ÇARPANLARA AYIRMA DETAYLI REHBERİ
Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadeyi veya sayıyı, daha basit bileşenlerin (çarpanların) çarpımı şeklinde yazma işlemidir. KPSS'de genellikle "İfadesinin en sade hali nedir?" sorularının çözümünde kullanılır.
1. Ortak Çarpan Parantezine Alma
En temel yöntemdir. İfadedeki tüm terimlerde ortak olarak bulunan bir sayı, değişken veya ifade varsa, bu ortak elemanın parantezine alınır.
Örnek: 6x3 + 9x2
Her iki terimde de 3 ve x2 ortaktır.
3x2(2x + 3)
2. Gruplandırma Yöntemi
Genellikle dört veya daha fazla terim içeren ifadelerde kullanılır. Terimler ikişerli veya üçerli gruplanarak ortak çarpan aranır.
Örnek: ax + by + ay + bx
x'li terimleri ve y'li terimleri gruplayalım: (ax + bx) + (ay + by)
x(a+b) + y(a+b)
Şimdi (a+b) ortaktır: (a+b)(x+y)
(a - b) ifadesi ile (b - a) ifadesi birbirinin zıt işaretlisidir. (a - b) = -(b - a).
Örnek: x(a-b) + y(b-a) ifadesini çarpanlara ayırırken işaret değişimi yapılır:
x(a-b) - y(a-b) = (a-b)(x-y).
Not: Çift kuvvetlerde işaret fark etmez: (a-b)2 = (b-a)2.
3. Özdeşliklerden Yararlanma (En Önemlisi)
KPSS'de en sık kullanılan yöntemdir. Temel özdeşliklerin ezbere bilinmesi gerekir.
A. İki Kare Farkı
İki terimin karelerinin farkı, bu terimlerin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.
Örnekler:
- x2 - 9 = x2 - 32 = (x-3)(x+3)
- 4x2 - 25 = (2x)2 - 52 = (2x-5)(2x+5)
B. Tam Kare İfadeler
İki terimin toplamının veya farkının karesidir.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Örnek: x2 + 6x + 9 ifadesini tanıyalım.
Birinci terim x'in karesi, son terim 3'ün karesi. Ortadaki terim bunların çarpımının (3x) iki katı (6x).
Sonuç: (x+3)2.
Bazen a2 + b2 ifadesinin değeri sorulur ve a+b ile ab verilir. Bu durumda tam kare formülü kullanılır:
a2 + b2 = (a+b)2 - 2ab
a2 + b2 = (a-b)2 + 2ab
C. Küp Toplamı ve Farkı
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Örnek: x3 - 8 = x3 - 23 = (x-2)(x2 + 2x + 4).
Bu iki ifade karıştırılmamalıdır. (a+b)3 (Tam Küp/Parantez Küp) açılımı farklıdır:
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Veya şu şekilde düzenlenir: (a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b).
4. Üç Terimlilerin Çarpanlara Ayrılması (ax2+bx+c)
A. Başkatsayı 1 ise (x2+bx+c)
Çarpımları c'yi, toplamları b'yi veren iki sayı (m ve n) aranır.
x2+bx+c = (x+m)(x+n)
Örnek: x2 + 5x + 6. Çarpımları 6 (3·2), toplamları 5 (3+2) olan sayılar 3 ve 2'dir. (x+3)(x+2).
B. Başkatsayı 1'den Farklı ise (ax2+bx+c)
Çapraz çarpım yöntemi kullanılır.
Örnek: 2x2 + 7x + 3
2x² +3
---- ----
2x +1
x +3
Çapraz çarpıp toplarız: (2x·3) + (x·1) = 6x + x = 7x (Ortadaki terimi verdi).
Yazarken düz alırız: (2x+1)(x+3).
5. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
KPSS'deki asıl amaç budur. Pay ve paydadaki ifadeler yukarıdaki yöntemlerle çarpanlarına ayrılır ve ortak olan çarpanlar sadeleştirilir.
ÇARPANLARA AYIRMA TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: 5x2 - 10x ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Ortak çarpan 5x'tir.
5x(x - 2).
