Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık Test 2
1. C(n, 2) = 15 olduğuna göre n kaçtır?
C(n, 2) = n(n-1)/2.
n(n-1)/2 = 15 => n(n-1) = 30.
Ardışık iki sayının çarpımı 30 ise bu sayılar 6 ve 5'tir. n=6.
2. "KELEBEK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 7 harf. E: 3 tane, K: 2 tane, L: 1 tane, B: 1 tane.
7! / (3! * 2!) = (7*6*5*4*3!) / (3! * 2*1) = (7*6*5*4) / 2 = 840 / 2 = 420.
3. Bir madeni para 3 kez atılıyor. En az bir kez tura gelme olasılığı kaçtır?
Toplam durum sayısı: 23 = 8.
En az bir tura gelme olasılığı = 1 - Hiç tura gelmeme olasılığı (Hepsinin yazı gelmesi).
Hepsinin yazı gelme durumu sadece YYY durumudur (1 durum). Olasılığı 1/8.
1 - 1/8 = 7/8.
4. A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? (Rakamları farklı denilmiyor)
Yüzler basamağı 0 olamaz (1, 2, 3, 4, 5): 5 seçenek.
Onlar basamağı (0, 1, 2, 3, 4, 5): 6 seçenek (Rakamları farklı demediği için).
Birler basamağı çift olmalı (0, 2, 4): 3 seçenek.
Toplam: 5 * 6 * 3 = 90.
5. 5 farklı oyuncak 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
Her bir oyuncak için 3 farklı çocuk seçeneği vardır.
1. oyuncak için 3 seçenek, 2. oyuncak için 3 seçenek, ..., 5. oyuncak için 3 seçenek.
Toplam: 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 35 = 243.
6. C(6, n) = C(6, 2n-4) olduğuna göre n'in alabileceği değerler toplamı kaçtır? (n tam sayı olmalıdır)
Kombinasyonda C(k, a) = C(k, b) ise iki durum vardır:
1) a=b: n = 2n-4 => n=4.
2) a+b=k: n + (2n-4) = 6 => 3n-4=6 => 3n=10 => n=10/3. (n tam sayı olmalıdır, bu durum geçerli değildir).
Tek değer n=4'tür. Toplam 4'tür.
7. 6 farklı noktadan (herhangi üçü doğrusal olmayan) en çok kaç farklı doğru geçer?
Bir doğru oluşturmak için 2 nokta gereklidir. 6 noktadan 2 tanesini seçeriz.
C(6, 2) = (6*5)/(2*1) = 15.
8. A ve B aynı örnek uzayda iki olaydır. P(A)=1/3, P(B)=1/2 ve P(A∩B)=1/6 olduğuna göre P(A∪B) kaçtır?
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
P(A∪B) = 1/3 + 1/2 - 1/6.
Paydaları 6'da eşitleyelim: 2/6 + 3/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3.
9. 4 doktor, 3 avukat arasından rastgele seçilen 2 kişinin ikisinin de doktor olma olasılığı kaçtır?
Toplam kişi sayısı 4+3=7.
Tüm durumlar (7 kişiden 2 kişi seçimi): C(7, 2) = (7*6)/2 = 21.
İstenen durum (4 doktordan 2 doktor seçimi): C(4, 2) = (4*3)/2 = 6.
Olasılık: 6/21 = 2/7.
10. A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile rakamları farklı, 300'den büyük üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
300'den büyük olması için yüzler basamağı 3, 4, 5 veya 6 olmalı (4 seçenek).
Yüzler basamağına 1 rakam kullandık. Rakamları farklı dediği için geriye 5 rakam kaldı.
Onlar basamağı için 5 seçenek.
Birler basamağı için 4 seçenek.
Toplam: 4 * 5 * 4 = 80.
11. 5 evli çift arasından rastgele seçilen 2 kişinin birbiriyle evli olma olasılığı kaçtır?
