İşlemin değişme özelliği varsa a ☆ e = a kuralını uygulamak yeterlidir.
Örnek: a ☆ b = a + b - 5 işleminin birim elemanı nedir?
a ☆ e = a olmalı. a + e - 5 = a. e - 5 = 0. e = 5.
İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK
BÖLÜM 1: İŞLEM (OPERASYON)
Boş olmayan bir A kümesinde tanımlanan, A kümesinden alınan iki elemanı yine A kümesinden bir elemana eşleyen kurallara işlem denir. Genellikle ☆, Δ, ⊕, ⊙ gibi sembollerle gösterilir.
1. İşlemde Değer Bulma
En temel soru tipidir. Verilen kuralda değişkenler yerine istenen sayılar yazılır.
Reel sayılarda tanımlı a ☆ b = 3a + b - 4 işlemi verilsin. 5 ☆ 2 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: a=5 ve b=2 alınır. 3(5) + 2 - 4 = 15 + 2 - 4 = 13.
Çözüm: a=5 ve b=2 alınır. 3(5) + 2 - 4 = 15 + 2 - 4 = 13.
2. İşlemin Özellikleri
A. Değişme Özelliği (Commutativity)
Eğer her a ve b elemanı için a ☆ b = b ☆ a sağlanıyorsa işlem değişmelidir.
a Δ b = a + b + 5ab. Bu işlem değişmelidir çünkü a+b=b+a ve ab=ba'dır.
a ⊙ b = 2a + b. Bu işlem değişmeli değildir. (Örn: 1⊙2 = 2(1)+2 = 4, ancak 2⊙1 = 2(2)+1 = 5).
a ⊙ b = 2a + b. Bu işlem değişmeli değildir. (Örn: 1⊙2 = 2(1)+2 = 4, ancak 2⊙1 = 2(2)+1 = 5).
B. Birim (Etkisiz) Eleman (Identity Element)
İşleme girdiğinde sonucu değiştirmeyen elemandır (Genellikle 'e' ile gösterilir). a ☆ e = e ☆ a = a olmalıdır.
Eğer işlemin değişme özelliği yoksa, hem sağdan (a * e = a) hem de soldan (e * a = a) kontrol edilmelidir. İki kontrolden de aynı 'e' değeri bulunursa birim eleman vardır, farklı değerler bulunursa birim eleman yoktur.
C. Ters Eleman (Inverse Element)
Bir 'a' elemanı ile işleme girdiğinde sonucu Birim Eleman (e) yapan elemandır (Genellikle a⁻¹ ile gösterilir). a ☆ a⁻¹ = e.
Önemli: Ters elemanı bulabilmek için önce birim elemanı bulmak şarttır.
Örnek: a ☆ b = a + b - 5 işleminin birim elemanını e=5 olarak bulmuştuk. Şimdi 3'ün tersini (3⁻¹) bulalım.
Kural: 3 ☆ 3⁻¹ = e olmalı.
3 + 3⁻¹ - 5 = 5.
3⁻¹ - 2 = 5.
3⁻¹ = 7. (3'ün bu işleme göre tersi 7'dir).
D. Yutan Eleman
İşleme girdiği her elemanı kendisine dönüştüren elemandır (Genellikle 'y' ile gösterilir). a ☆ y = y.
a ☆ b = a + b + ab işleminin yutan elemanı nedir? a ☆ y = y olmalı. a + y + ay = y. a + ay = 0. a(1+y) = 0. Bu eşitliğin her 'a' için sağlanması gerektiğinden 1+y=0 olmalı. y=-1.
Bir işlemde yutan eleman varsa, yutan elemanın tersi yoktur. Çünkü yutan elemanla yapılan işlemin sonucu hep yutan elemandır, birim eleman olamaz (birim eleman yutan elemandan farklıysa).
BÖLÜM 2: MODÜLER ARİTMETİK
Modüler aritmetik, sayıların bir sayıya bölündüğünde verdikleri kalanlar üzerine kurulu bir sistemdir. Günlük hayatta saatler (mod 12 veya 24), günler (mod 7), açılar (mod 360) modüler aritmetiğin örnekleridir.
1. Denklik (Congruence)
m pozitif bir tam sayı olmak üzere, a ve b tam sayılarının m ile bölümünden kalanlar aynı ise a ve b sayıları m modülüne göre denktir denir.
a ≡ b (mod m)
17 ≡ 2 (mod 5). Çünkü 17'nin 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
365 ≡ 1 (mod 7). Çünkü 365 gün (1 yıl) 52 hafta + 1 gündür.