Soru 2: x2 - 16 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
İki kare farkı (a2-b2). 16 = 42.
x2 - 42 = (x-4)(x+4).
Soru 3: (a+b)2 ifadesinin açılımı nedir?
Tam kare açılımı: Birincinin karesi + (Birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı) + İkincinin karesi.
a2 + 2ab + b2.
Soru 4: x2 + 4x + 4 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Bu bir tam karedir. x2 ve 22'nin açılımıdır. Ortadaki terim 2·x·2 = 4x'i sağlar.
(x+2)2 = (x+2)(x+2).
Soru 5: x2 + 3x + 2 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çarpımları +2, toplamları +3 olan sayılar +2 ve +1'dir.
(x+2)(x+1).
Soru 6: x2 - 5x + 6 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çarpımları +6, toplamları -5 olan sayılar -3 ve -2'dir.
(x-3)(x-2).
Soru 7: a2b + ab2 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Ortak çarpan ab'dir.
ab(a + b).
Soru 8: 1012 - 992 işleminin sonucu kaçtır?
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
(101 - 99)(101 + 99) = (2)(200) = 400.
Soru 9: x2 - 2x - 15 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çarpımları -15, toplamları -2 olan sayılar -5 ve +3'tür.
(x-5)(x+3).
Soru 10: 9x2 - 1 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
İki kare farkı. 9x2 = (3x)2 ve 1 = 12.
(3x)2 - 12 = (3x-1)(3x+1).
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: ax + ay + bx + by ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Gruplandırma yöntemi kullanılır.
(ax + ay) + (bx + by) = a(x+y) + b(x+y).
Şimdi (x+y) ortaktır: (x+y)(a+b).
Soru 12: a+b = 5 ve a·b = 6 olduğuna göre a2 + b2 kaçtır?
Tam kare özdeşliğini kullanalım: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.
(5)2 = a2 + b2 + 2(6).
25 = a2 + b2 + 12.
a2 + b2 = 25 - 12 = 13.
Soru 13: (x2 - 4) / (x+2) ifadesinin en sade hali nedir?
Pay kısmını iki kare farkı ile açalım: x2 - 4 = (x-2)(x+2).
İfade: [(x-2)(x+2)] / (x+2).
(x+2)'ler sadeleşir. Sonuç: x-2.
Soru 14: x3 + 1 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Küp toplamı formülü: a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2).
x3 + 13 = (x+1)(x2 - x·1 + 12) = (x+1)(x2-x+1).
Soru 15: 2x2 + 5x + 2 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çapraz çarpım yöntemi kullanılır.
2x² -> 2x ve x. +2 -> +1 ve +2.
Çapraz çarpım: (2x·2) + (x·1) = 4x + x = 5x (Ortayı verdi).
Yazılışı: (2x+1)(x+2).
Soru 16: (x2+x-6) / (x+3) ifadesinin en sade hali nedir?
Payı çarpanlara ayıralım. Çarpımları -6, toplamları +1 olan sayılar +3 ve -2'dir.
x2+x-6 = (x+3)(x-2).
İfade: [(x+3)(x-2)] / (x+3).
(x+3)'ler sadeleşir. Sonuç: x-2.
Soru 17: x-y = 4 olduğuna göre, x2 - 2xy + y2 ifadesinin değeri kaçtır?
x2 - 2xy + y2 ifadesi (x-y)2'nin açılımıdır.
x-y = 4 olarak verilmiş.
Sonuç: (4)2 = 16.
Soru 18: a(x-y) - b(y-x) ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
(y-x) ifadesini -(x-y) olarak yazalım.
a(x-y) - b[-(x-y)] = a(x-y) + b(x-y).
(x-y) parantezine alırsak: (x-y)(a+b).
Soru 19: 4x2 - 9y2 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
İki kare farkı. 4x2 = (2x)2. 9y2 = (3y)2.
(2x)2 - (3y)2 = (2x-3y)(2x+3y).
Soru 20: x2 - 10x + 25 ifadesinin eşiti nedir?
Bu bir tam karedir (a2-2ab+b2 formatında).
x'in karesi ve 5'in karesi. Ortadaki terim -2·x·5 = -10x'i sağlar.
