ORAN VE ORANTI
Oran ve orantı, nicelikleri karşılaştırma ve aralarındaki ilişkiyi belirleme üzerine kuruludur. KPSS'de hem doğrudan soru olarak hem de problemlerin çözümünde temel bir araç olarak kullanılır.
1. Oran (Ratio)
İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.
a'nın b'ye oranı a/b veya a:b şeklinde gösterilir.
Oranlama yapılırken karşılaştırılan çoklukların birimleri aynı türden olmalıdır. (Örn: 3 kg'ın 500 grama oranı bulunurken, 3000 gr / 500 gr = 6 şeklinde hesaplanır.)
Oranın kendisi birimsizdir.
2. Orantı (Proportion)
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
Bu ifade "a'nın b'ye oranı, c'nin d'ye oranına eşittir" şeklinde okunur.
A. İçler ve Dışlar
a:b = c:d gösteriminde; b ve c içler, a ve d dışlar olarak adlandırılır.
B. İçler-Dışlar Çarpımı
Bir orantıda içlerin çarpımı, dışların çarpımına eşittir. Bu, orantı sorularının temel çözüm yöntemidir.
C. Orantı Sabiti (k)
Tüm orantılar sabit bir sayıya eşittir, buna orantı sabiti (k) denir.
a/b = c/d = k ise; a=b·k ve c=d·k olur.
Sorularda "a, b, c sayıları sırasıyla 2, 3, 5 ile orantılıdır" dendiğinde, bu (aksi belirtilmedikçe) doğru orantı anlamına gelir ve a=2k, b=3k, c=5k yazılır.
Önemli Özellik: a/b = c/d = k ise, payların toplamının paydaların toplamına oranı yine k'dır: (a+c)/(b+d) = k. Hatta oranlar genişletilip toplansa bile sonuç değişmez: (2a+3c)/(2b+3d) = k.
3. Orantı Çeşitleri
A. Doğru Orantı (D.O.)
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu çokluklar doğru orantılıdır.
- Doğru orantılı çoklukların bölümleri sabittir. y/x = k.
- Çözüm Yöntemi: Çapraz çarpım yapılır.
c -------- x
(D.O.) => a·x = b·c
Örnek: İş miktarı ile ücret, hız ile yol (sabit sürede) doğru orantılıdır.
B. Ters Orantı (T.O.)
İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa, bu çokluklar ters orantılıdır.
- Ters orantılı çoklukların çarpımları sabittir. y·x = k.
- Çözüm Yöntemi: Düz (karşılıklı) çarpım yapılır.
c -------- x
(T.O.) => a·b = c·x
Örnek: İşçi sayısı ile işin bitme süresi, hız ile süre (sabit yolda) ters orantılıdır.
Sorularda "a ve b sayıları sırasıyla 2 ve 3 ile ters orantılıdır" dendiğinde: 2·a = 3·b yazılır.
Burada kesirlerle (a=k/2, b=k/3) uğraşmak yerine EKOK(2,3)=6 kullanılır.
2a = 3b = 6k dersek; a=3k, b=2k olur. Görüldüğü gibi, ters orantılı çokluklar katsayıları değiştirerek doğru orantılı hale getirilebilir (2 ve 3 ile ters orantılı olan sayılar, 3 ve 2 ile doğru orantılıdır).
C. Bileşik Orantı
İçinde hem doğru hem de ters orantı barındıran orantılardır. (Örn: a, b ile doğru, c ile ters orantılı ise (a·c)/b = k).
Çözüm Yöntemi (KPSS Favorisi - İşçi Problemleri): Standart formül hayat kurtarır:
4. Ortalamalar
A. Aritmetik Ortalama (A.O.)
Bir veri grubundaki sayıların toplamının, veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
A.O. = (Sayıların Toplamı) / (Sayı Adedi)
B. Geometrik Ortalama (G.O.)
n tane sayının çarpımının n. dereceden köküdür. Genellikle iki sayı için kullanılır.
a ve b'nin Geometrik Ortalaması = √(a·b)
Not: Aritmetik Ortalama ≥ Geometrik Ortalama. Eğer A.O. = G.O. ise sayılar birbirine eşittir.
ORAN-ORANTI TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: a/b = 3/5 olduğuna göre, (2a+b)/b oranı kaçtır?
a/b = 3/5 ise a=3k, b=5k diyebiliriz.
İstenen oranda yerine koyalım: (2(3k)+5k) / 5k = (6k+5k) / 5k = 11k / 5k.
k'lar sadeleşir. Sonuç 11/5.
