Permütasyonda sıra önemlidir. {A, B} elemanları ile oluşturulan (AB) ve (BA) dizilişleri farklı durumlardır (Örn: Bir yarışmada 1. ve 2. olanlar, şifre oluşturma, sayı yazma).
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE OLASILIK
Giriş: Saymanın Temel İlkeleri
Permütasyon ve Kombinasyona başlamadan önce, saymanın temel ilkelerini bilmek zorunludur.
1. Toplama Yoluyla Sayma
Ayrık olaylardan biri A farklı yolla, diğeri B farklı yolla gerçekleşiyorsa, bu olaylardan biri veya diğeri A + B farklı yolla gerçekleşir.
Bir kafede 5 çeşit kahve ve 3 çeşit çay varsa, bir müşteri 1 içeceği 5+3=8 farklı şekilde seçebilir.
2. Çarpma Yoluyla Sayma (Temel Prensip)
Bir olaylar zincirinde ilk olay A farklı yolla, ikinci olay B farklı yolla gerçekleşiyorsa, bu olaylar sırasıyla (birlikte) A * B farklı yolla gerçekleşir.
Ankara'dan İstanbul'a 4 farklı yol, İstanbul'dan İzmir'e 3 farklı yol varsa, Ankara'dan İzmir'e (İstanbul'a uğramak şartıyla) 4*3=12 farklı yolla gidilebilir.
3. Faktöriyel Kavramı (!)
Permütasyon ve Kombinasyon hesaplamaları faktöriyel üzerine kuruludur. n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1. (0! = 1 ve 1! = 1 kabul edilir).
BÖLÜM 1: PERMÜTASYON (Sıralama)
Permütasyon, n elemanlı bir kümenin r tane elemanının farklı dizilişlerinin (sıralamalarının) sayısıdır.
1. Permütasyon Formülü
n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonlarının sayısı P(n, r) ile gösterilir.
P(n, r) = n! / (n-r)!
P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 120 / 2 = 60.
Pratik yol: n'den geriye doğru r tane sayı çarpılır. P(5, 3) = 5 * 4 * 3 = 60.
Pratik yol: n'den geriye doğru r tane sayı çarpılır. P(5, 3) = 5 * 4 * 3 = 60.
n farklı elemanın tamamının yan yana sıralanışı P(n, n) = n! kadardır.
2. Permütasyon Soru Tipleri
A. Koşullu Sıralama
Belirli elemanların yan yana olması veya olmaması durumları.
Yan yana oturmaları istenen kişiler tek bir eleman (paket) gibi düşünülür ve sıralama yapılır. Daha sonra bu paketin içindeki kişilerin kendi aralarındaki yer değiştirmesi hesaplanıp sonuçla çarpılır.
Örnek: 3 kız, 4 erkek düz bir sıraya, kızlar yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde oturur?
Kızları (K1, K2, K3) tek bir blok [K] gibi düşünelim. [K], E1, E2, E3, E4 toplam 5 eleman gibi oldular. Bunlar 5! şekilde sıralanır. Kızlar kendi aralarında 3! şekilde yer değiştirir. Sonuç: 5! * 3! = 120 * 6 = 720.
B. Tekrarlı Permütasyon
Eğer sıralanan elemanların içinde birbirinin aynısı olanlar varsa, toplam sıralama sayısı azalır. Çünkü aynı olanların yer değiştirmesi yeni bir görüntü oluşturmaz.
Formül: Toplam n eleman içinde n₁, n₂, ... tanesi aynı ise: n! / (n₁! * n₂! * ...)
"KELEBEK" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılır?
Toplam 7 harf. K(2 tane), E(3 tane).
Sonuç: 7! / (2! * 3!) = 5040 / (2 * 6) = 5040 / 12 = 420.
Toplam 7 harf. K(2 tane), E(3 tane).
Sonuç: 7! / (2! * 3!) = 5040 / (2 * 6) = 5040 / 12 = 420.
Rakamlarla sayı yazma sorularında (hem basit hem tekrarlı permütasyonda) eğer kümede sıfır varsa dikkatli olunmalıdır. Sıfır başa gelemez.
Örnek: A={0, 1, 2, 3, 4} ile rakamları farklı 3 basamaklı kaç sayı yazılır?
Yüzler basamağına 0 gelemez (4 seçenek). Onlar basamağına 0 gelebilir ama yüzler basamağındaki kullanılamaz (Kalan 4 seçenek). Birler basamağı (Kalan 3 seçenek). 4 * 4 * 3 = 48.
BÖLÜM 2: KOMBİNASYON (Seçme)
Kombinasyon, n elemanlı bir kümenin r tane elemanından oluşturulabilecek alt kümelerin (grupların) sayısıdır.