Sonuç: (x-5)2.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: (x3-8) / (x2+2x+4) ifadesinin en sade hali nedir?
Pay kısmı küp farkıdır (x3-23).
Açılımı: (x-2)(x2+2x+4).
İfade: [(x-2)(x2+2x+4)] / (x2+2x+4).
(x2+2x+4) terimleri sadeleşir. Sonuç: x-2.
Soru 22: x + 1/x = 3 olduğuna göre, x2 + 1/x2 ifadesinin değeri kaçtır?
Verilen ifadenin (x + 1/x = 3) her iki tarafının karesini alalım.
(x + 1/x)2 = 32.
x2 + 2·x·(1/x) + (1/x)2 = 9.
x2 + 2 + 1/x2 = 9.
x2 + 1/x2 = 9 - 2 = 7.
Soru 23: (x2-y2) / (x2+2xy+y2) ifadesinin en sade hali nedir?
Pay (İki kare farkı): (x-y)(x+y).
Payda (Tam kare): (x+y)2 = (x+y)(x+y).
İfade: [(x-y)(x+y)] / [(x+y)(x+y)].
Birer tane (x+y) sadeleşir. Sonuç: (x-y)/(x+y).
Soru 24: x2 + 6x + k ifadesi bir tam kare olduğuna göre k kaçtır?
Tam kare ifadede (x+a)2 = x2 + 2ax + a2.
Ortadaki terim (6x), 2ax'e eşittir. 2a = 6 ise a = 3.
Son terim k, a2'ye eşittir. k = 32 = 9.
Soru 25: (x2-3x-10) / (x2-25) ifadesinin en sade hali nedir?
Pay: Çarpımları -10, toplamları -3 olan sayılar -5 ve +2'dir. (x-5)(x+2).
Payda: İki kare farkı. (x-5)(x+5).
İfade: [(x-5)(x+2)] / [(x-5)(x+5)].
(x-5)'ler sadeleşir. Sonuç: (x+2)/(x+5).
Soru 26: a=5.25, b=3.75 olduğuna göre a2 - b2 ifadesinin değeri kaçtır?
İki kare farkını kullanalım: (a-b)(a+b).
a-b = 5.25 - 3.75 = 1.5.
a+b = 5.25 + 3.75 = 9.
Sonuç: (1.5) · (9) = 13.5.
Soru 27: x-y=3 ve x+z=6 olduğuna göre x2+xz-xy-yz ifadesinin değeri kaçtır?
İfadeyi gruplandırma yöntemiyle çarpanlara ayıralım.
(x2+xz) + (-xy-yz).
x(x+z) - y(x+z).
(x+z)(x-y).
Verilen değerleri yerine koyalım: (6)·(3) = 18.
Soru 28: a+b=4 olduğuna göre, a3+b3+12ab ifadesinin değeri kaçtır?
Bu soru tam küp açılımı ile ilgilidir.
(a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b).
a+b=4 değerini formülde yerine koyalım:
43 = a3 + b3 + 3ab(4).
64 = a3 + b3 + 12ab.
Sonuç 64'tür.
Soru 29: x4 - 16 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
İki kare farkını uygulayalım: (x2)2 - 42.
= (x2-4)(x2+4).
İlk parantezi tekrar iki kare farkı ile açalım: (x-2)(x+2)(x2+4).
Çarpanlar: (x-2), (x+2), (x2+4). Ayrıca (x2-4) de bir çarpandır.
(x-4) bu ifadenin bir çarpanı değildir.
Soru 30: (x2-x)2 - 8(x2-x) + 12 ifadesinin çarpanlarından biri hangisidir?
Değişken değiştirme yöntemi kullanalım. x2-x = t olsun.
İfade: t2 - 8t + 12.
Çarpımları +12, toplamları -8 olan sayılar -6 ve -2'dir.
(t-6)(t-2). Şimdi t yerine tekrar x2-x yazalım.
(x2-x-6)(x2-x-2).
Bu ifadeleri de çarpanlara ayıralım.
1. Parantez: (x-3)(x+2).
2. Parantez: (x-2)(x+1).
Tüm çarpanlar: (x-3)(x+2)(x-2)(x+1).
Şıklarda bulunan çarpan (x+1)'dir.
