Matematik Serüveni 🚀
Ünite 2 / Bölüm 1: Faktöriyel
Harika bir başlangıç yaptık! 🧑🏫
Şimdi "Sayılar" ünitemizin ilk konusuna, yani FAKTÖRİYEL'e geçiyoruz.
Bu konu, KPSS'nin en tuzaklı yorum sorularını barındırır. "Sondaki sıfır", "içindeki çarpan" ve "tek/çift yorumu" gibi tüm detayları adım adım işleyeceğiz.
Hazır mısın?
Bölüm 1: Adımlar
1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına "n faktöriyel" denir ve n! şeklinde gösterilir.
2! = 2 * 1 = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Matematiksel bir tanım gereği (boş kümenin 1 alt kümesi olması gibi), 0! = 1 olarak kabul edilir.
Bu, sorularda en çok hata yapılan yerdir. Unutmayın:
- 0! = 1
- 1! = 1
- Negatif sayıların faktöriyeli YOKTUR!
Faktöriyel sorularını çözmenin altın kuralı, büyük olanı küçük olana benzetmektir.
Bu ifade aynı zamanda şöyledir:
8! = 8 * (7!)
Veya:
8! = 8 * 7 * (6!)
Kural: n! = n * (n-1)!
10! / 8! işleminin sonucu kaçtır?
Büyük olan 10!'dir. Küçük olan 8!'e benzeteceğiz. 10!'i 8!'e kadar açmalıyız.
Adım 2: Açma İşlemi
10! = 10 * 9! (Daha 8!'e gelmedik)
10! = 10 * 9 * 8! (İstediğimiz yere geldik, durduk ve ! koyduk)
Adım 3: Sadeleştirme
Şimdi kesirde yerine yazalım:
(10 * 9 * 8!) / 8!
Pay ve paydadaki 8! ifadeleri birbiriyle sadeleşir.
Adım 4: Sonuç
Geriye sadece 10 * 9 kalır. Cevap: 90
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Toplama ve çıkarmada "benzetme" kuralı nasıl kullanılır?
2! + 3! = 5! DEĞİLDİR! (2 + 6 = 8 eder, 120 değil!)
Faktöriyelli toplama ve çıkarma işlemlerinde MUTLAKA küçük olanın parantezine alınır:
7! + 8! = 7! + (8 * 7!)
(7! ortak) -> 7! * (1 + 8) = 9 * 7!
(8! + 7!) / (8! - 7!) işleminin sonucu kaçtır?
8! + 7! -> (Küçük olan 7!'dir. 8!'i açarız)
(8 * 7!) + 7! -> (7! ortak parantezine al)
7! * (8 + 1) = 9 * 7!
Adım 2: Payda (Alt Kısım)
8! - 7! -> (8 * 7!) - 7!
7! * (8 - 1) = 7 * 7!
Adım 3: Sadeleştirme
Kesir şuna döndü:
(9 * 7!) / (7 * 7!)
7!'ler sadeleşir. Cevap: 9 / 7
(n + 1)! / (n - 1)! = 30 olduğuna göre, n kaçtır?
Büyük olan (n+1)!'dir. Bunu (n-1)!'e kadar açacağız.
(n+1)! = (n+1) * (n) * (n-1)!
Adım 2: Sadeleştirme
[ (n+1) * n * (n-1)! ] / (n-1)! = 30
(n-1)! ifadeleri sadeleşir.
Adım 3: Denklemi Çözme
(n+1) * n = 30
Yani, art arda gelen iki sayının çarpımı 30'dur.
Hangi sayılar? 6 * 5 = 30.
Büyük olan (n+1) = 6, küçük olan (n) = 5 olmalıdır. Cevap: n = 5
[ (n!)² + (n+1)! * n! ] / (n!)² = 10 olduğuna göre, n kaçtır?
Bu ifadeyi "kalp metodu" ile iki ayrı kesir olarak yazabiliriz:
(n!)² / (n!)² + [ (n+1)! * n! ] / (n!)² = 10
Adım 2: Sadeleştirme
İlk kesir (aynı şeyin aynı şeye bölümü) 1 olur.
