5 olarak çıkarmak yanlıştır. Kareköklü bir ifadenin sonucu asla negatif olamaz!
3. Kök Dışına Çıkarma ve Kök İçine Alma (a√b Formatı)
A. Kök Dışına Çıkarma
Tam kare olmayan sayıları kök dışına çıkarmak için asal çarpanlarına ayırırız. Çift sayıda olan çarpanlar dışarı çıkar.
Örnek: √72'yi çıkaralım.
72 = 36 · 2 = 62 · 2. → √72 = √(62·2) = 6√2.
B. Kök İçine Alma
Kök dışındaki bir sayıyı kök içine alırken, sayının karesi alınarak içerideki sayı ile çarpılır.
Örnek: 3√5'i kök içine alalım.
3√5 = √(32·5) = √(9·5) = √45.
4. Kareköklü Sayılarda Dört İşlem
A. Toplama ve Çıkarma
Sadece kök içleri tamamen aynı olan sayılar toplanabilir veya çıkarılabilir. Katsayılar arasında işlem yapılır, ortak kök aynen yazılır.
Örnek: √50 + √8 = 5√2 + 2√2 = 7√2.
Eğer kök içleri farklıysa ve a√b şeklinde yazılamıyorsa toplama yapılamaz. √2 + √3 işlemi bu şekilde kalır.
B. Çarpma ve Bölme
Katsayılar kendi aralarında, kök içindeki sayılar kendi aralarında çarpılır veya bölünür.
(a√x) / (b√y) = (a/b)√(x/y)
Örnek: 3√2 · 5√3 = 15√6.
5. Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik)
Matematikte genellikle paydada köklü ifade bırakılmaz. Paydayı kökten kurtarmak için kesri, paydanın eşleniği ile genişletiriz.
A. Tek Terimli Payda
Paydada sadece √a varsa, kesri √a ile genişletiriz.
Örnek: 6/√3. Kesri √3 ile genişletelim: (6√3) / (√3·√3) = 6√3 / 3 = 2√3.
B. İki Terimli Payda (Eşlenik Çarpımı)
İki kare farkı özdeşliğinden (x2-y2 = (x-y)(x+y)) yararlanılır.
- (√a + √b)'nin eşleniği (√a - √b)'dir. Çarpımları a-b olur.
- (√a - b)'nin eşleniği (√a + b)'dir. Çarpımları a-b2 olur.
(√5+√2) · (√5-√2) işlemini yaparken uzun uzun dağıtmak yerine kuralı uygulayın:
Birincinin karesi - İkincinin karesi = (√5)2 - (√2)2 = 5 - 2 = 3.
6. Sıralama ve Yaklaşık Değer
A. Sıralama
Kareköklü sayıları sıralarken genellikle tüm sayıları kök içine almak en garanti yoldur. Kök içindeki sayısı büyük olan daha büyüktür.
B. Yaklaşık Değer
Bir köklü sayının yaklaşık değerini bulmak için, sayının hangi iki tam kare sayı arasında olduğunu belirleriz.
Örnek: √12. 12 sayısı √9 (3) ile √16 (4) arasındadır. Yani √12, 3 ile 4 arasında bir sayıdır.
KAREKÖKLÜ SAYILAR TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: √144 + √81 - √49 işleminin sonucu kaçtır?
√144 = 12, √81 = 9, √49 = 7.
İşlem: 12 + 9 - 7 = 21 - 7 = 14.
Soru 2: √50 sayısının a√b şeklindeki yazımı hangisidir?
50 = 25 · 2. 25 dışarı 5 olarak çıkar.
√50 = √(25·2) = 5√2.
Soru 3: 3√7 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3 içeriye karesi alınarak (32=9) girer.
3√7 = √(9·7) = √63.
Soru 4: √3 · √12 işleminin sonucu kaçtır?
Kök içleri çarpılır: √(3·12) = √36.
√36 = 6.
Soru 5: √48 / √3 işleminin sonucu kaçtır?
Kök içleri bölünür: √(48/3) = √16.
√16 = 4.
Soru 6: 5√3 + 2√3 - √3 işleminin sonucu kaçtır?
Kök içleri aynı olduğu için katsayılar toplanır/çıkarılır.
