İçereği Atla
KPSS Matematik - Temel Kavramlar 2. Bölüm

MATEMATİK

Temel Kavramlar - 2. Bölüm

1. Tek ve Çift Sayılar

Teklik ve çiftlik, sadece tam sayılar için geçerli bir kavramdır. (Yani Z kümesi: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)

Çift Sayı (Ç): 2 ile tam bölünebilen tam sayılardır. Son rakamı {0, 2, 4, 6, 8} olmalıdır.

Tek Sayı (T): 2 ile tam bölünemeyen (1 kalanını veren) tam sayılardır. Son rakamı {1, 3, 5, 7, 9} olmalıdır.

❗️ ÖNEMLİ İKAZ: Sıfır (0) bir ÇİFT sayıdır! Unutmayın, 0 bir tam sayıdır ve 2'ye tam bölünür (0/2 = 0).

a) Toplama ve Çıkarma Kuralları

Ezberlemeyin, değer verin (Tek için 1, Çift için 2 kullanın).

  • T + T = Ç (Örn: 1 + 3 = 4)
  • Ç + Ç = Ç (Örn: 2 + 4 = 6)
  • T + Ç = T (Örn: 1 + 2 = 3)
  • Çıkarma işlemi toplama ile aynıdır.

b) Çarpma Kuralları

Altın Kural: Bir çarpma işleminde sonucun TEK olabilmesi için, çarpanların HEPSİNİN TEK olması gerekir. Arada bir tane bile ÇİFT sayı varsa, sonuç daima ÇİFT olur.

  • T * T = T (Örn: 3 * 5 = 15)
  • T * Ç = Ç (Örn: 3 * 2 = 6)
  • Ç * Ç = Ç (Örn: 4 * 2 = 8)

c) Kuvvet (Üs Alma) Kuralları

Kuvvet (üs), tabanın kaç kez çarpılacağını söyler. Bu yüzden çarpma kuralı geçerlidir.

(n bir pozitif tam sayı iken)

  • (T)n = T (Örn: 32 = 9, 53 = 125)
  • (Ç)n = Ç (Örn: 23 = 8, 42 = 16)
❗️❗️❗️ KPSS TUZAK İKAZI! (KUVVET)
Üs (kuvvet) 0 (sıfır) ise durum değişir! n bir doğal sayı (N) derse 0'ı da düşünmelisiniz.
  • Ç0 = 1 (Yani TEK) (Örn: 20 = 1, 80 = 1)
  • T0 = 1 (Yani TEK) (Örn: 30 = 1, 70 = 1)
Soruda size üs "pozitif tam sayı" demezse, 0 ihtimalini ASLA unutmayın!

Tek ve Çift Sayılar: Örnekler (Kolaydan Zora)

Örnek 1 (Kolay): a = 5, b = 2, c = 0 olduğuna göre, a + 2*b + c3 işleminin sonucu tek midir, çift midir?
Adım Adım Çözüm:

Sayıları T (Tek) veya Ç (Çift) olarak yerlerine yazalım.

  • a = 5 ise T
  • b = 2 ise Ç
  • c = 0 ise Ç (İkazı hatırlayın!)

Şimdi işlemi T/Ç olarak yazalım: T + 2*(Ç) + (Ç)3

  • 2*(Ç) = Ç (Çarpımlardan biri çiftse sonuç çifttir)
  • (Ç)3 = Ç (Çift sayının pozitif kuvveti çifttir, 03=0 o da çifttir)

İşlem şuna döndü: T + Ç + Ç

  • T + Ç = T
  • (Bu T) + Ç = T

Cevap: Sonuç TEK sayıdır.

Örnek 2 (Orta - Klasik Yorum Sorusu): a ve b birer tam sayıdır. 3*a + 5*b = 8*c + 10 olduğuna göre, a ve b hakkında ne söylenebilir?
Adım Adım Çözüm:

Bu tür sorularda denklemin bilinen tarafından başlanır.