Soru 2: x/3 = y/4 ve x+y = 21 olduğuna göre x kaçtır?
x/3 = y/4 = k diyelim. x=3k, y=4k olur.
x+y = 3k+4k = 7k.
7k = 21 ise k = 3.
x = 3k = 3·3 = 9.
Soru 3: Bir sınıftaki kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı 4/5'tir. Sınıfta 36 öğrenci olduğuna göre kaç kız öğrenci vardır?
Kız/Erkek = 4/5. Kız=4k, Erkek=5k.
Toplam öğrenci = 4k+5k = 9k.
9k = 36 ise k = 4.
Kız sayısı = 4k = 4·4 = 16.
Soru 4: Sabit bir yolda, hız ile varış süresi arasındaki ilişki ne tür bir orantıdır?
Sabit bir yolda hız arttıkça varış süresi azalır. Bu sebeple ters orantılıdır.
Soru 5: 5 işçi bir işi 12 günde bitirirse, aynı kapasitedeki 6 işçi aynı işi kaç günde bitirir?
İşçi sayısı artarsa gün sayısı azalır (Ters Orantı).
Ters orantıda karşılıklı (düz) çarpım yapılır.
5 işçi ---> 12 gün
6 işçi ---> x gün
5 · 12 = 6 · x
60 = 6x ise x = 10 gün.
Soru 6: 3 kg elmadan 2 litre meyve suyu elde edilirse, 12 litre meyve suyu için kaç kg elma gerekir?
Meyve suyu miktarı arttıkça gereken elma miktarı da artar (Doğru Orantı).
Doğru orantıda çapraz çarpım yapılır.
3 kg elma ---> 2 litre
x kg elma ---> 12 litre
3 · 12 = 2 · x
36 = 2x ise x = 18 kg.
Soru 7: 4, 7, 10 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
Aritmetik Ortalama = (Sayıların Toplamı) / (Sayı Adedi).
(4 + 7 + 10) / 3 = 21 / 3 = 7.
Soru 8: 4 ve 9 sayılarının geometrik ortalaması kaçtır?
İki sayının geometrik ortalaması, çarpımlarının kareköküdür.
G.O. = √(4·9) = √36 = 6.
Soru 9: a/b = 2/3 ve b/c = 3/4 olduğuna göre a/c oranı kaçtır?
Her iki oranda da 'b' ortaktır ve değerleri eşittir (3).
Bu yüzden doğrudan a=2k, b=3k, c=4k diyebiliriz.
a/c = 2k/4k = 2/4 = 1/2.
Alternatif yol: Oranları taraf tarafa çarparsak b'ler sadeleşir. (a/b) · (b/c) = a/c. (2/3) · (3/4) = 6/12 = 1/2.
Soru 10: Bir haritada 1/500.000 ölçeği kullanılmıştır. Haritada 4 cm olarak ölçülen bir uzaklık gerçekte kaç km'dir?
Ölçek = Harita Uzunluğu / Gerçek Uzunluk.
1/500.000 = 4 cm / x cm.
x = 4 · 500.000 = 2.000.000 cm.
cm'yi km'ye çevirmek için 5 sıfır silinir (1 km = 100.000 cm).
x = 20 km.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: a/2 = b/3 = c/5 ve 2a+b-c = 12 olduğuna göre b kaçtır?
Orantıyı k'ya eşitleyelim. a=2k, b=3k, c=5k.
Denklemde yerine yazalım: 2(2k) + (3k) - (5k) = 12.
4k + 3k - 5k = 12.
2k = 12 ise k = 6.
b = 3k = 3·6 = 18.
Soru 12: a ve b sayıları ters orantılıdır. a=8 iken b=6 ise, a=12 iken b kaçtır?
Ters orantılı sayıların çarpımları sabittir. a·b = k.
İlk durum: 8 · 6 = 48 (k=48).
İkinci durum: 12 · b = 48.
b = 48/12 = 4.
Soru 13: 72 bilye, 3 ve 5 yaşlarındaki iki çocuğa yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaştırılıyor. Küçük çocuk kaç bilye alır?
Doğru orantılı ise küçük çocuk 3k, büyük çocuk 5k bilye alır.
Toplam: 3k + 5k = 8k.
8k = 72 ise k = 9.
Küçük çocuk = 3k = 3·9 = 27.
Soru 14: a/b = c/d = e/f = 3 olduğuna göre, (a+c+e)/(b+d+f) oranı kaçtır?
Orantının temel kuralıdır: Payların toplamının, paydaların toplamına oranı yine orantı sabitine (k) eşittir.
Sonuç 3'tür.
