Matematik Serüveni 🚀
Ünite 2 / Bölüm 2: Bölme ve Bölünebilme
Harika gidiyorsun! 🧑🏫
Şimdi "Sayılar" ünitemizin ikinci bölümüne, Bölme ve Bölünebilme konusuna geçiyoruz.
Bu konu, KPSS'nin en çok sevdiği yorum sorularını barındırır. "Kalan < Bölen" kuralı, 30-36-45'e bölme taktikleri ve "kalanlı bölme" gibi tüm detayları adım adım işleyeceğiz.
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
▶️ D. Temel Bölme (Kalan < Bölen)
🔒 E. Basit Bölünebilme (2, 3, 5, 10)
🔒 F. Grup ve Bileşik Kurallar (4, 9, 36, 45)
🔒 G. Ustalık Sınıfı: Kalanlı Bölme
🔒 H. BÖLÜM FİNAL SINAVI
➗
Adım D: BÖLME İŞLEMİ ve TEMEL KURALLARI
Her şey bu iki altın kuralda gizli.
1. Bölme Denklemi
A = (B * C) + K
- A: Bölünen (Büyük sayı)
- B: Bölen (Kötü adam)
- C: Bölüm (Sonuç)
- K: Kalan (Artan)
❗️❗️❗️ HAYATİ KURAL 1: Kalan < Bölen
K < B
Bu kural, soruların %90'ını çözdürür. Kalan (K), bölenden (B) asla büyük veya ona eşit olamaz.
KURAL 2: Kalan ≥ 0
Kalan negatif olamaz. Kalan 0 ise "tam bölündü" deriz.
K < B
Bu kural, soruların %90'ını çözdürür. Kalan (K), bölenden (B) asla büyük veya ona eşit olamaz.
KURAL 2: Kalan ≥ 0
Kalan negatif olamaz. Kalan 0 ise "tam bölündü" deriz.
ÖRNEK 2 (KPSS Klasik)
A doğal sayısı B doğal sayısına bölündüğünde bölüm 4, kalan 5'tir. Buna göre, A sayısı en az kaç olabilir?
Adım 1: Denklemi Yaz
A = (B * 4) + 5
Adım 2: Hayati Kuralı Uygula
A'nın *en az* olması, B'nin *en az* olmasına bağlıdır.
Hayati Kural 1 (K < B) der ki: Kalan (5) < Bölen (B) olmalıdır.
Yani
Adım 3: En Küçük Değeri Bul
B, 5'ten büyük olmak zorunda. B'ye verebileceğimiz en küçük doğal sayı değeri 6'dır.
Adım 4: Sonuç
Şimdi B=6'yı denklemde yerine yaz:
A = (6 * 4) + 5 = 24 + 5 = 29 Cevap: 29
A = (B * 4) + 5
Adım 2: Hayati Kuralı Uygula
A'nın *en az* olması, B'nin *en az* olmasına bağlıdır.
Hayati Kural 1 (K < B) der ki: Kalan (5) < Bölen (B) olmalıdır.
Yani
5 < B.
Adım 3: En Küçük Değeri Bul
B, 5'ten büyük olmak zorunda. B'ye verebileceğimiz en küçük doğal sayı değeri 6'dır.
Adım 4: Sonuç
Şimdi B=6'yı denklemde yerine yaz:
A = (6 * 4) + 5 = 24 + 5 = 29 Cevap: 29
ÖRNEK 3 (Zincirleme Bölme)
A'nın B'ye bölümünde bölüm 3, kalan 2'dir. B'nin C'ye bölümünde bölüm 4, kalan 1'dir. Buna göre, A sayısının C türünden eşiti nedir?
Adım 1: İki Denklemi Ayrı Ayrı Yaz
1. Denklem:
2. Denklem:
Adım 2: Yerine Koyma Stratejisi
Soru "A'nın C türünden" eşitini istiyor. Yani "A = ...C..." olmalı.
Bunu yapmak için 1. denklemdeki 'B' harfini yok etmeliyiz.
2. denklemden 'B'nin eşitini (4C + 1) alıp, 1. denklemdeki 'B'nin yerine parantez içinde yazarız.
Adım 3: İşlem
A = 3 * (B) + 2
A = 3 * (4C + 1) + 2
Adım 4: Parantezi Dağıtma ve Düzenleme
A = (3 * 4C) + (3 * 1) + 2
A = 12C + 3 + 2 Cevap: A = 12C + 5
1. Denklem:
A = (B * 3) + 2
2. Denklem:
B = (C * 4) + 1
Adım 2: Yerine Koyma Stratejisi
Soru "A'nın C türünden" eşitini istiyor. Yani "A = ...C..." olmalı.
Bunu yapmak için 1. denklemdeki 'B' harfini yok etmeliyiz.
2. denklemden 'B'nin eşitini (4C + 1) alıp, 1. denklemdeki 'B'nin yerine parantez içinde yazarız.