Kombinasyonda sıra önemsizdir. {A, B} seçimi ile {B, A} seçimi aynıdır (Örn: Bir takıma oyuncu seçimi, komite oluşturma).
1. Kombinasyon Formülü
n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonlarının sayısı C(n, r) veya (n r) ile gösterilir.
C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)
C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = 15.
Pratik yol: n'den geriye r tane sayı çarpılır ve r!'e bölünür. C(6, 2) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15.
Pratik yol: n'den geriye r tane sayı çarpılır ve r!'e bölünür. C(6, 2) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15.
Permütasyon = Seçme * Sıralama.
P(n, r) = C(n, r) * r!
Yani permütasyon, önce kombinasyonla elemanları seçip, sonra bu seçilenleri (r!) şekilde sıralamaktır. Kombinasyon formülündeki paydadaki r! bu sıralamayı geri alır.
2. Kombinasyon Özellikleri
- C(n, 0) = 1 (Boş küme)
- C(n, n) = 1 (Kendisi)
- C(n, 1) = n
- C(n, r) = C(n, n-r) (Çok Önemli! C(10, 8) yerine C(10, 2) hesaplanır).
3. Kombinasyon Soru Tipleri
Grup Oluşturma: 10 kişi arasından 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilir? C(10, 3).
Koşullu Seçim: 5 doktor ve 4 hemşire arasından, 2 doktor VE 2 hemşireden oluşan 4 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilir? C(5, 2) * C(4, 2).
Geometrik Uygulamalar: Düzlemdeki noktalarla doğru (C(n, 2)), üçgen (C(n, 3)) vb. oluşturma.
"En az" dendiğinde, istenen minimum durumdan başlayarak olası tüm üst durumlar hesaplanıp toplanır.
Bazen "Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum" yöntemini kullanmak daha pratiktir. Örneğin, "en az bir" dendiğinde, "Tüm Durumlar - Hiç Olmama Durumu" hesaplanabilir.
BÖLÜM 3: OLASILIK (İhtimal)
Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimalinin matematiksel ölçüsüdür. Permütasyon ve kombinasyon bilgisi, olasılık hesaplamalarında durum sayılarını bulmak için kullanılır.
1. Temel Kavramlar
- Örnek Uzay (E): Deneyin tüm olası çıktılarının kümesi (Zar için E={1,2,3,4,5,6}).
- Olay (A): Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi (Zarın çift gelmesi A={2,4,6}).
2. Olasılık Hesaplama Formülü
Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) ile gösterilir.
P(A) = s(A) / s(E) = İstenen Durum Sayısı / Tüm Durumların Sayısı
3. Olasılık Özellikleri
- 0 ≤ P(A) ≤ 1. (Olasılık 0 ile 1 arasındadır).
- P(E) = 1 (Kesin Olay). P(∅) = 0 (İmkansız Olay).
- P(A') = 1 - P(A) (Bir olayın olmama olasılığı).
Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının asal olma olasılığı kaçtır?
E={1,2,3,4,5,6}, s(E)=6. İstenen Olay (Asal) A={2,3,5}, s(A)=3.
P(A) = 3/6 = 1/2.
E={1,2,3,4,5,6}, s(E)=6. İstenen Olay (Asal) A={2,3,5}, s(A)=3.
P(A) = 3/6 = 1/2.
4. Olay Türleri ve İşlemler
A. Ayrık Olaylar
Aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylardır (A ∩ B = ∅).
A veya B'nin gerçekleşme olasılığı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
B. Bağımsız Olaylar
Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını etkilemeyen olaylardır (Örn: Bir zar ve bir paranın birlikte atılması).
A ve B'nin birlikte gerçekleşme olasılığı: P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
Olasılık sorularında genellikle:
"Veya" gördüğünüzde toplama yapılır.
"Ve" gördüğünüzde çarpma yapılır.
Eğer olaylar ayrık değilse (kesişimleri varsa), genel birleşim formülü kullanılır: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
5. Koşullu Olasılık ve Bağımlı Olaylar
Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. Örnek uzay daralır.
İadeli (Yerine Koyarak): Çekilen top geri konuluyorsa, her çekilişte örnek uzay sabittir (Bağımsız Olay).
İadesiz (Yerine Koymadan): Çekilen top geri konulmuyorsa, örnek uzay her çekilişte azalır (Bağımlı Olay). Buna dikkat edilmelidir.
Örnek (İadesiz): 4K, 3M top var. Art arda iki top çekiliyor. İkisinin de Kırmızı olma olasılığı? P(K1) * P(K2|K1) = (4/7) * (3/6) = 12/42 = 2/7.
İNTERAKTİF TEST SORULARI (25 ADET)
Soru 1: A şehrinden B şehrine 3, B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. A'dan C'ye, B'ye uğramak şartıyla kaç farklı yoldan gidilebilir?