365 ≡ 1 (mod 7). Çünkü 365 gün (1 yıl) 52 hafta + 1 gündür.
Kalan asla negatif olamaz. Eğer sonuç negatif çıkarsa, modül değeri pozitif olana kadar eklenir.
Örnek: -8 (mod 5) kaçtır? -8'e 5 ekleyelim: -3. Hala negatif. Bir 5 daha ekleyelim: 2. Sonuç 2'dir.
2. Modüler Aritmetikte İşlemler
Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde, işlemi yapmadan önce sayıların modülünü alabilirsiniz. Bu, işlemleri çok basitleştirir.
(1923 + 1453 * 1071) işleminin 10 ile bölümünden kalan kaçtır (Yani mod 10)?
Sayıların 10 ile bölümünden kalanlar birler basamağıdır.
1923 ≡ 3, 1453 ≡ 3, 1071 ≡ 1 (mod 10).
(3 + 3 * 1) = 3 + 3 = 6 (mod 10).
Sayıların 10 ile bölümünden kalanlar birler basamağıdır.
1923 ≡ 3, 1453 ≡ 3, 1071 ≡ 1 (mod 10).
(3 + 3 * 1) = 3 + 3 = 6 (mod 10).
3. Modüler Aritmetikte Üs Alma (Kuvvetler)
Büyük kuvvetlerin kalanını bulmak için kullanılır. ax (mod m) işleminde amaç, kuvvetin sonucunun 1 olduğu yeri bulmaktır. Çünkü 1 bulunduktan sonra kalanlar periyodik olarak tekrar eder.
Örnek: 3¹⁴⁵ (mod 7) kaçtır?
1. Adım: 3'ün kuvvetlerinin 7 modundaki değerlerini 1'i bulana kadar yazın.
3¹ ≡ 3 (mod 7)
3² ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)
3³ ≡ 3*2 ≡ 6 (mod 7)
3⁴ ≡ 3*6 ≡ 18 ≡ 4 (mod 7)
3⁵ ≡ 3*4 ≡ 12 ≡ 5 (mod 7)
3⁶ ≡ 3*5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7) → 1 bulundu! Periyot 6'dır.
2. Adım: Üssü (145) periyoda (6) bölün.
145 ÷ 6 = 24 (kalan 1).
3. Adım: Kalanı yeni üs olarak kullanın.
3¹⁴⁵ ≡ 3¹ ≡ 3 (mod 7).
4. Periyodik Tekrar Problemleri (Nöbet, Saat, Gün Soruları)
Modüler aritmetiğin KPSS'deki en yaygın uygulama alanıdır.
A. Gün Problemleri (Mod 7)
Bugün günlerden X ise, Y gün sonra hangi gün olur? Y sayısının 7'ye bölümünden kalan bulunur ve bugünün üzerine eklenir.
Bugün Salı ise 100 gün sonra hangi gün olur?
100 ÷ 7 = 14 (kalan 2). Salı + 2 gün = Perşembe.
100 ÷ 7 = 14 (kalan 2). Salı + 2 gün = Perşembe.
B. Nöbet Problemleri
Belirli aralıklarla tekrar eden olaylarda kullanılır.
Nöbet sorularında ilk nöbetin zaten tutulduğuna dikkat edin. Eğer n. nöbet soruluyorsa, ilk nöbetten sonra (n-1) nöbet daha tutulması gerekir.
Örnek: Bir doktor 5 günde bir nöbet tutuyor. İlk nöbetini Çarşamba tuttuysa, 12. nöbetini hangi gün tutar?
Çözüm: 1. nöbet tutuldu. Geriye 12-1=11 nöbet kaldı. Toplam geçecek süre 11 * 5 = 55 gündür.
55 ÷ 7 = 7 (kalan 6). Çarşamba + 6 gün = Salı.
C. Birlikte Gerçekleşen Olaylar (EKOK ve Modüler Aritmetik)
Farklı periyotlara sahip olayların tekrar birlikte gerçekleşmesi için EKOK kullanılır.
Ali 4 günde bir, Ayşe 6 günde bir kütüphaneye gidiyor. İlk kez Pazartesi birlikte gittilerse, 5. kez birlikte hangi gün giderler?
Çözüm: Birlikte gitme periyodu EKOK(4, 6) = 12 gündür. İlk kez gittiler, geriye 5-1=4 kez daha gitmeleri gerekiyor. Geçen süre: 4 * 12 = 48 gün.
