Denklemler Test 1
1. 3(x-2) - 2(x+1) = 10 olduğuna göre x kaçtır?
Parantezleri dağıtalım: 3x - 6 - 2x - 2 = 10. Benzer terimleri birleştirelim: x - 8 = 10. x = 10 + 8 = 18.
2. (x+3)/4 + (x-1)/2 = 5 olduğuna göre x kaçtır?
Paydaları eşitleyelim. İkinci kesri 2 ile genişletelim: (x+3)/4 + 2(x-1)/4 = 5. (x+3 + 2x-2)/4 = 5. (3x+1)/4 = 5. İçler dışlar çarpımı yapalım: 3x+1 = 20. 3x = 19. x = 19/3.
3. a/3 = b/4 = c/5 ve a+b+c = 60 olduğuna göre c kaçtır?
Orantı sabiti k olsun. a=3k, b=4k, c=5k. a+b+c = 3k+4k+5k = 12k. 12k = 60 => k=5. c = 5k = 5*5 = 25.
4. Hangi sayının 3 katının 5 eksiği, aynı sayının 1 fazlasının 2 katına eşittir?
Sayı x olsun. Denklem: 3x - 5 = 2(x+1). 3x - 5 = 2x + 2. 3x - 2x = 2 + 5. x = 7.
5. 2x + 3y = 17 ve x - y = 1 denklem sistemini sağlayan (x, y) ikilisi nedir?
Yok etme metodu kullanalım. İkinci denklemi 3 ile çarpalım: 3x - 3y = 3. Denklemleri taraf tarafa toplayalım: (2x + 3y) + (3x - 3y) = 17 + 3. 5x = 20 => x=4. x-y=1 denkleminde yerine koyalım: 4-y=1 => y=3. İkili (4, 3).
6. 1/(x-2) + 3/(x+1) = 0 denkleminin kökü kaçtır?
1/(x-2) = -3/(x+1). İçler dışlar çarpımı yapalım: 1(x+1) = -3(x-2). x+1 = -3x + 6. x + 3x = 6 - 1. 4x = 5. x = 5/4.
7. (a-3)x + b + 5 = 0 denklemi her x reel sayısı için sağlanıyorsa a+b toplamı kaçtır?
Bir denklemin her x reel sayısı için sağlanması (Çözüm Kümesi=R), x'in katsayısının ve sabit terimin 0 olması ile mümkündür (0x + 0 = 0). a-3 = 0 => a=3. b+5 = 0 => b=-5. a+b = 3 + (-5) = -2.
8. (2a-4)x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi boş küme ise a kaçtır?
Çözüm kümesinin boş küme olması için x'in katsayısı 0, sabit terim 0'dan farklı olmalıdır (0x + Sabit = 0). 2a-4 = 0 => 2a=4 => a=2. a=2 için denklem 0x + 6 = 0 => 6=0 olur. Bu bir çelişkidir, çözüm kümesi boştur.
9. 1 + 12/(1 + 6/(x-1)) = 4 olduğuna göre x kaçtır?
1'i sağ tarafa atalım: 12/(1 + 6/(x-1)) = 3. 12'yi kaça bölersek 3 olur? 4'e. 1 + 6/(x-1) = 4. 1'i sağ tarafa atalım: 6/(x-1) = 3. 6'yı kaça bölersek 3 olur? 2'ye. x-1 = 2. x = 3.
10. 3/a + 4/b = 1 ve 1/a - 2/b = 3 olduğuna göre a kaçtır?
1/b terimini yok edelim. İkinci denklemi 2 ile çarpalım: 2/a - 4/b = 6. Taraf tarafa toplayalım: (3/a + 4/b) + (2/a - 4/b) = 1 + 6. 5/a = 7. 5 = 7a. a = 5/7.
11. x, y, z pozitif tam sayılardır. x+y=10, y+z=12, x+z=8 olduğuna göre x kaçtır?
Üç denklemi taraf tarafa toplayalım: 2x + 2y + 2z = 10 + 12 + 8 = 30. 2(x+y+z) = 30 => x+y+z = 15. x'i bulmak için y+z değerini kullanalım. y+z=12. x + 12 = 15 => x=3.