Soru 15: Yaş ortalaması 20 olan 5 kişilik bir gruba, 32 yaşında bir kişi daha katılırsa yeni yaş ortalaması kaç olur?
İlk grubun yaş toplamı = Ortalama · Kişi Sayısı = 20 · 5 = 100.
Yeni katılan kişiyle toplam yaş = 100 + 32 = 132.
Yeni kişi sayısı = 5 + 1 = 6.
Yeni ortalama = 132 / 6 = 22.
Soru 16: a/b = 3/4 ve b/c = 2/5 olduğuna göre a, b, c sayıları sırasıyla hangi sayılarla orantılıdır?
Ortak olan 'b' terimini eşitlemeliyiz. İlk oranda b=4, ikinci oranda b=2.
İkinci oranı 2 ile genişletelim: b/c = (2·2)/(5·2) = 4/10.
Şimdi birleştirebiliriz: a=3k, b=4k, c=10k.
Sayılar 3, 4 ve 10 ile orantılıdır.
Soru 17: 30 işçi günde 8 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor. Aynı işi 20 işçi günde 6 saat çalışarak kaç günde bitirir?
Bileşik orantı formülünü kullanalım. Yapılan iş aynı (1).
(1. İş) / (1. Diğer Veriler) = (2. İş) / (2. Diğer Veriler)
1 / (30 işçi · 8 saat · 10 gün) = 1 / (20 işçi · 6 saat · x gün)
Paydalar eşit olmalı: 30 · 8 · 10 = 20 · 6 · x
2400 = 120x
x = 20 gün.
Soru 18: (a+1) sayısı ile (b-2) sayısı doğru orantılıdır. a=5 iken b=4 ise, a=11 iken b kaçtır?
Doğru orantılı çoklukların bölümleri sabittir. (a+1)/(b-2) = k.
İlk durum: (5+1)/(4-2) = 6/2 = 3 (k=3).
İkinci durum: (11+1)/(b-2) = 3.
12/(b-2) = 3.
12 = 3(b-2) ise 4 = b-2. b = 6.
Soru 19: 48 kişilik bir izci kampında herkese 30 gün yetecek kadar yiyecek vardır. 10 gün sonra kamptan 8 kişi ayrılırsa kalan yiyecek kalan kişilere kaç gün yeter?
10 gün geçtikten sonra, 48 kişiye (30-10) = 20 gün yetecek yiyecek kalmıştır.
Kamptan 8 kişi ayrılınca 48-8 = 40 kişi kalır.
Kişi sayısı ile yiyeceğin yeteceği gün sayısı ters orantılıdır.
48 kişi ---> 20 gün
40 kişi ---> x gün
(T.O.) 48 · 20 = 40 · x
960 = 40x ise x = 24 gün.
Soru 20: 60 TL, iki kişiye 2 ve 4 ile ters orantılı olarak paylaştırılırsa çok alan kişi kaç TL alır?
Ters orantı pratik yol: 2 ve 4 ile ters orantılı ise, 4 ve 2 ile (veya 2k ve 1k) doğru orantılıdır.
Toplam pay: 2k+1k = 3k.
3k = 60 ise k = 20.
Çok alan = 2k = 40 TL. Az alan = k = 20 TL.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: a/b = c/d = 4 olduğuna göre, (a+b)/b · (c-d)/d işleminin sonucu kaçtır?
İfadeleri ayrı ayrı düzenleyelim.
(a+b)/b = a/b + b/b = a/b + 1.
(c-d)/d = c/d - d/d = c/d - 1.
a/b=4 ve c/d=4 değerlerini yerine koyalım.
(4+1) · (4-1) = 5 · 3 = 15.
Soru 22: 78 TL; 3, 4 ve 6 ile doğru orantılı olarak üç kişiye dağıtılıyor. En az alan kişi kaç TL almıştır?
Kişilerin aldığı paralar: 3k, 4k, 6k.
Toplam para = 3k+4k+6k = 13k.
13k = 78 TL ise k = 6.
En az alan 3k'dır. 3k = 3·6 = 18 TL.
Soru 23: a sayısı b ile doğru, c ile ters orantılıdır. a=6, b=4 iken c=2'dir. Buna göre a=9, b=3 iken c kaçtır?
Orantı denklemini kuralım. a, b ile doğru (bölüm), c ile ters (çarpım) orantılı.
(a·c)/b = k (Orantı sabiti).
İlk durum: (6·2)/4 = 12/4 = 3 (k=3).
İkinci durum: (9·c)/3 = 3.
3c = 3 ise c = 1.
