Eşitsizlik ve Mutlak Değer Test 2
1. 2 < |x-1| < 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
İki durum vardır: 1) 2 < x-1 < 5. Her tarafa 1 ekleyelim: 3 < x < 6. Tam sayılar: 4, 5. 2) -5 < x-1 < -2. Her tarafa 1 ekleyelim: -4 < x < -1. Tam sayılar: -3, -2. Tüm tam sayıların toplamı: 4+5+(-3)+(-2) = 9 - 5 = 4.
2. x ve y reel sayılardır. -3 < x < 2 ve 1 < y < 4 olduğuna göre, x.y çarpımının alabileceği en geniş değer aralığı nedir?
Çarpımın aralığını bulmak için uç noktaları çaprazlama çarparız. (-3)*1 = -3. (-3)*4 = -12. 2*1 = 2. 2*4 = 8. Bulunan değerlerin en küçüğü alt sınır, en büyüğü üst sınırdır. En küçük -12, en büyük 8. Aralık: (-12, 8).
3. a² > a ve a.b < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
a² > a ise a>1 veya a<0 olmalıdır. a.b < 0 ise a ve b zıt işaretlidir. C şıkkını inceleyelim: a.b < b. Durum 1: a>1 (pozitif) ise b<0 (negatif). Eşitsizliği b'ye bölersek (negatif) yön değiştirir: a > 1. Bu durumla uyumludur. Durum 2: a<0 (negatif) ise b>0 (pozitif). Eşitsizliği b'ye bölersek (pozitif) yön değiştirmez: a < 1. Bu durumla (a<0) uyumludur. Dolayısıyla C şıkkı daima doğrudur.
4. x < 0 olmak üzere, |x - |2x|| ifadesinin eşiti nedir?
x < 0. İçeriden başlayalım. |2x|. x negatif olduğu için 2x de negatiftir. Dışarıya -2x olarak çıkar. İfade: |x - (-2x)| = |x + 2x| = |3x|. x negatif olduğu için 3x de negatiftir. Dışarıya -3x olarak çıkar.
5. a < a³ < a² olduğuna göre a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a² pozitif olduğu için a³ de pozitiftir. Bu ancak a pozitifse mümkündür. Ancak a pozitif ise (01 durumunda a a²(a-1) < 0. a² pozitif olduğundan a-1 < 0 yani a<1 olmalıdır. a < a³ ise a-a³ < 0 => a(1-a²) < 0 => a(1-a)(1+a) < 0. Tablo yapalım: Kökler 0, 1, -1. -1 0 1 --|----|----|-- + - + - Negatif olduğu bölgeler: (-1, 0) U (1, ∞). İki koşulun kesişimi (a<1) VE ((-1, 0) U (1, ∞)) = (-1, 0). Cevap: -1 < a < 0.
6. |2x-5| > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Mutlak değer daima 0 veya pozitiftir (|A| ≥ 0). Bizden sadece pozitif (>0) olması isteniyor. O halde sadece 0 olduğu durumu çıkarmalıyız. 2x-5 = 0 => x=5/2. Çözüm kümesi: Tüm reel sayılar fark 5/2. R - {5/2}.
7. a.b < 0 ve a²b > 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
a² ifadesi daima pozitiftir (a≠0). a²b > 0 => (+)*b > 0 => b > 0 (b pozitif). a.b < 0 => a*(+) < 0 => a < 0 (a negatif). Sonuç: a < 0, b > 0.
8. |x| = x ve y² < y olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
|x| = x ise x ≥ 0. y² < y ise 0 < y < 1. y kesinlikle pozitiftir (y>0). C seçeneği daima doğrudur.
9. x reel sayıdır. -3 < x < 1 olduğuna göre x³ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Kuvvet tek sayı olduğu için eşitsizliğin yönünü korur. (-3)³ < x³ < (1)³. -27 < x³ < 1. En büyük tam sayı değeri 0'dır.
10. |x-2| = 2x-7 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Mutlak değerin sonucu olan 2x-7 ≥ 0 olmalıdır. Yani x ≥ 7/2 (3.5). Durum 1 (İçerisi pozitif veya sıfır): x-2 = 2x-7 => x=5. (Şartı sağlar: 5 ≥ 3.5). Durum 2 (İçerisi negatif): -(x-2) = 2x-7 => -x+2 = 2x-7 => 3x=9 => x=3. (Şartı sağlamaz: 3 < 3.5). Tek çözüm x=5'tir.
