Kümeler Test 1
1. Öz alt küme sayısı 127 olan bir A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Doğru Cevap: C
Öz alt küme sayısı 2n - 1 formülü ile bulunur (n: eleman sayısı).
2n - 1 = 127
2n = 128
n = 7 (Çünkü 27 = 128)
2. s(A - B) = 8, s(B - A) = 5 ve s(A ∩ B) = 3 olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
Doğru Cevap: B
Birleşim kümesinin eleman sayısı, fark kümeleri ve kesişim kümesinin eleman sayılarının toplamına eşittir.
s(A ∪ B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 8 + 5 + 3 = 16.
3. E evrensel kümesinde, s(A) = 10, s(A') = 7 ve s(B) = 9 olduğuna göre s(E) + s(B') toplamı kaçtır?
Doğru Cevap: D
Evrensel kümenin eleman sayısı: s(E) = s(A) + s(A') = 10 + 7 = 17.
B'nin tümleyeninin eleman sayısı: s(B') = s(E) - s(B) = 17 - 9 = 8.
Toplam: s(E) + s(B') = 17 + 8 = 25.
4. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. A' ∪ B' ifadesinin De Morgan kuralına göre eşiti nedir?
Doğru Cevap: A
De Morgan kurallarına göre, tümleyenlerin birleşimi, kesişimin tümleyenine eşittir.
A' ∪ B' = (A ∩ B)'.
5. A ⊂ B ve A ≠ B olduğuna göre, (A ∪ B) ∩ (A ∩ B) ifadesinin en sade şekli nedir?
Doğru Cevap: E
Eğer A ⊂ B ise:
1. A ∪ B = B (Birleşim büyük olan kümeyi verir)
2. A ∩ B = A (Kesişim küçük olan kümeyi verir)
İfadede yerlerine koyarsak:
(B) ∩ (A)
B ∩ A olur. A ⊂ B olduğu için B ∩ A = A olur.
6. Bir sınıfta 20 kişi futbol, 15 kişi basketbol oynamaktadır. 5 kişi her iki oyunu da oynadığına göre, bu oyunları oynayan toplam kaç kişi vardır?
Doğru Cevap: B
Bu, s(F ∪ B)'yi (birleşimi) soran bir sorudur.
s(F ∪ B) = s(F) + s(B) - s(F ∩ B)
s(F ∪ B) = 20 + 15 - 5 = 35 - 5 = 30.
7. 30 kişilik bir grupta herkes Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. Almanca bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin 2 katıdır. Her iki dili bilen 6 kişi olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişidir?
Doğru Cevap: C
s(A ∪ F) = 30, s(A ∩ F) = 6, s(A) = 2 · s(F).
Formül: s(A ∪ F) = s(A) + s(F) - s(A ∩ F)
30 = (2 · s(F)) + s(F) - 6
36 = 3 · s(F)
s(F) = 12.
s(A) = 2 · 12 = 24.
Sadece Almanca bilen: s(A - F) = s(A) - s(A ∩ F) = 24 - 6 = 18.
8. A ∩ B' ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Doğru Cevap: A
Fark işleminin tümleyen ile gösterimi bir kuraldır. Bir kümenin kendisi ile başka bir kümenin tümleyeninin kesişimi, fark işlemine eşittir.
A ∩ B' = A - B (A'da olsun ama B'de olmasın).
9. s(A) = 2 · s(B), s(A ∩ B) = 4, ve s(A ∪ B) = 26 olduğuna göre, s(B - A) kaçtır?
Doğru Cevap: D
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
26 = (2 · s(B)) + s(B) - 4
30 = 3 · s(B)
s(B) = 10.
Sadece B'de olanlar: s(B - A) = s(B) - s(A ∩ B) = 10 - 4 = 6.
10. A kümesinin alt küme sayısı 64, B kümesinin öz alt küme sayısı 31 olduğuna göre, s(A) + s(B) kaçtır?
Doğru Cevap: B
A kümesi: 2s(A) = 64, bu nedenle s(A) = 6.
B kümesi: 2s(B) - 1 = 31, bu nedenle 2s(B) = 32, bu nedenle s(B) = 5.
Toplam: s(A) + s(B) = 6 + 5 = 11.
Aşağıdaki Venn şemasına göre 11-13. soruları cevaplayınız. (E Evrensel Kümedir)
11. Şemaya göre A' ∩ B kümesi (A'nın tümleyeni kesişim B) aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Cevap: C
A' ∩ B ifadesi, B - A (B'de olup A'da olmayanlar) anlamına gelir.