Soru 24: Aritmetik ortalaması 15 olan 6 sayıdan, toplamı 30 olan 2 sayı çıkarılırsa, kalan sayıların aritmetik ortalaması kaç olur?
6 sayının toplamı = 15 · 6 = 90.
Çıkarılan sayıların toplamı 30.
Kalan sayıların toplamı = 90 - 30 = 60.
Kalan sayı adedi = 6 - 2 = 4.
Yeni ortalama = 60 / 4 = 15.
Soru 25: Eşit kapasiteli bir grup işçi bir işi 18 günde bitiriyor. İşçi sayısı %25 artırılırsa aynı iş kaç günde biter?
Kolaylık için işçi sayısına 100x (veya 4x) diyelim. İş 18 günde bitiyor.
İşçi sayısı %25 artarsa 100x + 25x = 125x olur.
İşçi sayısı ile gün ters orantılıdır.
100x işçi ---> 18 gün
125x işçi ---> G gün
(T.O.) 100x · 18 = 125x · G
1800 = 125G
G = 1800/125 = 14.4 gün.
Soru 26: a, b, c pozitif tam sayılardır. 2a=3b ve 4b=5c olduğuna göre a+b+c toplamının en küçük değeri kaçtır?
Ortak olan 'b' terimini eşitleyelim.
2a=3b ise a/b = 3/2.
4b=5c ise b/c = 5/4.
b'nin değerleri 2 ve 5. EKOK(2,5)=10. b=10k olmalı.
a/b = 3/2 = 15/10. a=15k.
b/c = 5/4 = 10/8. c=8k.
En küçük değer için k=1 alınır. a=15, b=10, c=8.
Toplam = 15+10+8 = 33.
Soru 27: Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapının arka tekerleğinin yarıçapına oranı 3/5'tir. 150 metrelik yolda ön tekerlek arka tekerlekten 40 tur fazla döndüğüne göre, ön tekerleğin çevresi kaç metredir?
Yarıçap (ve çevre) ile tur sayısı ters orantılıdır.
Yarıçap oranı: Ön/Arka = 3/5.
Tur oranı: Ön/Arka = 5/3. (Ön=5k tur, Arka=3k tur).
Tur farkı: 5k - 3k = 2k = 40 tur. k=20.
Ön tekerlek tur sayısı = 5k = 100 tur.
Yol = Çevre · Tur Sayısı.
150 metre = ÇevreÖn · 100.
ÇevreÖn = 150/100 = 1.5 metre.
Soru 28: a, b, c negatif tam sayılardır. a/3 = b/4 = c/6 olduğuna göre a+b+c toplamının en büyük değeri kaçtır?
a=3k, b=4k, c=6k.
Sayılar negatif olduğu için k negatif olmalıdır. Toplamın en büyük (sıfıra en yakın) olması için k'nın en büyük negatif tam sayı olması gerekir (k=-1).
k=-1 için: a=-3, b=-4, c=-6.
Toplam = -3 + (-4) + (-6) = -13.
Soru 29: x ve y sayılarının aritmetik ortalaması 10, geometrik ortalaması 8'dir. Buna göre x2+y2 toplamı kaçtır?
A.O: (x+y)/2 = 10 ise x+y = 20.
G.O: √(xy) = 8. Her iki tarafın karesini alırsak xy = 64.
x2+y2'yi bulmak için (x+y)2 özdeşliğini kullanalım (Çarpanlara Ayırma bilgisi gerekir).
(x+y)2 = x2+y2 + 2xy.
(20)2 = x2+y2 + 2(64).
400 = x2+y2 + 128.
x2+y2 = 400 - 128 = 272.
Soru 30: Birbirini çeviren üç dişli çarktan birincisi 3 tur attığında, ikincisi 4 tur, üçüncüsü 6 tur atmaktadır. Üç çarktaki toplam diş sayısı 180 olduğuna göre, en küçük çarkta kaç diş vardır?
Diş sayısı ile tur sayısı ters orantılıdır. Diş sayıları D1, D2, D3 olsun.
3·D1 = 4·D2 = 6·D3.
EKOK(3, 4, 6) = 12. Eşitliğe 12k diyelim.
3·D1 = 12k ise D1 = 4k.
4·D2 = 12k ise D2 = 3k.
6·D3 = 12k ise D3 = 2k.
Toplam diş sayısı: 4k+3k+2k = 9k.
9k = 180 ise k = 20.
En küçük çark, en az dişi olandır (D3). D3 = 2k = 2·20 = 40 diş.