Adım 3: İşlem
A = 3 * (B) + 2
A = 3 * (4C + 1) + 2
Adım 4: Parantezi Dağıtma ve Düzenleme
A = (3 * 4C) + (3 * 1) + 2
A = 12C + 3 + 2 Cevap: A = 12C + 5
🏆
Temel bölme kuralı tamam. O "Kalan < Bölen" kuralını sakın unutma!
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
🎯
Adım E: BASİT BÖLÜNEBİLME KURALLARI (2, 3, 5, 10)
En sık kullanılan temel kurallar.
a) Son Basamak Kuralları (2, 5, 10)
Sadece son rakama bakılır.
2 ile Bölünebilme: Sayı çift olmalıdır. (Son rakam 0, 2, 4, 6, 8)
5 ile Bölünebilme: Son rakam 0 veya 5 olmalıdır.
(Tüyo: 5 ile bölümünden kalan, son rakamın 5'e bölümünden kalandır. Örn: 123'ün kalanı 3'tür. 128'in kalanı 8/5'ten 3'tür.)
10 ile Bölünebilme: Son rakam 0 olmalıdır.
(Tüyo: 10 ile bölümünden kalan, direkt son rakamdır. Örn: 1453'ün kalanı 3'tür.)
5 ile Bölünebilme: Son rakam 0 veya 5 olmalıdır.
(Tüyo: 5 ile bölümünden kalan, son rakamın 5'e bölümünden kalandır. Örn: 123'ün kalanı 3'tür. 128'in kalanı 8/5'ten 3'tür.)
10 ile Bölünebilme: Son rakam 0 olmalıdır.
(Tüyo: 10 ile bölümünden kalan, direkt son rakamdır. Örn: 1453'ün kalanı 3'tür.)
b) Rakamlar Toplamı Kuralları (3, 9)
Sayının tamamının rakamları toplanır.
3 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olmalıdır.
(Tüyo: Kalanı bulmak için de rakamları toplar 3'e böleriz.)
9 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olmalıdır.
(Tüyo: Kalanı bulmak için de rakamları toplar 9'a böleriz.)
(Tüyo: Kalanı bulmak için de rakamları toplar 3'e böleriz.)
9 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olmalıdır.
(Tüyo: Kalanı bulmak için de rakamları toplar 9'a böleriz.)
ÖRNEK 4 (3 Kuralı)
Beş basamaklı 4A152 sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, A'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Adım 1: Kuralı Hatırla
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
Adım 2: Rakamları Topla
4 + A + 1 + 5 + 2 = 12 + A
(Taktik: 12 zaten 3'ün katı, onu atabilirsin. Soru "A" 3'ün katı olmalıya döner.)
Adım 3: Değer Verme
(12 + A) ifadesi 3'ün katı olmalıdır.
A = 0 olabilir (12 + 0 = 12)
A = 3 olabilir (12 + 3 = 15)
A = 6 olabilir (12 + 6 = 18)
A = 9 olabilir (12 + 9 = 21)
Adım 4: Toplamı Bulma
A'nın alabileceği değerler: {0, 3, 6, 9}
Toplamı: 0 + 3 + 6 + 9 = 18 Cevap: 18
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
Adım 2: Rakamları Topla
4 + A + 1 + 5 + 2 = 12 + A
(Taktik: 12 zaten 3'ün katı, onu atabilirsin. Soru "A" 3'ün katı olmalıya döner.)
Adım 3: Değer Verme
(12 + A) ifadesi 3'ün katı olmalıdır.
A = 0 olabilir (12 + 0 = 12)
A = 3 olabilir (12 + 3 = 15)
A = 6 olabilir (12 + 6 = 18)
A = 9 olabilir (12 + 9 = 21)
Adım 4: Toplamı Bulma
A'nın alabileceği değerler: {0, 3, 6, 9}
Toplamı: 0 + 3 + 6 + 9 = 18 Cevap: 18
🏆
Basit kurallar tamamdır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
🧩
Adım F: GRUP ve BİLEŞİK KURALLAR (4, 9, 36, 45)
Soruların zorlaşmaya başladığı yer burası.
a) Grup Kuralları (4, 8, 11)
Son basamak gruplarına bakılır.
4 ile Bölünebilme: Sayının son iki basamağı (..AB) 00 veya 4'ün katı olmalıdır.
(Tüyo: Kalan için son iki basamağa bakılır. Örn: 1982 -> 82'ye bak. 80 tam bölünür, kalan 2.)
8 ile Bölünebilme: Sayının son üç basamağı (..ABC) 000 veya 8'in katı olmalıdır.
11 ile Bölünebilme: Sağdan sola +, -, +, - verilir. Artılar toplanır, eksiler toplanır, farkı alınır. Sonuç 0 veya 11'in katı olmalıdır.
Örn: 9418 -> (+8) + (-1) + (+4) + (-9) = (8+4) - (1+9) = 12 - 10 = 2. Kalan 2'dir.
