İşlem ve Modüler Aritmetik Test 2
1. 385 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
3'ün kuvvetlerinin Mod 5'teki değerlerine bakalım:
31 ≡ 3
32 ≡ 9 ≡ 4
33 ≡ 27 ≡ 2
34 ≡ 81 ≡ 1. (Periyot 4).
85'in 4 ile bölümünden kalan 1'dir (85=21*4+1).
385 ≡ (34)21 . 31 ≡ 121 . 3 ≡ 3 (Mod 5).
2. Bir asker 6 günde bir nöbet tutuyor. İlk nöbetini Çarşamba günü tutarsa, 15. nöbetini hangi gün tutar?
1. nöbet tutuldu. 15. nöbete kadar 15-1=14 nöbet daha tutulacaktır.
Geçen süre: 14 * 6 = 84 gün.
Mod 7'de çalışırız. 84'ün 7 ile bölümünden kalan 0'dır (84=12*7).
Kalan 0 olduğu için gün değişmez. Çarşamba günü tutar.
3. Z/7'de 3x+2=6 denkleminin çözümü nedir?
3x ≡ 6-2 ≡ 4 (Mod 7).
3x ≡ 4. 4'e 7'nin katlarını ekleyerek 3'e bölünebilen bir sayı arayalım. 4+7=11 (bölünmez). 4+14=18 (bölünür).
3x ≡ 18 (Mod 7).
x ≡ 6 (Mod 7).
4. R'de tanımlı x * y = x + y - 5 işlemi veriliyor. Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı nedir?
Birim eleman e olsun. x * e = x olmalı.
x + e - 5 = x.
e - 5 = 0 => e=5.
İşlemin değişme özelliği olduğundan e * x = x kontrolüne gerek yoktur. Birim eleman 5'tir.
5. R'de tanımlı x ∆ y = x + y - 2 işlemi veriliyor. 3'ün tersi kaçtır?
Önce birim elemanı (e) bulalım. x ∆ e = x.
x + e - 2 = x => e=2.
Tersi bulmak için (3-1 ile gösterelim): 3 ∆ 3-1 = e = 2.
3 + 3-1 - 2 = 2.
1 + 3-1 = 2.
3-1 = 1. (3'ün tersi 1'dir).
6. 15 ≡ x (Mod 6) denkliğini sağlayan x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
15'in 6 ile bölümünden kalanı buluruz. 15 = 2*6 + 3. Kalan 3'tür.
7. -17 ≡ x (Mod 5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?
-17'ye pozitif bir sonuç elde edene kadar 5'in katlarını ekleyelim.
-17 + (4*5) = -17 + 20 = 3.
En küçük pozitif x tam sayısı 3'tür.
8. 2025 yılı Ekim ayının 30'u Perşembe günü ise 2025 yılı Kasım ayının 15'i hangi gündür?
Ekim ayı 31 gündür. 30 Ekim'den 15 Kasım'a kadar geçen süreyi bulalım.
Ekim'de kalan gün: 31-30=1 gün.
Kasım'daki günler: 15 gün.
Toplam süre: 1+15=16 gün.
16'nın 7 ile bölümünden kalan 2'dir (16=2*7+2).
Perşembe + 2 gün = Cumartesi.
9. 110 + 210 + 310 + 410 toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Mod 5'te inceleyelim.
110 ≡ 1.
2'nin kuvvetleri (Mod 5): 2, 4, 3, 1 (Periyot 4). 10 mod 4 = 2. 210 ≡ 22 = 4.
3'ün kuvvetleri (Mod 5): 3, 4, 2, 1 (Periyot 4). 10 mod 4 = 2. 310 ≡ 32 = 9 ≡ 4.
410 ≡ (-1)10 = 1.
Toplam: 1 + 4 + 4 + 1 = 10.
10 ≡ 0 (Mod 5).
10. Z/5'te 2-1 (2'nin çarpmaya göre tersi) kaçtır?
Çarpmaya göre tersi demek, çarpıldığında sonucu 1 yapan sayı demektir.
2 . x ≡ 1 (Mod 5).
x=3 için 2*3=6. 6 ≡ 1 (Mod 5).
2'nin tersi 3'tür.
