🔥 Zor Soru Tipi 1: "Kalanın Kalanı" Problemleri
🎯 İstisnasız Çözüm Yöntemi (OKEK/EKOK Kısayolu)
Bu sorularda asla "x" ile veya kesirlerle (örn: 1 - 1/4 = 3/4) işlem yapmayın. Hata yaptırır.
Altın Kural: 1. Problemdeki tüm kesirlerin paydalarını (alt kısımlarını) bulun. 2. Bu paydaların OKEK'ini (Ortak Katlarının En Küçüğü) alın. 3. Bilinmeyene (paranın tamamı, maaşın tamamı vb.) bu OKEK değeri + x deyin. (Örn: 60x)
Bu yöntem sayesinde tüm problem, kesirlerden kurtulur ve basit bir tam sayı problemine dönüşür.
Örnek 1: Temel "Kalanın Kalanı" Problemi
Geriye cebinde 360 TL'si kaldığına göre, bu memurun maaşının tamamı kaç TL'dir?
⚠️ Yavaş Yöntem (Kesirlerle Boğuşmak)
Maaşa "x" demek işlemi çok uzatır:
1. Kira: x/4. Kalan: 3x/4
2. Fatura: (3x/4) * (2/5) = 6x/20 = 3x/10
3. Yeni Kalan: (3x/4) - (3x/10) = 9x/20
4. Mutfak: (9x/20) * (1/3) = 3x/20
5. En Son Kalan: (9x/20) - (3x/20) = 6x/20 = 3x/10
6. Denklem: 3x/10 = 360 → x = 1200
Risk: Çok fazla kesirli işlem, hata payı çok yüksek.
✅ Adım Adım Net ve Hızlı Çözüm (OKEK Yöntemi)
1. Adım: Paydaları Bul
Kesirler: 1/4 , 2/5 , 1/3. Paydalar: 4, 5, 3.
2. Adım: OKEK (Bütünü Belirle)
OKEK(4, 5, 3) = 60.
Maaşın tamamına 60x diyelim.
3. Adım: Adım Adım Harca
Maaş = 60x
1. Kira (1/4'ü): (60x / 4) = 15x.
Kalan 1: 60x - 15x = 45x
2. Fatura (Kalanın 2/5'i): (45x / 5) * 2 = 18x.
Kalan 2: 45x - 18x = 27x
3. Mutfak (Kalanın 1/3'ü): (27x / 3) = 9x.
En Son Kalan: 27x - 9x = 18x
4. Adım: Denklemi Kur ve Çöz
En Son Kalan para 360 TL imiş.
18x = 360 → x = 20
5. Adım: Soru Kökünü Cevapla
Maaşın tamamı 60x idi.
Maaş = 60 * (20) = 1200 TL
Örnek 2: Karmaşık "Kalanın Kalanı" (+ Sabit Sayı)
Geriye cebinde 118 TL'si kaldığına göre, Ali'nin başlangıçta kaç TL'si vardı?
⚠️ Yavaş Yöntem (Kesir Cehennemi)
Paraya "x" demek bu soruyu çözümsüz hale getirir:
1. Kalan: 2x/3
2. Harcanan 2: ((2x/3) / 4) + 20 = (x/6) + 20
3. Yeni Kalan: (2x/3) - (x/6) - 20 = (x/2) - 20
4. Harcanan 3: (((x/2) - 20) / 5) + 10 = (x/10) - 4 + 10 = (x/10) + 6
5. En Son Kalan: ((x/2) - 20) - ((x/10) + 6) = (4x/10) - 26
6. Denklem: (4x/10) - 26 = 118 → x = 360
Risk: İşlem hatası yapma olasılığı %90'dır.
✅ Adım Adım Net ve Hızlı Çözüm (OKEK Yöntemi)
1. Adım: Paydaları Bul
Kesirler: 1/3 , 1/4 , 1/5. Paydalar: 3, 4, 5.
2. Adım: OKEK (Bütünü Belirle)
OKEK(3, 4, 5) = 60.
Paranın tamamına 60x diyelim.
3. Adım: Adım Adım Harca
Para = 60x
1. Harcama 1 (1/3'ü): (60x / 3) = 20x.
Kalan 1: 60x - 20x = 40x
2. Harcama 2 (Kalanın 1/4'ü + 20 TL):
Harcama = (40x / 4) + 20 = 10x + 20
Kalan 2: 40x - (10x + 20) = 30x - 20
3. Harcama 3 (Kalanın 1/5'i + 10 TL):
Harcama = ((30x - 20) / 5) + 10 = (6x - 4) + 10 = 6x + 6
En Son Kalan: (30x - 20) - (6x + 6) = 24x - 26
4. Adım: Denklemi Kur ve Çöz
En Son Kalan para 118 TL imiş.
24x - 26 = 118
24x = 144 → x = 6
5. Adım: Soru Kökünü Cevapla
Paranın tamamı 60x idi.
Para = 60 * (6) = 360 TL
Örnek 3: Alternatif Yöntem ("Tersten Gitme")
Geriye cebinde 118 TL'si kaldığına göre, Ali'nin başlangıçta kaç TL'si vardı?