ORAN VE ORANTI
Oran ve orantı, nicelikleri karşılaştırma ve aralarındaki ilişkiyi belirleme üzerine kuruludur. KPSS'de hem doğrudan soru olarak hem de problemlerin çözümünde temel bir araç olarak kullanılır.
1. Oran (Ratio)
İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.
a'nın b'ye oranı a/b veya a:b şeklinde gösterilir.
Oranlama yapılırken karşılaştırılan çoklukların birimleri aynı türden olmalıdır. (Örn: 3 kg'ın 500 grama oranı bulunurken, 3000 gr / 500 gr = 6 şeklinde hesaplanır.)
Oranın kendisi birimsizdir.
2. Orantı (Proportion)
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
Bu ifade "a'nın b'ye oranı, c'nin d'ye oranına eşittir" şeklinde okunur.
A. İçler ve Dışlar
a:b = c:d gösteriminde; b ve c içler, a ve d dışlar olarak adlandırılır.
B. İçler-Dışlar Çarpımı
Bir orantıda içlerin çarpımı, dışların çarpımına eşittir. Bu, orantı sorularının temel çözüm yöntemidir.
C. Orantı Sabiti (k)
Tüm orantılar sabit bir sayıya eşittir, buna orantı sabiti (k) denir.
a/b = c/d = k ise; a=b·k ve c=d·k olur.
Sorularda "a, b, c sayıları sırasıyla 2, 3, 5 ile orantılıdır" dendiğinde, bu (aksi belirtilmedikçe) doğru orantı anlamına gelir ve a=2k, b=3k, c=5k yazılır.
Önemli Özellik: a/b = c/d = k ise, payların toplamının paydaların toplamına oranı yine k'dır: (a+c)/(b+d) = k. Hatta oranlar genişletilip toplansa bile sonuç değişmez: (2a+3c)/(2b+3d) = k.
3. Orantı Çeşitleri
A. Doğru Orantı (D.O.)
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu çokluklar doğru orantılıdır.
- Doğru orantılı çoklukların bölümleri sabittir. y/x = k.
- Çözüm Yöntemi: Çapraz çarpım yapılır.
c -------- x
(D.O.) => a·x = b·c
Örnek: İş miktarı ile ücret, hız ile yol (sabit sürede) doğru orantılıdır.
B. Ters Orantı (T.O.)
İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa, bu çokluklar ters orantılıdır.
- Ters orantılı çoklukların çarpımları sabittir. y·x = k.
- Çözüm Yöntemi: Düz (karşılıklı) çarpım yapılır.
c -------- x
(T.O.) => a·b = c·x
Örnek: İşçi sayısı ile işin bitme süresi, hız ile süre (sabit yolda) ters orantılıdır.
Sorularda "a ve b sayıları sırasıyla 2 ve 3 ile ters orantılıdır" dendiğinde: 2·a = 3·b yazılır.
Burada kesirlerle (a=k/2, b=k/3) uğraşmak yerine EKOK(2,3)=6 kullanılır.
2a = 3b = 6k dersek; a=3k, b=2k olur. Görüldüğü gibi, ters orantılı çokluklar katsayıları değiştirerek doğru orantılı hale getirilebilir (2 ve 3 ile ters orantılı olan sayılar, 3 ve 2 ile doğru orantılıdır).
C. Bileşik Orantı
İçinde hem doğru hem de ters orantı barındıran orantılardır. (Örn: a, b ile doğru, c ile ters orantılı ise (a·c)/b = k).
Çözüm Yöntemi (KPSS Favorisi - İşçi Problemleri): Standart formül hayat kurtarır:
4. Ortalamalar
A. Aritmetik Ortalama (A.O.)
Bir veri grubundaki sayıların toplamının, veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
A.O. = (Sayıların Toplamı) / (Sayı Adedi)
B. Geometrik Ortalama (G.O.)
n tane sayının çarpımının n. dereceden köküdür. Genellikle iki sayı için kullanılır.
a ve b'nin Geometrik Ortalaması = √(a·b)
Not: Aritmetik Ortalama ≥ Geometrik Ortalama. Eğer A.O. = G.O. ise sayılar birbirine eşittir.
ORAN-ORANTI TESTİ (30 SORU)
KOLAY SEVİYE (1-10)
Soru 1: a/b = 3/5 olduğuna göre, (2a+b)/b oranı kaçtır?
a/b = 3/5 ise a=3k, b=5k diyebiliriz.
İstenen oranda yerine koyalım: (2(3k)+5k) / 5k = (6k+5k) / 5k = 11k / 5k.
k'lar sadeleşir. Sonuç 11/5.