(5 + 2 - 1)√3 = 6√3.
Soru 7: √((-7)2) işleminin sonucu kaçtır?
Kural: √(x2) = |x|.
√((-7)2) = |-7| = 7.
Alternatif yol: (-7)2 = 49. √49 = 7.
Soru 8: √20 sayısı hangi iki tam sayı arasındadır?
20'den küçük en büyük tam kare 16 (42).
20'den büyük en küçük tam kare 25 (52).
√16 < √20 < √25. Yani 4 < √20 < 5.
Soru 9: √(0.36) işleminin sonucu kaçtır?
0.36 = 36/100.
√(36/100) = √36 / √100 = 6 / 10 = 0.6.
Soru 10: (√5)4 işleminin sonucu kaçtır?
(√5)4 = (√5)2 · (√5)2 = 5 · 5 = 25.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: √75 + √12 - √27 işleminin sonucu kaçtır?
Hepsini a√b formatına getirelim.
√75 = √(25·3) = 5√3.
√12 = √(4·3) = 2√3.
√27 = √(9·3) = 3√3.
İşlem: 5√3 + 2√3 - 3√3 = (5+2-3)√3 = 4√3.
Soru 12: 10/√2 işleminin sonucu kaçtır?
Paydayı rasyonel yapmak için √2 ile genişletiriz.
(10·√2) / (√2·√2) = 10√2 / 2 = 5√2.
Soru 13: √(1.44) - √(0.81) işleminin sonucu kaçtır?
√(1.44) = √(144/100) = 12/10 = 1.2.
√(0.81) = √(81/100) = 9/10 = 0.9.
İşlem: 1.2 - 0.9 = 0.3.
Soru 14: a=2√3, b=3√2, c=√15 sayılarının sıralanışı nasıldır?
Tüm sayıları kök içine alalım.
a = √(22·3) = √(4·3) = √12.
b = √(32·2) = √(9·2) = √18.
c = √15.
Sıralama: 12 < 15 < 18. Yani a < c < b.
Soru 15: (√5 - 1) · (√5 + 1) işleminin sonucu kaçtır?
Bu bir eşlenik çarpımıdır (İki kare farkı).
Birincinin karesi - İkincinin karesi: (√5)2 - (1)2 = 5 - 1 = 4.
Soru 16: √(7 + √16) işleminin sonucu kaçtır?
İç içe köklerde en içten başlanır. √16 = 4.
İşlem: √(7 + 4) = √11.
Soru 17: √180 sayısının yaklaşık değerinin hesaplanabilmesi için aşağıdakilerden hangisinin yaklaşık değeri bilinmelidir?
Sayının a√b formatındaki en sade halini bulmalıyız.
√180 = √(36·5) = 6√5.
Bu sayının değerini bulmak için kök içinde kalan sayının (√5) değerini bilmek gerekir.
Soru 18: √(0.09) + √(0.64) / √(0.01) işleminin sonucu kaçtır?
√(0.09) = 0.3. √(0.64) = 0.8. √(0.01) = 0.1.
İşlem önceliğine dikkat (önce bölme): 0.8 / 0.1 = 8.
Sonuç: 0.3 + 8 = 8.3.
Soru 19: x < 0 olduğuna göre, √(x2) + x işleminin sonucu nedir?
√(x2) = |x| olarak çıkar.
x < 0 olduğu için |x| = -x olarak çıkar.
İşlem: (-x) + x = 0.
Soru 20: (√3 - 2)2 işleminin sonucu kaçtır?
Tam kare açılımı: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2.
(√3)2 - 2·(√3)·(2) + (2)2
3 - 4√3 + 4 = 7 - 4√3.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: 1/(√3 - √2) işleminin sonucu kaçtır?
Paydanın eşleniği olan (√3 + √2) ile genişletiriz.
Pay: 1 · (√3 + √2) = √3 + √2.
Payda: (√3 - √2)·(√3 + √2) = (√3)2 - (√2)2 = 3 - 2 = 1.
Sonuç: (√3 + √2) / 1 = √3 + √2.
Soru 22: x < y < 0 olduğuna göre, √(x2) - √(y2) + |x-y| ifadesinin eşiti nedir?
