İşlem ve Modüler Aritmetik Test 1
1. 123 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
123 / 7 = 17 (Bölüm), Kalan 4. (17*7=119, 123-119=4). 123 ≡ 4 (Mod 7).
2. Z/5'te (Mod 5'te) 3 + 4 işleminin sonucu kaçtır?
3+4=7. 7'nin 5 ile bölümünden kalan 2'dir. 7 ≡ 2 (Mod 5).
3. Z/6'da (Mod 6'da) 4 . 5 işleminin sonucu kaçtır?
4*5=20. 20'nin 6 ile bölümünden kalan 2'dir (20 = 3*6 + 2). 20 ≡ 2 (Mod 6).
4. 210 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
2'nin kuvvetlerinin Mod 5'teki değerlerine bakalım:
21 ≡ 2
22 ≡ 4
23 ≡ 8 ≡ 3
24 ≡ 16 ≡ 1. (Periyot 4'tür).
10'un 4 ile bölümünden kalan 2'dir (10=2*4+2).
210 ≡ (24)2 . 22 ≡ 12 . 4 ≡ 4 (Mod 5).
5. Bugün günlerden Cuma ise 100 gün sonra hangi gün olur?
Haftanın günleri 7 günde bir tekrar eder (Mod 7).
100'ün 7 ile bölümünden kalanı bulalım. 100 = 14*7 + 2. Kalan 2.
Cuma gününden 2 gün sonrasını bulmalıyız.
Cuma + 1 = Cumartesi.
Cuma + 2 = Pazar.
6. Reel sayılar kümesinde tanımlı ∆ işlemi x ∆ y = x + y - 3 şeklinde veriliyor. 4 ∆ 5 işleminin sonucu kaçtır?
x=4 ve y=5 değerlerini işlemde yerine koyalım.
4 ∆ 5 = 4 + 5 - 3 = 9 - 3 = 6.
7. Tam sayılar kümesinde x * y = 2x + y şeklinde tanımlanan * işleminin birim (etkisiz) elemanı var mıdır?
Birim eleman (e) tanımı: x * e = x ve e * x = x olmalıdır.
x * e = 2x + e = x => e = -x.
Birim eleman değişkene (x'e) bağlı olamaz, sabit bir sayı olmalıdır. Bu nedenle birim eleman yoktur.
8. 3x + 4 ≡ 2 (Mod 5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?
3x + 4 ≡ 2 (Mod 5). 4'ü diğer tarafa atalım.
3x ≡ 2 - 4 ≡ -2 (Mod 5).
-2'ye 5 ekleyelim: -2+5 = 3.
3x ≡ 3 (Mod 5).
3 ve 5 aralarında asal olduğu için her iki tarafı 3'e bölebiliriz. x ≡ 1 (Mod 5).
En küçük pozitif x tam sayısı 1'dir.
9. Bir doktor 4 günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre 10. nöbetini hangi gün tutar?
1. nöbet tutuldu. 10. nöbete kadar 10-1=9 nöbet daha tutulacaktır.
İki nöbet arası 4 gün olduğu için 9 * 4 = 36 gün sonrası hesaplanmalıdır.
Hafta 7 gündür (Mod 7). 36'nın 7 ile bölümünden kalan 1'dir (36=5*7+1).
Salı + 1 gün = Çarşamba.
10. 52025 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Birler basamağı Mod 10 demektir.
5'in tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin birler basamağı 5'tir (51=5, 52=25, 53=125...).
Cevap 5.
11. R'de tanımlı x o y = x+y+xy işlemi veriliyor. 3 o 2 işleminin sonucu kaçtır?
x=3, y=2.
3 o 2 = 3 + 2 + (3*2) = 5 + 6 = 11.
12. R'de tanımlı x ∆ y = 3x-2y işlemi veriliyor. (1 ∆ 2) ∆ 4 işleminin sonucu kaçtır?
Önce parantez içi: 1 ∆ 2 = 3(1) - 2(2) = 3 - 4 = -1.
Şimdi (-1) ∆ 4 işlemini yapalım.
(-1) ∆ 4 = 3(-1) - 2(4) = -3 - 8 = -11.
13. 777 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
7'nin kuvvetlerinin Mod 9'daki değerlerine bakalım.
71 ≡ 7
72 ≡ 49 ≡ 4
73 ≡ 7*4 = 28 ≡ 1. (Periyot 3).
77'nin 3 ile bölümünden kalanı bulalım. 7+7=14. 14'ün 3 ile bölümünden kalan 2'dir.
777 ≡ 72 ≡ 4 (Mod 9).
14. 1! + 2! + 3! + ... + 10! toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
3! = 6. 3! ve sonrasındaki tüm faktöriyeller 6'nın katıdır (içinde 2 ve 3 çarpanı barındırır), yani Mod 6'da 0'dır.
Kalanı bulmak için 1! + 2! toplamına bakmak yeterlidir.
1! = 1. 2! = 2.
Toplam = 1 + 2 = 3.
3'ün 6 ile bölümünden kalan 3'tür.
15. Z/7'de karesi 2 olan sayılardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
x2 ≡ 2 (Mod 7). Şıkları deneyelim.
12=1.
22=4.
32=9. 9 Mod 7 = 2.
Cevap 3'tür. (Ayrıca 42=16 ≡ 2'dir).
