Matematik Serüveni 🚀
Bölüm 2: Özdeşlikler ve Değer Bulma
Bölüm 1'i başarıyla geçtin! 🧑🏫
Şimdi Bölüm 2: Ortak Parantez, İki Kare Farkı ve KPSS'nin favori konusu En Büyük/En Küçük Değer.
Yine 3 adımımız (D, E, F) ve her adımın sonunda 3 soruluk mini sınavımız var. En sonda ise 10 soruluk zorlu bir final sınavı bizi bekliyor!
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
Bu, matematikteki en temel sadeleştirme ve denklem çözme becerimizdir.
Bunu, bir gruptaki "herkeste ortak olan" özelliği kapının dışına çıkarmak gibi düşün.
A·B + B·C ifadesinde her iki terimde de B harfi ortak, değil mi?
B'yi "kaptan" olarak dışarı alırız ve parantez açarız. Geriye kalanları (A, + ve C) parantezin içine yazarız:
B · (A + C)
(Sağlamasını yap: B'yi içeri dağıt -> B·A + B·C. Tuttu!)
Hadi şu ifadelere bakalım. Sence de hatalı değiller mi?
3x - 3y = 3·x - x·y
İnceleme:
3x - 3y ifadesinde ortak olan x değil, 3'tür!
Doğrusu:
3·(x - y) olmalı.
2. Alıştırma (Hatalı):
12·11 - 12
İnceleme: "12" ortak. İlk terimden 11 gelir. Ama ikinci terimden "hiçbir şey" kalmazsa 0 mı yazacağız? Hayır!
Unutma,
12 aslında 12 · 1 demektir.
Doğrusu:
12 · (11 - 1) = 12 · 10 = 120.
a·b + a·c = 48 ve b + c = 4 olduğuna göre, a kaçtır?
a·b + a·c. Ortak olan kim? Tabii ki 'a'.
Hemen 'a' parantezine alalım:
a · (b + c) = 48
2. Adım: Soru bize
b + c'nin kaç olduğunu zaten vermiş: 4.
Denklemde
(b + c) gördüğümüz yere 4 yazalım:
a · (4) = 48
Hangi sayıyı 4 ile çarparsak 48 eder?
a = 48 / 4
Cevap: 12
12A - 9B ifadesi, 4A - 3B ifadesinin kaç katıdır?
(12A - 9B) / (4A - 3B)
Çözüm: Üstteki
12A - 9B ifadesine odaklan. 12 ve 9 hangi ortak sayıya bölünür? 3'e!
İfadeyi 3 parantezine alalım:
3 · (4A - 3B)
Şimdi bölmeyi yapalım:
[ 3 · (4A - 3B) ] / [ (4A - 3B) ]
(4A - 3B) ifadeleri birbiriyle sadeleşir. Geriye sadece 3 kalır. Cevap: 3
a = (3b + 10) / (b - 4) ise b'nin a türünden eşiti nedir?
Adım 1: İçler-Dışlar Çarpımı
a · (b - 4) = 3b + 10
ab - 4a = 3b + 10
Adım 2: 'b'li Terimleri Bir Araya Topla
(3b'yi sola, -4a'yı sağa atalım)
ab - 3b = 4a + 10
Adım 3: 'b' Parantezine Al
Sol tarafta 'b' ortak. Paranteze alalım:
b · (a - 3) = 4a + 10
Adım 4: 'b'yi Yalnız Bırak
Yanındaki (a - 3) çarpanını karşıya "bölü" olarak at. Cevap: b = (4a + 10) / (a - 3)
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Matematikteki en önemli ve en çok hayat kurtaran özdeşlik!
Yani: İki sayının karelerinin farkı, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
Bu kural, büyük sayılarla işlem yapmayı çok kolaylaştırır.
(100² - 98²) / 198
Üst taraf (A=100, B=98):
(100 - 98) · (100 + 98)
İşlem:
(2 · 198) / 198
198'ler sadeleşir. Cevap: 2
2. Soru:
110² - 3² (Bu tuzaklı)
(110 - 3) · (110 + 3) = 107 · 113. (Bu kural burada işe yaramadı, çünkü sayıları daha da zorlaştırdı. Her zaman işe yarayacak diye bir kural yok, ama aklında bulunsun!)