İkinci kesirde (n!)² = n! * n! demektir. Pay ve paydadan birer n! sadeleşir:
1 + [ (n+1)! / n! ] = 10
Adım 3: Denklemi Çözme
1'i karşıya at: (n+1)! / n! = 9
(n+1)!'i aç:
[ (n+1) * n! ] / n! = 9
n!'ler sadeleşir:
n + 1 = 9
Cevap: n = 8
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
KPSS'nin en sevdiği faktöriyel soru tipine geldik!
10'un çarpanları nedir? 2 ve 5.
Bir faktöriyelin (örn: 30!) içinde bolca 2 çarpanı (2, 4, 6, 8...) ama daha AZ sayıda 5 çarpanı (5, 10, 15...) vardır.
Sondaki 0 sayısını, sayısı az olan 5 çarpanı belirler (Zayıf halka!).
KURAL: n! sayısının sonunda kaç tane 0 olduğunu bulmak için, n sayısı sürekli 5'e bölünür ve bölümler toplanır.
70! - 1 sayısının sondan kaç basamağı 9'dur?
Sayı 1000 olsaydı (sonda 3 sıfır). 1000 - 1 = 999 (3 tane 9).
Sayı 100000 olsaydı (sonda 5 sıfır). 100000 - 1 = 99999 (5 tane 9).
Kural: "n! - 1" sorusu, aslında "n!'in sonunda kaç tane 0 vardır?" sorusuyla aynıdır.
Çözüm: 70!'in sonundaki sıfır sayısını bulalım (70'i 5'e bölerek):
70 / 5 = 14
14 / 5 = 2 (Kalan 4 önemsiz)
2 artık 5'e bölünmez.
Bölümleri topla: 14 + 2 = 16. Cevap: 16 tane 9 vardır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
KPSS'de farkı burada yaratacaksın. Bu soruları "Türkçeye" çevireceğiz.
48! + 30! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Doğru Mantık (Alt Alta Toplama):
Sayı 1 (48!) = ...XXXXX0000000000 (Sonda 10 sıfır)
Sayı 2 (30!) = ...YYYYY0000000 (Sonda 7 sıfır)
Alt alta topla:
...XXXXX0000000000 + ...YYYYY0000000 --------------------- ...XXXXZYYYY0000000Gördüğün gibi, sondaki sıfır sayısını küçük olan sayı (30!) belirler.
Kural ve Çözüm:
Faktöriyelli toplama veya çıkarma işlemlerinde sondaki sıfır sayısını, faktöriyeli küçük olan sayı belirler.
30!'in sonunda kaç sıfır olduğunu buluruz:
30 / 5 = 6
6 / 5 = 1
Bölümler Toplamı: 6 + 1 = 7. Cevap: Toplamın sonunda 7 basamak sıfırdır.
A = 30! / (2ˣ) ifadesi bir TEK tam sayı olduğuna göre, x kaçtır?
Bu ifadenin TEK sayı olması şu demektir:
"30! sayısının içindeki BÜTÜN 2 çarpanlarını (yani tüm çiftliği) alıp 2ˣ ile sadeleştirdik ve geriye HİÇ 2 çarpanı kalmadı."
Görev: Demek ki x, 30! faktöriyelin içindeki tüm 2 çarpanlarının toplam sayısıdır.
Hesaplama (Sürekli 2'ye Böl):
30 / 2 = 15
15 / 2 = 7 (Kalan 1 önemsiz)
7 / 2 = 3 (Kalan 1 önemsiz)
3 / 2 = 1 (Kalan 1 önemsiz)
Bölümleri toplayalım: 15 + 7 + 3 + 1 = 26. Cevap: x = 26
50! - 23 işleminin sonucunun son iki basamağındaki rakamların toplamı kaçtır?
5! = 120 (Sonda 1 sıfır)
10! = ... (Sonda 2 sıfır)
50!'in sonunda kaç sıfır var? (50/5=10, 10/5=2. Toplam 12 sıfır)
Yani 50! = ...XXXXX000...00 (Sonda 12 tane 0 var).
Adım 2: Çıkarma İşlemini Yapma
Bizden
...00 - 23 işleminin son iki basamağı isteniyor.
Komşudan "yüzlük" almamız gerekir:
...000 - 23 --------- ...977(100 - 23 = 77)
Son iki basamak: 77.
Adım 3: Rakamları Toplama
7 + 7 = 14 Cevap: 14
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Tebrikler! Bölüm 1'in tüm konularını tamamladın. Şimdi öğrendiklerimizi 10 soruluk bir final sınavıyla test etme zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.