Çarpma yoluyla sayma prensibi kullanılır. A'dan B'ye VE B'den C'ye gidilecektir. 3 * 5 = 15 farklı yol vardır. (Cevap: D)
Soru 2: P(6, 2) + P(5, 1) işleminin sonucu kaçtır?
P(6, 2) = 6*5 = 30. P(5, 1) = 5. Toplamları 30 + 5 = 35. (Cevap: D)
Soru 3: 5 arkadaş düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir?
n kişi düz bir sıraya n! şekilde oturur. 5! = 5*4*3*2*1 = 120. (Cevap: E)
Soru 4: Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile, anne ve baba yan yana olmak şartıyla yuvarlak masa etrafına kaç farklı şekilde oturabilir?
Yuvarlak masa formülü (n-1)!'dir. Anne ve babayı 1 kişi gibi düşünürsek, toplam 1+3=4 kişi olurlar. 4 kişi yuvarlak masaya (4-1)! = 3! = 6 şekilde oturur. Anne ve baba kendi arasında 2! = 2 şekilde yer değiştirir. Sonuç: 6 * 2 = 12. (Cevap: A)
Soru 5: "ANKARA" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 6 harf. A harfi 3 kere tekrar ediyor. 6! / 3! = (6*5*4*3!) / 3! = 6*5*4 = 120. (Cevap: C)
Soru 6: C(7, 3) kombinasyonunun değeri kaçtır?
C(7, 3) = (7*6*5) / (3*2*1) = 210 / 6 = 35. (Cevap: B)
Soru 7: C(n, 2) = 28 olduğuna göre, n kaçtır?
C(n, 2) = n*(n-1)/2 = 28. n*(n-1) = 56. Ardışık iki sayının çarpımı 56 ise bu sayılar 8 ve 7'dir. n=8. (Cevap: C)
Soru 8: 10 kişilik bir sporcu grubundan 4 kişilik bir takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Takım oluşturmada sıra önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır. C(10, 4) = (10*9*8*7) / (4*3*2*1) = 5040 / 24 = 210. (Cevap: B)
Soru 9: 4 erkek ve 5 kız öğrenci arasından, 2 erkek ve 3 kızdan oluşan 5 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir?
4 erkekten 2'si C(4, 2) şekilde seçilir. 5 kızdan 3'ü C(5, 3) şekilde seçilir. C(4, 2) = (4*3)/2 = 6. C(5, 3) = C(5, 2) = (5*4)/2 = 10. Sonuç: 6 * 10 = 60. (Cevap: C)
Soru 10: Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 farklı nokta ile en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?
Üçgen çizmek için 3 nokta seçmek gerekir. C(7, 3) = (7*6*5)/(3*2*1) = 35. (Cevap: B)
Soru 11: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 4'ten büyük olma olasılığı kaçtır?
Örnek Uzay E={1,2,3,4,5,6}, s(E)=6. İstenen Olay (4'ten büyük) A={5,6}, s(A)=2. Olasılık P(A)=2/6 = 1/3. (Cevap: B)
Soru 12: İki zar birlikte atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 10 olma olasılığı kaçtır?
İki zar atıldığında örnek uzay s(E)=6*6=36'dır. Toplamın 10 olduğu durumlar A={(4,6), (5,5), (6,4)}. s(A)=3. Olasılık P(A)=3/36 = 1/12. (Cevap: C)
Soru 13: Bir torbada 4 kırmızı ve 5 mavi top vardır. Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Toplam top sayısı (Örnek Uzay) 4+5=9. Kırmızı top sayısı (İstenen Durum) 4. Olasılık = 4/9. (Cevap: D)
Soru 14: Bir torbada 3 sarı ve 4 beyaz bilye vardır. Torbadan art arda iadesiz (geri konulmadan) iki bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin ikisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?
Toplam 7 bilye var. 1. çekilişte beyaz gelme olasılığı 4/7. Geriye 6 bilye kaldı (3 sarı, 3 beyaz). 2. çekilişte beyaz gelme olasılığı 3/6=1/2. İki olayın birlikte gerçekleşmesi (Ve) çarpılır: (4/7) * (1/2) = 4/14 = 2/7. (Cevap: A)
Soru 15: Bir sınıftaki 10 öğrenciden rastgele 3 kişi seçilecektir. Bu seçilenler arasında sınıf başkanı Ahmet'in bulunma olasılığı kaçtır?
Tüm durumlar (Örnek Uzay): 10 kişiden 3 kişi seçme C(10, 3) = (10*9*8)/(3*2*1) = 120.