(x - 5)·(x + 5) + 5 ifadesinin eşiti nedir?
(x - 5)·(x + 5) ifadesi kuralımızın (A-B)(A+B) aynısı.
Burada A=x, B=5.
Sonuç: A² - B² =
x² - 5² = x² - 25
Adım 2: Sorunun devamındaki "+ 5"i ekleyelim.
(x² - 25) + 5 = x² - 20
Cevap: x² - 20
(80² - 60²) / 140 ifadesinin en sade şekli nedir?
(80 - 60) · (80 + 60)
(20) · (140)
Adım 2: Soruda yerine yaz ve sadeleştir.
(20 · 140) / 140
140'lar sadeleşir. Cevap: 20
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
İşte KPSS'nin en sevdiği yorum soruları. İki ana kuralı var.
a + b = 18 gibi toplamları sabitse:
Sayıları birbirine EN YAKIN (kanka) seç.
Örn: a+b=18 ise, 9 ve 9 (a·b = 81) en büyüktür.
Çarpımın (a·b) EN KÜÇÜK olması için:
Sayıları birbirinden EN UZAK (düşman) seç.
Örn: a+b=18 (pozitif tam sayı) ise, 1 ve 17 (a·b = 17) en küçüktür.
a ve b farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, a + b = 18 olduğuna göre, a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
En yakın 9 ve 9'dur (Toplamları 18).
TUZAK: Soru bize "farklı" demiş! O yüzden 9 ve 9 alamayız.
9 ve 9'dan sonra birbirine en yakın ikili kim? 8 ve 10.
8 + 10 = 18
8 · 10 = 80
Cevap: 80
a · b = 36 gibi çarpımları sabitse (Kural 1'in tam tersi!):
Sayıları birbirinden EN UZAK (düşman) seç.
Örn: a·b=36 (pozitif) ise, 1 ve 36 (a+b = 37) en büyüktür.
Toplamın (a+b) EN KÜÇÜK olması için:
Sayıları birbirine EN YAKIN (kanka) seç.
Örn: a·b=36 ise, 6 ve 6 (a+b = 12) en küçüktür.
Çarpımları 36 olan iki farklı pozitif tam sayının toplamının en küçük değeri kaçtır?
Çarpımı 36 olan en yakın sayılar: 6 ve 6 (Toplam 12).
TUZAK: Soru bize "farklı" demiş! O yüzden 6 ve 6 alamayız.
6 ve 6'dan sonra birbirine en yakın ikili kim? (1x36, 2x18, 3x12, 4x9...)
4 ve 9.
4 + 9 = 13
Cevap: 13
x tam sayı olmak üzere, A = 18 - x, B = x - 3 olduğuna göre, A·B çarpımının en büyük değeri kaçtır?
A ve B'yi taraf tarafa toplayarak 'x'ten kurtulalım:
A + B = (18 - x) + (x - 3)
A + B = 18 - 3 = 15
Soru şuna döndü: A+B=15 ise A·B en çok kaçtır?
Çözüm: Kural 1'e göre A ve B'yi en yakın seçmeliyiz.
15/2 = 7.5. Tam sayı oldukları için 7 ve 8 seçilir.
7 · 8 = 56
Cevap: 56
a ve b doğal sayılar olmak üzere, 2a + 3b = 72 olduğuna göre, a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
(2a)·(3b) değil,
a·b'nin max değerini istiyor.
Kural yine aynı: Çarpımın en büyük olması için, toplamı oluşturan terimler (2a ve 3b) birbirine en yakın olmalıdır.
Adım 1: 72'yi ikiye böl: 72 / 2 = 36.
2a ≈ 36 ve 3b ≈ 36 olmalı.
2a = 36 ise a = 18
3b = 36 ise b = 12
(a=18, b=12 tam sayı mı? Evet. Toplamı 72 mi? 2(18)+3(12) = 36+36=72. Evet.)
Adım 2: Çarpımı bul.
a · b = 18 · 12 = 216
Cevap: 216
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Tebrikler! Bölüm 2'nin tüm konularını tamamladın. Şimdi öğrendiklerimizi 10 soruluk bir final sınavıyla test etme zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.