48 ÷ 7 = 6 (kalan 6). Pazartesi + 6 gün = Pazar.
Çözüm: Birlikte gitme periyodu EKOK(4, 6) = 12 gündür. İlk kez gittiler, geriye 5-1=4 kez daha gitmeleri gerekiyor. Geçen süre: 4 * 12 = 48 gün.
48 ÷ 7 = 6 (kalan 6). Pazartesi + 6 gün = Pazar.
İNTERAKTİF TEST SORULARI (20 ADET)
Soru 1: Reel sayılarda tanımlı a Δ b = 2a + 3b - 5 işlemi veriliyor. 4 Δ 1 işleminin sonucu kaçtır?
a=4 ve b=1 alınır. 2(4) + 3(1) - 5 = 8 + 3 - 5 = 6. (Cevap: B)
Soru 2: x ☆ y = x² - y işlemi veriliyor. (2 ☆ 1) ☆ 3 işleminin sonucu kaçtır?
Önce parantez içi yapılır. 2 ☆ 1 = 2² - 1 = 4 - 1 = 3. Şimdi 3 ☆ 3 işlemi yapılır. 3 ☆ 3 = 3² - 3 = 9 - 3 = 6. (Cevap: D)
Soru 3: a ⊕ b = a + b + 3 işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
Birim eleman 'e' olsun. a ⊕ e = a olmalı. a + e + 3 = a. e + 3 = 0. e = -3. (Cevap: A)
Soru 4: a ☆ b = a + b - 4 işleminde 5'in tersi (5⁻¹) kaçtır?
Önce birim elemanı (e) bulalım. a ☆ e = a => a + e - 4 = a => e = 4. Şimdi tersi bulalım. 5 ☆ 5⁻¹ = e olmalı. 5 + 5⁻¹ - 4 = 4. 5⁻¹ + 1 = 4. 5⁻¹ = 3. (Cevap: C)
Soru 5: 1453 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? (1453 ≡ x (mod 9))
9 ile bölünebilme kuralı rakamları toplamıdır. 1+4+5+3 = 13. 13'ün 9 ile bölümünden kalan 4'tür. (Cevap: D)
Soru 6: 58 ≡ 3 (mod m) denkliğini sağlayan m değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
58'in m ile bölümünden kalan 3 ise, 58-3=55 sayısı m'ye tam bölünmelidir. Ayrıca m, kalandan (3) büyük olmalıdır. Seçeneklerden hangisi 55'i tam böler? 11. (Cevap: D)
Soru 7: -15 ≡ x (mod 7) denkliğinde x'in en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?
-15'e pozitif olana kadar 7 eklenir. -15 + 7 = -8. -8 + 7 = -1. -1 + 7 = 6. (Cevap: D)
Soru 8: 2¹⁰⁰ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
2'nin kuvvetlerini mod 5'te inceleyelim. 2¹≡2, 2²≡4, 2³≡8≡3, 2⁴≡16≡1. Periyot 4'tür. Üssü (100) periyoda (4) bölelim. 100 ÷ 4 = 25 (kalan 0). Kalan 0 ise periyodun son adımı (2⁴) alınır. Kalan 1'dir. (Cevap: B)
Soru 9: 7²⁰²⁵ sayısının birler basamağı kaçtır? (Mod 10)
7'nin kuvvetlerini mod 10'da inceleyelim. 7¹≡7, 7²≡49≡9, 7³≡9*7≡63≡3, 7⁴≡3*7≡21≡1. Periyot 4'tür. Üssü (2025) periyoda (4) bölelim. 2025 ÷ 4 kalanı bulmak için son iki basamağa bakılır. 25 ÷ 4 kalan 1'dir. 7²⁰²⁵ ≡ 7¹ ≡ 7 (mod 10). (Cevap: D)
Soru 10: Bugün günlerden Cumartesi olduğuna göre, 150 gün sonra hangi gün olur?
Gün problemleri mod 7'dir. 150 ÷ 7 = 21 (kalan 3). Cumartesi + 3 gün = Pazar, Pazartesi, Salı. (Cevap: B)
Soru 11: Bir asker 6 günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 15. nöbetini hangi gün tutar?
1. nöbet tutuldu. Geriye 15-1=14 nöbet kaldı. Geçecek süre: 14 * 6 = 84 gün. 84 ÷ 7 = 12 (kalan 0). Kalan 0 olduğu için gün değişmez. Salı + 0 gün = Salı. (Cevap: B)
Soru 12: Bir hemşire 4 günde bir, bir doktor ise 5 günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini Pazartesi tuttuklarına göre, birlikte 5. nöbetlerini hangi gün tutarlar?