İstenen durum (Ahmet'in bulunması): Ahmet zaten seçildi. Geriye kalan 9 kişiden 2 kişi daha seçmeliyiz. C(9, 2) = (9*8)/2 = 36.
Olasılık = 36/120 = 3/10. (Cevap: B)
Soru 16: {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
Çift olması için birler basamağı {2, 4, 6} olabilir (3 seçenek). Birler basamağına 1 rakam yerleştirdik. Yüzler basamağına kalan 5 rakamdan biri gelir. Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri gelir. Sonuç: 5 * 4 * 3 = 60. (Cevap: B)
Soru 17: 3 farklı mektup, 5 farklı posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?
1. mektup için 5 seçenek vardır. 2. mektup için de 5 seçenek vardır (aynı kutuya atılabilir). 3. mektup için de 5 seçenek vardır. Sonuç: 5 * 5 * 5 = 5³ = 125. (Cevap: D)
Soru 18: A = {a, b, c, d, e} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 'a' elemanı bulunur?
3 elemanlı alt küme oluşturulacak ve 'a' kesinlikle bulunacak. {a, _, _}. 'a'yı yerleştirdik. Geriye kalan {b, c, d, e} (4 eleman) arasından 2 eleman daha seçmeliyiz. C(4, 2) = (4*3)/2 = 6. (Cevap: B)
Soru 19: Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında en az bir kez Tura gelme olasılığı kaçtır?
Tüm durumlar 2³=8'dir. En az bir Tura gelmesi isteniyor. İstenmeyen durum, hiç Tura gelmemesidir (YYY). Bu 1 durumdur. İstenen Olasılık = Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum = 1 - (1/8) = 7/8. (Cevap: E)
Soru 20: "333445" sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 6 rakam. 3 (3 tane), 4 (2 tane), 5 (1 tane). 6! / (3! * 2!) = 720 / (6 * 2) = 720 / 12 = 60. (Cevap: A)
Soru 21: 5 farklı matematik ve 3 farklı fizik kitabı bir rafa dizilecektir. Fizik kitapları bir arada olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Fizik kitaplarını tek bir blok [F] gibi düşünelim. 5 Matematik kitabı ve [F] bloğu toplam 6 eleman eder. Bunlar 6! şekilde sıralanır. Fizik kitapları kendi aralarında 3! şekilde yer değiştirir. Sonuç: 6! * 3!. (Cevap: D)
Soru 22: Bir sınavda sorulan 10 sorudan ilk 4 sorunun en az 3'ünü cevaplamak şartıyla toplam 7 soru kaç farklı şekilde seçilebilir?
Soruları İlk 4 (İ4) ve Son 6 (S6) olarak ayıralım. İki durum var:
Durum 1: İ4'ten 3 soru, S6'dan 4 soru seçme. C(4, 3) * C(6, 4) = 4 * 15 = 60.
Durum 2: İ4'ten 4 soru, S6'dan 3 soru seçme. C(4, 4) * C(6, 3) = 1 * 20 = 20.
Toplam: 60 + 20 = 80. (Cevap: C)
Soru 23: A torbasında 3 kırmızı 2 beyaz, B torbasında 2 kırmızı 4 beyaz top vardır. Rastgele bir torba seçilip içinden bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
İki senaryo var: A torbasını seçmek (1/2 olasılık) VEYA B torbasını seçmek (1/2 olasılık).
Senaryo 1: A'yı seçme VE Kırmızı çekme = (1/2) * (3/5) = 3/10.
Senaryo 2: B'yi seçme VE Kırmızı çekme = (1/2) * (2/6) = 1/6.
Toplam Olasılık (VEYA olduğu için toplanır): 3/10 + 1/6. Paydaları 30'da eşitlersek: 9/30 + 5/30 = 14/30. (Cevap: D)
Soru 24: Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayılardan en az birinin 5 olduğu bilindiğine göre, toplamlarının 8 olma olasılığı kaçtır?
Bu bir koşullu olasılık sorusudur. Örnek uzay daralır. En az birinin 5 olduğu durumlar: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5). Toplam 11 durum (Yeni Örnek Uzay).
Bu durumlar içinde toplamı 8 olanlar: (5,3) ve (3,5). Toplam 2 durum (İstenen Durum).
Olasılık = 2/11. (Cevap: A)
Soru 25: Aralarında Ayşe ve Fatma'nın da bulunduğu 6 kişi düz bir sıraya oturacaktır. Ayşe'nin Fatma'nın solunda oturma olasılığı kaçtır?
Tüm sıralamalarda (6! = 720 durum), Ayşe ya Fatma'nın sağındadır ya da solundadır. Başka bir olasılık yoktur ve bu iki durumun olasılığı simetri gereği eşittir. Dolayısıyla olasılık 1/2'dir. (Cevap: C)
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE OLASILIK
Giriş: Saymanın Temel İlkeleri
Permütasyon ve Kombinasyona başlamadan önce, saymanın temel ilkelerini bilmek zorunludur.