Toplam 10 kişi var.
Tüm durumlar (10 kişiden 2 kişi seçimi): C(10, 2) = (10*9)/2 = 45.
İstenen durum (Evli çift seçimi): 5 evli çift olduğu için 5 durum vardır.
Olasılık: 5/45 = 1/9.
12. (x+y)5 açılımında katsayılar toplamı kaçtır?
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlere (x ve y) 1 verilir.
(1+1)5 = 25 = 32.
13. Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa etrafında anne ve baba yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir?
Toplam 5 kişi var. Tüm durumlar (Yuvarlak masa): (5-1)! = 4! = 24.
Anne ve babanın yan yana olduğu durumlar: Anne ve babayı 1 kişi sayalım. Toplam 4 kişi olur. (4-1)! = 3! = 6. Anne baba kendi arasında yer değiştirir 2!. Toplam 6*2=12.
Yan yana gelmeme durumu = Tüm durumlar - Yan yana gelme durumu.
24 - 12 = 12.
14. 4 özdeş kırmızı ve 3 özdeş mavi top yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 7 top.
7! / (4! * 3!) = (7*6*5*4!) / (4! * 3*2*1) = (7*6*5) / 6 = 35.
15. Bir hedefe atış yapan Ali'nin hedefi vurma olasılığı 1/3, Veli'nin hedefi vurma olasılığı 1/4'tür. İkisi de birer atış yaptığında hedefin vurulmuş olma olasılığı kaçtır?
Hedefin vurulması = 1 - Hedefin vurulmaması (İkisinin de ıskalaması).
Ali'nin ıskalama olasılığı: 1 - 1/3 = 2/3.
Veli'nin ıskalama olasılığı: 1 - 1/4 = 3/4.
İkisinin de ıskalama olasılığı (Bağımsız olaylar): (2/3)*(3/4) = 6/12 = 1/2.
Hedefin vurulma olasılığı = 1 - 1/2 = 1/2.
Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık Test 2
1. C(n, 2) = 15 olduğuna göre n kaçtır?
C(n, 2) = n(n-1)/2.
n(n-1)/2 = 15 => n(n-1) = 30.
Ardışık iki sayının çarpımı 30 ise bu sayılar 6 ve 5'tir. n=6.
2. "KELEBEK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 7 harf. E: 3 tane, K: 2 tane, L: 1 tane, B: 1 tane.
7! / (3! * 2!) = (7*6*5*4*3!) / (3! * 2*1) = (7*6*5*4) / 2 = 840 / 2 = 420.
3. Bir madeni para 3 kez atılıyor. En az bir kez tura gelme olasılığı kaçtır?
Toplam durum sayısı: 23 = 8.
En az bir tura gelme olasılığı = 1 - Hiç tura gelmeme olasılığı (Hepsinin yazı gelmesi).
Hepsinin yazı gelme durumu sadece YYY durumudur (1 durum). Olasılığı 1/8.
1 - 1/8 = 7/8.
4. A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? (Rakamları farklı denilmiyor)
Yüzler basamağı 0 olamaz (1, 2, 3, 4, 5): 5 seçenek.
Onlar basamağı (0, 1, 2, 3, 4, 5): 6 seçenek (Rakamları farklı demediği için).
Birler basamağı çift olmalı (0, 2, 4): 3 seçenek.
Toplam: 5 * 6 * 3 = 90.
5. 5 farklı oyuncak 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
Her bir oyuncak için 3 farklı çocuk seçeneği vardır.
1. oyuncak için 3 seçenek, 2. oyuncak için 3 seçenek, ..., 5. oyuncak için 3 seçenek.
Toplam: 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 35 = 243.
6. C(6, n) = C(6, 2n-4) olduğuna göre n'in alabileceği değerler toplamı kaçtır? (n tam sayı olmalıdır)
Kombinasyonda C(k, a) = C(k, b) ise iki durum vardır:
1) a=b: n = 2n-4 => n=4.
