Denklemler Test
1. (x+1)/2 - (x-3)/3 = 5/6 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Paydaları 6'da eşitleyelim. 3(x+1)/6 - 2(x-3)/6 = 5/6. Paydalar eşit olduğu için atılabilir. 3(x+1) - 2(x-3) = 5. 3x + 3 - 2x + 6 = 5. x + 9 = 5. x = -4.
2. 1/x + 1/y = 5 ve 3/x - 2/y = 5 olduğuna göre x kaçtır?
İlk denklemi 2 ile çarpalım: 2/x + 2/y = 10. İkinci denklemle taraf tarafa toplayalım: (2/x + 2/y) + (3/x - 2/y) = 10 + 5. 5/x = 15. 15x = 5. x = 5/15 = 1/3.
3. Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katıdır. 5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacağına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?
Oğul=x, Baba=4x. 5 yıl sonra: Oğul=x+5, Baba=4x+5. 4x+5 = 3(x+5). 4x+5 = 3x+15. x = 10 (Oğulun yaşı). Baba = 4x = 4*10 = 40.
4. a, b, c negatif tam sayılardır. a.b=24 ve b.c=30 olduğuna göre a+b+c toplamının en büyük değeri kaçtır?
Toplamın en büyük (sıfıra en yakın) olması için ortak çarpan b'nin mutlak değerce en büyük olması gerekir. EBOB(24, 30)=6. b=-6 seçelim. a.(-6)=24 => a=-4. (-6).c=30 => c=-5. Toplam: (-4) + (-6) + (-5) = -15.
5. Bir telin ucundan 1/6'sı kesilince orta noktası 5 cm kayıyor. Telin başlangıçtaki boyu kaç cm'dir?
Kural: Orta noktanın kayma miktarı, kesilen parçanın yarısına eşittir. Kesilen parça = K olsun. Kayma = K/2 = 5 cm. K = 10 cm. Telin 1/6'sı kesilmişti. Telin tamamı T olsun. T/6 = 10 cm. T = 60 cm.
6. a+b=7, b+c=9, c+d=13 olduğuna göre a+d toplamı kaçtır?
1. ve 3. denklemi toplayıp, 2. denklemi çıkaralım. (a+b) + (c+d) - (b+c) = 7 + 13 - 9. a+b+c+d-b-c = 20 - 9. a+d = 11.
7. x, y, z pozitif tam sayılardır. 1/x + 1/y + 1/z = 1 olduğuna göre x+y+z toplamının en büyük değeri kaçtır?
Bu denklemin çözümleri sınırlıdır. Toplamı maksimize etmek için sayıları mümkün olduğunca farklılaştırmalıyız. 1) x=3, y=3, z=3. Toplam 9. (1/3+1/3+1/3=1) 2) x=2, y=4, z=4 (veya permütasyonları). Toplam 10. (1/2+1/4+1/4=1) 3) x=2, y=3, z=6 (veya permütasyonları). Toplam 11. (1/2+1/3+1/6=1) En büyük toplam 11'dir.
8. x, y reel sayılardır. x² + y² - 6x + 4y + 13 = 0 olduğuna göre x+y toplamı kaçtır?
İfadeyi tam karelere tamamlayalım. (x² - 6x) + (y² + 4y) + 13 = 0. x²-6x için (x-3)²=x²-6x+9 gereklidir. y²+4y için (y+2)²=y²+4y+4 gereklidir. 13 = 9 + 4 olduğundan denklem şu şekildedir: (x² - 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 0. (x-3)² + (y+2)² = 0. Kareler toplamı sıfırsa, içleri sıfır olmalı. x-3=0 => x=3. y+2=0 => y=-2. x+y = 3 + (-2) = 1.
9. a/b = 3/4 ve (a+5)/(b+5) = 4/5 olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
a=3k, b=4k olsun. İkinci denklemde yerine koyalım. (3k+5)/(4k+5) = 4/5. İçler dışlar çarpımı yapalım. 5(3k+5) = 4(4k+5). 15k + 25 = 16k + 20. k = 5. a+b = 3k+4k = 7k = 7*5 = 35.
10. 4 yanlışın 1 doğruyu götürdüğü 80 soruluk bir sınavda tüm soruları işaretleyen bir öğrenci 60 net yapmıştır. Kaç soruyu doğru cevaplamıştır?