Soru 2: x/3 = y/4 ve x+y = 21 olduğuna göre x kaçtır?
x/3 = y/4 = k diyelim. x=3k, y=4k olur.
x+y = 3k+4k = 7k.
7k = 21 ise k = 3.
x = 3k = 3·3 = 9.
Soru 3: Bir sınıftaki kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı 4/5'tir. Sınıfta 36 öğrenci olduğuna göre kaç kız öğrenci vardır?
Kız/Erkek = 4/5. Kız=4k, Erkek=5k.
Toplam öğrenci = 4k+5k = 9k.
9k = 36 ise k = 4.
Kız sayısı = 4k = 4·4 = 16.
Soru 4: Sabit bir yolda, hız ile varış süresi arasındaki ilişki ne tür bir orantıdır?
Sabit bir yolda hız arttıkça varış süresi azalır. Bu sebeple ters orantılıdır.
Soru 5: 5 işçi bir işi 12 günde bitirirse, aynı kapasitedeki 6 işçi aynı işi kaç günde bitirir?
İşçi sayısı artarsa gün sayısı azalır (Ters Orantı).
Ters orantıda karşılıklı (düz) çarpım yapılır.
5 işçi ---> 12 gün
6 işçi ---> x gün
5 · 12 = 6 · x
60 = 6x ise x = 10 gün.
Soru 6: 3 kg elmadan 2 litre meyve suyu elde edilirse, 12 litre meyve suyu için kaç kg elma gerekir?
Meyve suyu miktarı arttıkça gereken elma miktarı da artar (Doğru Orantı).
Doğru orantıda çapraz çarpım yapılır.
3 kg elma ---> 2 litre
x kg elma ---> 12 litre
3 · 12 = 2 · x
36 = 2x ise x = 18 kg.
Soru 7: 4, 7, 10 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
Aritmetik Ortalama = (Sayıların Toplamı) / (Sayı Adedi).
(4 + 7 + 10) / 3 = 21 / 3 = 7.
Soru 8: 4 ve 9 sayılarının geometrik ortalaması kaçtır?
İki sayının geometrik ortalaması, çarpımlarının kareköküdür.
G.O. = √(4·9) = √36 = 6.
Soru 9: a/b = 2/3 ve b/c = 3/4 olduğuna göre a/c oranı kaçtır?
Her iki oranda da 'b' ortaktır ve değerleri eşittir (3).
Bu yüzden doğrudan a=2k, b=3k, c=4k diyebiliriz.
a/c = 2k/4k = 2/4 = 1/2.
Alternatif yol: Oranları taraf tarafa çarparsak b'ler sadeleşir. (a/b) · (b/c) = a/c. (2/3) · (3/4) = 6/12 = 1/2.
Soru 10: Bir haritada 1/500.000 ölçeği kullanılmıştır. Haritada 4 cm olarak ölçülen bir uzaklık gerçekte kaç km'dir?
Ölçek = Harita Uzunluğu / Gerçek Uzunluk.
1/500.000 = 4 cm / x cm.
x = 4 · 500.000 = 2.000.000 cm.
cm'yi km'ye çevirmek için 5 sıfır silinir (1 km = 100.000 cm).
x = 20 km.
ORTA SEVİYE (11-20)
Soru 11: a/2 = b/3 = c/5 ve 2a+b-c = 12 olduğuna göre b kaçtır?
Orantıyı k'ya eşitleyelim. a=2k, b=3k, c=5k.
Denklemde yerine yazalım: 2(2k) + (3k) - (5k) = 12.
4k + 3k - 5k = 12.
2k = 12 ise k = 6.
b = 3k = 3·6 = 18.
Soru 12: a ve b sayıları ters orantılıdır. a=8 iken b=6 ise, a=12 iken b kaçtır?
Ters orantılı sayıların çarpımları sabittir. a·b = k.
İlk durum: 8 · 6 = 48 (k=48).
İkinci durum: 12 · b = 48.
b = 48/12 = 4.
Soru 13: 72 bilye, 3 ve 5 yaşlarındaki iki çocuğa yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaştırılıyor. Küçük çocuk kaç bilye alır?
Doğru orantılı ise küçük çocuk 3k, büyük çocuk 5k bilye alır.
Toplam: 3k + 5k = 8k.
8k = 72 ise k = 9.
Küçük çocuk = 3k = 3·9 = 27.
Soru 14: a/b = c/d = e/f = 3 olduğuna göre, (a+c+e)/(b+d+f) oranı kaçtır?
Orantının temel kuralıdır: Payların toplamının, paydaların toplamına oranı yine orantı sabitine (k) eşittir.