1. Toplama Yoluyla Sayma
Ayrık olaylardan biri A farklı yolla, diğeri B farklı yolla gerçekleşiyorsa, bu olaylardan biri veya diğeri A + B farklı yolla gerçekleşir.
Bir kafede 5 çeşit kahve ve 3 çeşit çay varsa, bir müşteri 1 içeceği 5+3=8 farklı şekilde seçebilir.
2. Çarpma Yoluyla Sayma (Temel Prensip)
Bir olaylar zincirinde ilk olay A farklı yolla, ikinci olay B farklı yolla gerçekleşiyorsa, bu olaylar sırasıyla (birlikte) A * B farklı yolla gerçekleşir.
Ankara'dan İstanbul'a 4 farklı yol, İstanbul'dan İzmir'e 3 farklı yol varsa, Ankara'dan İzmir'e (İstanbul'a uğramak şartıyla) 4*3=12 farklı yolla gidilebilir.
3. Faktöriyel Kavramı (!)
Permütasyon ve Kombinasyon hesaplamaları faktöriyel üzerine kuruludur. n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1. (0! = 1 ve 1! = 1 kabul edilir).
BÖLÜM 1: PERMÜTASYON (Sıralama)
Permütasyon, n elemanlı bir kümenin r tane elemanının farklı dizilişlerinin (sıralamalarının) sayısıdır.
Permütasyonda sıra önemlidir. {A, B} elemanları ile oluşturulan (AB) ve (BA) dizilişleri farklı durumlardır (Örn: Bir yarışmada 1. ve 2. olanlar, şifre oluşturma, sayı yazma).
1. Permütasyon Formülü
n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonlarının sayısı P(n, r) ile gösterilir.
P(n, r) = n! / (n-r)!
P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 120 / 2 = 60.
Pratik yol: n'den geriye doğru r tane sayı çarpılır. P(5, 3) = 5 * 4 * 3 = 60.
Pratik yol: n'den geriye doğru r tane sayı çarpılır. P(5, 3) = 5 * 4 * 3 = 60.
n farklı elemanın tamamının yan yana sıralanışı P(n, n) = n! kadardır.
2. Permütasyon Soru Tipleri
A. Koşullu Sıralama
Belirli elemanların yan yana olması veya olmaması durumları.
Yan yana oturmaları istenen kişiler tek bir eleman (paket) gibi düşünülür ve sıralama yapılır. Daha sonra bu paketin içindeki kişilerin kendi aralarındaki yer değiştirmesi hesaplanıp sonuçla çarpılır.
Örnek: 3 kız, 4 erkek düz bir sıraya, kızlar yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde oturur?
Kızları (K1, K2, K3) tek bir blok [K] gibi düşünelim. [K], E1, E2, E3, E4 toplam 5 eleman gibi oldular. Bunlar 5! şekilde sıralanır. Kızlar kendi aralarında 3! şekilde yer değiştirir. Sonuç: 5! * 3! = 120 * 6 = 720.
B. Tekrarlı Permütasyon
Eğer sıralanan elemanların içinde birbirinin aynısı olanlar varsa, toplam sıralama sayısı azalır. Çünkü aynı olanların yer değiştirmesi yeni bir görüntü oluşturmaz.
Formül: Toplam n eleman içinde n₁, n₂, ... tanesi aynı ise: n! / (n₁! * n₂! * ...)
"KELEBEK" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılır?
Toplam 7 harf. K(2 tane), E(3 tane).
Sonuç: 7! / (2! * 3!) = 5040 / (2 * 6) = 5040 / 12 = 420.
Toplam 7 harf. K(2 tane), E(3 tane).
Sonuç: 7! / (2! * 3!) = 5040 / (2 * 6) = 5040 / 12 = 420.
Rakamlarla sayı yazma sorularında (hem basit hem tekrarlı permütasyonda) eğer kümede sıfır varsa dikkatli olunmalıdır. Sıfır başa gelemez.
Örnek: A={0, 1, 2, 3, 4} ile rakamları farklı 3 basamaklı kaç sayı yazılır?
Yüzler basamağına 0 gelemez (4 seçenek). Onlar basamağına 0 gelebilir ama yüzler basamağındaki kullanılamaz (Kalan 4 seçenek). Birler basamağı (Kalan 3 seçenek). 4 * 4 * 3 = 48.
BÖLÜM 2: KOMBİNASYON (Seçme)
Kombinasyon, n elemanlı bir kümenin r tane elemanından oluşturulabilecek alt kümelerin (grupların) sayısıdır.