(Tüyo: Kalan için son iki basamağa bakılır. Örn: 1982 -> 82'ye bak. 80 tam bölünür, kalan 2.)
8 ile Bölünebilme: Sayının son üç basamağı (..ABC) 000 veya 8'in katı olmalıdır.
11 ile Bölünebilme: Sağdan sola +, -, +, - verilir. Artılar toplanır, eksiler toplanır, farkı alınır. Sonuç 0 veya 11'in katı olmalıdır.
Örn: 9418 -> (+8) + (-1) + (+4) + (-9) = (8+4) - (1+9) = 12 - 10 = 2. Kalan 2'dir.
❗️❗️❗️ KPSS TAKTİĞİ: BİLEŞİK KURALLAR (6, 12, 36, 45)
Bu sayıların kuralı yoktur. Onları, kurallarını bildiğimiz ve aralarında asal olan çarpanlara ayırırız.
Bu sayıların kuralı yoktur. Onları, kurallarını bildiğimiz ve aralarında asal olan çarpanlara ayırırız.
- 6 = 2 ve 3
- 12 = 3 ve 4 (Sakın 2 ve 6 almayın, aralarında asal değiller!)
- 36 = 4 ve 9 (En önemlisi!)
- 45 = 5 ve 9 (En önemlisi!)
ÖRNEK 5 (Bileşik Kural)
Dört basamaklı 5M2N sayısı 30 ile tam bölünebilmektedir. M'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Adım 1: Kuralı Belirle
30 = 3 ve 10 (Aralarında asallar).
Adım 2: Hangi Kural Önce?
10 kuralı son basamağı (N), 3 kuralı tüm rakamları ilgilendirir. Önce 10 kuralı!
Adım 3: 10 Kuralını Uygula
10'a tam bölünmesi için son rakamı (N) 0 olmalıdır.
Sayımız artık:
Adım 4: 3 Kuralını Uygula
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı:
5 + M + 2 + 0 = 7 + M
(7 + M) = 3'ün katı olmalı.
M = 2 olabilir (7 + 2 = 9)
M = 5 olabilir (7 + 5 = 12)
M = 8 olabilir (7 + 8 = 15)
Adım 5: Cevapla
M'nin alabileceği en büyük değer 8'dir. Cevap: 8
30 = 3 ve 10 (Aralarında asallar).
Adım 2: Hangi Kural Önce?
10 kuralı son basamağı (N), 3 kuralı tüm rakamları ilgilendirir. Önce 10 kuralı!
Adım 3: 10 Kuralını Uygula
10'a tam bölünmesi için son rakamı (N) 0 olmalıdır.
Sayımız artık:
5M20
Adım 4: 3 Kuralını Uygula
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı:
5 + M + 2 + 0 = 7 + M
(7 + M) = 3'ün katı olmalı.
M = 2 olabilir (7 + 2 = 9)
M = 5 olabilir (7 + 5 = 12)
M = 8 olabilir (7 + 8 = 15)
Adım 5: Cevapla
M'nin alabileceği en büyük değer 8'dir. Cevap: 8
ÖRNEK 6 ("Rakamları Farklı" Tuzağı)
Rakamları farklı, beş basamaklı 86A3B sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, A kaç farklı değer alabilir?
Adım 1: Kural (12 = 3 ve 4) ve Öncelik (Önce 4)
Adım 2: 4 Kuralını Uygula
Son iki basamak
B = 2 (32) veya B = 6 (36) olabilir.
Adım 3: Durumları İncele (TUZAK: Rakamları Farklı!)
Durum 1: B = 6 ise
Sayı
Durum 2: B = 2 ise
Sayı
Adım 4: 3 Kuralını Uygula (B=2 için)
Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı:
8 + 6 + A + 3 + 2 = 19 + A
(19 + A) = 3'ün katı olmalı (21, 24, 27...)
A = 2 olabilir. (19+2=21). Ama {8,6,3,2} içinde 2 var. Rakamlar farklı şartı bozulur. OLMAZ.
A = 5 olabilir. (19+5=24). {8,6,5,3,2} hepsi farklı. OLUR.
A = 8 olabilir. (19+8=27). Ama {8,6,3,2} içinde 8 var. Rakamlar farklı şartı bozulur. OLMAZ.
Adım 5: Sonuç
A'nın alabileceği tek bir değer bulduk: 5. Cevap: A, 1 farklı değer alabilir.
Adım 2: 4 Kuralını Uygula
Son iki basamak
3B (otuzlu sayı) 4'ün katı olmalı.
B = 2 (32) veya B = 6 (36) olabilir.
Adım 3: Durumları İncele (TUZAK: Rakamları Farklı!)
Durum 1: B = 6 ise
Sayı
86A36 olur. Rakamları farklı şartı bozuldu (iki tane 6 var). Bu ihtimal tamamen çöp oldu.
Durum 2: B = 2 ise
Sayı
86A32 olur. Kullanılan rakamlar {8, 6, 3, 2}. Rakamlar farklı şartına şu an uyuyor.
