Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık Test 1
1. 5 farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
n farklı nesnenin sıralanışı n! (n faktöriyel) ile bulunur (Permütasyon).
5! = 5*4*3*2*1 = 120.
2. P(6, 2) permütasyonunun değeri kaçtır?
P(n, r) = n! / (n-r)!. Ya da n'den geriye r tane sayının çarpımıdır.
P(6, 2) = 6 * 5 = 30.
3. C(7, 3) kombinasyonunun değeri kaçtır?
C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!).
C(7, 3) = (7*6*5) / (3*2*1) = 210 / 6 = 35.
4. Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır?
Örnek uzay: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (6 durum).
İstenen durum (Asal sayılar): {2, 3, 5}. (3 durum).
Olasılık = İstenen Durum Sayısı / Tüm Durumlar = 3/6 = 1/2.
5. A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Yüzler basamağı için 5 seçenek var.
Rakamları farklı dediği için onlar basamağı için 4 seçenek kalır.
Birler basamağı için 3 seçenek kalır.
Toplam: 5 * 4 * 3 = 60. (Veya P(5, 3)).
6. 10 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Sıralama önemlidir (Görevler farklıdır). Permütasyon kullanılır.
Başkan için 10 seçenek, yardımcı için kalan 9 kişiden 1 seçenek vardır.
P(10, 2) = 10 * 9 = 90.
7. 8 kişi arasından 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Sıralama önemli değildir (Ekip seçimi). Kombinasyon kullanılır.
C(8, 3) = (8*7*6) / (3*2*1) = 336 / 6 = 56.
8. Bir torbada 4 kırmızı, 6 mavi top vardır. Rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı kaçtır?
Toplam top sayısı: 4+6=10.
Mavi top sayısı: 6.
Olasılık = 6/10 = 3/5.
9. "ANKARA" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 6 harf var. A harfi 3 kez tekrar ediyor.
Formül: 6! / 3! = (6*5*4*3!) / 3! = 6*5*4 = 120.
10. 4 erkek ve 3 kız öğrenci yan yana sıralanacaktır. Kızların yan yana olması şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
Kızları tek bir grup (blok) olarak düşünelim. 4 Erkek + 1 Kız grubu = 5 eleman.
Bu 5 eleman 5! = 120 şekilde sıralanır.
Kızlar kendi aralarında 3! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Toplam sıralama: 5! * 3! = 120 * 6 = 720.
11. 5 doktor ve 4 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Ekipte en az 2 doktor olması şartıyla kaç farklı ekip oluşturulabilir?
İki durum vardır: 2 Doktor 1 Hemşire VEYA 3 Doktor 0 Hemşire.
Durum 1: C(5, 2) * C(4, 1) = 10 * 4 = 40.
Durum 2: C(5, 3) * C(4, 0) = 10 * 1 = 10.
Toplam: 40 + 10 = 50.
12. İki zar birlikte atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
Toplam durum sayısı: 6*6=36.
Toplamı 8 olan durumlar: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). (5 durum).
Olasılık: 5/36.
13. A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur?
3 elemanlı alt kümenin biri 5 olacak {5, _, _}. 5'i kümeye yerleştirdik.
Geriye kalan 5 elemandan ({1, 2, 3, 4, 6}) 2 eleman daha seçmeliyiz.
C(5, 2) = (5*4)/(2*1) = 10.
14. 3 kız ve 5 erkek yuvarlak bir masa etrafında, kızlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir?
Kızları tek kişi (grup) gibi düşünelim. 5 Erkek + 1 Kız grubu = 6 eleman.
Yuvarlak masa sıralaması (n-1)! ile bulunur.
(6-1)! = 5! = 120.
Kızlar kendi aralarında 3! = 6 şekilde sıralanır.
Toplam: 5! * 3! = 120 * 6 = 720.
15. Bir torbada 3 mavi, 4 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 2 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
Toplam bilye sayısı 7.
Tüm durumlar (7 bilyeden 2 tane seçimi): C(7, 2) = (7*6)/(2*1) = 21.
İstenen durum (1 Mavi ve 1 Sarı): C(3, 1) * C(4, 1) = 3 * 4 = 12.
Olasılık: 12/21. Sadeleştirirsek (3'e bölelim) 4/7.
Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık Test 1
1. 5 farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
n farklı nesnenin sıralanışı n! (n faktöriyel) ile bulunur (Permütasyon).
5! = 5*4*3*2*1 = 120.
2. P(6, 2) permütasyonunun değeri kaçtır?
P(n, r) = n! / (n-r)!. Ya da n'den geriye r tane sayının çarpımıdır.
P(6, 2) = 6 * 5 = 30.
3. C(7, 3) kombinasyonunun değeri kaçtır?
C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!).
C(7, 3) = (7*6*5) / (3*2*1) = 210 / 6 = 35.
4. Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır?
Örnek uzay: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (6 durum).
İstenen durum (Asal sayılar): {2, 3, 5}. (3 durum).
Olasılık = İstenen Durum Sayısı / Tüm Durumlar = 3/6 = 1/2.
5. A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Yüzler basamağı için 5 seçenek var.
Rakamları farklı dediği için onlar basamağı için 4 seçenek kalır.
Birler basamağı için 3 seçenek kalır.
Toplam: 5 * 4 * 3 = 60. (Veya P(5, 3)).
6. 10 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Sıralama önemlidir (Görevler farklıdır). Permütasyon kullanılır.
Başkan için 10 seçenek, yardımcı için kalan 9 kişiden 1 seçenek vardır.
P(10, 2) = 10 * 9 = 90.
7. 8 kişi arasından 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Sıralama önemli değildir (Ekip seçimi). Kombinasyon kullanılır.
C(8, 3) = (8*7*6) / (3*2*1) = 336 / 6 = 56.
8. Bir torbada 4 kırmızı, 6 mavi top vardır. Rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı kaçtır?
Toplam top sayısı: 4+6=10.
Mavi top sayısı: 6.
Olasılık = 6/10 = 3/5.
9. "ANKARA" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 6 harf var. A harfi 3 kez tekrar ediyor.
Formül: 6! / 3! = (6*5*4*3!) / 3! = 6*5*4 = 120.
10. 4 erkek ve 3 kız öğrenci yan yana sıralanacaktır. Kızların yan yana olması şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
Kızları tek bir grup (blok) olarak düşünelim. 4 Erkek + 1 Kız grubu = 5 eleman.
Bu 5 eleman 5! = 120 şekilde sıralanır.
Kızlar kendi aralarında 3! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Toplam sıralama: 5! * 3! = 120 * 6 = 720.
11. 5 doktor ve 4 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Ekipte en az 2 doktor olması şartıyla kaç farklı ekip oluşturulabilir?
İki durum vardır: 2 Doktor 1 Hemşire VEYA 3 Doktor 0 Hemşire.
Durum 1: C(5, 2) * C(4, 1) = 10 * 4 = 40.
Durum 2: C(5, 3) * C(4, 0) = 10 * 1 = 10.
Toplam: 40 + 10 = 50.
12. İki zar birlikte atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
Toplam durum sayısı: 6*6=36.
Toplamı 8 olan durumlar: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). (5 durum).
Olasılık: 5/36.
13. A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur?
3 elemanlı alt kümenin biri 5 olacak {5, _, _}. 5'i kümeye yerleştirdik.
Geriye kalan 5 elemandan ({1, 2, 3, 4, 6}) 2 eleman daha seçmeliyiz.
C(5, 2) = (5*4)/(2*1) = 10.
14. 3 kız ve 5 erkek yuvarlak bir masa etrafında, kızlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir?
Kızları tek kişi (grup) gibi düşünelim. 5 Erkek + 1 Kız grubu = 6 eleman.
Yuvarlak masa sıralaması (n-1)! ile bulunur.
(6-1)! = 5! = 120.
Kızlar kendi aralarında 3! = 6 şekilde sıralanır.
Toplam: 5! * 3! = 120 * 6 = 720.
15. Bir torbada 3 mavi, 4 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 2 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
Toplam bilye sayısı 7.
Tüm durumlar (7 bilyeden 2 tane seçimi): C(7, 2) = (7*6)/(2*1) = 21.
İstenen durum (1 Mavi ve 1 Sarı): C(3, 1) * C(4, 1) = 3 * 4 = 12.
Olasılık: 12/21. Sadeleştirirsek (3'e bölelim) 4/7.