11. -3 < x < 5 olduğuna göre x²-4x ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
x²-4x ifadesini tam kareye tamamlayalım. x²-4x = (x-2)² - 4. x'in aralığı: -3 < x < 5. Her taraftan 2 çıkaralım: -5 < x-2 < 3. (x-2)²'nin aralığı: Kare alırken aralıkta 0 olduğu için alt sınır 0 olur. Üst sınır (-5)²=25 veya 3²=9'dan büyük olanıdır. 0 ≤ (x-2)² < 25. Her taraftan 4 çıkaralım: -4 ≤ (x-2)²-4 < 21. En küçük tam sayı değeri -4'tür.
12. |x+2| < |x-3| eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Her iki taraf pozitif olduğu için karelerini alabiliriz. (x+2)² < (x-3)². x² + 4x + 4 < x² - 6x + 9. 4x + 4 < -6x + 9. 10x < 5. x < 5/10 => x < 1/2.
13. |x²-4| = |x-2| denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
x²-4 = (x-2)(x+2). |(x-2)(x+2)| = |x-2|. |x-2|.|x+2| = |x-2|. 1. Durum: |x-2|=0 => x=2. (Denklemi sağlar). 2. Durum: |x-2|≠0 ise her iki tarafı |x-2|'ye bölebiliriz. |x+2| = 1. x+2=1 => x=-1. x+2=-1 => x=-3. x değerleri: 2, -1, -3. Toplam: 2 + (-1) + (-3) = -2.
14. 20 / (|x-1| + |x+3|) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
İfadenin en büyük olması için paydanın en küçük olması gerekir. Payda: |x-1| + |x+3|. Bu ifadenin en küçük değeri kritik noktalar (x=1, x=-3) arasındaki uzaklıktır. |1 - (-3)| = 4. Paydanın en küçük değeri 4'tür. İfadenin en büyük değeri 20/4 = 5.
15. x bir tam sayı olmak üzere, |x| < 4 eşitsizliği veriliyor. 2y-x=7 olduğuna göre y'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
|x| < 4 ise -4 < x < 4. x tam sayı olduğu için x değerleri: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. y = (7+x)/2. y'nin tam sayı olması için (7+x) çift olmalı, yani x tek olmalı. x'in alabileceği tek değerler: -3, -1, 1, 3. x=-3 için y=(7-3)/2=2. x=-1 için y=(7-1)/2=3. x=1 için y=(7+1)/2=4. x=3 için y=(7+3)/2=5. y'nin 4 farklı tam sayı değeri vardır.
Eşitsizlik ve Mutlak Değer Test 2
1. 2 < |x-1| < 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
İki durum vardır: 1) 2 < x-1 < 5. Her tarafa 1 ekleyelim: 3 < x < 6. Tam sayılar: 4, 5. 2) -5 < x-1 < -2. Her tarafa 1 ekleyelim: -4 < x < -1. Tam sayılar: -3, -2. Tüm tam sayıların toplamı: 4+5+(-3)+(-2) = 9 - 5 = 4.
2. x ve y reel sayılardır. -3 < x < 2 ve 1 < y < 4 olduğuna göre, x.y çarpımının alabileceği en geniş değer aralığı nedir?
Çarpımın aralığını bulmak için uç noktaları çaprazlama çarparız. (-3)*1 = -3. (-3)*4 = -12. 2*1 = 2. 2*4 = 8. Bulunan değerlerin en küçüğü alt sınır, en büyüğü üst sınırdır. En küçük -12, en büyük 8. Aralık: (-12, 8).
3. a² > a ve a.b < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
a² > a ise a>1 veya a<0 olmalıdır. a.b < 0 ise a ve b zıt işaretlidir. C şıkkını inceleyelim: a.b < b. Durum 1: a>1 (pozitif) ise b<0 (negatif). Eşitsizliği b'ye bölersek (negatif) yön değiştirir: a > 1. Bu durumla uyumludur. Durum 2: a<0 (negatif) ise b>0 (pozitif). Eşitsizliği b'ye bölersek (pozitif) yön değiştirmez: a < 1. Bu durumla (a<0) uyumludur. Dolayısıyla C şıkkı daima doğrudur.
4. x < 0 olmak üzere, |x - |2x|| ifadesinin eşiti nedir?
x < 0. İçeriden başlayalım. |2x|. x negatif olduğu için 2x de negatiftir. Dışarıya -2x olarak çıkar. İfade: |x - (-2x)| = |x + 2x| = |3x|. x negatif olduğu için 3x de negatiftir. Dışarıya -3x olarak çıkar.