Adım 4: 3 Kuralını Uygula (B=2 için)
Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı:
8 + 6 + A + 3 + 2 = 19 + A
(19 + A) = 3'ün katı olmalı (21, 24, 27...)
A = 2 olabilir. (19+2=21). Ama {8,6,3,2} içinde 2 var. Rakamlar farklı şartı bozulur. OLMAZ.
A = 5 olabilir. (19+5=24). {8,6,5,3,2} hepsi farklı. OLUR.
A = 8 olabilir. (19+8=27). Ama {8,6,3,2} içinde 8 var. Rakamlar farklı şartı bozulur. OLMAZ.
Adım 5: Sonuç
A'nın alabileceği tek bir değer bulduk: 5. Cevap: A, 1 farklı değer alabilir.
🏆
Bileşik kurallar ve "rakamları farklı" tuzağı tamamdır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
👑
Adım G: USTALIK SINIFI: Kalanlı Bölünebilme
ÖSYM'nin en sevdiği, en seçici soru kalıbı budur.
ÖRNEK 7 (KPSS Lisans)
Beş basamaklı 2A74B sayısının 45 ile bölümünden kalan 13'tür. Buna göre, A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Adım 1: Soruyu Türkçeye Çevir
Sayıyı 45'e bölmeyeceğiz. Çarpanları olan 5 ve 9'a böleceğiz.
Kalanı da (13) bu çarpanlara böleriz!
5 Kuralı: 13'ün 5'e bölümünden kalan kaçtır? Kalan 3. (Hata! 13/5 -> Kalan 3 değil 2. Düzeltme: 13/5 Kalan 3. Hata!)
(13 / 5 -> Bölüm 2, Kalan 3)
9 Kuralı: 13'ün 9'a bölümünden kalan kaçtır? Kalan 4.
Soru şuna döndü:
Adım 2: Önce 5 Kuralı (Kalan 3)
Son rakam (B) 0 veya 5 olsa tam bölünürdü. Kalan 3 ise:
B = 0 + 3 = 3
B = 5 + 3 = 8
Adım 3: İki Durumu da İncele (9 Kuralı: Kalan 4)
Durum 1: B = 3 ise
Sayı
(16 + A) = 9'un katı + 4 olmalı.
12 + A = 9'un katı olmalı.
A = 6 olmalıdır (12 + 6 = 18).
Durum 2: B = 8 ise
Sayı
(21 + A) = 9'un katı + 4 olmalı.
17 + A = 9'un katı olmalı.
A = 1 olmalıdır (17 + 1 = 18).
Adım 4: Sonuç
A'nın alabileceği değerler {6} ve {1}'dir.
Bu değerlerin toplamı: 6 + 1 = 7. Cevap: 7
Sayıyı 45'e bölmeyeceğiz. Çarpanları olan 5 ve 9'a böleceğiz.
Kalanı da (13) bu çarpanlara böleriz!
5 Kuralı: 13'ün 5'e bölümünden kalan kaçtır? Kalan 3. (Hata! 13/5 -> Kalan 3 değil 2. Düzeltme: 13/5 Kalan 3. Hata!)
(13 / 5 -> Bölüm 2, Kalan 3)
9 Kuralı: 13'ün 9'a bölümünden kalan kaçtır? Kalan 4.
Soru şuna döndü:
2A74B sayısının 5'e bölümünden kalan 3, 9'a bölümünden kalan 4'tür.
Adım 2: Önce 5 Kuralı (Kalan 3)
Son rakam (B) 0 veya 5 olsa tam bölünürdü. Kalan 3 ise:
B = 0 + 3 = 3
B = 5 + 3 = 8
Adım 3: İki Durumu da İncele (9 Kuralı: Kalan 4)
Durum 1: B = 3 ise
Sayı
2A743 olur. Rakamlar Toplamı: 2 + A + 7 + 4 + 3 = 16 + A
(16 + A) = 9'un katı + 4 olmalı.
12 + A = 9'un katı olmalı.
A = 6 olmalıdır (12 + 6 = 18).
Durum 2: B = 8 ise
Sayı
2A748 olur. Rakamlar Toplamı: 2 + A + 7 + 4 + 8 = 21 + A
(21 + A) = 9'un katı + 4 olmalı.
17 + A = 9'un katı olmalı.
A = 1 olmalıdır (17 + 1 = 18).
Adım 4: Sonuç
A'nın alabileceği değerler {6} ve {1}'dir.
Bu değerlerin toplamı: 6 + 1 = 7. Cevap: 7
🏆
En zor adımı da bitirdin. Artık Bölüm Final Sınavına hazırsın!
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
🏁
Adım H: BÖLME / BÖLÜNEBİLME FİNAL SINAVI
Tebrikler! Bölüm 2'yi tamamladın. Şimdi 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
🏆
Hazır olduğunda "Sınava Başla" butonuna bas!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.