Adım 1: Sağ Tarafı Yorumlama
Denklem: 3*a + 5*b = 8*c + 10

  • 8*c -> 8 (Ç) olduğu için c ne olursa olsun bu çarpım daima ÇİFT'tir.
  • 10 -> ÇİFT bir sayıdır.
  • Sonuç: Sağ taraf -> Ç + Ç = Ç

Adım 2: Sol Tarafı Yorumlama
Demek ki 3*a + 5*b ifadesi ÇİFT olmak zorundadır.
3*a + 5*b = Ç

  • Eğer a T ise, 3*a -> T * T = T olur.
  • Eğer a Ç ise, 3*a -> T * Ç = Ç olur.
  • (Aynısı b için de geçerlidir. Yani katsayı olan 3 ve 5'in T/Ç'ye etkisi yoktur.)

İşlem aslında şudur: a + b = Ç

Adım 3: Sonuç Çıkarma
İki sayının toplamı ne zaman Çift olur?

  • T + T = Ç
  • Ç + Ç = Ç

Cevap: a ve b aynı türdendir. Yani, a tek ise b de tektir. a çift ise b de çifttir.

Örnek 3 (Zor - Bölme Tuzağı): a, b ve c pozitif tam sayılardır. (a * b + 3) / 4 = c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Adım Adım Çözüm:

Adım 1: Bölmeden Kurtulma (İçler-Dışlar Çarpımı)
Tek/Çift yorumu kesirli (bölmeli) ifadelerde yapılmaz. Önce denklemi düzeltmeliyiz.
a * b + 3 = 4 * c

Adım 2: Sağ Tarafı Yorumlama
4*c ifadesi, c ne olursa olsun, 4 (Ç) ile çarpıldığı için daima ÇİFT'tir.
a * b + 3 = Ç

Adım 3: Sol Tarafı Yorumlama
Bir toplama işlemi var. a * b ifadesi ile 3 (TEK) toplanmış ve sonuç ÇİFT olmuş.
(Ne?) + T = Ç

Düşünelim: Sadece T + T = Ç olur. Demek ki a * b ifadesi kesinlikle TEK olmalıdır.

Adım 4: Sonuç Çıkarma
Çarpma kuralını hatırlayalım: İki sayının çarpımı ne zaman TEK olur?
Sadece ve sadece ikisi de TEK ise!

Cevap: a kesinlikle tektir VE b kesinlikle tektir.

2. Pozitif (+) ve Negatif (-) Sayılar

Sayı doğrusunda 0'ın sağında kalan sayılara pozitif (artı, +), solunda kalanlara negatif (eksi, -) denir.

  • Pozitif sayılar: a > 0
  • Negatif sayılar: a < 0
❗️ ÖNEMLİ İKAZ: Sıfır (0) ne pozitif ne de negatiftir. Nötr bir sayıdır. İşareti yoktur.

a) Çarpma ve Bölme Kuralları (Dost-Düşman)

Bunu "dostumun dostu dostumdur" şeklinde kodlayabilirsiniz.

  • (+) * (+) = (+) (Dostumun dostu)
  • (-) * (-) = (+) (Düşmanımın düşmanı)
  • (+) * (-) = (-) (Dostumun düşmanı)
  • Bölme işleminin kuralları da çarpma ile birebir aynıdır.

b) Kuvvet (Üs Alma) Kuralları

Buradaki tek kritik nokta, tabanın negatif olması durumudur.

  • Pozitif Sayılar: Pozitif bir sayının BÜTÜN kuvvetleri yine POZİTİF'tir. (Örn: 32 = 9, 5-2 = 1/25)
  • Negatif Sayılar:
    • (Negatif Sayı)ÇİFT = POZİTİF (Örn: (-2)2 = +4)
    • (Negatif Sayı)TEK = NEGATİF (Örn: (-2)3 = -8)
❗️❗️❗️ KPSS HAYATİ TUZAK! (PARANTEZ)
Parantez, her şeyi değiştirir. Kuvvetin neyi etkilediğine bakın!
  • (-3)2 demek, (-3) * (-3) = +9 demektir. (POZİTİF)
  • -32 demek, -(3 * 3) = -9 demektir. (NEGATİF)
İlkinde üs, hem eksiyi hem 3'ü etkiler. İkincisinde ise üs (yani 2) SADECE 3'ü etkiler, eksi işareti en sonda eklenir.