Kombinasyonda sıra önemsizdir. {A, B} seçimi ile {B, A} seçimi aynıdır (Örn: Bir takıma oyuncu seçimi, komite oluşturma).
1. Kombinasyon Formülü
n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonlarının sayısı C(n, r) veya (n r) ile gösterilir.
C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)
C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = 15.
Pratik yol: n'den geriye r tane sayı çarpılır ve r!'e bölünür. C(6, 2) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15.
Pratik yol: n'den geriye r tane sayı çarpılır ve r!'e bölünür. C(6, 2) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15.
Permütasyon = Seçme * Sıralama.
P(n, r) = C(n, r) * r!
Yani permütasyon, önce kombinasyonla elemanları seçip, sonra bu seçilenleri (r!) şekilde sıralamaktır. Kombinasyon formülündeki paydadaki r! bu sıralamayı geri alır.
2. Kombinasyon Özellikleri
- C(n, 0) = 1 (Boş küme)
- C(n, n) = 1 (Kendisi)
- C(n, 1) = n
- C(n, r) = C(n, n-r) (Çok Önemli! C(10, 8) yerine C(10, 2) hesaplanır).
3. Kombinasyon Soru Tipleri
Grup Oluşturma: 10 kişi arasından 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilir? C(10, 3).
Koşullu Seçim: 5 doktor ve 4 hemşire arasından, 2 doktor VE 2 hemşireden oluşan 4 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilir? C(5, 2) * C(4, 2).
Geometrik Uygulamalar: Düzlemdeki noktalarla doğru (C(n, 2)), üçgen (C(n, 3)) vb. oluşturma.
"En az" dendiğinde, istenen minimum durumdan başlayarak olası tüm üst durumlar hesaplanıp toplanır.
Bazen "Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum" yöntemini kullanmak daha pratiktir. Örneğin, "en az bir" dendiğinde, "Tüm Durumlar - Hiç Olmama Durumu" hesaplanabilir.
BÖLÜM 3: OLASILIK (İhtimal)
Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimalinin matematiksel ölçüsüdür. Permütasyon ve kombinasyon bilgisi, olasılık hesaplamalarında durum sayılarını bulmak için kullanılır.
1. Temel Kavramlar
- Örnek Uzay (E): Deneyin tüm olası çıktılarının kümesi (Zar için E={1,2,3,4,5,6}).
- Olay (A): Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi (Zarın çift gelmesi A={2,4,6}).
2. Olasılık Hesaplama Formülü
Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) ile gösterilir.
P(A) = s(A) / s(E) = İstenen Durum Sayısı / Tüm Durumların Sayısı
3. Olasılık Özellikleri
- 0 ≤ P(A) ≤ 1. (Olasılık 0 ile 1 arasındadır).
- P(E) = 1 (Kesin Olay). P(∅) = 0 (İmkansız Olay).
- P(A') = 1 - P(A) (Bir olayın olmama olasılığı).
Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının asal olma olasılığı kaçtır?
E={1,2,3,4,5,6}, s(E)=6. İstenen Olay (Asal) A={2,3,5}, s(A)=3.
P(A) = 3/6 = 1/2.
E={1,2,3,4,5,6}, s(E)=6. İstenen Olay (Asal) A={2,3,5}, s(A)=3.
P(A) = 3/6 = 1/2.
4. Olay Türleri ve İşlemler
A. Ayrık Olaylar
Aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylardır (A ∩ B = ∅).
A veya B'nin gerçekleşme olasılığı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
B. Bağımsız Olaylar
Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını etkilemeyen olaylardır (Örn: Bir zar ve bir paranın birlikte atılması).
A ve B'nin birlikte gerçekleşme olasılığı: P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
Olasılık sorularında genellikle:
"Veya" gördüğünüzde toplama yapılır.
"Ve" gördüğünüzde çarpma yapılır.
Eğer olaylar ayrık değilse (kesişimleri varsa), genel birleşim formülü kullanılır: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
5. Koşullu Olasılık ve Bağımlı Olaylar
Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. Örnek uzay daralır.
İadeli (Yerine Koyarak): Çekilen top geri konuluyorsa, her çekilişte örnek uzay sabittir (Bağımsız Olay).
İadesiz (Yerine Koymadan): Çekilen top geri konulmuyorsa, örnek uzay her çekilişte azalır (Bağımlı Olay). Buna dikkat edilmelidir.
Örnek (İadesiz): 4K, 3M top var. Art arda iki top çekiliyor. İkisinin de Kırmızı olma olasılığı? P(K1) * P(K2|K1) = (4/7) * (3/6) = 12/42 = 2/7.
İNTERAKTİF TEST SORULARI (25 ADET)
Soru 1: A şehrinden B şehrine 3, B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. A'dan C'ye, B'ye uğramak şartıyla kaç farklı yoldan gidilebilir?