11. R'de tanımlı x o y = 2(x+y) işlemi veriliyor. Bu işlemin değişme özelliği var mıdır?
Değişme özelliği için x o y = y o x olmalıdır.
x o y = 2(x+y).
y o x = 2(y+x).
Toplama işleminin değişme özelliği olduğundan (x+y=y+x), bu işlemin de değişme özelliği vardır.
12. 45678 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Önce tabanın Mod 9'daki değerini bulalım. Rakamları toplamı: 4+5+6+7=22.
22'nin 9 ile bölümünden kalan 4'tür. 4567 ≡ 4 (Mod 9).
Soru 48 ≡ x (Mod 9) oldu.
41 ≡ 4.
42 ≡ 16 ≡ 7.
43 ≡ 4*7 = 28 ≡ 1. (Periyot 3).
8'in 3 ile bölümünden kalan 2'dir.
48 ≡ 42 ≡ 16 ≡ 7 (Mod 9).
13. Bir dijital saat 15:00'ı gösterdikten 500 saat sonra kaçı gösterir?
Saatler 24 saatte bir tekrar eder (Mod 24).
500'ün 24 ile bölümünden kalanı bulalım. 500 = 20*24 + 20. Kalan 20.
15:00 + 20 saat = 35:00.
35'in 24 ile bölümünden kalan 11'dir.
Saat 11:00'ı gösterir.
14. R'de tanımlı x * y = x+y+3 işlemi için yutan eleman nedir?
Yutan eleman (y) tanımı: x * y = y olmalıdır (Tüm x değerleri için).
x * y = x+y+3 = y.
x+3=0 => x=-3.
Yutan eleman x'e bağlı çıktığı için (yani sadece x=-3 için sağlanıyor, tüm x'ler için değil), yutan eleman yoktur.
15. 5x - 3 ≡ 9 (Mod 11) denkliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
5x ≡ 9+3 ≡ 12 (Mod 11).
12 ≡ 1 (Mod 11).
5x ≡ 1 (Mod 11).
5'in Mod 11'deki tersini bulalım (5 ile neyi çarparsak 1 olur?).
5*9 = 45. 45 Mod 11 = 1.
x ≡ 9 (Mod 11).
İşlem ve Modüler Aritmetik Test 2
1. 385 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
3'ün kuvvetlerinin Mod 5'teki değerlerine bakalım:
31 ≡ 3
32 ≡ 9 ≡ 4
33 ≡ 27 ≡ 2
34 ≡ 81 ≡ 1. (Periyot 4).
85'in 4 ile bölümünden kalan 1'dir (85=21*4+1).
385 ≡ (34)21 . 31 ≡ 121 . 3 ≡ 3 (Mod 5).
2. Bir asker 6 günde bir nöbet tutuyor. İlk nöbetini Çarşamba günü tutarsa, 15. nöbetini hangi gün tutar?
1. nöbet tutuldu. 15. nöbete kadar 15-1=14 nöbet daha tutulacaktır.
Geçen süre: 14 * 6 = 84 gün.
Mod 7'de çalışırız. 84'ün 7 ile bölümünden kalan 0'dır (84=12*7).
Kalan 0 olduğu için gün değişmez. Çarşamba günü tutar.
3. Z/7'de 3x+2=6 denkleminin çözümü nedir?
3x ≡ 6-2 ≡ 4 (Mod 7).
3x ≡ 4. 4'e 7'nin katlarını ekleyerek 3'e bölünebilen bir sayı arayalım. 4+7=11 (bölünmez). 4+14=18 (bölünür).
3x ≡ 18 (Mod 7).
x ≡ 6 (Mod 7).
4. R'de tanımlı x * y = x + y - 5 işlemi veriliyor. Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı nedir?
Birim eleman e olsun. x * e = x olmalı.
x + e - 5 = x.
e - 5 = 0 => e=5.
İşlemin değişme özelliği olduğundan e * x = x kontrolüne gerek yoktur. Birim eleman 5'tir.
5. R'de tanımlı x ∆ y = x + y - 2 işlemi veriliyor. 3'ün tersi kaçtır?
Önce birim elemanı (e) bulalım. x ∆ e = x.
x + e - 2 = x => e=2.
Tersi bulmak için (3-1 ile gösterelim): 3 ∆ 3-1 = e = 2.
