Kümeler Test 2
Aşağıdaki Venn şemasına göre 1-5. soruları cevaplayınız. (E Evrensel Kümedir)
1. Şemaya göre s( (A ∪ B) ∩ C' ) kaçtır? (A veya B'de olan ama C'de olmayanlar)
Doğru Cevap: B
(A ∪ B) ∩ C' demek, (A ∪ B) - C demektir.
Bölgeler: {1, 2}, {7}, {3}.
Elemanlar: 1, 2, 7, 3. Toplam 4 eleman vardır.
2. Şemaya göre s( (A ∪ B ∪ C)' ) kaçtır? (Üç kümenin de tümleyeni)
Doğru Cevap: A
(A ∪ B ∪ C)' ifadesi, üç kümenin birleşiminin dışında kalan elemanları ifade eder.
Şemada bu bölgede sadece {12} elemanı bulunmaktadır.
Eleman sayısı 1'dir.
3. Şemaya göre s( (A - B) ∪ C ) kaçtır?
Doğru Cevap: E
A - B = {1, 2, 4}.
C = {4, 5, 8, 10, 11}.
Birleşim: {1, 2, 4} ∪ {4, 5, 8, 10, 11} = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11}.
Toplam 7 eleman vardır.
4. Şemaya göre s( B - (A ∪ C) ) kaçtır? (Sadece B'ye ait olanlar)
Doğru Cevap: C
B - (A ∪ C) ifadesi, B kümesinde olan ancak A veya C kümesinde *olmayan* elemanları sorar.
Bu, şemada "Sadece B" bölgesine karşılık gelir.
Bu bölgedeki eleman {7}'dir. Eleman sayısı 1'dir.
5. Şemadaki elemanlara göre Evrensel Kümenin (E) eleman sayısı kaçtır?
Doğru Cevap: D
Evrensel kümenin eleman sayısı, şemadaki tüm bölgelerdeki elemanların toplamıdır.
Elemanlar: {1, 2} (2 tane) + {7} (1 tane) + {10, 11} (2 tane) + {3} (1 tane) + {4} (1 tane) + {8} (1 tane) + {5} (1 tane) + {12} (1 tane)
s(E) = 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10.
6. Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 48 artıyor. Bu kümenin başlangıçtaki eleman sayısı kaçtır?
Doğru Cevap: C
Başlangıçtaki eleman sayısı n olsun. Alt küme sayısı 2n.
Yeni eleman sayısı n+2. Yeni alt küme sayısı 2(n+2).
2(n+2) - 2n = 48
(2n · 22) - 2n = 48
(4 · 2n) - 2n = 48
3 · 2n = 48
2n = 16
n = 4.
7. 35 kişilik bir sınıfta; İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini bilmeyen 10 kişi vardır. Bu dillerden en az birini bilenler arasında, İngilizce bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin sayısının 2 katıdır. Her iki dili bilen 5 kişi olduğuna göre, sadece İngilizce bilen kaç kişidir?
Doğru Cevap: D
s(E) = 35. (İ ∪ A)' (bilmeyenler) = 10.
Bu durumda, en az bir dili bilenler s(İ ∪ A) = s(E) - s((İ ∪ A)') = 35 - 10 = 25.
s(İ ∩ A) = 5 ve s(İ) = 2 · s(A).
Formül: s(İ ∪ A) = s(İ) + s(A) - s(İ ∩ A)
25 = (2 · s(A)) + s(A) - 5
30 = 3 · s(A)
s(A) = 10.
s(İ) = 2 · 10 = 20.
Sadece İngilizce bilen: s(İ - A) = s(İ) - s(İ ∩ A) = 20 - 5 = 15.
8. [ A ∪ (B ∩ A') ]' ifadesinin De Morgan kuralına göre en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Cevap: A
Önce parantez içini sadeleştirelim. Dağılma özelliği:
A ∪ (B ∩ A') = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A')
(A ∪ A') = E (Evrensel Küme)
(A ∪ B) ∩ E = (A ∪ B)
İfadenin tamamı [ A ∪ B ]' haline gelir. Bu da (A ∪ B)' demektir.