√(x2) = |x|. x negatif olduğu için |x| = -x.
√(y2) = |y|. y negatif olduğu için |y| = -y.
|x-y|. x, y'den küçük olduğu için (x-y) negatiftir. |x-y| = -(x-y) = -x+y.
İşlem: (-x) - (-y) + (-x+y) = -x + y - x + y = -2x + 2y (veya 2y-2x).
Soru 23: √72 · √50 / √8 işleminin sonucu kaçtır?
Yöntem 1: a√b formatına çevirme.
√72=6√2. √50=5√2. √8=2√2.
(6√2 · 5√2) / 2√2 = (30·2) / 2√2 = 60 / 2√2 = 30/√2.
Eşlenik ile çarp: 30√2 / 2 = 15√2.
Yöntem 2: Tek kök içinde yazma.
√((72·50)/8). 72/8 = 9. √(9·50) = √450 = √(225·2) = 15√2.
Soru 24: √(4 + 2√3) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? (Özel Kök Kuralı)
√(a ± 2√b) kuralı: b'nin çarpanları (m·n=b) toplamı a'yı (m+n=a) veriyorsa, sonuç √m ± √n olur.
√(4 + 2√3). Çarpımları 3 (3·1), toplamları 4 (3+1) olan sayılar 3 ve 1'dir.
Sonuç: √3 + √1 = √3 + 1.
Soru 25: √(x+5) + √(5-x) ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Kök içleri negatif olamaz.
1. Durum: x+5 ≥ 0 ise x ≥ -5.
2. Durum: 5-x ≥ 0 ise 5 ≥ x (yani x ≤ 5).
x, -5 ile 5 arasında olmalıdır (-5 ≤ x ≤ 5).
Tam sayı değerleri: -5, -4, ..., 0, ..., 4, 5.
Bu sayıların toplamı 0'dır.
Soru 26: 1/(√2+1) + 1/(√3+√2) + 1/(√4+√3) işleminin sonucu kaçtır?
Her terimi eşleniği ile çarpalım.
1/(√2+1) Eşlenik (√2-1): (√2-1)/(2-1) = √2-1.
1/(√3+√2) Eşlenik (√3-√2): (√3-√2)/(3-2) = √3-√2.
1/(√4+√3) Eşlenik (√4-√3): (√4-√3)/(4-3) = √4-√3.
Toplam: (√2-1) + (√3-√2) + (√4-√3).
Sadeleştirmeler yapılır: -1 + √4 = -1 + 2 = 1.
Soru 27: a = √5 + 2 olduğuna göre, a·(a-4) çarpımının sonucu kaçtır?
a'yı yerine yazalım. a = √5+2.
a-4 = (√5+2) - 4 = √5-2.
İşlem: a·(a-4) = (√5+2)·(√5-2).
Bu bir eşlenik çarpımıdır: (√5)2 - (2)2 = 5 - 4 = 1.
Soru 28: √(9-4√5) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
√(a ± 2√b) kuralını kullanmak için içerideki kökün önünde 2 olmalı.
√(9 - 4√5) = √(9 - 2·2√5). 2'yi içeri atalım: √(9 - 2√(4·5)) = √(9 - 2√20).
Çarpımları 20 (5·4), toplamları 9 (5+4) olan sayılar 5 ve 4'tür.
Aradaki işaret eksi olduğu için büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarırız: √5 - √4 = √5 - 2.
Soru 29: x=√3 ve y=√2 olduğuna göre (x+y)2 - 2xy ifadesinin değeri kaçtır?
İfadeyi düzenleyelim. (x+y)2 = x2 + 2xy + y2.
İşlem: (x2 + 2xy + y2) - 2xy = x2 + y2.
Değerleri yerine koyalım: (√3)2 + (√2)2 = 3 + 2 = 5.
Soru 30: √2 < x < √10 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
Sayıların yaklaşık değerlerini bulalım.
√2 yaklaşık 1.4'tür (√1=1, √4=2).
√10 yaklaşık 3.1'dir (√9=3, √16=4).
Eşitsizlik: 1.4 < x < 3.1.
Bu aralıktaki tam sayılar: 2 ve 3.
Toplam 2 tane tam sayı vardır.