Not: Bu, Örnek 2 ile aynı sorudur. Ancak burada bu tip sorular için istisnasız çalışan ikinci bir kısayolu (Ters İşlem) göstereceğiz. Bu yöntem, OKEK yönteminden bile daha hızlı olabilir!
✅ Adım Adım Net ve Hızlı Çözüm (Ters İşlem)
Sondaki paradan başlayıp, tüm işlemlerin tersini yaparak başa döneceğiz.
Başlangıç: En sonda kalan para = 118 TL
1. Adım: Son İşlemi Geri Al
Son işlem: "...1/5'ini ve ekstra 10 TL harcıyor."
Tersini yap: Önce 10 TL'yi geri ekle.
118 + 10 = 128 TL
Bu 128 TL, "kalanın 1/5'i harcandıktan *sonra*" kalan paradır. Yani o anki paranın (1 - 1/5) = 4/5'idir.
Paranın 4/5'i = 128 TL ise,
Paranın 1/5'i = 128 / 4 = 32 TL
Paranın 5/5'i (Tamamı) = 32 * 5 = 160 TL.
(Bu, ikinci harcamadan sonra kalan paradır.)
2. Adım: İkinci İşlemi Geri Al
İkinci işlem: "...1/4'ünü ve ekstra 20 TL harcıyor."
Tersini yap: Önce 20 TL'yi geri ekle.
160 + 20 = 180 TL
Bu 180 TL, "kalanın 1/4'ü harcandıktan *sonra*" kalan paradır. Yani o anki paranın (1 - 1/4) = 3/4'üdür.
Paranın 3/4'ü = 180 TL ise,
Paranın 1/4'ü = 180 / 3 = 60 TL
Paranın 4/4'ü (Tamamı) = 60 * 4 = 240 TL.
(Bu, ilk harcamadan sonra kalan paradır.)
3. Adım: İlk İşlemi Geri Al
İlk işlem: "...1/3'ünü harcıyor." (Ekstra sabit sayı yok)
Tersini yap: Bu 240 TL, paranın 1/3'ü harcandıktan *sonra* kalan paradır. Yani paranın (1 - 1/3) = 2/3'üdür.
Paranın 2/3'ü = 240 TL ise,
Paranın 1/3'ü = 240 / 2 = 120 TL
Paranın 3/3'ü (Tamamı) = 120 * 3 = 360 TL.
Sonuç: Başlangıçtaki para 360 TL'dir.
🔥 Zor Soru Tipi 1: "Kalanın Kalanı" Problemleri
🎯 İstisnasız Çözüm Yöntemi (OKEK/EKOK Kısayolu)
Bu sorularda asla "x" ile veya kesirlerle (örn: 1 - 1/4 = 3/4) işlem yapmayın. Hata yaptırır.
Altın Kural: 1. Problemdeki tüm kesirlerin paydalarını (alt kısımlarını) bulun. 2. Bu paydaların OKEK'ini (Ortak Katlarının En Küçüğü) alın. 3. Bilinmeyene (paranın tamamı, maaşın tamamı vb.) bu OKEK değeri + x deyin. (Örn: 60x)
Bu yöntem sayesinde tüm problem, kesirlerden kurtulur ve basit bir tam sayı problemine dönüşür.
Örnek 1: Temel "Kalanın Kalanı" Problemi
Geriye cebinde 360 TL'si kaldığına göre, bu memurun maaşının tamamı kaç TL'dir?
⚠️ Yavaş Yöntem (Kesirlerle Boğuşmak)
Maaşa "x" demek işlemi çok uzatır:
1. Kira: x/4. Kalan: 3x/4
2. Fatura: (3x/4) * (2/5) = 6x/20 = 3x/10
3. Yeni Kalan: (3x/4) - (3x/10) = 9x/20
4. Mutfak: (9x/20) * (1/3) = 3x/20
5. En Son Kalan: (9x/20) - (3x/20) = 6x/20 = 3x/10
6. Denklem: 3x/10 = 360 → x = 1200
Risk: Çok fazla kesirli işlem, hata payı çok yüksek.
✅ Adım Adım Net ve Hızlı Çözüm (OKEK Yöntemi)
1. Adım: Paydaları Bul
Kesirler: 1/4 , 2/5 , 1/3. Paydalar: 4, 5, 3.
2. Adım: OKEK (Bütünü Belirle)
OKEK(4, 5, 3) = 60.
Maaşın tamamına 60x diyelim.
3. Adım: Adım Adım Harca
Maaş = 60x
1. Kira (1/4'ü): (60x / 4) = 15x.
Kalan 1: 60x - 15x = 45x
2. Fatura (Kalanın 2/5'i): (45x / 5) * 2 = 18x.
Kalan 2: 45x - 18x = 27x
3. Mutfak (Kalanın 1/3'ü): (27x / 3) = 9x.
En Son Kalan: 27x - 9x = 18x
4. Adım: Denklemi Kur ve Çöz
En Son Kalan para 360 TL imiş.