Şemaya göre A'nın dışı (A'): {d, e, f, g}
B kümesi: {c, d, e}
Bu iki kümenin kesişimi: {d, e}.
12. Şemaya göre s((A ∪ B)') (A birleşim B'nin tümleyeninin eleman sayısı) kaçtır?
Doğru Cevap: A
(A ∪ B)' ifadesi, A ve B kümelerinin dışında kalan (ama evrensel kümenin içinde olan) elemanları ifade eder.
Şemada bu bölge {f, g} olarak gösterilmiştir.
Eleman sayısı s((A ∪ B)') = 2'dir.
13. Şemaya göre s(A - B) + s(B ∩ A') toplamı kaçtır?
Doğru Cevap: D
1. s(A - B): Sadece A'da olanlar. Bölge {a, b}. Eleman sayısı 2.
2. s(B ∩ A'): B - A'ya eşittir. Sadece B'de olanlar. Bölge {d, e}. Eleman sayısı 2.
Toplam: 2 + 2 = 4.
14. A, B, C kümeleri için A ∩ B = ∅ (A ve B ayrık) ve A ∪ C = C ise aşağıdakilerden hangisi *daima* doğrudur?
Doğru Cevap: E
A ∪ C = C olması, A ⊂ C (A, C'nin alt kümesidir) anlamına gelir.
A ∩ B = ∅ verilmiş.
E seçeneğini dağılma özelliği ile açalım:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(A ∩ B) zaten ∅ idi.
(A ∩ C) ise A ⊂ C olduğu için A 'ya eşittir.
Sonuç: ∅ ∪ A = A. Eşitlik daima doğrudur.
15. s(A ∪ B) = 10, s(A ∩ B) = 3 ve s(A) = 5 olduğuna göre, s(B x A) (B kartezyen A) kaçtır?
Doğru Cevap: B
Önce s(B)'yi bulmalıyız.
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
10 = 5 + s(B) - 3
10 = 2 + s(B)
s(B) = 8.
Kartezyen çarpım eleman sayısı: s(B x A) = s(B) · s(A) = 8 · 5 = 40.
Kümeler Test 1
1. Öz alt küme sayısı 127 olan bir A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Doğru Cevap: C
Öz alt küme sayısı 2n - 1 formülü ile bulunur (n: eleman sayısı).
2n - 1 = 127
2n = 128
n = 7 (Çünkü 27 = 128)
2. s(A - B) = 8, s(B - A) = 5 ve s(A ∩ B) = 3 olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
Doğru Cevap: B
Birleşim kümesinin eleman sayısı, fark kümeleri ve kesişim kümesinin eleman sayılarının toplamına eşittir.
s(A ∪ B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 8 + 5 + 3 = 16.
3. E evrensel kümesinde, s(A) = 10, s(A') = 7 ve s(B) = 9 olduğuna göre s(E) + s(B') toplamı kaçtır?
Doğru Cevap: D
Evrensel kümenin eleman sayısı: s(E) = s(A) + s(A') = 10 + 7 = 17.
B'nin tümleyeninin eleman sayısı: s(B') = s(E) - s(B) = 17 - 9 = 8.
Toplam: s(E) + s(B') = 17 + 8 = 25.
4. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. A' ∪ B' ifadesinin De Morgan kuralına göre eşiti nedir?
Doğru Cevap: A
De Morgan kurallarına göre, tümleyenlerin birleşimi, kesişimin tümleyenine eşittir.
A' ∪ B' = (A ∩ B)'.
5. A ⊂ B ve A ≠ B olduğuna göre, (A ∪ B) ∩ (A ∩ B) ifadesinin en sade şekli nedir?
Doğru Cevap: E
Eğer A ⊂ B ise:
1. A ∪ B = B (Birleşim büyük olan kümeyi verir)
2. A ∩ B = A (Kesişim küçük olan kümeyi verir)
İfadede yerlerine koyarsak:
(B) ∩ (A)
B ∩ A olur. A ⊂ B olduğu için B ∩ A = A olur.
6. Bir sınıfta 20 kişi futbol, 15 kişi basketbol oynamaktadır. 5 kişi her iki oyunu da oynadığına göre, bu oyunları oynayan toplam kaç kişi vardır?