2) a+b=k: n + (2n-4) = 6 => 3n-4=6 => 3n=10 => n=10/3. (n tam sayı olmalıdır, bu durum geçerli değildir).
Tek değer n=4'tür. Toplam 4'tür.
7. 6 farklı noktadan (herhangi üçü doğrusal olmayan) en çok kaç farklı doğru geçer?
Bir doğru oluşturmak için 2 nokta gereklidir. 6 noktadan 2 tanesini seçeriz.
C(6, 2) = (6*5)/(2*1) = 15.
8. A ve B aynı örnek uzayda iki olaydır. P(A)=1/3, P(B)=1/2 ve P(A∩B)=1/6 olduğuna göre P(A∪B) kaçtır?
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
P(A∪B) = 1/3 + 1/2 - 1/6.
Paydaları 6'da eşitleyelim: 2/6 + 3/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3.
9. 4 doktor, 3 avukat arasından rastgele seçilen 2 kişinin ikisinin de doktor olma olasılığı kaçtır?
Toplam kişi sayısı 4+3=7.
Tüm durumlar (7 kişiden 2 kişi seçimi): C(7, 2) = (7*6)/2 = 21.
İstenen durum (4 doktordan 2 doktor seçimi): C(4, 2) = (4*3)/2 = 6.
Olasılık: 6/21 = 2/7.
10. A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile rakamları farklı, 300'den büyük üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
300'den büyük olması için yüzler basamağı 3, 4, 5 veya 6 olmalı (4 seçenek).
Yüzler basamağına 1 rakam kullandık. Rakamları farklı dediği için geriye 5 rakam kaldı.
Onlar basamağı için 5 seçenek.
Birler basamağı için 4 seçenek.
Toplam: 4 * 5 * 4 = 80.
11. 5 evli çift arasından rastgele seçilen 2 kişinin birbiriyle evli olma olasılığı kaçtır?
Toplam 10 kişi var.
Tüm durumlar (10 kişiden 2 kişi seçimi): C(10, 2) = (10*9)/2 = 45.
İstenen durum (Evli çift seçimi): 5 evli çift olduğu için 5 durum vardır.
Olasılık: 5/45 = 1/9.
12. (x+y)5 açılımında katsayılar toplamı kaçtır?
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlere (x ve y) 1 verilir.
(1+1)5 = 25 = 32.
13. Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa etrafında anne ve baba yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir?
Toplam 5 kişi var. Tüm durumlar (Yuvarlak masa): (5-1)! = 4! = 24.
Anne ve babanın yan yana olduğu durumlar: Anne ve babayı 1 kişi sayalım. Toplam 4 kişi olur. (4-1)! = 3! = 6. Anne baba kendi arasında yer değiştirir 2!. Toplam 6*2=12.
Yan yana gelmeme durumu = Tüm durumlar - Yan yana gelme durumu.
24 - 12 = 12.
14. 4 özdeş kırmızı ve 3 özdeş mavi top yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 7 top.
7! / (4! * 3!) = (7*6*5*4!) / (4! * 3*2*1) = (7*6*5) / 6 = 35.
15. Bir hedefe atış yapan Ali'nin hedefi vurma olasılığı 1/3, Veli'nin hedefi vurma olasılığı 1/4'tür. İkisi de birer atış yaptığında hedefin vurulmuş olma olasılığı kaçtır?
Hedefin vurulması = 1 - Hedefin vurulmaması (İkisinin de ıskalaması).
Ali'nin ıskalama olasılığı: 1 - 1/3 = 2/3.
Veli'nin ıskalama olasılığı: 1 - 1/4 = 3/4.
İkisinin de ıskalama olasılığı (Bağımsız olaylar): (2/3)*(3/4) = 6/12 = 1/2.
Hedefin vurulma olasılığı = 1 - 1/2 = 1/2.