Matematik Serüveni 🚀
Ünite 2 / Bölüm 1: Faktöriyel
Harika bir başlangıç yaptık! 🧑🏫
Şimdi "Sayılar" ünitemizin ilk konusuna, yani FAKTÖRİYEL'e geçiyoruz.
Bu konu, KPSS'nin en tuzaklı yorum sorularını barındırır. "Sondaki sıfır", "içindeki çarpan" ve "tek/çift yorumu" gibi tüm detayları adım adım işleyeceğiz.
Hazır mısın?
Bölüm 1: Adımlar
1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına "n faktöriyel" denir ve n! şeklinde gösterilir.
2! = 2 * 1 = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Matematiksel bir tanım gereği (boş kümenin 1 alt kümesi olması gibi), 0! = 1 olarak kabul edilir.
Bu, sorularda en çok hata yapılan yerdir. Unutmayın:
- 0! = 1
- 1! = 1
- Negatif sayıların faktöriyeli YOKTUR!
Faktöriyel sorularını çözmenin altın kuralı, büyük olanı küçük olana benzetmektir.
Bu ifade aynı zamanda şöyledir:
8! = 8 * (7!)
Veya:
8! = 8 * 7 * (6!)
Kural: n! = n * (n-1)!
10! / 8! işleminin sonucu kaçtır?
Büyük olan 10!'dir. Küçük olan 8!'e benzeteceğiz. 10!'i 8!'e kadar açmalıyız.
Adım 2: Açma İşlemi
10! = 10 * 9! (Daha 8!'e gelmedik)
10! = 10 * 9 * 8! (İstediğimiz yere geldik, durduk ve ! koyduk)
Adım 3: Sadeleştirme
Şimdi kesirde yerine yazalım:
(10 * 9 * 8!) / 8!
Pay ve paydadaki 8! ifadeleri birbiriyle sadeleşir.
Adım 4: Sonuç
Geriye sadece 10 * 9 kalır. Cevap: 90
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Toplama ve çıkarmada "benzetme" kuralı nasıl kullanılır?
2! + 3! = 5! DEĞİLDİR! (2 + 6 = 8 eder, 120 değil!)
Faktöriyelli toplama ve çıkarma işlemlerinde MUTLAKA küçük olanın parantezine alınır:
7! + 8! = 7! + (8 * 7!)
(7! ortak) -> 7! * (1 + 8) = 9 * 7!
(8! + 7!) / (8! - 7!) işleminin sonucu kaçtır?
8! + 7! -> (Küçük olan 7!'dir. 8!'i açarız)
(8 * 7!) + 7! -> (7! ortak parantezine al)
7! * (8 + 1) = 9 * 7!
Adım 2: Payda (Alt Kısım)
8! - 7! -> (8 * 7!) - 7!
7! * (8 - 1) = 7 * 7!
Adım 3: Sadeleştirme
Kesir şuna döndü:
(9 * 7!) / (7 * 7!)
7!'ler sadeleşir. Cevap: 9 / 7
(n + 1)! / (n - 1)! = 30 olduğuna göre, n kaçtır?
Büyük olan (n+1)!'dir. Bunu (n-1)!'e kadar açacağız.
(n+1)! = (n+1) * (n) * (n-1)!
Adım 2: Sadeleştirme
[ (n+1) * n * (n-1)! ] / (n-1)! = 30
(n-1)! ifadeleri sadeleşir.
Adım 3: Denklemi Çözme
(n+1) * n = 30
Yani, art arda gelen iki sayının çarpımı 30'dur.
Hangi sayılar? 6 * 5 = 30.
Büyük olan (n+1) = 6, küçük olan (n) = 5 olmalıdır. Cevap: n = 5
[ (n!)² + (n+1)! * n! ] / (n!)² = 10 olduğuna göre, n kaçtır?
Bu ifadeyi "kalp metodu" ile iki ayrı kesir olarak yazabiliriz:
(n!)² / (n!)² + [ (n+1)! * n! ] / (n!)² = 10
Adım 2: Sadeleştirme
İlk kesir (aynı şeyin aynı şeye bölümü) 1 olur.