3 + 3-1 - 2 = 2.
1 + 3-1 = 2.
3-1 = 1. (3'ün tersi 1'dir).
6. 15 ≡ x (Mod 6) denkliğini sağlayan x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
15'in 6 ile bölümünden kalanı buluruz. 15 = 2*6 + 3. Kalan 3'tür.
7. -17 ≡ x (Mod 5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?
-17'ye pozitif bir sonuç elde edene kadar 5'in katlarını ekleyelim.
-17 + (4*5) = -17 + 20 = 3.
En küçük pozitif x tam sayısı 3'tür.
8. 2025 yılı Ekim ayının 30'u Perşembe günü ise 2025 yılı Kasım ayının 15'i hangi gündür?
Ekim ayı 31 gündür. 30 Ekim'den 15 Kasım'a kadar geçen süreyi bulalım.
Ekim'de kalan gün: 31-30=1 gün.
Kasım'daki günler: 15 gün.
Toplam süre: 1+15=16 gün.
16'nın 7 ile bölümünden kalan 2'dir (16=2*7+2).
Perşembe + 2 gün = Cumartesi.
9. 110 + 210 + 310 + 410 toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Mod 5'te inceleyelim.
110 ≡ 1.
2'nin kuvvetleri (Mod 5): 2, 4, 3, 1 (Periyot 4). 10 mod 4 = 2. 210 ≡ 22 = 4.
3'ün kuvvetleri (Mod 5): 3, 4, 2, 1 (Periyot 4). 10 mod 4 = 2. 310 ≡ 32 = 9 ≡ 4.
410 ≡ (-1)10 = 1.
Toplam: 1 + 4 + 4 + 1 = 10.
10 ≡ 0 (Mod 5).
10. Z/5'te 2-1 (2'nin çarpmaya göre tersi) kaçtır?
Çarpmaya göre tersi demek, çarpıldığında sonucu 1 yapan sayı demektir.
2 . x ≡ 1 (Mod 5).
x=3 için 2*3=6. 6 ≡ 1 (Mod 5).
2'nin tersi 3'tür.
11. R'de tanımlı x o y = 2(x+y) işlemi veriliyor. Bu işlemin değişme özelliği var mıdır?
Değişme özelliği için x o y = y o x olmalıdır.
x o y = 2(x+y).
y o x = 2(y+x).
Toplama işleminin değişme özelliği olduğundan (x+y=y+x), bu işlemin de değişme özelliği vardır.
12. 45678 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Önce tabanın Mod 9'daki değerini bulalım. Rakamları toplamı: 4+5+6+7=22.
22'nin 9 ile bölümünden kalan 4'tür. 4567 ≡ 4 (Mod 9).
Soru 48 ≡ x (Mod 9) oldu.
41 ≡ 4.
42 ≡ 16 ≡ 7.
43 ≡ 4*7 = 28 ≡ 1. (Periyot 3).
8'in 3 ile bölümünden kalan 2'dir.
48 ≡ 42 ≡ 16 ≡ 7 (Mod 9).
13. Bir dijital saat 15:00'ı gösterdikten 500 saat sonra kaçı gösterir?
Saatler 24 saatte bir tekrar eder (Mod 24).
500'ün 24 ile bölümünden kalanı bulalım. 500 = 20*24 + 20. Kalan 20.
15:00 + 20 saat = 35:00.
35'in 24 ile bölümünden kalan 11'dir.
Saat 11:00'ı gösterir.
14. R'de tanımlı x * y = x+y+3 işlemi için yutan eleman nedir?
Yutan eleman (y) tanımı: x * y = y olmalıdır (Tüm x değerleri için).
x * y = x+y+3 = y.
x+3=0 => x=-3.
Yutan eleman x'e bağlı çıktığı için (yani sadece x=-3 için sağlanıyor, tüm x'ler için değil), yutan eleman yoktur.
15. 5x - 3 ≡ 9 (Mod 11) denkliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
5x ≡ 9+3 ≡ 12 (Mod 11).
12 ≡ 1 (Mod 11).
5x ≡ 1 (Mod 11).
5'in Mod 11'deki tersini bulalım (5 ile neyi çarparsak 1 olur?).
5*9 = 45. 45 Mod 11 = 1.
x ≡ 9 (Mod 11).