Birlikte nöbet tutma sıklıkları EKOK(4, 5) = 20 gündür. 1. nöbet tutuldu. Geriye 5-1=4 nöbet kaldı. Geçecek süre: 4 * 20 = 80 gün. 80 ÷ 7 = 11 (kalan 3). Pazartesi + 3 gün = Salı, Çarşamba, Perşembe. (Cevap: C)
Soru 13: "MATEMATIKMATEMATIK..." şeklinde devam eden bir harf dizisinin 100. harfi nedir?
Dizi "MATEMATIK" olarak 9 harfte bir tekrar etmektedir (Mod 9). 100 ÷ 9 = 11 (kalan 1). Kalan 1 olduğu için periyodun 1. harfi alınır. 1. harf M'dir. (Cevap: A)
Soru 14: Dijital bir saat şu an 14:00'ı gösteriyorsa, 90 saat sonra kaçı gösterir?
Saat problemleri mod 24'tür. 90 ÷ 24 = 3 (kalan 18). 90 saat, 3 tam gün ve 18 saattir. Şu anki saatin üzerine 18 saat eklenir. 14:00 + 18 saat = 32:00. 32 (mod 24) = 8. Saat 08:00 olur. (Cevap: B)
Soru 15: İki doktordan biri 6 günde bir, diğeri 8 günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini Salı günü tuttuklarına göre, birlikte 4. nöbetlerini hangi gün tutarlar?
Birlikte nöbet tutma sıklıkları EKOK(6, 8) = 24 gündür. İlk nöbet tutuldu. Geriye 4-1=3 nöbet kaldı. Geçen süre: 3 * 24 = 72 gün. 72 (mod 7) hesaplanır. 72 = 10*7 + 2. Kalan 2'dir. Salı gününden 2 gün ileri gidilir. Salı -> Çarşamba -> Perşembe. (Cevap: D)
Soru 16: a ∆ b = a + b + 7 işlemi veriliyor. Bu işlemin yutan elemanı kaçtır?
Yutan eleman 'y' olsun. Kural: a ∆ y = y olmalı. a + y + 7 = y. a + 7 = 0. a = -7. Sonuç 'a'ya bağlı çıktığı için (yani yutan elemanın sabit bir değer olması gerekirken, işleme giren elemana bağlı bir sonuç çıktığı için) bu işlemin yutan elemanı yoktur. (Cevap: E)
Soru 17: 1! + 2! + 3! + ... + 50! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? (Mod 10)
Birler basamağı demek Mod 10 demektir. 5! = 120'dir ve sonu 0'dır. 5! ve sonraki tüm faktöriyellerin (6!, 7!...) sonu 0'dır (Mod 10'da 0'a denktir). Sadece ilk dört terimi toplamak yeterlidir. 1! = 1. 2! = 2. 3! = 6. 4! = 24. Toplam: 1+2+6+24 = 33. 33 (mod 10) = 3. (Cevap: C)
Soru 18: Z/5 kümesinde (Kalanlar {0, 1, 2, 3, 4}), f(x) = 3x+2 fonksiyonu tanımlanıyor. f(4) kaçtır?
f(4) = 3(4)+2 = 12+2 = 14. İşlem Z/5'te (Mod 5) yapıldığı için 14 (mod 5) hesaplanır. Kalan 4'tür. (Cevap: E)
Soru 19: 5x ≡ 3 (mod 6) denkliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
5x ≡ 3 (mod 6). 5 yerine mod 6'daki dengi olan -1 yazılabilir (5 ≡ -1 mod 6). (-1)x ≡ 3 (mod 6). -x ≡ 3 (mod 6). x ≡ -3 (mod 6). -3'e 6 eklersek x ≡ 3 (mod 6). (Cevap: C)
Soru 20: Bir lamba devresi 5 farklı renkte (Kırmızı, Mavi, Yeşil, Sarı, Mor) sırasıyla yanıp sönmektedir. Devre çalışmaya Kırmızı ile başladığına göre, 138. sırada yanan lamba hangi renktedir?