Çarpma yoluyla sayma prensibi kullanılır. A'dan B'ye VE B'den C'ye gidilecektir. 3 * 5 = 15 farklı yol vardır. (Cevap: D)
Soru 2: P(6, 2) + P(5, 1) işleminin sonucu kaçtır?
P(6, 2) = 6*5 = 30. P(5, 1) = 5. Toplamları 30 + 5 = 35. (Cevap: D)
Soru 3: 5 arkadaş düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir?
n kişi düz bir sıraya n! şekilde oturur. 5! = 5*4*3*2*1 = 120. (Cevap: E)
Soru 4: Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile, anne ve baba yan yana olmak şartıyla yuvarlak masa etrafına kaç farklı şekilde oturabilir?
Yuvarlak masa formülü (n-1)!'dir. Anne ve babayı 1 kişi gibi düşünürsek, toplam 1+3=4 kişi olurlar. 4 kişi yuvarlak masaya (4-1)! = 3! = 6 şekilde oturur. Anne ve baba kendi arasında 2! = 2 şekilde yer değiştirir. Sonuç: 6 * 2 = 12. (Cevap: A)
Soru 5: "ANKARA" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 6 harf. A harfi 3 kere tekrar ediyor. 6! / 3! = (6*5*4*3!) / 3! = 6*5*4 = 120. (Cevap: C)
Soru 6: C(7, 3) kombinasyonunun değeri kaçtır?
C(7, 3) = (7*6*5) / (3*2*1) = 210 / 6 = 35. (Cevap: B)
Soru 7: C(n, 2) = 28 olduğuna göre, n kaçtır?
C(n, 2) = n*(n-1)/2 = 28. n*(n-1) = 56. Ardışık iki sayının çarpımı 56 ise bu sayılar 8 ve 7'dir. n=8. (Cevap: C)
Soru 8: 10 kişilik bir sporcu grubundan 4 kişilik bir takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Takım oluşturmada sıra önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır. C(10, 4) = (10*9*8*7) / (4*3*2*1) = 5040 / 24 = 210. (Cevap: B)
Soru 9: 4 erkek ve 5 kız öğrenci arasından, 2 erkek ve 3 kızdan oluşan 5 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir?
4 erkekten 2'si C(4, 2) şekilde seçilir. 5 kızdan 3'ü C(5, 3) şekilde seçilir. C(4, 2) = (4*3)/2 = 6. C(5, 3) = C(5, 2) = (5*4)/2 = 10. Sonuç: 6 * 10 = 60. (Cevap: C)
Soru 10: Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 farklı nokta ile en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?
Üçgen çizmek için 3 nokta seçmek gerekir. C(7, 3) = (7*6*5)/(3*2*1) = 35. (Cevap: B)
Soru 11: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 4'ten büyük olma olasılığı kaçtır?
Örnek Uzay E={1,2,3,4,5,6}, s(E)=6. İstenen Olay (4'ten büyük) A={5,6}, s(A)=2. Olasılık P(A)=2/6 = 1/3. (Cevap: B)
Soru 12: İki zar birlikte atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 10 olma olasılığı kaçtır?
İki zar atıldığında örnek uzay s(E)=6*6=36'dır. Toplamın 10 olduğu durumlar A={(4,6), (5,5), (6,4)}. s(A)=3. Olasılık P(A)=3/36 = 1/12. (Cevap: C)
Soru 13: Bir torbada 4 kırmızı ve 5 mavi top vardır. Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Toplam top sayısı (Örnek Uzay) 4+5=9. Kırmızı top sayısı (İstenen Durum) 4. Olasılık = 4/9. (Cevap: D)
Soru 14: Bir torbada 3 sarı ve 4 beyaz bilye vardır. Torbadan art arda iadesiz (geri konulmadan) iki bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin ikisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?
Toplam 7 bilye var. 1. çekilişte beyaz gelme olasılığı 4/7. Geriye 6 bilye kaldı (3 sarı, 3 beyaz). 2. çekilişte beyaz gelme olasılığı 3/6=1/2. İki olayın birlikte gerçekleşmesi (Ve) çarpılır: (4/7) * (1/2) = 4/14 = 2/7. (Cevap: A)
Soru 15: Bir sınıftaki 10 öğrenciden rastgele 3 kişi seçilecektir. Bu seçilenler arasında sınıf başkanı Ahmet'in bulunma olasılığı kaçtır?
Tüm durumlar (Örnek Uzay): 10 kişiden 3 kişi seçme C(10, 3) = (10*9*8)/(3*2*1) = 120.
İstenen durum (Ahmet'in bulunması): Ahmet zaten seçildi. Geriye kalan 9 kişiden 2 kişi daha seçmeliyiz. C(9, 2) = (9*8)/2 = 36.