Matematik Serüveni 🚀
Ünite 2 / Bölüm 2: Bölme ve Bölünebilme
Harika gidiyorsun! 🧑🏫
Şimdi "Sayılar" ünitemizin ikinci bölümüne, Bölme ve Bölünebilme konusuna geçiyoruz.
Bu konu, KPSS'nin en çok sevdiği yorum sorularını barındırır. "Kalan < Bölen" kuralı, 30-36-45'e bölme taktikleri ve "kalanlı bölme" gibi tüm detayları adım adım işleyeceğiz.
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
▶️ D. Temel Bölme (Kalan < Bölen)
🔒 E. Basit Bölünebilme (2, 3, 5, 10)
🔒 F. Grup ve Bileşik Kurallar (4, 9, 36, 45)
🔒 G. Ustalık Sınıfı: Kalanlı Bölme
🔒 H. BÖLÜM FİNAL SINAVI
➗
Adım D: BÖLME İŞLEMİ ve TEMEL KURALLARI
Her şey bu iki altın kuralda gizli.
1. Bölme Denklemi
A = (B * C) + K
- A: Bölünen (Büyük sayı)
- B: Bölen (Kötü adam)
- C: Bölüm (Sonuç)
- K: Kalan (Artan)
❗️❗️❗️ HAYATİ KURAL 1: Kalan < Bölen
K < B
Bu kural, soruların %90'ını çözdürür. Kalan (K), bölenden (B) asla büyük veya ona eşit olamaz.
KURAL 2: Kalan ≥ 0
Kalan negatif olamaz. Kalan 0 ise "tam bölündü" deriz.
K < B
Bu kural, soruların %90'ını çözdürür. Kalan (K), bölenden (B) asla büyük veya ona eşit olamaz.
KURAL 2: Kalan ≥ 0
Kalan negatif olamaz. Kalan 0 ise "tam bölündü" deriz.
ÖRNEK 2 (KPSS Klasik)
A doğal sayısı B doğal sayısına bölündüğünde bölüm 4, kalan 5'tir. Buna göre, A sayısı en az kaç olabilir?
Adım 1: Denklemi Yaz
A = (B * 4) + 5
Adım 2: Hayati Kuralı Uygula
A'nın *en az* olması, B'nin *en az* olmasına bağlıdır.
Hayati Kural 1 (K < B) der ki: Kalan (5) < Bölen (B) olmalıdır.
Yani
Adım 3: En Küçük Değeri Bul
B, 5'ten büyük olmak zorunda. B'ye verebileceğimiz en küçük doğal sayı değeri 6'dır.
Adım 4: Sonuç
Şimdi B=6'yı denklemde yerine yaz:
A = (6 * 4) + 5 = 24 + 5 = 29 Cevap: 29
A = (B * 4) + 5
Adım 2: Hayati Kuralı Uygula
A'nın *en az* olması, B'nin *en az* olmasına bağlıdır.
Hayati Kural 1 (K < B) der ki: Kalan (5) < Bölen (B) olmalıdır.
Yani
5 < B.
Adım 3: En Küçük Değeri Bul
B, 5'ten büyük olmak zorunda. B'ye verebileceğimiz en küçük doğal sayı değeri 6'dır.
Adım 4: Sonuç
Şimdi B=6'yı denklemde yerine yaz:
A = (6 * 4) + 5 = 24 + 5 = 29 Cevap: 29
ÖRNEK 3 (Zincirleme Bölme)
A'nın B'ye bölümünde bölüm 3, kalan 2'dir. B'nin C'ye bölümünde bölüm 4, kalan 1'dir. Buna göre, A sayısının C türünden eşiti nedir?
Adım 1: İki Denklemi Ayrı Ayrı Yaz
1. Denklem:
2. Denklem:
Adım 2: Yerine Koyma Stratejisi
Soru "A'nın C türünden" eşitini istiyor. Yani "A = ...C..." olmalı.
Bunu yapmak için 1. denklemdeki 'B' harfini yok etmeliyiz.
2. denklemden 'B'nin eşitini (4C + 1) alıp, 1. denklemdeki 'B'nin yerine parantez içinde yazarız.
Adım 3: İşlem
A = 3 * (B) + 2
A = 3 * (4C + 1) + 2
Adım 4: Parantezi Dağıtma ve Düzenleme
A = (3 * 4C) + (3 * 1) + 2
A = 12C + 3 + 2 Cevap: A = 12C + 5
1. Denklem:
A = (B * 3) + 2
2. Denklem:
B = (C * 4) + 1
Adım 2: Yerine Koyma Stratejisi
Soru "A'nın C türünden" eşitini istiyor. Yani "A = ...C..." olmalı.
Bunu yapmak için 1. denklemdeki 'B' harfini yok etmeliyiz.
2. denklemden 'B'nin eşitini (4C + 1) alıp, 1. denklemdeki 'B'nin yerine parantez içinde yazarız.