ÇARPANLARA AYIRMA DETAYLI REHBERİ
Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadeyi veya sayıyı, daha basit bileşenlerin (çarpanların) çarpımı şeklinde yazma işlemidir. KPSS'de genellikle "İfadesinin en sade hali nedir?" sorularının çözümünde kullanılır.
1. Ortak Çarpan Parantezine Alma
En temel yöntemdir. İfadedeki tüm terimlerde ortak olarak bulunan bir sayı, değişken veya ifade varsa, bu ortak elemanın parantezine alınır.
Örnek: 6x3 + 9x2
Her iki terimde de 3 ve x2 ortaktır.
3x2(2x + 3)
2. Gruplandırma Yöntemi
Genellikle dört veya daha fazla terim içeren ifadelerde kullanılır. Terimler ikişerli veya üçerli gruplanarak ortak çarpan aranır.
Örnek: ax + by + ay + bx
x'li terimleri ve y'li terimleri gruplayalım: (ax + bx) + (ay + by)
x(a+b) + y(a+b)
Şimdi (a+b) ortaktır: (a+b)(x+y)
(a - b) ifadesi ile (b - a) ifadesi birbirinin zıt işaretlisidir. (a - b) = -(b - a).
Örnek: x(a-b) + y(b-a) ifadesini çarpanlara ayırırken işaret değişimi yapılır:
x(a-b) - y(a-b) = (a-b)(x-y).
Not: Çift kuvvetlerde işaret fark etmez: (a-b)2 = (b-a)2.
3. Özdeşliklerden Yararlanma (En Önemlisi)
KPSS'de en sık kullanılan yöntemdir. Temel özdeşliklerin ezbere bilinmesi gerekir.
A. İki Kare Farkı
İki terimin karelerinin farkı, bu terimlerin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.
Örnekler:
- x2 - 9 = x2 - 32 = (x-3)(x+3)
- 4x2 - 25 = (2x)2 - 52 = (2x-5)(2x+5)
B. Tam Kare İfadeler
İki terimin toplamının veya farkının karesidir.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Örnek: x2 + 6x + 9 ifadesini tanıyalım.
Birinci terim x'in karesi, son terim 3'ün karesi. Ortadaki terim bunların çarpımının (3x) iki katı (6x).
Sonuç: (x+3)2.
Bazen a2 + b2 ifadesinin değeri sorulur ve a+b ile ab verilir. Bu durumda tam kare formülü kullanılır:
a2 + b2 = (a+b)2 - 2ab
a2 + b2 = (a-b)2 + 2ab
C. Küp Toplamı ve Farkı
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Örnek: x3 - 8 = x3 - 23 = (x-2)(x2 + 2x + 4).
Bu iki ifade karıştırılmamalıdır. (a+b)3 (Tam Küp/Parantez Küp) açılımı farklıdır:
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Veya şu şekilde düzenlenir: (a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b).
4. Üç Terimlilerin Çarpanlara Ayrılması (ax2+bx+c)
A. Başkatsayı 1 ise (x2+bx+c)
Çarpımları c'yi, toplamları b'yi veren iki sayı (m ve n) aranır.
x2+bx+c = (x+m)(x+n)
Örnek: x2 + 5x + 6. Çarpımları 6 (3·2), toplamları 5 (3+2) olan sayılar 3 ve 2'dir. (x+3)(x+2).
B. Başkatsayı 1'den Farklı ise (ax2+bx+c)
Çapraz çarpım yöntemi kullanılır.
Örnek: 2x2 + 7x + 3
2x² +3
---- ----
2x +1
x +3
Çapraz çarpıp toplarız: (2x·3) + (x·1) = 6x + x = 7x (Ortadaki terimi verdi).
Yazarken düz alırız: (2x+1)(x+3).
5. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
KPSS'deki asıl amaç budur. Pay ve paydadaki ifadeler yukarıdaki yöntemlerle çarpanlarına ayrılır ve ortak olan çarpanlar sadeleştirilir.
ÇARPANLARA AYIRMA TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: 5x2 - 10x ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Ortak çarpan 5x'tir.
5x(x - 2).