18x = 360 → x = 20
5. Adım: Soru Kökünü Cevapla
Maaşın tamamı 60x idi.
Maaş = 60 * (20) = 1200 TL
Örnek 2: Karmaşık "Kalanın Kalanı" (+ Sabit Sayı)
Geriye cebinde 118 TL'si kaldığına göre, Ali'nin başlangıçta kaç TL'si vardı?
⚠️ Yavaş Yöntem (Kesir Cehennemi)
Paraya "x" demek bu soruyu çözümsüz hale getirir:
1. Kalan: 2x/3
2. Harcanan 2: ((2x/3) / 4) + 20 = (x/6) + 20
3. Yeni Kalan: (2x/3) - (x/6) - 20 = (x/2) - 20
4. Harcanan 3: (((x/2) - 20) / 5) + 10 = (x/10) - 4 + 10 = (x/10) + 6
5. En Son Kalan: ((x/2) - 20) - ((x/10) + 6) = (4x/10) - 26
6. Denklem: (4x/10) - 26 = 118 → x = 360
Risk: İşlem hatası yapma olasılığı %90'dır.
✅ Adım Adım Net ve Hızlı Çözüm (OKEK Yöntemi)
1. Adım: Paydaları Bul
Kesirler: 1/3 , 1/4 , 1/5. Paydalar: 3, 4, 5.
2. Adım: OKEK (Bütünü Belirle)
OKEK(3, 4, 5) = 60.
Paranın tamamına 60x diyelim.
3. Adım: Adım Adım Harca
Para = 60x
1. Harcama 1 (1/3'ü): (60x / 3) = 20x.
Kalan 1: 60x - 20x = 40x
2. Harcama 2 (Kalanın 1/4'ü + 20 TL):
Harcama = (40x / 4) + 20 = 10x + 20
Kalan 2: 40x - (10x + 20) = 30x - 20
3. Harcama 3 (Kalanın 1/5'i + 10 TL):
Harcama = ((30x - 20) / 5) + 10 = (6x - 4) + 10 = 6x + 6
En Son Kalan: (30x - 20) - (6x + 6) = 24x - 26
4. Adım: Denklemi Kur ve Çöz
En Son Kalan para 118 TL imiş.
24x - 26 = 118
24x = 144 → x = 6
5. Adım: Soru Kökünü Cevapla
Paranın tamamı 60x idi.
Para = 60 * (6) = 360 TL
Örnek 3: Alternatif Yöntem ("Tersten Gitme")
Geriye cebinde 118 TL'si kaldığına göre, Ali'nin başlangıçta kaç TL'si vardı?
Not: Bu, Örnek 2 ile aynı sorudur. Ancak burada bu tip sorular için istisnasız çalışan ikinci bir kısayolu (Ters İşlem) göstereceğiz. Bu yöntem, OKEK yönteminden bile daha hızlı olabilir!
✅ Adım Adım Net ve Hızlı Çözüm (Ters İşlem)
Sondaki paradan başlayıp, tüm işlemlerin tersini yaparak başa döneceğiz.
Başlangıç: En sonda kalan para = 118 TL
1. Adım: Son İşlemi Geri Al
Son işlem: "...1/5'ini ve ekstra 10 TL harcıyor."
Tersini yap: Önce 10 TL'yi geri ekle.
118 + 10 = 128 TL
Bu 128 TL, "kalanın 1/5'i harcandıktan *sonra*" kalan paradır. Yani o anki paranın (1 - 1/5) = 4/5'idir.
Paranın 4/5'i = 128 TL ise,
Paranın 1/5'i = 128 / 4 = 32 TL
Paranın 5/5'i (Tamamı) = 32 * 5 = 160 TL.
(Bu, ikinci harcamadan sonra kalan paradır.)
2. Adım: İkinci İşlemi Geri Al
İkinci işlem: "...1/4'ünü ve ekstra 20 TL harcıyor."
Tersini yap: Önce 20 TL'yi geri ekle.
160 + 20 = 180 TL
Bu 180 TL, "kalanın 1/4'ü harcandıktan *sonra*" kalan paradır. Yani o anki paranın (1 - 1/4) = 3/4'üdür.
Paranın 3/4'ü = 180 TL ise,
Paranın 1/4'ü = 180 / 3 = 60 TL
Paranın 4/4'ü (Tamamı) = 60 * 4 = 240 TL.
(Bu, ilk harcamadan sonra kalan paradır.)
3. Adım: İlk İşlemi Geri Al
İlk işlem: "...1/3'ünü harcıyor." (Ekstra sabit sayı yok)
Tersini yap: Bu 240 TL, paranın 1/3'ü harcandıktan *sonra* kalan paradır. Yani paranın (1 - 1/3) = 2/3'üdür.
Paranın 2/3'ü = 240 TL ise,
Paranın 1/3'ü = 240 / 2 = 120 TL
Paranın 3/3'ü (Tamamı) = 120 * 3 = 360 TL.
Sonuç: Başlangıçtaki para 360 TL'dir.