Adım 3: İşlem
A = 3 * (B) + 2
A = 3 * (4C + 1) + 2
Adım 4: Parantezi Dağıtma ve Düzenleme
A = (3 * 4C) + (3 * 1) + 2
A = 12C + 3 + 2 Cevap: A = 12C + 5
🏆
Temel bölme kuralı tamam. O "Kalan < Bölen" kuralını sakın unutma!
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
🎯
Adım E: BASİT BÖLÜNEBİLME KURALLARI (2, 3, 5, 10)
En sık kullanılan temel kurallar.
a) Son Basamak Kuralları (2, 5, 10)
Sadece son rakama bakılır.
2 ile Bölünebilme: Sayı çift olmalıdır. (Son rakam 0, 2, 4, 6, 8)
5 ile Bölünebilme: Son rakam 0 veya 5 olmalıdır.
(Tüyo: 5 ile bölümünden kalan, son rakamın 5'e bölümünden kalandır. Örn: 123'ün kalanı 3'tür. 128'in kalanı 8/5'ten 3'tür.)
10 ile Bölünebilme: Son rakam 0 olmalıdır.
(Tüyo: 10 ile bölümünden kalan, direkt son rakamdır. Örn: 1453'ün kalanı 3'tür.)
5 ile Bölünebilme: Son rakam 0 veya 5 olmalıdır.
(Tüyo: 5 ile bölümünden kalan, son rakamın 5'e bölümünden kalandır. Örn: 123'ün kalanı 3'tür. 128'in kalanı 8/5'ten 3'tür.)
10 ile Bölünebilme: Son rakam 0 olmalıdır.
(Tüyo: 10 ile bölümünden kalan, direkt son rakamdır. Örn: 1453'ün kalanı 3'tür.)
b) Rakamlar Toplamı Kuralları (3, 9)
Sayının tamamının rakamları toplanır.
3 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olmalıdır.
(Tüyo: Kalanı bulmak için de rakamları toplar 3'e böleriz.)
9 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olmalıdır.
(Tüyo: Kalanı bulmak için de rakamları toplar 9'a böleriz.)
(Tüyo: Kalanı bulmak için de rakamları toplar 3'e böleriz.)
9 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olmalıdır.
(Tüyo: Kalanı bulmak için de rakamları toplar 9'a böleriz.)
ÖRNEK 4 (3 Kuralı)
Beş basamaklı 4A152 sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, A'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Adım 1: Kuralı Hatırla
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
Adım 2: Rakamları Topla
4 + A + 1 + 5 + 2 = 12 + A
(Taktik: 12 zaten 3'ün katı, onu atabilirsin. Soru "A" 3'ün katı olmalıya döner.)
Adım 3: Değer Verme
(12 + A) ifadesi 3'ün katı olmalıdır.
A = 0 olabilir (12 + 0 = 12)
A = 3 olabilir (12 + 3 = 15)
A = 6 olabilir (12 + 6 = 18)
A = 9 olabilir (12 + 9 = 21)
Adım 4: Toplamı Bulma
A'nın alabileceği değerler: {0, 3, 6, 9}
Toplamı: 0 + 3 + 6 + 9 = 18 Cevap: 18
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
Adım 2: Rakamları Topla
4 + A + 1 + 5 + 2 = 12 + A
(Taktik: 12 zaten 3'ün katı, onu atabilirsin. Soru "A" 3'ün katı olmalıya döner.)
Adım 3: Değer Verme
(12 + A) ifadesi 3'ün katı olmalıdır.
A = 0 olabilir (12 + 0 = 12)
A = 3 olabilir (12 + 3 = 15)
A = 6 olabilir (12 + 6 = 18)
A = 9 olabilir (12 + 9 = 21)
Adım 4: Toplamı Bulma
A'nın alabileceği değerler: {0, 3, 6, 9}
Toplamı: 0 + 3 + 6 + 9 = 18 Cevap: 18
🏆
Basit kurallar tamamdır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
🧩
Adım F: GRUP ve BİLEŞİK KURALLAR (4, 9, 36, 45)
Soruların zorlaşmaya başladığı yer burası.
a) Grup Kuralları (4, 8, 11)
Son basamak gruplarına bakılır.
4 ile Bölünebilme: Sayının son iki basamağı (..AB) 00 veya 4'ün katı olmalıdır.
(Tüyo: Kalan için son iki basamağa bakılır. Örn: 1982 -> 82'ye bak. 80 tam bölünür, kalan 2.)
8 ile Bölünebilme: Sayının son üç basamağı (..ABC) 000 veya 8'in katı olmalıdır.
11 ile Bölünebilme: Sağdan sola +, -, +, - verilir. Artılar toplanır, eksiler toplanır, farkı alınır. Sonuç 0 veya 11'in katı olmalıdır.
Örn: 9418 -> (+8) + (-1) + (+4) + (-9) = (8+4) - (1+9) = 12 - 10 = 2. Kalan 2'dir.