Soru 2: x2 - 16 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
İki kare farkı (a2-b2). 16 = 42.
x2 - 42 = (x-4)(x+4).
Soru 3: (a+b)2 ifadesinin açılımı nedir?
Tam kare açılımı: Birincinin karesi + (Birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı) + İkincinin karesi.
a2 + 2ab + b2.
Soru 4: x2 + 4x + 4 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Bu bir tam karedir. x2 ve 22'nin açılımıdır. Ortadaki terim 2·x·2 = 4x'i sağlar.
(x+2)2 = (x+2)(x+2).
Soru 5: x2 + 3x + 2 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çarpımları +2, toplamları +3 olan sayılar +2 ve +1'dir.
(x+2)(x+1).
Soru 6: x2 - 5x + 6 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çarpımları +6, toplamları -5 olan sayılar -3 ve -2'dir.
(x-3)(x-2).
Soru 7: a2b + ab2 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Ortak çarpan ab'dir.
ab(a + b).
Soru 8: 1012 - 992 işleminin sonucu kaçtır?
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
(101 - 99)(101 + 99) = (2)(200) = 400.
Soru 9: x2 - 2x - 15 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çarpımları -15, toplamları -2 olan sayılar -5 ve +3'tür.
(x-5)(x+3).
Soru 10: 9x2 - 1 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
İki kare farkı. 9x2 = (3x)2 ve 1 = 12.
(3x)2 - 12 = (3x-1)(3x+1).
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: ax + ay + bx + by ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Gruplandırma yöntemi kullanılır.
(ax + ay) + (bx + by) = a(x+y) + b(x+y).
Şimdi (x+y) ortaktır: (x+y)(a+b).
Soru 12: a+b = 5 ve a·b = 6 olduğuna göre a2 + b2 kaçtır?
Tam kare özdeşliğini kullanalım: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.
(5)2 = a2 + b2 + 2(6).
25 = a2 + b2 + 12.
a2 + b2 = 25 - 12 = 13.
Soru 13: (x2 - 4) / (x+2) ifadesinin en sade hali nedir?
Pay kısmını iki kare farkı ile açalım: x2 - 4 = (x-2)(x+2).
İfade: [(x-2)(x+2)] / (x+2).
(x+2)'ler sadeleşir. Sonuç: x-2.
Soru 14: x3 + 1 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Küp toplamı formülü: a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2).
x3 + 13 = (x+1)(x2 - x·1 + 12) = (x+1)(x2-x+1).
Soru 15: 2x2 + 5x + 2 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çapraz çarpım yöntemi kullanılır.
2x² -> 2x ve x. +2 -> +1 ve +2.
Çapraz çarpım: (2x·2) + (x·1) = 4x + x = 5x (Ortayı verdi).
Yazılışı: (2x+1)(x+2).
Soru 16: (x2+x-6) / (x+3) ifadesinin en sade hali nedir?
Payı çarpanlara ayıralım. Çarpımları -6, toplamları +1 olan sayılar +3 ve -2'dir.
x2+x-6 = (x+3)(x-2).
İfade: [(x+3)(x-2)] / (x+3).
(x+3)'ler sadeleşir. Sonuç: x-2.
Soru 17: x-y = 4 olduğuna göre, x2 - 2xy + y2 ifadesinin değeri kaçtır?
x2 - 2xy + y2 ifadesi (x-y)2'nin açılımıdır.
x-y = 4 olarak verilmiş.
Sonuç: (4)2 = 16.
Soru 18: a(x-y) - b(y-x) ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
(y-x) ifadesini -(x-y) olarak yazalım.
a(x-y) - b[-(x-y)] = a(x-y) + b(x-y).
(x-y) parantezine alırsak: (x-y)(a+b).
Soru 19: 4x2 - 9y2 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
İki kare farkı. 4x2 = (2x)2. 9y2 = (3y)2.
(2x)2 - (3y)2 = (2x-3y)(2x+3y).
Soru 20: x2 - 10x + 25 ifadesinin eşiti nedir?
Bu bir tam karedir (a2-2ab+b2 formatında).
x'in karesi ve 5'in karesi. Ortadaki terim -2·x·5 = -10x'i sağlar.