12. (x-y)/(x+y) = 1/3 ve (x+z)/z = 4 olduğuna göre y/z oranı kaçtır?
İlk denklemde içler dışlar: 3(x-y) = 1(x+y) => 3x-3y = x+y => 2x = 4y => x = 2y. İkinci denklemde içler dışlar: x+z = 4z => x = 3z. x hem 2y'ye hem de 3z'ye eşit. 2y = 3z. Buradan y/z oranını bulmak için her iki tarafı z'ye bölelim: 2y/z = 3. Her iki tarafı 2'ye bölelim: y/z = 3/2.
13. ax + by = 10 ve bx - ay = 5 olduğuna göre x²+y² ifadesinin a²+b² cinsinden değeri nedir?
Verilen denklemlerin karelerini alıp taraf tarafa toplayalım. (ax + by)² = 10² => a²x² + 2abxy + b²y² = 100. (bx - ay)² = 5² => b²x² - 2abxy + a²y² = 25. Toplayalım: a²x² + b²y² + b²x² + a²y² = 125. x² parantezine ve y² parantezine alalım: x²(a²+b²) + y²(b²+a²) = 125. (a²+b²) parantezine alalım: (a²+b²)(x²+y²) = 125. x²+y² = 125 / (a²+b²).
14. x + y = 5 ve x² + y² = 17 olduğuna göre x.y çarpımı kaçtır?
Tam kare özdeşliğini kullanalım: (x+y)² = x² + 2xy + y². Verilenleri yerine koyalım: (5)² = (x²+y²) + 2xy. 25 = 17 + 2xy. 2xy = 25 - 17 = 8. xy = 4.
15. x ≠ 1 olmak üzere, (x²-1)/(x-1) = 5 olduğuna göre x kaçtır?
x²-1 ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir: (x-1)(x+1). Denklem: (x-1)(x+1)/(x-1) = 5. x ≠ 1 olduğu için (x-1) terimleri sadeleşir. x+1 = 5. x = 4.
Denklemler Test 1
1. 3(x-2) - 2(x+1) = 10 olduğuna göre x kaçtır?
Parantezleri dağıtalım: 3x - 6 - 2x - 2 = 10. Benzer terimleri birleştirelim: x - 8 = 10. x = 10 + 8 = 18.
2. (x+3)/4 + (x-1)/2 = 5 olduğuna göre x kaçtır?
Paydaları eşitleyelim. İkinci kesri 2 ile genişletelim: (x+3)/4 + 2(x-1)/4 = 5. (x+3 + 2x-2)/4 = 5. (3x+1)/4 = 5. İçler dışlar çarpımı yapalım: 3x+1 = 20. 3x = 19. x = 19/3.
3. a/3 = b/4 = c/5 ve a+b+c = 60 olduğuna göre c kaçtır?
Orantı sabiti k olsun. a=3k, b=4k, c=5k. a+b+c = 3k+4k+5k = 12k. 12k = 60 => k=5. c = 5k = 5*5 = 25.
4. Hangi sayının 3 katının 5 eksiği, aynı sayının 1 fazlasının 2 katına eşittir?
Sayı x olsun. Denklem: 3x - 5 = 2(x+1). 3x - 5 = 2x + 2. 3x - 2x = 2 + 5. x = 7.
5. 2x + 3y = 17 ve x - y = 1 denklem sistemini sağlayan (x, y) ikilisi nedir?
Yok etme metodu kullanalım. İkinci denklemi 3 ile çarpalım: 3x - 3y = 3. Denklemleri taraf tarafa toplayalım: (2x + 3y) + (3x - 3y) = 17 + 3. 5x = 20 => x=4. x-y=1 denkleminde yerine koyalım: 4-y=1 => y=3. İkili (4, 3).
6. 1/(x-2) + 3/(x+1) = 0 denkleminin kökü kaçtır?
1/(x-2) = -3/(x+1). İçler dışlar çarpımı yapalım: 1(x+1) = -3(x-2). x+1 = -3x + 6. x + 3x = 6 - 1. 4x = 5. x = 5/4.