(Tüyo: Kalan için son iki basamağa bakılır. Örn: 1982 -> 82'ye bak. 80 tam bölünür, kalan 2.)
8 ile Bölünebilme: Sayının son üç basamağı (..ABC) 000 veya 8'in katı olmalıdır.
11 ile Bölünebilme: Sağdan sola +, -, +, - verilir. Artılar toplanır, eksiler toplanır, farkı alınır. Sonuç 0 veya 11'in katı olmalıdır.
Örn: 9418 -> (+8) + (-1) + (+4) + (-9) = (8+4) - (1+9) = 12 - 10 = 2. Kalan 2'dir.
❗️❗️❗️ KPSS TAKTİĞİ: BİLEŞİK KURALLAR (6, 12, 36, 45)
Bu sayıların kuralı yoktur. Onları, kurallarını bildiğimiz ve aralarında asal olan çarpanlara ayırırız.
Bu sayıların kuralı yoktur. Onları, kurallarını bildiğimiz ve aralarında asal olan çarpanlara ayırırız.
- 6 = 2 ve 3
- 12 = 3 ve 4 (Sakın 2 ve 6 almayın, aralarında asal değiller!)
- 36 = 4 ve 9 (En önemlisi!)
- 45 = 5 ve 9 (En önemlisi!)
ÖRNEK 5 (Bileşik Kural)
Dört basamaklı 5M2N sayısı 30 ile tam bölünebilmektedir. M'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Adım 1: Kuralı Belirle
30 = 3 ve 10 (Aralarında asallar).
Adım 2: Hangi Kural Önce?
10 kuralı son basamağı (N), 3 kuralı tüm rakamları ilgilendirir. Önce 10 kuralı!
Adım 3: 10 Kuralını Uygula
10'a tam bölünmesi için son rakamı (N) 0 olmalıdır.
Sayımız artık:
Adım 4: 3 Kuralını Uygula
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı:
5 + M + 2 + 0 = 7 + M
(7 + M) = 3'ün katı olmalı.
M = 2 olabilir (7 + 2 = 9)
M = 5 olabilir (7 + 5 = 12)
M = 8 olabilir (7 + 8 = 15)
Adım 5: Cevapla
M'nin alabileceği en büyük değer 8'dir. Cevap: 8
30 = 3 ve 10 (Aralarında asallar).
Adım 2: Hangi Kural Önce?
10 kuralı son basamağı (N), 3 kuralı tüm rakamları ilgilendirir. Önce 10 kuralı!
Adım 3: 10 Kuralını Uygula
10'a tam bölünmesi için son rakamı (N) 0 olmalıdır.
Sayımız artık:
5M20
Adım 4: 3 Kuralını Uygula
Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı:
5 + M + 2 + 0 = 7 + M
(7 + M) = 3'ün katı olmalı.
M = 2 olabilir (7 + 2 = 9)
M = 5 olabilir (7 + 5 = 12)
M = 8 olabilir (7 + 8 = 15)
Adım 5: Cevapla
M'nin alabileceği en büyük değer 8'dir. Cevap: 8
ÖRNEK 6 ("Rakamları Farklı" Tuzağı)
Rakamları farklı, beş basamaklı 86A3B sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, A kaç farklı değer alabilir?
Adım 1: Kural (12 = 3 ve 4) ve Öncelik (Önce 4)
Adım 2: 4 Kuralını Uygula
Son iki basamak
B = 2 (32) veya B = 6 (36) olabilir.
Adım 3: Durumları İncele (TUZAK: Rakamları Farklı!)
Durum 1: B = 6 ise
Sayı
Durum 2: B = 2 ise
Sayı
Adım 4: 3 Kuralını Uygula (B=2 için)
Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı:
8 + 6 + A + 3 + 2 = 19 + A
(19 + A) = 3'ün katı olmalı (21, 24, 27...)
A = 2 olabilir. (19+2=21). Ama {8,6,3,2} içinde 2 var. Rakamlar farklı şartı bozulur. OLMAZ.
A = 5 olabilir. (19+5=24). {8,6,5,3,2} hepsi farklı. OLUR.
A = 8 olabilir. (19+8=27). Ama {8,6,3,2} içinde 8 var. Rakamlar farklı şartı bozulur. OLMAZ.
Adım 5: Sonuç
A'nın alabileceği tek bir değer bulduk: 5. Cevap: A, 1 farklı değer alabilir.
Adım 2: 4 Kuralını Uygula
Son iki basamak
3B (otuzlu sayı) 4'ün katı olmalı.
B = 2 (32) veya B = 6 (36) olabilir.
Adım 3: Durumları İncele (TUZAK: Rakamları Farklı!)
Durum 1: B = 6 ise
Sayı
86A36 olur. Rakamları farklı şartı bozuldu (iki tane 6 var). Bu ihtimal tamamen çöp oldu.
Durum 2: B = 2 ise
Sayı
86A32 olur. Kullanılan rakamlar {8, 6, 3, 2}. Rakamlar farklı şartına şu an uyuyor.