9. s(A) = 8 ve s(B) = 12 olduğuna göre, s(A ∪ B) ifadesinin alabileceği en büyük değer (X) ve en küçük değer (Y) için X + Y toplamı kaçtır?
Doğru Cevap: D
En büyük değer (X) için kesişim en az olmalıdır (ayrık kümeler):
X = s(A) + s(B) = 8 + 12 = 20.
En küçük değer (Y) için kesişim en fazla olmalıdır (A ⊂ B durumu):
Y = s(B) = 12.
Toplam: X + Y = 20 + 12 = 32.
10. s(A x B) = 24 ve s(B x C) = 30 olduğuna göre, s(A) + s(B) + s(C) toplamı *en az* kaç olabilir? (Eleman sayıları pozitif tamsayıdır)
Doğru Cevap: B
s(A) · s(B) = 24
s(B) · s(C) = 30
s(B), hem 24'ü hem de 30'u bölen ortak bir sayıdır.
Toplamın en az olması için, s(B)'nin EBOB(24, 30) = 6 seçilmesi gerekir.
Eğer s(B) = 6 ise:
s(A) = 24 / 6 = 4
s(C) = 30 / 6 = 5
Toplam: s(A) + s(B) + s(C) = 4 + 6 + 5 = 15.
11. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 'a' veya 'b' elemanlarından en az biri bulunur?
Doğru Cevap: C
Bu soruyu çözmek için "Tüm Durumlar" eksi "İstenmeyen Durum" yapılır.
Tüm Durumlar: s(A) = 6. Alt küme sayısı = 26 = 64.
İstenmeyen Durum: 'a' ve 'b'nin *her ikisinin de bulunmadığı* durum.
'a' ve 'b'yi kümeden atarsak {c, d, e, f} kalır. Alt küme sayısı = 24 = 16.
Cevap: 64 - 16 = 48.
12. s(A - B) = 7, s(A ∩ B) = 3 ve s(A ∪ B) = 15 olduğuna göre, s(B) kaçtır?
Doğru Cevap: A
s(A ∪ B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A ∩ B)
15 = 7 + s(B - A) + 3
15 = 10 + s(B - A)
s(B - A) = 5.
s(B) = s(B - A) + s(A ∩ B) = 5 + 3 = 8.
13. (A - B)' ∩ A ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Cevap: D
A - B = A ∩ B' olarak yazılır.
İfade: (A ∩ B')' ∩ A
De Morgan kuralı: (A' ∪ (B')') ∩ A
(A' ∪ B) ∩ A
Dağılma özelliği: (A' ∩ A) ∪ (B ∩ A)
(A' ∩ A) = ∅ (Boş küme)
∅ ∪ (B ∩ A)
Sonuç: A ∩ B.
14. A = {1, {2}, 3, {1, 3}} kümesi için aşağıdakilerden hangisi *yanlıştır*?
Doğru Cevap: E
A kümesinin elemanları '1', '{2}', '3' ve '{1, 3}' olmak üzere 4 tanedir.
A, B, C, D seçenekleri bu elemanları ve sayıyı doğru göstermektedir.
Ancak '2' sayısı A kümesinin bir elemanı değildir. '{2}' (yani 2'yi içeren küme) A'nın elemanıdır.
15. A ⊂ E, B ⊂ E olmak üzere; s(A - B) = 5, s(B - A) = 8 ve s(A ∪ B) = 17 olduğuna göre, s(A ∩ B) kaçtır?
Doğru Cevap: B
s(A ∪ B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A ∩ B)
17 = 5 + 8 + s(A ∩ B)
17 = 13 + s(A ∩ B)
s(A ∩ B) = 17 - 13 = 4.