7. (a-3)x + b + 5 = 0 denklemi her x reel sayısı için sağlanıyorsa a+b toplamı kaçtır?
Bir denklemin her x reel sayısı için sağlanması (Çözüm Kümesi=R), x'in katsayısının ve sabit terimin 0 olması ile mümkündür (0x + 0 = 0). a-3 = 0 => a=3. b+5 = 0 => b=-5. a+b = 3 + (-5) = -2.
8. (2a-4)x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi boş küme ise a kaçtır?
Çözüm kümesinin boş küme olması için x'in katsayısı 0, sabit terim 0'dan farklı olmalıdır (0x + Sabit = 0). 2a-4 = 0 => 2a=4 => a=2. a=2 için denklem 0x + 6 = 0 => 6=0 olur. Bu bir çelişkidir, çözüm kümesi boştur.
9. 1 + 12/(1 + 6/(x-1)) = 4 olduğuna göre x kaçtır?
1'i sağ tarafa atalım: 12/(1 + 6/(x-1)) = 3. 12'yi kaça bölersek 3 olur? 4'e. 1 + 6/(x-1) = 4. 1'i sağ tarafa atalım: 6/(x-1) = 3. 6'yı kaça bölersek 3 olur? 2'ye. x-1 = 2. x = 3.
10. 3/a + 4/b = 1 ve 1/a - 2/b = 3 olduğuna göre a kaçtır?
1/b terimini yok edelim. İkinci denklemi 2 ile çarpalım: 2/a - 4/b = 6. Taraf tarafa toplayalım: (3/a + 4/b) + (2/a - 4/b) = 1 + 6. 5/a = 7. 5 = 7a. a = 5/7.
11. x, y, z pozitif tam sayılardır. x+y=10, y+z=12, x+z=8 olduğuna göre x kaçtır?
Üç denklemi taraf tarafa toplayalım: 2x + 2y + 2z = 10 + 12 + 8 = 30. 2(x+y+z) = 30 => x+y+z = 15. x'i bulmak için y+z değerini kullanalım. y+z=12. x + 12 = 15 => x=3.
12. (x-y)/(x+y) = 1/3 ve (x+z)/z = 4 olduğuna göre y/z oranı kaçtır?
İlk denklemde içler dışlar: 3(x-y) = 1(x+y) => 3x-3y = x+y => 2x = 4y => x = 2y. İkinci denklemde içler dışlar: x+z = 4z => x = 3z. x hem 2y'ye hem de 3z'ye eşit. 2y = 3z. Buradan y/z oranını bulmak için her iki tarafı z'ye bölelim: 2y/z = 3. Her iki tarafı 2'ye bölelim: y/z = 3/2.
13. ax + by = 10 ve bx - ay = 5 olduğuna göre x²+y² ifadesinin a²+b² cinsinden değeri nedir?
Verilen denklemlerin karelerini alıp taraf tarafa toplayalım. (ax + by)² = 10² => a²x² + 2abxy + b²y² = 100. (bx - ay)² = 5² => b²x² - 2abxy + a²y² = 25. Toplayalım: a²x² + b²y² + b²x² + a²y² = 125. x² parantezine ve y² parantezine alalım: x²(a²+b²) + y²(b²+a²) = 125. (a²+b²) parantezine alalım: (a²+b²)(x²+y²) = 125. x²+y² = 125 / (a²+b²).
14. x + y = 5 ve x² + y² = 17 olduğuna göre x.y çarpımı kaçtır?
Tam kare özdeşliğini kullanalım: (x+y)² = x² + 2xy + y². Verilenleri yerine koyalım: (5)² = (x²+y²) + 2xy. 25 = 17 + 2xy. 2xy = 25 - 17 = 8. xy = 4.
15. x ≠ 1 olmak üzere, (x²-1)/(x-1) = 5 olduğuna göre x kaçtır?
x²-1 ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir: (x-1)(x+1). Denklem: (x-1)(x+1)/(x-1) = 5. x ≠ 1 olduğu için (x-1) terimleri sadeleşir. x+1 = 5. x = 4.