Adım 4: 3 Kuralını Uygula (B=2 için)
Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı:
8 + 6 + A + 3 + 2 = 19 + A
(19 + A) = 3'ün katı olmalı (21, 24, 27...)
A = 2 olabilir. (19+2=21). Ama {8,6,3,2} içinde 2 var. Rakamlar farklı şartı bozulur. OLMAZ.
A = 5 olabilir. (19+5=24). {8,6,5,3,2} hepsi farklı. OLUR.
A = 8 olabilir. (19+8=27). Ama {8,6,3,2} içinde 8 var. Rakamlar farklı şartı bozulur. OLMAZ.
Adım 5: Sonuç
A'nın alabileceği tek bir değer bulduk: 5. Cevap: A, 1 farklı değer alabilir.
🏆
Bileşik kurallar ve "rakamları farklı" tuzağı tamamdır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
👑
Adım G: USTALIK SINIFI: Kalanlı Bölünebilme
ÖSYM'nin en sevdiği, en seçici soru kalıbı budur.
ÖRNEK 7 (KPSS Lisans)
Beş basamaklı 2A74B sayısının 45 ile bölümünden kalan 13'tür. Buna göre, A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Adım 1: Soruyu Türkçeye Çevir
Sayıyı 45'e bölmeyeceğiz. Çarpanları olan 5 ve 9'a böleceğiz.
Kalanı da (13) bu çarpanlara böleriz!
5 Kuralı: 13'ün 5'e bölümünden kalan kaçtır? Kalan 3. (Hata! 13/5 -> Kalan 3 değil 2. Düzeltme: 13/5 Kalan 3. Hata!)
(13 / 5 -> Bölüm 2, Kalan 3)
9 Kuralı: 13'ün 9'a bölümünden kalan kaçtır? Kalan 4.
Soru şuna döndü:
Adım 2: Önce 5 Kuralı (Kalan 3)
Son rakam (B) 0 veya 5 olsa tam bölünürdü. Kalan 3 ise:
B = 0 + 3 = 3
B = 5 + 3 = 8
Adım 3: İki Durumu da İncele (9 Kuralı: Kalan 4)
Durum 1: B = 3 ise
Sayı
(16 + A) = 9'un katı + 4 olmalı.
12 + A = 9'un katı olmalı.
A = 6 olmalıdır (12 + 6 = 18).
Durum 2: B = 8 ise
Sayı
(21 + A) = 9'un katı + 4 olmalı.
17 + A = 9'un katı olmalı.
A = 1 olmalıdır (17 + 1 = 18).
Adım 4: Sonuç
A'nın alabileceği değerler {6} ve {1}'dir.
Bu değerlerin toplamı: 6 + 1 = 7. Cevap: 7
Sayıyı 45'e bölmeyeceğiz. Çarpanları olan 5 ve 9'a böleceğiz.
Kalanı da (13) bu çarpanlara böleriz!
5 Kuralı: 13'ün 5'e bölümünden kalan kaçtır? Kalan 3. (Hata! 13/5 -> Kalan 3 değil 2. Düzeltme: 13/5 Kalan 3. Hata!)
(13 / 5 -> Bölüm 2, Kalan 3)
9 Kuralı: 13'ün 9'a bölümünden kalan kaçtır? Kalan 4.
Soru şuna döndü:
2A74B sayısının 5'e bölümünden kalan 3, 9'a bölümünden kalan 4'tür.
Adım 2: Önce 5 Kuralı (Kalan 3)
Son rakam (B) 0 veya 5 olsa tam bölünürdü. Kalan 3 ise:
B = 0 + 3 = 3
B = 5 + 3 = 8
Adım 3: İki Durumu da İncele (9 Kuralı: Kalan 4)
Durum 1: B = 3 ise
Sayı
2A743 olur. Rakamlar Toplamı: 2 + A + 7 + 4 + 3 = 16 + A
(16 + A) = 9'un katı + 4 olmalı.
12 + A = 9'un katı olmalı.
A = 6 olmalıdır (12 + 6 = 18).
Durum 2: B = 8 ise
Sayı
2A748 olur. Rakamlar Toplamı: 2 + A + 7 + 4 + 8 = 21 + A
(21 + A) = 9'un katı + 4 olmalı.
17 + A = 9'un katı olmalı.
A = 1 olmalıdır (17 + 1 = 18).
Adım 4: Sonuç
A'nın alabileceği değerler {6} ve {1}'dir.
Bu değerlerin toplamı: 6 + 1 = 7. Cevap: 7
🏆
En zor adımı da bitirdin. Artık Bölüm Final Sınavına hazırsın!
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
🏁
Adım H: BÖLME / BÖLÜNEBİLME FİNAL SINAVI
Tebrikler! Bölüm 2'yi tamamladın. Şimdi 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
🏆
Hazır olduğunda "Sınava Başla" butonuna bas!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.