KPSS Lisans Matematik: Kümeler Detaylı Konu Anlatımı ve İnteraktif Test

KPSS LİSANS MATEMATİK: KÜMELER DETAYLI KONU ANLATIMI

1. Küme Kavramı ve Gösterim Şekilleri

Küme, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğudur. Kümeyi oluşturan nesnelere eleman denir.

Bir ifadenin küme belirtmesi için herkes tarafından aynı şekilde anlaşılması gerekir. Göreceli ifadeler küme belirtmez.

Küme Belirtir: "Haftanın P ile başlayan günleri" (Pazartesi, Perşembe, Pazar).

Küme Belirtmez: "Sınıfımızdaki bazı yakışıklı öğrenciler" ("Yakışıklı" görecelidir ve "bazı" belirsizdir).

Kümelerin Gösterimi

A. Liste Yöntemi

Elemanlar küme parantezi { } içine, aralarına virgül konularak yazılır.

A = {1, 2, 3, 4}

B. Venn Şeması Yöntemi

Elemanlar kapalı bir eğri içine, önlerine nokta konularak gösterilir.

C. Ortak Özellik Yöntemi

Elemanların ortak özelliği belirtilir.

A = { x | x < 5 ve x bir pozitif tam sayı } (Bu ifade, "x öyle ki, x 5'ten küçük ve x bir pozitif tam sayıdır" diye okunur ve {1, 2, 3, 4} kümesini belirtir.)

2. Temel Kavramlar

Eleman Sayısı (Kardinalite)

Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

K = {a, b, {c, d}} kümesi için s(K) = 3'tür. {c, d} tek bir eleman olarak kabul edilir.

Boş Küme

Hiçbir elemanı olmayan kümedir. ∅ veya { } sembolleri ile gösterilir. s(∅)=0.

{∅} gösterimi boş küme değildir. İçinde ∅ sembolü bulunan 1 elemanlı bir kümedir.

Evrensel Küme (E)

Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan en geniş kümedir.

3. Alt Küme Kavramı

A kümesinin her elemanı, aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise, A kümesi B kümesinin alt kümesidir. A ⊂ B (veya A ⊆ B) şeklinde gösterilir.

A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}. A kümesindeki 1 ve 2, B kümesinde de olduğu için A ⊂ B.

Alt Küme Özellikleri

Boş küme her kümenin alt kümesidir. (∅ ⊂ A).
Her küme kendisinin alt kümesidir. (A ⊂ A).

Alt Küme Sayısı

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülü ile bulunur.

A = {a, b, c} kümesi için s(A)=3. Alt küme sayısı 2³ = 8'dir. (Bunlar: ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c})

Öz Alt Küme Sayısı

Kümenin kendisi hariç diğer alt kümelerinin sayısıdır. 2ⁿ - 1 formülü ile bulunur.

Bir elemanın alt kümelerde bulunması veya bulunmaması isteniyorsa, o eleman kümeden geçici olarak çıkarılır ve kalan elemanlarla alt küme sayısı hesaplanır.

Örnek 1: A={1,2,3,4,5} kümesinin alt kümelerinin kaçında 1 bulunur?

1'i kümeden çıkarırız. Kalan {2,3,4,5} (4 eleman). 2⁴=16 alt küme oluşur. Bu 16 alt kümenin her birine 1'i eklersek, 1'in bulunduğu 16 alt küme elde ederiz.

Örnek 2: A={1,2,3,4,5} kümesinin alt kümelerinin kaçında 1 bulunur, 5 bulunmaz?

Hem 1'i (bulunacak) hem de 5'i (bulunmayacak) çıkarırız. Kalan {2,3,4} (3 eleman). 2³=8 alt küme oluşur. Bu 8 alt kümede 5 zaten yoktur. Her birine 1'i eklersek, istenen şartı sağlayan 8 alt küme elde ederiz.

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı Kombinasyon ile hesaplanır: C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!).

Örnek: 5 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı C(5, 3) = (5*4*3)/(3*2*1) = 10'dur.

4. Kümelerde İşlemler

A. Kesişim İşlemi (∩)

İki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümedir. A ∩ B.