Matematik Serüveni 🚀
Bölüm 2: Özdeşlikler ve Değer Bulma
Bölüm 1'i başarıyla geçtin! 🧑🏫
Şimdi Bölüm 2: Ortak Parantez, İki Kare Farkı ve KPSS'nin favori konusu En Büyük/En Küçük Değer.
Yine 3 adımımız (D, E, F) ve her adımın sonunda 3 soruluk mini sınavımız var. En sonda ise 10 soruluk zorlu bir final sınavı bizi bekliyor!
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
Bu, matematikteki en temel sadeleştirme ve denklem çözme becerimizdir.
Bunu, bir gruptaki "herkeste ortak olan" özelliği kapının dışına çıkarmak gibi düşün.
A·B + B·C ifadesinde her iki terimde de B harfi ortak, değil mi?
B'yi "kaptan" olarak dışarı alırız ve parantez açarız. Geriye kalanları (A, + ve C) parantezin içine yazarız:
B · (A + C)
(Sağlamasını yap: B'yi içeri dağıt -> B·A + B·C. Tuttu!)
Hadi şu ifadelere bakalım. Sence de hatalı değiller mi?
3x - 3y = 3·x - x·y
İnceleme:
3x - 3y ifadesinde ortak olan x değil, 3'tür!
Doğrusu:
3·(x - y) olmalı.
2. Alıştırma (Hatalı):
12·11 - 12
İnceleme: "12" ortak. İlk terimden 11 gelir. Ama ikinci terimden "hiçbir şey" kalmazsa 0 mı yazacağız? Hayır!
Unutma,
12 aslında 12 · 1 demektir.
Doğrusu:
12 · (11 - 1) = 12 · 10 = 120.
a·b + a·c = 48 ve b + c = 4 olduğuna göre, a kaçtır?
a·b + a·c. Ortak olan kim? Tabii ki 'a'.
Hemen 'a' parantezine alalım:
a · (b + c) = 48
2. Adım: Soru bize
b + c'nin kaç olduğunu zaten vermiş: 4.
Denklemde
(b + c) gördüğümüz yere 4 yazalım:
a · (4) = 48
Hangi sayıyı 4 ile çarparsak 48 eder?
a = 48 / 4
Cevap: 12
12A - 9B ifadesi, 4A - 3B ifadesinin kaç katıdır?
(12A - 9B) / (4A - 3B)
Çözüm: Üstteki
12A - 9B ifadesine odaklan. 12 ve 9 hangi ortak sayıya bölünür? 3'e!
İfadeyi 3 parantezine alalım:
3 · (4A - 3B)
Şimdi bölmeyi yapalım:
[ 3 · (4A - 3B) ] / [ (4A - 3B) ]
(4A - 3B) ifadeleri birbiriyle sadeleşir. Geriye sadece 3 kalır. Cevap: 3
a = (3b + 10) / (b - 4) ise b'nin a türünden eşiti nedir?
Adım 1: İçler-Dışlar Çarpımı
a · (b - 4) = 3b + 10
ab - 4a = 3b + 10
Adım 2: 'b'li Terimleri Bir Araya Topla
(3b'yi sola, -4a'yı sağa atalım)
ab - 3b = 4a + 10
Adım 3: 'b' Parantezine Al
Sol tarafta 'b' ortak. Paranteze alalım:
b · (a - 3) = 4a + 10
Adım 4: 'b'yi Yalnız Bırak
Yanındaki (a - 3) çarpanını karşıya "bölü" olarak at. Cevap: b = (4a + 10) / (a - 3)
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Matematikteki en önemli ve en çok hayat kurtaran özdeşlik!
Yani: İki sayının karelerinin farkı, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
Bu kural, büyük sayılarla işlem yapmayı çok kolaylaştırır.
(100² - 98²) / 198
Üst taraf (A=100, B=98):
(100 - 98) · (100 + 98)
İşlem:
(2 · 198) / 198
198'ler sadeleşir. Cevap: 2
2. Soru:
110² - 3² (Bu tuzaklı)
(110 - 3) · (110 + 3) = 107 · 113. (Bu kural burada işe yaramadı, çünkü sayıları daha da zorlaştırdı. Her zaman işe yarayacak diye bir kural yok, ama aklında bulunsun!)