5. a < a³ < a² olduğuna göre a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a² pozitif olduğu için a³ de pozitiftir. Bu ancak a pozitifse mümkündür. Ancak a pozitif ise (01 durumunda a a²(a-1) < 0. a² pozitif olduğundan a-1 < 0 yani a<1 olmalıdır. a < a³ ise a-a³ < 0 => a(1-a²) < 0 => a(1-a)(1+a) < 0. Tablo yapalım: Kökler 0, 1, -1. -1 0 1 --|----|----|-- + - + - Negatif olduğu bölgeler: (-1, 0) U (1, ∞). İki koşulun kesişimi (a<1) VE ((-1, 0) U (1, ∞)) = (-1, 0). Cevap: -1 < a < 0.
6. |2x-5| > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Mutlak değer daima 0 veya pozitiftir (|A| ≥ 0). Bizden sadece pozitif (>0) olması isteniyor. O halde sadece 0 olduğu durumu çıkarmalıyız. 2x-5 = 0 => x=5/2. Çözüm kümesi: Tüm reel sayılar fark 5/2. R - {5/2}.
7. a.b < 0 ve a²b > 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
a² ifadesi daima pozitiftir (a≠0). a²b > 0 => (+)*b > 0 => b > 0 (b pozitif). a.b < 0 => a*(+) < 0 => a < 0 (a negatif). Sonuç: a < 0, b > 0.
8. |x| = x ve y² < y olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
|x| = x ise x ≥ 0. y² < y ise 0 < y < 1. y kesinlikle pozitiftir (y>0). C seçeneği daima doğrudur.
9. x reel sayıdır. -3 < x < 1 olduğuna göre x³ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Kuvvet tek sayı olduğu için eşitsizliğin yönünü korur. (-3)³ < x³ < (1)³. -27 < x³ < 1. En büyük tam sayı değeri 0'dır.
10. |x-2| = 2x-7 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Mutlak değerin sonucu olan 2x-7 ≥ 0 olmalıdır. Yani x ≥ 7/2 (3.5). Durum 1 (İçerisi pozitif veya sıfır): x-2 = 2x-7 => x=5. (Şartı sağlar: 5 ≥ 3.5). Durum 2 (İçerisi negatif): -(x-2) = 2x-7 => -x+2 = 2x-7 => 3x=9 => x=3. (Şartı sağlamaz: 3 < 3.5). Tek çözüm x=5'tir.
11. -3 < x < 5 olduğuna göre x²-4x ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
x²-4x ifadesini tam kareye tamamlayalım. x²-4x = (x-2)² - 4. x'in aralığı: -3 < x < 5. Her taraftan 2 çıkaralım: -5 < x-2 < 3. (x-2)²'nin aralığı: Kare alırken aralıkta 0 olduğu için alt sınır 0 olur. Üst sınır (-5)²=25 veya 3²=9'dan büyük olanıdır. 0 ≤ (x-2)² < 25. Her taraftan 4 çıkaralım: -4 ≤ (x-2)²-4 < 21. En küçük tam sayı değeri -4'tür.
12. |x+2| < |x-3| eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Her iki taraf pozitif olduğu için karelerini alabiliriz. (x+2)² < (x-3)². x² + 4x + 4 < x² - 6x + 9. 4x + 4 < -6x + 9. 10x < 5. x < 5/10 => x < 1/2.
13. |x²-4| = |x-2| denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
x²-4 = (x-2)(x+2). |(x-2)(x+2)| = |x-2|. |x-2|.|x+2| = |x-2|. 1. Durum: |x-2|=0 => x=2. (Denklemi sağlar). 2. Durum: |x-2|≠0 ise her iki tarafı |x-2|'ye bölebiliriz. |x+2| = 1. x+2=1 => x=-1. x+2=-1 => x=-3. x değerleri: 2, -1, -3. Toplam: 2 + (-1) + (-3) = -2.
14. 20 / (|x-1| + |x+3|) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
İfadenin en büyük olması için paydanın en küçük olması gerekir. Payda: |x-1| + |x+3|. Bu ifadenin en küçük değeri kritik noktalar (x=1, x=-3) arasındaki uzaklıktır. |1 - (-3)| = 4. Paydanın en küçük değeri 4'tür. İfadenin en büyük değeri 20/4 = 5.
15. x bir tam sayı olmak üzere, |x| < 4 eşitsizliği veriliyor. 2y-x=7 olduğuna göre y'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
|x| < 4 ise -4 < x < 4. x tam sayı olduğu için x değerleri: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. y = (7+x)/2. y'nin tam sayı olması için (7+x) çift olmalı, yani x tek olmalı. x'in alabileceği tek değerler: -3, -1, 1, 3. x=-3 için y=(7-3)/2=2. x=-1 için y=(7-1)/2=3. x=1 için y=(7+1)/2=4. x=3 için y=(7+3)/2=5. y'nin 4 farklı tam sayı değeri vardır.