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}. A ∩ B = {3, 4}.

Eğer A ∩ B = ∅ ise, A ve B kümelerine Ayrık Kümeler denir.

B. Birleşim İşlemi (∪)

İki veya daha fazla kümenin tüm elemanlarından oluşan kümedir. A ∪ B. (Ortak elemanlar bir kez yazılır).

A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)

Neden kesişimi çıkarıyoruz? Çünkü kesişimdeki elemanlar hem s(A) sayılırken hem de s(B) sayılırken iki kere sayılmıştır. Bu fazlalığı gidermek için bir kez çıkarırız.

C. Fark İşlemi (\ veya -)

A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümedir. A \ B veya A - B şeklinde gösterilir.

A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}. A \ B = {a, b}. B \ A = {e, f}.

Birleşimin eleman sayısı şu şekilde de ifade edilebilir:

s(A ∪ B) = s(A \ B) + s(B \ A) + s(A ∩ B)

Bu, Venn şeması çizildiğinde ortaya çıkan üç ayrık bölgenin toplamıdır.

D. Tümleyen İşlemi (')

Evrensel kümede (E) olup, A kümesinde olmayan elemanların kümesidir. A'nın tümleyeni A' şeklinde gösterilir.

E = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2} ise A' = {3, 4, 5}.

s(A) + s(A') = s(E) (Bir küme ile tümleyeninin toplamı evrensel kümeyi verir).

A \ B = A ∩ B' (Fark işleminin tümleyen ile ifadesi. Çok önemlidir!).

De Morgan Kuralları:

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

5. Küme Problemleri (Sözel İfadeler)

Genellikle dil kursları, spor aktiviteleri gibi senaryolar üzerinden sorulan bu problemlerde Venn şeması çizmek çözümü çok kolaylaştırır.

İfadelerin Şemadaki Karşılıkları: (İngilizce ve Almanca örneği)

Yalnız İngilizce bilenler: x
Yalnız Almanca bilenler: z
Her iki dili de bilenler (Kesişim): y
Hiçbir dili bilmeyenler: t
En az bir dil bilenler (Birleşim): x + y + z
En çok bir dil bilenler (İki dil bilenler hariç herkes): x + z + t

İNTERAKTİF TEST SORULARI (15 ADET)

Soru 1: A = {1, 2, {3, 4}, 5} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A kümesinin elemanları 1, 2, {3, 4} (bir bütün olarak) ve 5'tir. s(A)=4'tür (A doğru). 1 elemanıdır (B doğru). {3, 4} elemanıdır (C doğru). {1, 2} alt kümesidir (D doğru). 3 tek başına A'nın elemanı değildir, sadece {3, 4} elemanının içindedir (E yanlış). (Cevap: E)

Soru 2: 6 elemanlı bir kümenin kaç tane alt kümesi vardır?

Alt küme sayısı formülü 2ⁿ'dir. n=6 için 2⁶ = 64. (Cevap: D)

Soru 3: A = {x | 10 < x < 30, x=3k, k∈Z} olduğuna göre, s(A) kaçtır?

A kümesi 10 ile 30 arasındaki (10 ve 30 dahil değil) 3'ün katı olan sayılardır. A = {12, 15, 18, 21, 24, 27}. s(A)=6. (Cevap: B)

Soru 4: A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 'a' bulunur, 'b' bulunmaz?

Hem bulunması hem de bulunmaması istenen elemanlar kümeden çıkarılır. 'a' ve 'b'yi çıkarırsak geriye {c, d, e} kalır (3 eleman). Kalanların alt küme sayısı 2³=8'dir. Bu 8 alt kümede 'b' yoktur. Her birine 'a'yı eklersek 'a' bulunur ve 'b' bulunmaz şartı sağlanır. Cevap 8. (Cevap: B)

Soru 5: A ve B iki küme olmak üzere, s(A)=8, s(B)=12 ve s(A∩B)=5 olduğuna göre, s(A∪B) kaçtır?

Formül: s(A∪B) = s(A) + s(B) - s(A∩B). s(A∪B) = 8 + 12 - 5 = 20 - 5 = 15. (Cevap: B)

Soru 6: A ve B ayrık kümelerdir. s(A)=7 ve s(B)=9 olduğuna göre, s(A∪B) kaçtır?