Kümeler Test 2
Aşağıdaki Venn şemasına göre 1-5. soruları cevaplayınız. (E Evrensel Kümedir)
1. Şemaya göre s( (A ∪ B) ∩ C' ) kaçtır? (A veya B'de olan ama C'de olmayanlar)
Doğru Cevap: B
(A ∪ B) ∩ C' demek, (A ∪ B) - C demektir.
Bölgeler: {1, 2}, {7}, {3}.
Elemanlar: 1, 2, 7, 3. Toplam 4 eleman vardır.
2. Şemaya göre s( (A ∪ B ∪ C)' ) kaçtır? (Üç kümenin de tümleyeni)
Doğru Cevap: A
(A ∪ B ∪ C)' ifadesi, üç kümenin birleşiminin dışında kalan elemanları ifade eder.
Şemada bu bölgede sadece {12} elemanı bulunmaktadır.
Eleman sayısı 1'dir.
3. Şemaya göre s( (A - B) ∪ C ) kaçtır?
Doğru Cevap: E
A - B = {1, 2, 4}.
C = {4, 5, 8, 10, 11}.
Birleşim: {1, 2, 4} ∪ {4, 5, 8, 10, 11} = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11}.
Toplam 7 eleman vardır.
4. Şemaya göre s( B - (A ∪ C) ) kaçtır? (Sadece B'ye ait olanlar)
Doğru Cevap: C
B - (A ∪ C) ifadesi, B kümesinde olan ancak A veya C kümesinde *olmayan* elemanları sorar.
Bu, şemada "Sadece B" bölgesine karşılık gelir.
Bu bölgedeki eleman {7}'dir. Eleman sayısı 1'dir.
5. Şemadaki elemanlara göre Evrensel Kümenin (E) eleman sayısı kaçtır?
Doğru Cevap: D
Evrensel kümenin eleman sayısı, şemadaki tüm bölgelerdeki elemanların toplamıdır.
Elemanlar: {1, 2} (2 tane) + {7} (1 tane) + {10, 11} (2 tane) + {3} (1 tane) + {4} (1 tane) + {8} (1 tane) + {5} (1 tane) + {12} (1 tane)
s(E) = 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10.
6. Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 48 artıyor. Bu kümenin başlangıçtaki eleman sayısı kaçtır?
Doğru Cevap: C
Başlangıçtaki eleman sayısı n olsun. Alt küme sayısı 2n.
Yeni eleman sayısı n+2. Yeni alt küme sayısı 2(n+2).
2(n+2) - 2n = 48
(2n · 22) - 2n = 48
(4 · 2n) - 2n = 48
3 · 2n = 48
2n = 16
n = 4.
7. 35 kişilik bir sınıfta; İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini bilmeyen 10 kişi vardır. Bu dillerden en az birini bilenler arasında, İngilizce bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin sayısının 2 katıdır. Her iki dili bilen 5 kişi olduğuna göre, sadece İngilizce bilen kaç kişidir?
Doğru Cevap: D
s(E) = 35. (İ ∪ A)' (bilmeyenler) = 10.
Bu durumda, en az bir dili bilenler s(İ ∪ A) = s(E) - s((İ ∪ A)') = 35 - 10 = 25.
s(İ ∩ A) = 5 ve s(İ) = 2 · s(A).
Formül: s(İ ∪ A) = s(İ) + s(A) - s(İ ∩ A)
25 = (2 · s(A)) + s(A) - 5
30 = 3 · s(A)
s(A) = 10.
s(İ) = 2 · 10 = 20.
Sadece İngilizce bilen: s(İ - A) = s(İ) - s(İ ∩ A) = 20 - 5 = 15.
8. [ A ∪ (B ∩ A') ]' ifadesinin De Morgan kuralına göre en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Cevap: A
Önce parantez içini sadeleştirelim. Dağılma özelliği:
A ∪ (B ∩ A') = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A')
(A ∪ A') = E (Evrensel Küme)
(A ∪ B) ∩ E = (A ∪ B)
İfadenin tamamı [ A ∪ B ]' haline gelir. Bu da (A ∪ B)' demektir.