Olasılık = 36/120 = 3/10. (Cevap: B)
Soru 16: {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
Çift olması için birler basamağı {2, 4, 6} olabilir (3 seçenek). Birler basamağına 1 rakam yerleştirdik. Yüzler basamağına kalan 5 rakamdan biri gelir. Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri gelir. Sonuç: 5 * 4 * 3 = 60. (Cevap: B)
Soru 17: 3 farklı mektup, 5 farklı posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?
1. mektup için 5 seçenek vardır. 2. mektup için de 5 seçenek vardır (aynı kutuya atılabilir). 3. mektup için de 5 seçenek vardır. Sonuç: 5 * 5 * 5 = 5³ = 125. (Cevap: D)
Soru 18: A = {a, b, c, d, e} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 'a' elemanı bulunur?
3 elemanlı alt küme oluşturulacak ve 'a' kesinlikle bulunacak. {a, _, _}. 'a'yı yerleştirdik. Geriye kalan {b, c, d, e} (4 eleman) arasından 2 eleman daha seçmeliyiz. C(4, 2) = (4*3)/2 = 6. (Cevap: B)
Soru 19: Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında en az bir kez Tura gelme olasılığı kaçtır?
Tüm durumlar 2³=8'dir. En az bir Tura gelmesi isteniyor. İstenmeyen durum, hiç Tura gelmemesidir (YYY). Bu 1 durumdur. İstenen Olasılık = Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum = 1 - (1/8) = 7/8. (Cevap: E)
Soru 20: "333445" sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Tekrarlı permütasyon. Toplam 6 rakam. 3 (3 tane), 4 (2 tane), 5 (1 tane). 6! / (3! * 2!) = 720 / (6 * 2) = 720 / 12 = 60. (Cevap: A)
Soru 21: 5 farklı matematik ve 3 farklı fizik kitabı bir rafa dizilecektir. Fizik kitapları bir arada olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Fizik kitaplarını tek bir blok [F] gibi düşünelim. 5 Matematik kitabı ve [F] bloğu toplam 6 eleman eder. Bunlar 6! şekilde sıralanır. Fizik kitapları kendi aralarında 3! şekilde yer değiştirir. Sonuç: 6! * 3!. (Cevap: D)
Soru 22: Bir sınavda sorulan 10 sorudan ilk 4 sorunun en az 3'ünü cevaplamak şartıyla toplam 7 soru kaç farklı şekilde seçilebilir?
Soruları İlk 4 (İ4) ve Son 6 (S6) olarak ayıralım. İki durum var:
Durum 1: İ4'ten 3 soru, S6'dan 4 soru seçme. C(4, 3) * C(6, 4) = 4 * 15 = 60.
Durum 2: İ4'ten 4 soru, S6'dan 3 soru seçme. C(4, 4) * C(6, 3) = 1 * 20 = 20.
Toplam: 60 + 20 = 80. (Cevap: C)
Soru 23: A torbasında 3 kırmızı 2 beyaz, B torbasında 2 kırmızı 4 beyaz top vardır. Rastgele bir torba seçilip içinden bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
İki senaryo var: A torbasını seçmek (1/2 olasılık) VEYA B torbasını seçmek (1/2 olasılık).
Senaryo 1: A'yı seçme VE Kırmızı çekme = (1/2) * (3/5) = 3/10.
Senaryo 2: B'yi seçme VE Kırmızı çekme = (1/2) * (2/6) = 1/6.
Toplam Olasılık (VEYA olduğu için toplanır): 3/10 + 1/6. Paydaları 30'da eşitlersek: 9/30 + 5/30 = 14/30. (Cevap: D)
Soru 24: Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayılardan en az birinin 5 olduğu bilindiğine göre, toplamlarının 8 olma olasılığı kaçtır?
Bu bir koşullu olasılık sorusudur. Örnek uzay daralır. En az birinin 5 olduğu durumlar: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5). Toplam 11 durum (Yeni Örnek Uzay).
Bu durumlar içinde toplamı 8 olanlar: (5,3) ve (3,5). Toplam 2 durum (İstenen Durum).
Olasılık = 2/11. (Cevap: A)
Soru 25: Aralarında Ayşe ve Fatma'nın da bulunduğu 6 kişi düz bir sıraya oturacaktır. Ayşe'nin Fatma'nın solunda oturma olasılığı kaçtır?
Tüm sıralamalarda (6! = 720 durum), Ayşe ya Fatma'nın sağındadır ya da solundadır. Başka bir olasılık yoktur ve bu iki durumun olasılığı simetri gereği eşittir. Dolayısıyla olasılık 1/2'dir. (Cevap: C)