Doğru sayısı D, Yanlış sayısı Y olsun. D+Y=80. Net = D - (Y/4) = 60. D yerine (80-Y) yazalım. (80-Y) - (Y/4) = 60. 80 - 5Y/4 = 60. 20 = 5Y/4. 80 = 5Y. Y=16. Doğru sayısı D = 80-16 = 64.
11. x, y pozitif tam sayılardır. 3x + 5y = 75 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?
Başlangıç noktası bulalım. x=0 için 5y=75, y=15. (0, 15). x, y'nin katsayısı (5) kadar artar. y, x'in katsayısı (3) kadar azalır. İkililer: (5, 12), (10, 9), (15, 6), (20, 3), (25, 0). x ve y pozitif tam sayı olmalı (sıfır hariç). (5, 12), (10, 9), (15, 6), (20, 3). Toplam 4 tane ikili vardır.
12. a+b+c=0 ve a.b.c=12 olduğuna göre (a+b)(b+c)(a+c) çarpımının sonucu kaçtır?
a+b+c=0 ise: a+b = -c b+c = -a a+c = -b İstenen çarpım: (-c) * (-a) * (-b) = -abc. abc=12 olduğuna göre sonuç -12'dir.
13. 2^x = a ve 3^x = b olduğuna göre 72^x ifadesinin a ve b cinsinden eşiti nedir?
72'yi asal çarpanlarına ayıralım. 72 = 8 * 9 = 2³ * 3². 72^x = (2³ * 3²)^x = (2^x)³ * (3^x)². (a)³ * (b)² = a³b².
14. x + 1/x = 5 olduğuna göre x² + 1/x² ifadesinin değeri kaçtır?
(x + 1/x)² = x² + 2*(x)*(1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x². (5)² = (x² + 1/x²) + 2. 25 = (x² + 1/x²) + 2. x² + 1/x² = 23.
15. ax + by = 7 ve bx + ay = 5 denklem sisteminde x+y=3 olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
İki denklemi taraf tarafa toplayalım: (ax+by) + (bx+ay) = 7 + 5. ax+bx + ay+by = 12. x(a+b) + y(a+b) = 12. (a+b)(x+y) = 12. x+y=3 olarak verilmiş. (a+b)*3 = 12. a+b = 4.
Denklemler Test
1. (x+1)/2 - (x-3)/3 = 5/6 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Paydaları 6'da eşitleyelim. 3(x+1)/6 - 2(x-3)/6 = 5/6. Paydalar eşit olduğu için atılabilir. 3(x+1) - 2(x-3) = 5. 3x + 3 - 2x + 6 = 5. x + 9 = 5. x = -4.
2. 1/x + 1/y = 5 ve 3/x - 2/y = 5 olduğuna göre x kaçtır?
İlk denklemi 2 ile çarpalım: 2/x + 2/y = 10. İkinci denklemle taraf tarafa toplayalım: (2/x + 2/y) + (3/x - 2/y) = 10 + 5. 5/x = 15. 15x = 5. x = 5/15 = 1/3.
3. Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katıdır. 5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacağına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?
Oğul=x, Baba=4x. 5 yıl sonra: Oğul=x+5, Baba=4x+5. 4x+5 = 3(x+5). 4x+5 = 3x+15. x = 10 (Oğulun yaşı). Baba = 4x = 4*10 = 40.
4. a, b, c negatif tam sayılardır. a.b=24 ve b.c=30 olduğuna göre a+b+c toplamının en büyük değeri kaçtır?
Toplamın en büyük (sıfıra en yakın) olması için ortak çarpan b'nin mutlak değerce en büyük olması gerekir. EBOB(24, 30)=6. b=-6 seçelim. a.(-6)=24 => a=-4. (-6).c=30 => c=-5. Toplam: (-4) + (-6) + (-5) = -15.
5. Bir telin ucundan 1/6'sı kesilince orta noktası 5 cm kayıyor. Telin başlangıçtaki boyu kaç cm'dir?
Kural: Orta noktanın kayma miktarı, kesilen parçanın yarısına eşittir. Kesilen parça = K olsun. Kayma = K/2 = 5 cm. K = 10 cm. Telin 1/6'sı kesilmişti. Telin tamamı T olsun. T/6 = 10 cm. T = 60 cm.
6. a+b=7, b+c=9, c+d=13 olduğuna göre a+d toplamı kaçtır?