Sonuç 3'tür.
Soru 15: Yaş ortalaması 20 olan 5 kişilik bir gruba, 32 yaşında bir kişi daha katılırsa yeni yaş ortalaması kaç olur?
İlk grubun yaş toplamı = Ortalama · Kişi Sayısı = 20 · 5 = 100.
Yeni katılan kişiyle toplam yaş = 100 + 32 = 132.
Yeni kişi sayısı = 5 + 1 = 6.
Yeni ortalama = 132 / 6 = 22.
Soru 16: a/b = 3/4 ve b/c = 2/5 olduğuna göre a, b, c sayıları sırasıyla hangi sayılarla orantılıdır?
Ortak olan 'b' terimini eşitlemeliyiz. İlk oranda b=4, ikinci oranda b=2.
İkinci oranı 2 ile genişletelim: b/c = (2·2)/(5·2) = 4/10.
Şimdi birleştirebiliriz: a=3k, b=4k, c=10k.
Sayılar 3, 4 ve 10 ile orantılıdır.
Soru 17: 30 işçi günde 8 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor. Aynı işi 20 işçi günde 6 saat çalışarak kaç günde bitirir?
Bileşik orantı formülünü kullanalım. Yapılan iş aynı (1).
(1. İş) / (1. Diğer Veriler) = (2. İş) / (2. Diğer Veriler)
1 / (30 işçi · 8 saat · 10 gün) = 1 / (20 işçi · 6 saat · x gün)
Paydalar eşit olmalı: 30 · 8 · 10 = 20 · 6 · x
2400 = 120x
x = 20 gün.
Soru 18: (a+1) sayısı ile (b-2) sayısı doğru orantılıdır. a=5 iken b=4 ise, a=11 iken b kaçtır?
Doğru orantılı çoklukların bölümleri sabittir. (a+1)/(b-2) = k.
İlk durum: (5+1)/(4-2) = 6/2 = 3 (k=3).
İkinci durum: (11+1)/(b-2) = 3.
12/(b-2) = 3.
12 = 3(b-2) ise 4 = b-2. b = 6.
Soru 19: 48 kişilik bir izci kampında herkese 30 gün yetecek kadar yiyecek vardır. 10 gün sonra kamptan 8 kişi ayrılırsa kalan yiyecek kalan kişilere kaç gün yeter?
10 gün geçtikten sonra, 48 kişiye (30-10) = 20 gün yetecek yiyecek kalmıştır.
Kamptan 8 kişi ayrılınca 48-8 = 40 kişi kalır.
Kişi sayısı ile yiyeceğin yeteceği gün sayısı ters orantılıdır.
48 kişi ---> 20 gün
40 kişi ---> x gün
(T.O.) 48 · 20 = 40 · x
960 = 40x ise x = 24 gün.
Soru 20: 60 TL, iki kişiye 2 ve 4 ile ters orantılı olarak paylaştırılırsa çok alan kişi kaç TL alır?
Ters orantı pratik yol: 2 ve 4 ile ters orantılı ise, 4 ve 2 ile (veya 2k ve 1k) doğru orantılıdır.
Toplam pay: 2k+1k = 3k.
3k = 60 ise k = 20.
Çok alan = 2k = 40 TL. Az alan = k = 20 TL.
ZOR SEVİYE (21-30)
Soru 21: a/b = c/d = 4 olduğuna göre, (a+b)/b · (c-d)/d işleminin sonucu kaçtır?
İfadeleri ayrı ayrı düzenleyelim.
(a+b)/b = a/b + b/b = a/b + 1.
(c-d)/d = c/d - d/d = c/d - 1.
a/b=4 ve c/d=4 değerlerini yerine koyalım.
(4+1) · (4-1) = 5 · 3 = 15.
Soru 22: 78 TL; 3, 4 ve 6 ile doğru orantılı olarak üç kişiye dağıtılıyor. En az alan kişi kaç TL almıştır?
Kişilerin aldığı paralar: 3k, 4k, 6k.
Toplam para = 3k+4k+6k = 13k.
13k = 78 TL ise k = 6.
En az alan 3k'dır. 3k = 3·6 = 18 TL.
Soru 23: a sayısı b ile doğru, c ile ters orantılıdır. a=6, b=4 iken c=2'dir. Buna göre a=9, b=3 iken c kaçtır?
Orantı denklemini kuralım. a, b ile doğru (bölüm), c ile ters (çarpım) orantılı.
(a·c)/b = k (Orantı sabiti).
İlk durum: (6·2)/4 = 12/4 = 3 (k=3).