Doğru Cevap: B
Bu, s(F ∪ B)'yi (birleşimi) soran bir sorudur.
s(F ∪ B) = s(F) + s(B) - s(F ∩ B)
s(F ∪ B) = 20 + 15 - 5 = 35 - 5 = 30.
7. 30 kişilik bir grupta herkes Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. Almanca bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin 2 katıdır. Her iki dili bilen 6 kişi olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişidir?
Doğru Cevap: C
s(A ∪ F) = 30, s(A ∩ F) = 6, s(A) = 2 · s(F).
Formül: s(A ∪ F) = s(A) + s(F) - s(A ∩ F)
30 = (2 · s(F)) + s(F) - 6
36 = 3 · s(F)
s(F) = 12.
s(A) = 2 · 12 = 24.
Sadece Almanca bilen: s(A - F) = s(A) - s(A ∩ F) = 24 - 6 = 18.
8. A ∩ B' ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Doğru Cevap: A
Fark işleminin tümleyen ile gösterimi bir kuraldır. Bir kümenin kendisi ile başka bir kümenin tümleyeninin kesişimi, fark işlemine eşittir.
A ∩ B' = A - B (A'da olsun ama B'de olmasın).
9. s(A) = 2 · s(B), s(A ∩ B) = 4, ve s(A ∪ B) = 26 olduğuna göre, s(B - A) kaçtır?
Doğru Cevap: D
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
26 = (2 · s(B)) + s(B) - 4
30 = 3 · s(B)
s(B) = 10.
Sadece B'de olanlar: s(B - A) = s(B) - s(A ∩ B) = 10 - 4 = 6.
10. A kümesinin alt küme sayısı 64, B kümesinin öz alt küme sayısı 31 olduğuna göre, s(A) + s(B) kaçtır?
Doğru Cevap: B
A kümesi: 2s(A) = 64, bu nedenle s(A) = 6.
B kümesi: 2s(B) - 1 = 31, bu nedenle 2s(B) = 32, bu nedenle s(B) = 5.
Toplam: s(A) + s(B) = 6 + 5 = 11.
Aşağıdaki Venn şemasına göre 11-13. soruları cevaplayınız. (E Evrensel Kümedir)
11. Şemaya göre A' ∩ B kümesi (A'nın tümleyeni kesişim B) aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Cevap: C
A' ∩ B ifadesi, B - A (B'de olup A'da olmayanlar) anlamına gelir.
Şemaya göre A'nın dışı (A'): {d, e, f, g}
B kümesi: {c, d, e}
Bu iki kümenin kesişimi: {d, e}.
12. Şemaya göre s((A ∪ B)') (A birleşim B'nin tümleyeninin eleman sayısı) kaçtır?
Doğru Cevap: A
(A ∪ B)' ifadesi, A ve B kümelerinin dışında kalan (ama evrensel kümenin içinde olan) elemanları ifade eder.
Şemada bu bölge {f, g} olarak gösterilmiştir.
Eleman sayısı s((A ∪ B)') = 2'dir.
13. Şemaya göre s(A - B) + s(B ∩ A') toplamı kaçtır?
Doğru Cevap: D
1. s(A - B): Sadece A'da olanlar. Bölge {a, b}. Eleman sayısı 2.
2. s(B ∩ A'): B - A'ya eşittir. Sadece B'de olanlar. Bölge {d, e}. Eleman sayısı 2.
Toplam: 2 + 2 = 4.
14. A, B, C kümeleri için A ∩ B = ∅ (A ve B ayrık) ve A ∪ C = C ise aşağıdakilerden hangisi *daima* doğrudur?
Doğru Cevap: E
A ∪ C = C olması, A ⊂ C (A, C'nin alt kümesidir) anlamına gelir.
A ∩ B = ∅ verilmiş.
E seçeneğini dağılma özelliği ile açalım:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(A ∩ B) zaten ∅ idi.
(A ∩ C) ise A ⊂ C olduğu için A 'ya eşittir.
Sonuç: ∅ ∪ A = A. Eşitlik daima doğrudur.
15. s(A ∪ B) = 10, s(A ∩ B) = 3 ve s(A) = 5 olduğuna göre, s(B x A) (B kartezyen A) kaçtır?
Doğru Cevap: B
Önce s(B)'yi bulmalıyız.
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
10 = 5 + s(B) - 3
10 = 2 + s(B)
s(B) = 8.
Kartezyen çarpım eleman sayısı: s(B x A) = s(B) · s(A) = 8 · 5 = 40.