Pozitif ve Negatif Sayılar: Örnekler (Kolaydan Zora)

Örnek 4 (Kolay): a = -1, b = -3, c = 2 olduğuna göre, a2 - b + c işleminin sonucu kaçtır?
Adım Adım Çözüm:

Değerleri parantez içinde yazmak hata yapmanızı engeller.

İşlem: (a)2 - (b) + (c)

Adım 1: Değerleri Yerine Koyma
(-1)2 - (-3) + (2)

Adım 2: İşlemleri Yapma

  • (-1)2 -> Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir. Sonuç: +1
  • - (-3) -> Eksi ile eksi çarpılır (düşmanımın düşmanı). Sonuç: +3
  • + (2) -> +2

Adım 3: Toplama
1 + 3 + 2 = 6

Cevap: 6 (Pozitif bir sayı)

Örnek 5 (Orta - Yorumlama): a < 0 < b olduğuna göre (yani a negatif, b pozitif), aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle negatiftir?
I. b - a     II. a * b     III. a + b
Adım Adım Çözüm:

Bu tür sorularda emin olmak için değer verebilirsiniz. a = -2 ve b = +1 olsun.

I. b - a :

  • İşlem: (+1) - (-2) = 1 + 2 = +3
  • Yorum: b (pozitif) zaten a'dan (negatif) büyüktür. Büyük sayıdan küçük sayı çıkarsa sonuç daima POZİTİF olur.

II. a * b :

  • İşlem: (-2) * (+1) = -2
  • Yorum: Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı (dostumun düşmanı) daima NEGATİF'tir.

III. a + b :

  • İşlem: (-2) + (+1) = -1 (Negatif çıktı)
  • Tuzak: Ya a = -1 ve b = +5 olsaydı? (-1) + (+5) = +4 (Pozitif çıktı).
  • Yorum: Toplama işleminde, hangi sayının mutlak değerce (işaretsizce) daha büyük olduğunu bilmediğimiz için sonuç pozitif de olabilir, negatif de. Kesinlik yoktur.

Cevap: Yalnız II kesinlikle negatiftir.

Örnek 6 (Zor - İşaret Bulmaca): a, b ve c sıfırdan farklı gerçel sayılardır.
  • a2 * b < 0
  • b3 * c > 0
  • a * c < 0
olduğuna göre a, b ve c'nin işaretleri sırasıyla nedir?
Adım Adım Çözüm:

Bu tür sorularda başlama kuralı, çift kuvvet içeren ifadedir. Çünkü çift kuvvet daima POZİTİF'tir ve bize ipucu verir.

Adım 1: a2 * b < 0 (Yani Negatif)

  • Sayı sıfırdan farklı olduğu için a2 ifadesi kesinlikle POZİTİF'tir. (Parantez tuzağını hatırlayın: a2 her zaman pozitiftir, -a2 ise negatiftir).
  • İşlemimiz: (+) * b < 0 (Negatif)
  • Pozitif bir sayıyı ne ile çarparsak negatif olur? Negatif ile.
  • Kesin Bilgi 1: b negatiftir. (b -> -)

Adım 2: b3 * c > 0 (Yani Pozitif)

  • b'nin negatif (-) olduğunu bulmuştuk.
  • b3 -> (Negatif sayının tek kuvveti) -> NEGATİF'tir.
  • İşlemimiz: (-) * c > 0 (Pozitif)
  • Negatif bir sayıyı ne ile çarparsak pozitif olur? Negatif ile (düşmanımın düşmanı).
  • Kesin Bilgi 2: c negatiftir. (c -> -)

Adım 3: a * c < 0 (Yani Negatif)

  • c'nin negatif (-) olduğunu bulmuştuk.
  • İşlemimiz: a * (-) < 0 (Negatif)
  • Bir sayıyı negatif ile çarpmışız ve sonuç negatif olmuş.
  • Bu ancak a pozitif ise mümkündür (dostumun düşmanı).
  • Kesin Bilgi 3: a pozitiftir. (a -> +)

Cevap: a, b ve c'nin işaretleri sırasıyla: (+, -, -)