İşlem ve Modüler Aritmetik Test 1
1. 123 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
123 / 7 = 17 (Bölüm), Kalan 4. (17*7=119, 123-119=4). 123 ≡ 4 (Mod 7).
2. Z/5'te (Mod 5'te) 3 + 4 işleminin sonucu kaçtır?
3+4=7. 7'nin 5 ile bölümünden kalan 2'dir. 7 ≡ 2 (Mod 5).
3. Z/6'da (Mod 6'da) 4 . 5 işleminin sonucu kaçtır?
4*5=20. 20'nin 6 ile bölümünden kalan 2'dir (20 = 3*6 + 2). 20 ≡ 2 (Mod 6).
4. 210 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
2'nin kuvvetlerinin Mod 5'teki değerlerine bakalım:
21 ≡ 2
22 ≡ 4
23 ≡ 8 ≡ 3
24 ≡ 16 ≡ 1. (Periyot 4'tür).
10'un 4 ile bölümünden kalan 2'dir (10=2*4+2).
210 ≡ (24)2 . 22 ≡ 12 . 4 ≡ 4 (Mod 5).
5. Bugün günlerden Cuma ise 100 gün sonra hangi gün olur?
Haftanın günleri 7 günde bir tekrar eder (Mod 7).
100'ün 7 ile bölümünden kalanı bulalım. 100 = 14*7 + 2. Kalan 2.
Cuma gününden 2 gün sonrasını bulmalıyız.
Cuma + 1 = Cumartesi.
Cuma + 2 = Pazar.
6. Reel sayılar kümesinde tanımlı ∆ işlemi x ∆ y = x + y - 3 şeklinde veriliyor. 4 ∆ 5 işleminin sonucu kaçtır?
x=4 ve y=5 değerlerini işlemde yerine koyalım.
4 ∆ 5 = 4 + 5 - 3 = 9 - 3 = 6.
7. Tam sayılar kümesinde x * y = 2x + y şeklinde tanımlanan * işleminin birim (etkisiz) elemanı var mıdır?
Birim eleman (e) tanımı: x * e = x ve e * x = x olmalıdır.
x * e = 2x + e = x => e = -x.
Birim eleman değişkene (x'e) bağlı olamaz, sabit bir sayı olmalıdır. Bu nedenle birim eleman yoktur.
8. 3x + 4 ≡ 2 (Mod 5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?
3x + 4 ≡ 2 (Mod 5). 4'ü diğer tarafa atalım.
3x ≡ 2 - 4 ≡ -2 (Mod 5).
-2'ye 5 ekleyelim: -2+5 = 3.
3x ≡ 3 (Mod 5).
3 ve 5 aralarında asal olduğu için her iki tarafı 3'e bölebiliriz. x ≡ 1 (Mod 5).
En küçük pozitif x tam sayısı 1'dir.
9. Bir doktor 4 günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre 10. nöbetini hangi gün tutar?
1. nöbet tutuldu. 10. nöbete kadar 10-1=9 nöbet daha tutulacaktır.
İki nöbet arası 4 gün olduğu için 9 * 4 = 36 gün sonrası hesaplanmalıdır.
Hafta 7 gündür (Mod 7). 36'nın 7 ile bölümünden kalan 1'dir (36=5*7+1).
Salı + 1 gün = Çarşamba.
10. 52025 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Birler basamağı Mod 10 demektir.
5'in tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin birler basamağı 5'tir (51=5, 52=25, 53=125...).
Cevap 5.
11. R'de tanımlı x o y = x+y+xy işlemi veriliyor. 3 o 2 işleminin sonucu kaçtır?
x=3, y=2.
3 o 2 = 3 + 2 + (3*2) = 5 + 6 = 11.
12. R'de tanımlı x ∆ y = 3x-2y işlemi veriliyor. (1 ∆ 2) ∆ 4 işleminin sonucu kaçtır?
Önce parantez içi: 1 ∆ 2 = 3(1) - 2(2) = 3 - 4 = -1.
Şimdi (-1) ∆ 4 işlemini yapalım.
(-1) ∆ 4 = 3(-1) - 2(4) = -3 - 8 = -11.
13. 777 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
7'nin kuvvetlerinin Mod 9'daki değerlerine bakalım.
71 ≡ 7
72 ≡ 49 ≡ 4
73 ≡ 7*4 = 28 ≡ 1. (Periyot 3).
77'nin 3 ile bölümünden kalanı bulalım. 7+7=14. 14'ün 3 ile bölümünden kalan 2'dir.
777 ≡ 72 ≡ 4 (Mod 9).
14. 1! + 2! + 3! + ... + 10! toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
3! = 6. 3! ve sonrasındaki tüm faktöriyeller 6'nın katıdır (içinde 2 ve 3 çarpanı barındırır), yani Mod 6'da 0'dır.
Kalanı bulmak için 1! + 2! toplamına bakmak yeterlidir.
1! = 1. 2! = 2.
Toplam = 1 + 2 = 3.
3'ün 6 ile bölümünden kalan 3'tür.
15. Z/7'de karesi 2 olan sayılardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
x2 ≡ 2 (Mod 7). Şıkları deneyelim.
12=1.
22=4.
32=9. 9 Mod 7 = 2.
Cevap 3'tür. (Ayrıca 42=16 ≡ 2'dir).