5 farklı renk olduğu için Mod 5 kullanılır. 138 (mod 5) hesaplanır. Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için son basamağa bakılır (8). 8'in 5 ile bölümünden kalan 3'tür. Sıralamada 3. renk bulunur. 1. Kırmızı, 2. Mavi, 3. Yeşil. (Cevap: C)
İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK
BÖLÜM 1: İŞLEM (OPERASYON)
Boş olmayan bir A kümesinde tanımlanan, A kümesinden alınan iki elemanı yine A kümesinden bir elemana eşleyen kurallara işlem denir. Genellikle ☆, Δ, ⊕, ⊙ gibi sembollerle gösterilir.
1. İşlemde Değer Bulma
En temel soru tipidir. Verilen kuralda değişkenler yerine istenen sayılar yazılır.
Reel sayılarda tanımlı a ☆ b = 3a + b - 4 işlemi verilsin. 5 ☆ 2 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: a=5 ve b=2 alınır. 3(5) + 2 - 4 = 15 + 2 - 4 = 13.
Çözüm: a=5 ve b=2 alınır. 3(5) + 2 - 4 = 15 + 2 - 4 = 13.
2. İşlemin Özellikleri
A. Değişme Özelliği (Commutativity)
Eğer her a ve b elemanı için a ☆ b = b ☆ a sağlanıyorsa işlem değişmelidir.
a Δ b = a + b + 5ab. Bu işlem değişmelidir çünkü a+b=b+a ve ab=ba'dır.
a ⊙ b = 2a + b. Bu işlem değişmeli değildir. (Örn: 1⊙2 = 2(1)+2 = 4, ancak 2⊙1 = 2(2)+1 = 5).
a ⊙ b = 2a + b. Bu işlem değişmeli değildir. (Örn: 1⊙2 = 2(1)+2 = 4, ancak 2⊙1 = 2(2)+1 = 5).
B. Birim (Etkisiz) Eleman (Identity Element)
İşleme girdiğinde sonucu değiştirmeyen elemandır (Genellikle 'e' ile gösterilir). a ☆ e = e ☆ a = a olmalıdır.
İşlemin değişme özelliği varsa a ☆ e = a kuralını uygulamak yeterlidir.
Örnek: a ☆ b = a + b - 5 işleminin birim elemanı nedir?
a ☆ e = a olmalı. a + e - 5 = a. e - 5 = 0. e = 5.
Eğer işlemin değişme özelliği yoksa, hem sağdan (a * e = a) hem de soldan (e * a = a) kontrol edilmelidir. İki kontrolden de aynı 'e' değeri bulunursa birim eleman vardır, farklı değerler bulunursa birim eleman yoktur.
C. Ters Eleman (Inverse Element)
Bir 'a' elemanı ile işleme girdiğinde sonucu Birim Eleman (e) yapan elemandır (Genellikle a⁻¹ ile gösterilir). a ☆ a⁻¹ = e.
Önemli: Ters elemanı bulabilmek için önce birim elemanı bulmak şarttır.
Örnek: a ☆ b = a + b - 5 işleminin birim elemanını e=5 olarak bulmuştuk. Şimdi 3'ün tersini (3⁻¹) bulalım.
Kural: 3 ☆ 3⁻¹ = e olmalı.
3 + 3⁻¹ - 5 = 5.
3⁻¹ - 2 = 5.
3⁻¹ = 7. (3'ün bu işleme göre tersi 7'dir).
D. Yutan Eleman
İşleme girdiği her elemanı kendisine dönüştüren elemandır (Genellikle 'y' ile gösterilir). a ☆ y = y.
a ☆ b = a + b + ab işleminin yutan elemanı nedir? a ☆ y = y olmalı. a + y + ay = y. a + ay = 0. a(1+y) = 0. Bu eşitliğin her 'a' için sağlanması gerektiğinden 1+y=0 olmalı. y=-1.
Bir işlemde yutan eleman varsa, yutan elemanın tersi yoktur. Çünkü yutan elemanla yapılan işlemin sonucu hep yutan elemandır, birim eleman olamaz (birim eleman yutan elemandan farklıysa).
BÖLÜM 2: MODÜLER ARİTMETİK
Modüler aritmetik, sayıların bir sayıya bölündüğünde verdikleri kalanlar üzerine kurulu bir sistemdir. Günlük hayatta saatler (mod 12 veya 24), günler (mod 7), açılar (mod 360) modüler aritmetiğin örnekleridir.
1. Denklik (Congruence)
m pozitif bir tam sayı olmak üzere, a ve b tam sayılarının m ile bölümünden kalanlar aynı ise a ve b sayıları m modülüne göre denktir denir.
a ≡ b (mod m)
17 ≡ 2 (mod 5). Çünkü 17'nin 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
365 ≡ 1 (mod 7). Çünkü 365 gün (1 yıl) 52 hafta + 1 gündür.