1. ve 3. denklemi toplayıp, 2. denklemi çıkaralım. (a+b) + (c+d) - (b+c) = 7 + 13 - 9. a+b+c+d-b-c = 20 - 9. a+d = 11.
7. x, y, z pozitif tam sayılardır. 1/x + 1/y + 1/z = 1 olduğuna göre x+y+z toplamının en büyük değeri kaçtır?
Bu denklemin çözümleri sınırlıdır. Toplamı maksimize etmek için sayıları mümkün olduğunca farklılaştırmalıyız. 1) x=3, y=3, z=3. Toplam 9. (1/3+1/3+1/3=1) 2) x=2, y=4, z=4 (veya permütasyonları). Toplam 10. (1/2+1/4+1/4=1) 3) x=2, y=3, z=6 (veya permütasyonları). Toplam 11. (1/2+1/3+1/6=1) En büyük toplam 11'dir.
8. x, y reel sayılardır. x² + y² - 6x + 4y + 13 = 0 olduğuna göre x+y toplamı kaçtır?
İfadeyi tam karelere tamamlayalım. (x² - 6x) + (y² + 4y) + 13 = 0. x²-6x için (x-3)²=x²-6x+9 gereklidir. y²+4y için (y+2)²=y²+4y+4 gereklidir. 13 = 9 + 4 olduğundan denklem şu şekildedir: (x² - 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 0. (x-3)² + (y+2)² = 0. Kareler toplamı sıfırsa, içleri sıfır olmalı. x-3=0 => x=3. y+2=0 => y=-2. x+y = 3 + (-2) = 1.
9. a/b = 3/4 ve (a+5)/(b+5) = 4/5 olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
a=3k, b=4k olsun. İkinci denklemde yerine koyalım. (3k+5)/(4k+5) = 4/5. İçler dışlar çarpımı yapalım. 5(3k+5) = 4(4k+5). 15k + 25 = 16k + 20. k = 5. a+b = 3k+4k = 7k = 7*5 = 35.
10. 4 yanlışın 1 doğruyu götürdüğü 80 soruluk bir sınavda tüm soruları işaretleyen bir öğrenci 60 net yapmıştır. Kaç soruyu doğru cevaplamıştır?
Doğru sayısı D, Yanlış sayısı Y olsun. D+Y=80. Net = D - (Y/4) = 60. D yerine (80-Y) yazalım. (80-Y) - (Y/4) = 60. 80 - 5Y/4 = 60. 20 = 5Y/4. 80 = 5Y. Y=16. Doğru sayısı D = 80-16 = 64.
11. x, y pozitif tam sayılardır. 3x + 5y = 75 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?
Başlangıç noktası bulalım. x=0 için 5y=75, y=15. (0, 15). x, y'nin katsayısı (5) kadar artar. y, x'in katsayısı (3) kadar azalır. İkililer: (5, 12), (10, 9), (15, 6), (20, 3), (25, 0). x ve y pozitif tam sayı olmalı (sıfır hariç). (5, 12), (10, 9), (15, 6), (20, 3). Toplam 4 tane ikili vardır.
12. a+b+c=0 ve a.b.c=12 olduğuna göre (a+b)(b+c)(a+c) çarpımının sonucu kaçtır?
a+b+c=0 ise: a+b = -c b+c = -a a+c = -b İstenen çarpım: (-c) * (-a) * (-b) = -abc. abc=12 olduğuna göre sonuç -12'dir.
13. 2^x = a ve 3^x = b olduğuna göre 72^x ifadesinin a ve b cinsinden eşiti nedir?
72'yi asal çarpanlarına ayıralım. 72 = 8 * 9 = 2³ * 3². 72^x = (2³ * 3²)^x = (2^x)³ * (3^x)². (a)³ * (b)² = a³b².
14. x + 1/x = 5 olduğuna göre x² + 1/x² ifadesinin değeri kaçtır?
(x + 1/x)² = x² + 2*(x)*(1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x². (5)² = (x² + 1/x²) + 2. 25 = (x² + 1/x²) + 2. x² + 1/x² = 23.
15. ax + by = 7 ve bx + ay = 5 denklem sisteminde x+y=3 olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
İki denklemi taraf tarafa toplayalım: (ax+by) + (bx+ay) = 7 + 5. ax+bx + ay+by = 12. x(a+b) + y(a+b) = 12. (a+b)(x+y) = 12. x+y=3 olarak verilmiş. (a+b)*3 = 12. a+b = 4.