İkinci kesirde (n!)² = n! * n! demektir. Pay ve paydadan birer n! sadeleşir:
1 + [ (n+1)! / n! ] = 10
Adım 3: Denklemi Çözme
1'i karşıya at: (n+1)! / n! = 9
(n+1)!'i aç:
[ (n+1) * n! ] / n! = 9
n!'ler sadeleşir:
n + 1 = 9
Cevap: n = 8
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
KPSS'nin en sevdiği faktöriyel soru tipine geldik!
10'un çarpanları nedir? 2 ve 5.
Bir faktöriyelin (örn: 30!) içinde bolca 2 çarpanı (2, 4, 6, 8...) ama daha AZ sayıda 5 çarpanı (5, 10, 15...) vardır.
Sondaki 0 sayısını, sayısı az olan 5 çarpanı belirler (Zayıf halka!).
KURAL: n! sayısının sonunda kaç tane 0 olduğunu bulmak için, n sayısı sürekli 5'e bölünür ve bölümler toplanır.
70! - 1 sayısının sondan kaç basamağı 9'dur?
Sayı 1000 olsaydı (sonda 3 sıfır). 1000 - 1 = 999 (3 tane 9).
Sayı 100000 olsaydı (sonda 5 sıfır). 100000 - 1 = 99999 (5 tane 9).
Kural: "n! - 1" sorusu, aslında "n!'in sonunda kaç tane 0 vardır?" sorusuyla aynıdır.
Çözüm: 70!'in sonundaki sıfır sayısını bulalım (70'i 5'e bölerek):
70 / 5 = 14
14 / 5 = 2 (Kalan 4 önemsiz)
2 artık 5'e bölünmez.
Bölümleri topla: 14 + 2 = 16. Cevap: 16 tane 9 vardır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
KPSS'de farkı burada yaratacaksın. Bu soruları "Türkçeye" çevireceğiz.
48! + 30! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Doğru Mantık (Alt Alta Toplama):
Sayı 1 (48!) = ...XXXXX0000000000 (Sonda 10 sıfır)
Sayı 2 (30!) = ...YYYYY0000000 (Sonda 7 sıfır)
Alt alta topla:
...XXXXX0000000000 + ...YYYYY0000000 --------------------- ...XXXXZYYYY0000000Gördüğün gibi, sondaki sıfır sayısını küçük olan sayı (30!) belirler.
Kural ve Çözüm:
Faktöriyelli toplama veya çıkarma işlemlerinde sondaki sıfır sayısını, faktöriyeli küçük olan sayı belirler.
30!'in sonunda kaç sıfır olduğunu buluruz:
30 / 5 = 6
6 / 5 = 1
Bölümler Toplamı: 6 + 1 = 7. Cevap: Toplamın sonunda 7 basamak sıfırdır.
A = 30! / (2ˣ) ifadesi bir TEK tam sayı olduğuna göre, x kaçtır?
Bu ifadenin TEK sayı olması şu demektir:
"30! sayısının içindeki BÜTÜN 2 çarpanlarını (yani tüm çiftliği) alıp 2ˣ ile sadeleştirdik ve geriye HİÇ 2 çarpanı kalmadı."
Görev: Demek ki x, 30! faktöriyelin içindeki tüm 2 çarpanlarının toplam sayısıdır.
Hesaplama (Sürekli 2'ye Böl):
30 / 2 = 15
15 / 2 = 7 (Kalan 1 önemsiz)
7 / 2 = 3 (Kalan 1 önemsiz)
3 / 2 = 1 (Kalan 1 önemsiz)
Bölümleri toplayalım: 15 + 7 + 3 + 1 = 26. Cevap: x = 26
50! - 23 işleminin sonucunun son iki basamağındaki rakamların toplamı kaçtır?
5! = 120 (Sonda 1 sıfır)
10! = ... (Sonda 2 sıfır)
50!'in sonunda kaç sıfır var? (50/5=10, 10/5=2. Toplam 12 sıfır)
Yani 50! = ...XXXXX000...00 (Sonda 12 tane 0 var).
Adım 2: Çıkarma İşlemini Yapma
Bizden
...00 - 23 işleminin son iki basamağı isteniyor.
Komşudan "yüzlük" almamız gerekir:
...000 - 23 --------- ...977(100 - 23 = 77)
Son iki basamak: 77.
Adım 3: Rakamları Toplama
7 + 7 = 14 Cevap: 14
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Tebrikler! Bölüm 1'in tüm konularını tamamladın. Şimdi öğrendiklerimizi 10 soruluk bir final sınavıyla test etme zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.