9. s(A) = 8 ve s(B) = 12 olduğuna göre, s(A ∪ B) ifadesinin alabileceği en büyük değer (X) ve en küçük değer (Y) için X + Y toplamı kaçtır?
Doğru Cevap: D
En büyük değer (X) için kesişim en az olmalıdır (ayrık kümeler):
X = s(A) + s(B) = 8 + 12 = 20.
En küçük değer (Y) için kesişim en fazla olmalıdır (A ⊂ B durumu):
Y = s(B) = 12.
Toplam: X + Y = 20 + 12 = 32.
10. s(A x B) = 24 ve s(B x C) = 30 olduğuna göre, s(A) + s(B) + s(C) toplamı *en az* kaç olabilir? (Eleman sayıları pozitif tamsayıdır)
Doğru Cevap: B
s(A) · s(B) = 24
s(B) · s(C) = 30
s(B), hem 24'ü hem de 30'u bölen ortak bir sayıdır.
Toplamın en az olması için, s(B)'nin EBOB(24, 30) = 6 seçilmesi gerekir.
Eğer s(B) = 6 ise:
s(A) = 24 / 6 = 4
s(C) = 30 / 6 = 5
Toplam: s(A) + s(B) + s(C) = 4 + 6 + 5 = 15.
11. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 'a' veya 'b' elemanlarından en az biri bulunur?
Doğru Cevap: C
Bu soruyu çözmek için "Tüm Durumlar" eksi "İstenmeyen Durum" yapılır.
Tüm Durumlar: s(A) = 6. Alt küme sayısı = 26 = 64.
İstenmeyen Durum: 'a' ve 'b'nin *her ikisinin de bulunmadığı* durum.
'a' ve 'b'yi kümeden atarsak {c, d, e, f} kalır. Alt küme sayısı = 24 = 16.
Cevap: 64 - 16 = 48.
12. s(A - B) = 7, s(A ∩ B) = 3 ve s(A ∪ B) = 15 olduğuna göre, s(B) kaçtır?
Doğru Cevap: A
s(A ∪ B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A ∩ B)
15 = 7 + s(B - A) + 3
15 = 10 + s(B - A)
s(B - A) = 5.
s(B) = s(B - A) + s(A ∩ B) = 5 + 3 = 8.
13. (A - B)' ∩ A ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Cevap: D
A - B = A ∩ B' olarak yazılır.
İfade: (A ∩ B')' ∩ A
De Morgan kuralı: (A' ∪ (B')') ∩ A
(A' ∪ B) ∩ A
Dağılma özelliği: (A' ∩ A) ∪ (B ∩ A)
(A' ∩ A) = ∅ (Boş küme)
∅ ∪ (B ∩ A)
Sonuç: A ∩ B.
14. A = {1, {2}, 3, {1, 3}} kümesi için aşağıdakilerden hangisi *yanlıştır*?
Doğru Cevap: E
A kümesinin elemanları '1', '{2}', '3' ve '{1, 3}' olmak üzere 4 tanedir.
A, B, C, D seçenekleri bu elemanları ve sayıyı doğru göstermektedir.
Ancak '2' sayısı A kümesinin bir elemanı değildir. '{2}' (yani 2'yi içeren küme) A'nın elemanıdır.
15. A ⊂ E, B ⊂ E olmak üzere; s(A - B) = 5, s(B - A) = 8 ve s(A ∪ B) = 17 olduğuna göre, s(A ∩ B) kaçtır?
Doğru Cevap: B
s(A ∪ B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A ∩ B)
17 = 5 + 8 + s(A ∩ B)
17 = 13 + s(A ∩ B)
s(A ∩ B) = 17 - 13 = 4.