365 ≡ 1 (mod 7). Çünkü 365 gün (1 yıl) 52 hafta + 1 gündür.
Kalan asla negatif olamaz. Eğer sonuç negatif çıkarsa, modül değeri pozitif olana kadar eklenir.
Örnek: -8 (mod 5) kaçtır? -8'e 5 ekleyelim: -3. Hala negatif. Bir 5 daha ekleyelim: 2. Sonuç 2'dir.
2. Modüler Aritmetikte İşlemler
Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde, işlemi yapmadan önce sayıların modülünü alabilirsiniz. Bu, işlemleri çok basitleştirir.
(1923 + 1453 * 1071) işleminin 10 ile bölümünden kalan kaçtır (Yani mod 10)?
Sayıların 10 ile bölümünden kalanlar birler basamağıdır.
1923 ≡ 3, 1453 ≡ 3, 1071 ≡ 1 (mod 10).
(3 + 3 * 1) = 3 + 3 = 6 (mod 10).
Sayıların 10 ile bölümünden kalanlar birler basamağıdır.
1923 ≡ 3, 1453 ≡ 3, 1071 ≡ 1 (mod 10).
(3 + 3 * 1) = 3 + 3 = 6 (mod 10).
3. Modüler Aritmetikte Üs Alma (Kuvvetler)
Büyük kuvvetlerin kalanını bulmak için kullanılır. ax (mod m) işleminde amaç, kuvvetin sonucunun 1 olduğu yeri bulmaktır. Çünkü 1 bulunduktan sonra kalanlar periyodik olarak tekrar eder.
Örnek: 3¹⁴⁵ (mod 7) kaçtır?
1. Adım: 3'ün kuvvetlerinin 7 modundaki değerlerini 1'i bulana kadar yazın.
3¹ ≡ 3 (mod 7)
3² ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)
3³ ≡ 3*2 ≡ 6 (mod 7)
3⁴ ≡ 3*6 ≡ 18 ≡ 4 (mod 7)
3⁵ ≡ 3*4 ≡ 12 ≡ 5 (mod 7)
3⁶ ≡ 3*5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7) → 1 bulundu! Periyot 6'dır.
2. Adım: Üssü (145) periyoda (6) bölün.
145 ÷ 6 = 24 (kalan 1).
3. Adım: Kalanı yeni üs olarak kullanın.
3¹⁴⁵ ≡ 3¹ ≡ 3 (mod 7).
4. Periyodik Tekrar Problemleri (Nöbet, Saat, Gün Soruları)
Modüler aritmetiğin KPSS'deki en yaygın uygulama alanıdır.
A. Gün Problemleri (Mod 7)
Bugün günlerden X ise, Y gün sonra hangi gün olur? Y sayısının 7'ye bölümünden kalan bulunur ve bugünün üzerine eklenir.
Bugün Salı ise 100 gün sonra hangi gün olur?
100 ÷ 7 = 14 (kalan 2). Salı + 2 gün = Perşembe.
100 ÷ 7 = 14 (kalan 2). Salı + 2 gün = Perşembe.
B. Nöbet Problemleri
Belirli aralıklarla tekrar eden olaylarda kullanılır.
Nöbet sorularında ilk nöbetin zaten tutulduğuna dikkat edin. Eğer n. nöbet soruluyorsa, ilk nöbetten sonra (n-1) nöbet daha tutulması gerekir.
Örnek: Bir doktor 5 günde bir nöbet tutuyor. İlk nöbetini Çarşamba tuttuysa, 12. nöbetini hangi gün tutar?
Çözüm: 1. nöbet tutuldu. Geriye 12-1=11 nöbet kaldı. Toplam geçecek süre 11 * 5 = 55 gündür.
55 ÷ 7 = 7 (kalan 6). Çarşamba + 6 gün = Salı.
C. Birlikte Gerçekleşen Olaylar (EKOK ve Modüler Aritmetik)
Farklı periyotlara sahip olayların tekrar birlikte gerçekleşmesi için EKOK kullanılır.
Ali 4 günde bir, Ayşe 6 günde bir kütüphaneye gidiyor. İlk kez Pazartesi birlikte gittilerse, 5. kez birlikte hangi gün giderler?
Çözüm: Birlikte gitme periyodu EKOK(4, 6) = 12 gündür. İlk kez gittiler, geriye 5-1=4 kez daha gitmeleri gerekiyor. Geçen süre: 4 * 12 = 48 gün.