Ayrık kümelerin kesişimi boş kümedir, yani s(A∩B)=0. s(A∪B) = s(A) + s(B) = 7 + 9 = 16. (Cevap: D)

Soru 7: A={1, 2, 3, 4, 5} ve B={3, 4, 6, 7} olduğuna göre, A \ B (A fark B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A \ B, A'da olup B'de olmayan elemanlardır. A'daki 3 ve 4, B'de de vardır. A'da olup B'de olmayanlar {1, 2, 5}'tir. (Cevap: B)

Soru 8: A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s(E)=25, s(A)=10 olduğuna göre, s(A') (A'nın tümleyeni) kaçtır?

Kural: s(A) + s(A') = s(E). 10 + s(A') = 25. s(A') = 15. (Cevap: C)

Soru 9: (A ∩ B)' ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? (De Morgan Kuralı)

De Morgan kuralına göre parantezin dışındaki tümleyen içeri dağıtılırken kesişim (∩) birleşime (∪) dönüşür. (A ∩ B)' = A' ∪ B'. (Cevap: A)

Soru 10: s(A\B)=5, s(B\A)=8 ve s(A∩B)=3 olduğuna göre, s(A∪B) kaçtır?

A∪B kümesi üç ayrık bölgeden oluşur: (A\B), (B\A) ve (A∩B). s(A∪B) = s(A\B) + s(B\A) + s(A∩B) = 5 + 8 + 3 = 16. (Cevap: C)

Soru 11: Bir sınıfta Matematik veya Türkçe dersinden geçenlerin sayısı 25'tir. Yalnız Matematikten geçenler 10, yalnız Türkçeden geçenler 8 kişi olduğuna göre, her iki dersten de geçen kaç kişi vardır?

s(M∪T) = s(M\T) + s(T\M) + s(M∩T). 25 = 10 + 8 + s(M∩T). 25 = 18 + s(M∩T). s(M∩T) = 7. (Cevap: C)

Soru 12: 40 kişilik bir sınıfta 18 kişi İngilizce bilmektedir. 10 kişi ise İngilizce veya Almanca bilmemektedir. Buna göre sınıfta sadece Almanca bilen kaç kişi vardır?

Sınıf mevcudu 40. Hiç dil bilmeyen 10 kişi ise, en az bir dil bilenler (İ∪A) = 40-10=30 kişidir. İngilizce bilenler s(İ)=18. Birleşim formülünün farklı bir hali: s(İ∪A) = s(İ) + s(A\İ) (İngilizce bilenler + Sadece Almanca bilenler). 30 = 18 + s(A\İ). s(A\İ) = 12. (Cevap: C)

Soru 13: A ve B kümeleri için s(A)=3s(B) ve s(A∩B)=4'tür. s(A∪B)=32 olduğuna göre, s(A) kaçtır?

s(B)=x dersek s(A)=3x olur. Formül: s(A∪B) = s(A) + s(B) - s(A∩B). 32 = 3x + x - 4. 36 = 4x. x=9. s(A)=3x=3*9=27. (Cevap: E)

Soru 14: Alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 127 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?

Alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ-1. Toplamları: 2ⁿ + (2ⁿ-1) = 127. 2*2ⁿ - 1 = 127. 2*2ⁿ = 128. 2ⁿ = 64. n=6. (Cevap: C)

Soru 15: A={1, 2, 3} ve B={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümeleri veriliyor. A ⊂ K ⊂ B koşulunu sağlayan kaç farklı K kümesi yazılabilir?

K kümesi A'yı kapsamak zorunda olduğu için {1, 2, 3} elemanlarını kesinlikle içermelidir. K kümesi B'nin alt kümesi olduğu için {1, 2, 3, 4, 5, 6} elemanlarından fazlasını içeremez. K kümesi {1, 2, 3}'ün yanına B'de olup A'da olmayan {4, 5, 6} elemanlarından istediklerini alabilir. {4, 5, 6} kümesinin (3 eleman) alt küme sayısı kadar K kümesi yazılabilir. 2³ = 8. (Cevap: D)