Sonuç: (x-5)2.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: (x3-8) / (x2+2x+4) ifadesinin en sade hali nedir?
Pay kısmı küp farkıdır (x3-23).
Açılımı: (x-2)(x2+2x+4).
İfade: [(x-2)(x2+2x+4)] / (x2+2x+4).
(x2+2x+4) terimleri sadeleşir. Sonuç: x-2.
Soru 22: x + 1/x = 3 olduğuna göre, x2 + 1/x2 ifadesinin değeri kaçtır?
Verilen ifadenin (x + 1/x = 3) her iki tarafının karesini alalım.
(x + 1/x)2 = 32.
x2 + 2·x·(1/x) + (1/x)2 = 9.
x2 + 2 + 1/x2 = 9.
x2 + 1/x2 = 9 - 2 = 7.
Soru 23: (x2-y2) / (x2+2xy+y2) ifadesinin en sade hali nedir?
Pay (İki kare farkı): (x-y)(x+y).
Payda (Tam kare): (x+y)2 = (x+y)(x+y).
İfade: [(x-y)(x+y)] / [(x+y)(x+y)].
Birer tane (x+y) sadeleşir. Sonuç: (x-y)/(x+y).
Soru 24: x2 + 6x + k ifadesi bir tam kare olduğuna göre k kaçtır?
Tam kare ifadede (x+a)2 = x2 + 2ax + a2.
Ortadaki terim (6x), 2ax'e eşittir. 2a = 6 ise a = 3.
Son terim k, a2'ye eşittir. k = 32 = 9.
Soru 25: (x2-3x-10) / (x2-25) ifadesinin en sade hali nedir?
Pay: Çarpımları -10, toplamları -3 olan sayılar -5 ve +2'dir. (x-5)(x+2).
Payda: İki kare farkı. (x-5)(x+5).
İfade: [(x-5)(x+2)] / [(x-5)(x+5)].
(x-5)'ler sadeleşir. Sonuç: (x+2)/(x+5).
Soru 26: a=5.25, b=3.75 olduğuna göre a2 - b2 ifadesinin değeri kaçtır?
İki kare farkını kullanalım: (a-b)(a+b).
a-b = 5.25 - 3.75 = 1.5.
a+b = 5.25 + 3.75 = 9.
Sonuç: (1.5) · (9) = 13.5.
Soru 27: x-y=3 ve x+z=6 olduğuna göre x2+xz-xy-yz ifadesinin değeri kaçtır?
İfadeyi gruplandırma yöntemiyle çarpanlara ayıralım.
(x2+xz) + (-xy-yz).
x(x+z) - y(x+z).
(x+z)(x-y).
Verilen değerleri yerine koyalım: (6)·(3) = 18.
Soru 28: a+b=4 olduğuna göre, a3+b3+12ab ifadesinin değeri kaçtır?
Bu soru tam küp açılımı ile ilgilidir.
(a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b).
a+b=4 değerini formülde yerine koyalım:
43 = a3 + b3 + 3ab(4).
64 = a3 + b3 + 12ab.
Sonuç 64'tür.
Soru 29: x4 - 16 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
İki kare farkını uygulayalım: (x2)2 - 42.
= (x2-4)(x2+4).
İlk parantezi tekrar iki kare farkı ile açalım: (x-2)(x+2)(x2+4).
Çarpanlar: (x-2), (x+2), (x2+4). Ayrıca (x2-4) de bir çarpandır.
(x-4) bu ifadenin bir çarpanı değildir.
Soru 30: (x2-x)2 - 8(x2-x) + 12 ifadesinin çarpanlarından biri hangisidir?
Değişken değiştirme yöntemi kullanalım. x2-x = t olsun.
İfade: t2 - 8t + 12.
Çarpımları +12, toplamları -8 olan sayılar -6 ve -2'dir.
(t-6)(t-2). Şimdi t yerine tekrar x2-x yazalım.
(x2-x-6)(x2-x-2).
Bu ifadeleri de çarpanlara ayıralım.
1. Parantez: (x-3)(x+2).
2. Parantez: (x-2)(x+1).
Tüm çarpanlar: (x-3)(x+2)(x-2)(x+1).
Şıklarda bulunan çarpan (x+1)'dir.