48 ÷ 7 = 6 (kalan 6). Pazartesi + 6 gün = Pazar.
Çözüm: Birlikte gitme periyodu EKOK(4, 6) = 12 gündür. İlk kez gittiler, geriye 5-1=4 kez daha gitmeleri gerekiyor. Geçen süre: 4 * 12 = 48 gün.
48 ÷ 7 = 6 (kalan 6). Pazartesi + 6 gün = Pazar.
İNTERAKTİF TEST SORULARI (20 ADET)
Soru 1: Reel sayılarda tanımlı a Δ b = 2a + 3b - 5 işlemi veriliyor. 4 Δ 1 işleminin sonucu kaçtır?
a=4 ve b=1 alınır. 2(4) + 3(1) - 5 = 8 + 3 - 5 = 6. (Cevap: B)
Soru 2: x ☆ y = x² - y işlemi veriliyor. (2 ☆ 1) ☆ 3 işleminin sonucu kaçtır?
Önce parantez içi yapılır. 2 ☆ 1 = 2² - 1 = 4 - 1 = 3. Şimdi 3 ☆ 3 işlemi yapılır. 3 ☆ 3 = 3² - 3 = 9 - 3 = 6. (Cevap: D)
Soru 3: a ⊕ b = a + b + 3 işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
Birim eleman 'e' olsun. a ⊕ e = a olmalı. a + e + 3 = a. e + 3 = 0. e = -3. (Cevap: A)
Soru 4: a ☆ b = a + b - 4 işleminde 5'in tersi (5⁻¹) kaçtır?
Önce birim elemanı (e) bulalım. a ☆ e = a => a + e - 4 = a => e = 4. Şimdi tersi bulalım. 5 ☆ 5⁻¹ = e olmalı. 5 + 5⁻¹ - 4 = 4. 5⁻¹ + 1 = 4. 5⁻¹ = 3. (Cevap: C)
Soru 5: 1453 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? (1453 ≡ x (mod 9))
9 ile bölünebilme kuralı rakamları toplamıdır. 1+4+5+3 = 13. 13'ün 9 ile bölümünden kalan 4'tür. (Cevap: D)
Soru 6: 58 ≡ 3 (mod m) denkliğini sağlayan m değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
58'in m ile bölümünden kalan 3 ise, 58-3=55 sayısı m'ye tam bölünmelidir. Ayrıca m, kalandan (3) büyük olmalıdır. Seçeneklerden hangisi 55'i tam böler? 11. (Cevap: D)
Soru 7: -15 ≡ x (mod 7) denkliğinde x'in en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?
-15'e pozitif olana kadar 7 eklenir. -15 + 7 = -8. -8 + 7 = -1. -1 + 7 = 6. (Cevap: D)
Soru 8: 2¹⁰⁰ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
2'nin kuvvetlerini mod 5'te inceleyelim. 2¹≡2, 2²≡4, 2³≡8≡3, 2⁴≡16≡1. Periyot 4'tür. Üssü (100) periyoda (4) bölelim. 100 ÷ 4 = 25 (kalan 0). Kalan 0 ise periyodun son adımı (2⁴) alınır. Kalan 1'dir. (Cevap: B)
Soru 9: 7²⁰²⁵ sayısının birler basamağı kaçtır? (Mod 10)
7'nin kuvvetlerini mod 10'da inceleyelim. 7¹≡7, 7²≡49≡9, 7³≡9*7≡63≡3, 7⁴≡3*7≡21≡1. Periyot 4'tür. Üssü (2025) periyoda (4) bölelim. 2025 ÷ 4 kalanı bulmak için son iki basamağa bakılır. 25 ÷ 4 kalan 1'dir. 7²⁰²⁵ ≡ 7¹ ≡ 7 (mod 10). (Cevap: D)
Soru 10: Bugün günlerden Cumartesi olduğuna göre, 150 gün sonra hangi gün olur?
Gün problemleri mod 7'dir. 150 ÷ 7 = 21 (kalan 3). Cumartesi + 3 gün = Pazar, Pazartesi, Salı. (Cevap: B)
Soru 11: Bir asker 6 günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 15. nöbetini hangi gün tutar?
1. nöbet tutuldu. Geriye 15-1=14 nöbet kaldı. Geçecek süre: 14 * 6 = 84 gün. 84 ÷ 7 = 12 (kalan 0). Kalan 0 olduğu için gün değişmez. Salı + 0 gün = Salı. (Cevap: B)
Soru 12: Bir hemşire 4 günde bir, bir doktor ise 5 günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini Pazartesi tuttuklarına göre, birlikte 5. nöbetlerini hangi gün tutarlar?