(x - 5)·(x + 5) + 5 ifadesinin eşiti nedir?
(x - 5)·(x + 5) ifadesi kuralımızın (A-B)(A+B) aynısı.
Burada A=x, B=5.
Sonuç: A² - B² =
x² - 5² = x² - 25
Adım 2: Sorunun devamındaki "+ 5"i ekleyelim.
(x² - 25) + 5 = x² - 20
Cevap: x² - 20
(80² - 60²) / 140 ifadesinin en sade şekli nedir?
(80 - 60) · (80 + 60)
(20) · (140)
Adım 2: Soruda yerine yaz ve sadeleştir.
(20 · 140) / 140
140'lar sadeleşir. Cevap: 20
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
İşte KPSS'nin en sevdiği yorum soruları. İki ana kuralı var.
a + b = 18 gibi toplamları sabitse:
Sayıları birbirine EN YAKIN (kanka) seç.
Örn: a+b=18 ise, 9 ve 9 (a·b = 81) en büyüktür.
Çarpımın (a·b) EN KÜÇÜK olması için:
Sayıları birbirinden EN UZAK (düşman) seç.
Örn: a+b=18 (pozitif tam sayı) ise, 1 ve 17 (a·b = 17) en küçüktür.
a ve b farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, a + b = 18 olduğuna göre, a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
En yakın 9 ve 9'dur (Toplamları 18).
TUZAK: Soru bize "farklı" demiş! O yüzden 9 ve 9 alamayız.
9 ve 9'dan sonra birbirine en yakın ikili kim? 8 ve 10.
8 + 10 = 18
8 · 10 = 80
Cevap: 80
a · b = 36 gibi çarpımları sabitse (Kural 1'in tam tersi!):
Sayıları birbirinden EN UZAK (düşman) seç.
Örn: a·b=36 (pozitif) ise, 1 ve 36 (a+b = 37) en büyüktür.
Toplamın (a+b) EN KÜÇÜK olması için:
Sayıları birbirine EN YAKIN (kanka) seç.
Örn: a·b=36 ise, 6 ve 6 (a+b = 12) en küçüktür.
Çarpımları 36 olan iki farklı pozitif tam sayının toplamının en küçük değeri kaçtır?
Çarpımı 36 olan en yakın sayılar: 6 ve 6 (Toplam 12).
TUZAK: Soru bize "farklı" demiş! O yüzden 6 ve 6 alamayız.
6 ve 6'dan sonra birbirine en yakın ikili kim? (1x36, 2x18, 3x12, 4x9...)
4 ve 9.
4 + 9 = 13
Cevap: 13
x tam sayı olmak üzere, A = 18 - x, B = x - 3 olduğuna göre, A·B çarpımının en büyük değeri kaçtır?
A ve B'yi taraf tarafa toplayarak 'x'ten kurtulalım:
A + B = (18 - x) + (x - 3)
A + B = 18 - 3 = 15
Soru şuna döndü: A+B=15 ise A·B en çok kaçtır?
Çözüm: Kural 1'e göre A ve B'yi en yakın seçmeliyiz.
15/2 = 7.5. Tam sayı oldukları için 7 ve 8 seçilir.
7 · 8 = 56
Cevap: 56
a ve b doğal sayılar olmak üzere, 2a + 3b = 72 olduğuna göre, a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
(2a)·(3b) değil,
a·b'nin max değerini istiyor.
Kural yine aynı: Çarpımın en büyük olması için, toplamı oluşturan terimler (2a ve 3b) birbirine en yakın olmalıdır.
Adım 1: 72'yi ikiye böl: 72 / 2 = 36.
2a ≈ 36 ve 3b ≈ 36 olmalı.
2a = 36 ise a = 18
3b = 36 ise b = 12
(a=18, b=12 tam sayı mı? Evet. Toplamı 72 mi? 2(18)+3(12) = 36+36=72. Evet.)
Adım 2: Çarpımı bul.
a · b = 18 · 12 = 216
Cevap: 216
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Tebrikler! Bölüm 2'nin tüm konularını tamamladın. Şimdi öğrendiklerimizi 10 soruluk bir final sınavıyla test etme zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.