İkinci durum: (9·c)/3 = 3.
3c = 3 ise c = 1.
Soru 24: Aritmetik ortalaması 15 olan 6 sayıdan, toplamı 30 olan 2 sayı çıkarılırsa, kalan sayıların aritmetik ortalaması kaç olur?
6 sayının toplamı = 15 · 6 = 90.
Çıkarılan sayıların toplamı 30.
Kalan sayıların toplamı = 90 - 30 = 60.
Kalan sayı adedi = 6 - 2 = 4.
Yeni ortalama = 60 / 4 = 15.
Soru 25: Eşit kapasiteli bir grup işçi bir işi 18 günde bitiriyor. İşçi sayısı %25 artırılırsa aynı iş kaç günde biter?
Kolaylık için işçi sayısına 100x (veya 4x) diyelim. İş 18 günde bitiyor.
İşçi sayısı %25 artarsa 100x + 25x = 125x olur.
İşçi sayısı ile gün ters orantılıdır.
100x işçi ---> 18 gün
125x işçi ---> G gün
(T.O.) 100x · 18 = 125x · G
1800 = 125G
G = 1800/125 = 14.4 gün.
Soru 26: a, b, c pozitif tam sayılardır. 2a=3b ve 4b=5c olduğuna göre a+b+c toplamının en küçük değeri kaçtır?
Ortak olan 'b' terimini eşitleyelim.
2a=3b ise a/b = 3/2.
4b=5c ise b/c = 5/4.
b'nin değerleri 2 ve 5. EKOK(2,5)=10. b=10k olmalı.
a/b = 3/2 = 15/10. a=15k.
b/c = 5/4 = 10/8. c=8k.
En küçük değer için k=1 alınır. a=15, b=10, c=8.
Toplam = 15+10+8 = 33.
Soru 27: Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapının arka tekerleğinin yarıçapına oranı 3/5'tir. 150 metrelik yolda ön tekerlek arka tekerlekten 40 tur fazla döndüğüne göre, ön tekerleğin çevresi kaç metredir?
Yarıçap (ve çevre) ile tur sayısı ters orantılıdır.
Yarıçap oranı: Ön/Arka = 3/5.
Tur oranı: Ön/Arka = 5/3. (Ön=5k tur, Arka=3k tur).
Tur farkı: 5k - 3k = 2k = 40 tur. k=20.
Ön tekerlek tur sayısı = 5k = 100 tur.
Yol = Çevre · Tur Sayısı.
150 metre = ÇevreÖn · 100.
ÇevreÖn = 150/100 = 1.5 metre.
Soru 28: a, b, c negatif tam sayılardır. a/3 = b/4 = c/6 olduğuna göre a+b+c toplamının en büyük değeri kaçtır?
a=3k, b=4k, c=6k.
Sayılar negatif olduğu için k negatif olmalıdır. Toplamın en büyük (sıfıra en yakın) olması için k'nın en büyük negatif tam sayı olması gerekir (k=-1).
k=-1 için: a=-3, b=-4, c=-6.
Toplam = -3 + (-4) + (-6) = -13.
Soru 29: x ve y sayılarının aritmetik ortalaması 10, geometrik ortalaması 8'dir. Buna göre x2+y2 toplamı kaçtır?
A.O: (x+y)/2 = 10 ise x+y = 20.
G.O: √(xy) = 8. Her iki tarafın karesini alırsak xy = 64.
x2+y2'yi bulmak için (x+y)2 özdeşliğini kullanalım (Çarpanlara Ayırma bilgisi gerekir).
(x+y)2 = x2+y2 + 2xy.
(20)2 = x2+y2 + 2(64).
400 = x2+y2 + 128.
x2+y2 = 400 - 128 = 272.
Soru 30: Birbirini çeviren üç dişli çarktan birincisi 3 tur attığında, ikincisi 4 tur, üçüncüsü 6 tur atmaktadır. Üç çarktaki toplam diş sayısı 180 olduğuna göre, en küçük çarkta kaç diş vardır?
Diş sayısı ile tur sayısı ters orantılıdır. Diş sayıları D1, D2, D3 olsun.
3·D1 = 4·D2 = 6·D3.
EKOK(3, 4, 6) = 12. Eşitliğe 12k diyelim.
3·D1 = 12k ise D1 = 4k.
4·D2 = 12k ise D2 = 3k.
6·D3 = 12k ise D3 = 2k.
Toplam diş sayısı: 4k+3k+2k = 9k.
9k = 180 ise k = 20.
En küçük çark, en az dişi olandır (D3). D3 = 2k = 2·20 = 40 diş.