Birlikte nöbet tutma sıklıkları EKOK(4, 5) = 20 gündür. 1. nöbet tutuldu. Geriye 5-1=4 nöbet kaldı. Geçecek süre: 4 * 20 = 80 gün. 80 ÷ 7 = 11 (kalan 3). Pazartesi + 3 gün = Salı, Çarşamba, Perşembe. (Cevap: C)
Soru 13: "MATEMATIKMATEMATIK..." şeklinde devam eden bir harf dizisinin 100. harfi nedir?
Dizi "MATEMATIK" olarak 9 harfte bir tekrar etmektedir (Mod 9). 100 ÷ 9 = 11 (kalan 1). Kalan 1 olduğu için periyodun 1. harfi alınır. 1. harf M'dir. (Cevap: A)
Soru 14: Dijital bir saat şu an 14:00'ı gösteriyorsa, 90 saat sonra kaçı gösterir?
Saat problemleri mod 24'tür. 90 ÷ 24 = 3 (kalan 18). 90 saat, 3 tam gün ve 18 saattir. Şu anki saatin üzerine 18 saat eklenir. 14:00 + 18 saat = 32:00. 32 (mod 24) = 8. Saat 08:00 olur. (Cevap: B)
Soru 15: İki doktordan biri 6 günde bir, diğeri 8 günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini Salı günü tuttuklarına göre, birlikte 4. nöbetlerini hangi gün tutarlar?
Birlikte nöbet tutma sıklıkları EKOK(6, 8) = 24 gündür. İlk nöbet tutuldu. Geriye 4-1=3 nöbet kaldı. Geçen süre: 3 * 24 = 72 gün. 72 (mod 7) hesaplanır. 72 = 10*7 + 2. Kalan 2'dir. Salı gününden 2 gün ileri gidilir. Salı -> Çarşamba -> Perşembe. (Cevap: D)
Soru 16: a ∆ b = a + b + 7 işlemi veriliyor. Bu işlemin yutan elemanı kaçtır?
Yutan eleman 'y' olsun. Kural: a ∆ y = y olmalı. a + y + 7 = y. a + 7 = 0. a = -7. Sonuç 'a'ya bağlı çıktığı için (yani yutan elemanın sabit bir değer olması gerekirken, işleme giren elemana bağlı bir sonuç çıktığı için) bu işlemin yutan elemanı yoktur. (Cevap: E)
Soru 17: 1! + 2! + 3! + ... + 50! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? (Mod 10)
Birler basamağı demek Mod 10 demektir. 5! = 120'dir ve sonu 0'dır. 5! ve sonraki tüm faktöriyellerin (6!, 7!...) sonu 0'dır (Mod 10'da 0'a denktir). Sadece ilk dört terimi toplamak yeterlidir. 1! = 1. 2! = 2. 3! = 6. 4! = 24. Toplam: 1+2+6+24 = 33. 33 (mod 10) = 3. (Cevap: C)
Soru 18: Z/5 kümesinde (Kalanlar {0, 1, 2, 3, 4}), f(x) = 3x+2 fonksiyonu tanımlanıyor. f(4) kaçtır?
f(4) = 3(4)+2 = 12+2 = 14. İşlem Z/5'te (Mod 5) yapıldığı için 14 (mod 5) hesaplanır. Kalan 4'tür. (Cevap: E)
Soru 19: 5x ≡ 3 (mod 6) denkliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
5x ≡ 3 (mod 6). 5 yerine mod 6'daki dengi olan -1 yazılabilir (5 ≡ -1 mod 6). (-1)x ≡ 3 (mod 6). -x ≡ 3 (mod 6). x ≡ -3 (mod 6). -3'e 6 eklersek x ≡ 3 (mod 6). (Cevap: C)
Soru 20: Bir lamba devresi 5 farklı renkte (Kırmızı, Mavi, Yeşil, Sarı, Mor) sırasıyla yanıp sönmektedir. Devre çalışmaya Kırmızı ile başladığına göre, 138. sırada yanan lamba hangi renktedir?
5 farklı renk olduğu için Mod 5 kullanılır. 138 (mod 5) hesaplanır. Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için son basamağa bakılır (8). 8'in 5 ile bölümünden kalan 3'tür. Sıralamada 3. renk bulunur. 1. Kırmızı, 2. Mavi, 3. Yeşil. (Cevap: C)