Matematik Serüveni 🚀
Ünite 4 / Bölüm 2: EBOB/EKOK
Tebrikler, Bölüm 1'ü bitirdin! 🧑🏫
Şimdi EBOB/EKOK'un en zorlu ve kafa karıştırıcı problem tiplerine, yani "İleri Düzey Ustalık Sınıfı"na başlıyoruz.
Burada 3 boyutlu hacim problemleri ve asal çarpan-EBOB ilişkisi gibi konulara odaklanacağız.
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
A, B ve C sayıları asal çarpanlarına ayrılmıştır:
A = 2³ · 3² · 5¹
B = 2² · 3³ · 7¹
C = 2⁴ · 3¹ · 5²
Buna göre, EKOK(A, B, C) / EBOB(A, B, C) kaçtır?
EBOB bulunurken, ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar alınır.
Ortak Asallar: {2, 3}. (5 ve 7 ortak değil)
EBOB(A, B, C) = 2² · 3¹ = 4 · 3 = 12
Adım 2: EKOK Kuralı
EKOK bulunurken, tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar alınır.
Tüm Asallar: {2, 3, 5, 7}
EKOK(A, B, C) = 2⁴ · 3³ · 5² · 7¹
Adım 3: Oranlama
İstenen = (2⁴ · 3³ · 5² · 7¹) / (2² · 3¹)
(Üslü sayılarda bölme: Üsler çıkarılır)
= 2⁽⁴⁻²⁾ · 3⁽³⁻¹⁾ · 5² · 7¹
= 2² · 3² · 5² · 7
= 4 · 9 · 25 · 7 = 36 · 25 · 7 = 900 · 7 = 6300 Cevap: 6300
a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
EBOB(a, b) = 10
olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?
EBOB(a, b) = 10 ise, bu iki sayı da 10'un katıdır.
a = 10 · x
b = 10 · y
Buradaki en önemli kural, x ve y'nin aralarında asal olmasıdır. (Eğer aralarında asal olmasalardı, EBOB 10'dan daha büyük olurdu).
Adım 2: En Küçük Değeri Bul
Toplamın en az olması için, aralarında asal x ve y'ye en küçük değerleri vermeliyiz.
En küçük pozitif tam sayılar {1, 2, 3...}
x = 1
y = 2 (En küçük ve 1 ile aralarında asaldır. 'a' ve 'b' farklı dendiği için y=1 alamayız)
Adım 3: Sayıları Bul
a = 10 · x = 10 · 1 = 10
b = 10 · y = 10 · 2 = 20
Toplam = 10 + 20 = 30 Cevap: 30
a ve b aralarında asal sayılardır.
EKOK(a, b) + EBOB(a, b) = 46
Buna göre, a + b toplamı kaç farklı değer alabilir?
Aralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u ise çarpımlarıdır (a·b).
EBOB(a, b) = 1
EKOK(a, b) = a · b
Adım 2: Denklemi Çöz
(a · b) + 1 = 46
a · b = 45
Adım 3: Uygun Çiftleri Bul (Tuzak!)
Çarpımları 45 olan sayı çiftlerini bulmalıyız, ancak aralarında asal olmalılar.
1 · 45 = 45 (1 ve 45 aralarında asaldır. OLUR)
3 · 15 = 45 (3 ve 15 aralarında asal değildir, EBOB'ları 3'tür. OLMAZ)
5 · 9 = 45 (5 ve 9 aralarında asaldır. OLUR)
Adım 4: Toplamları Bul
Çift 1: a=1, b=45 -> Toplam = 1 + 45 = 46
Çift 2: a=5, b=9 -> Toplam = 5 + 9 = 14
Toplam 2 farklı değer alabilir. Cevap: 2 (Bunlar 46 ve 14'tür)
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Boyutları 24cm, 30cm ve 42cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kütük, hiç artmayacak şekilde en büyük hacimli eş küp parçalara ayrılacaktır.
Buna göre, en az kaç küp elde edilir?
Büyük bir prizma (Bütün), küçük eş küplere (Parça) ayrılıyor. Bu bir "Bütünden Parçaya" problemidir, yani EBOB.
Küp sayısının en az olması için, küp hacminin en büyük olması gerekir.
Küçük küpün bir kenarı, prizmanın tüm kenarlarını (24, 30, 42) bölmelidir.
Adım 2: EBOB Bul (Küpün Kenarı)
EBOB(24, 30, 42) = 6
Demek ki küçük küpün bir kenarı en fazla 6cm olabilir.
Adım 3: Küp Sayısını Bul
Küp Sayısı = (Büyük Prizmanın Hacmi) / (Küçük Küpün Hacmi)
Küp Sayısı = (24 · 30 · 42) / (6 · 6 · 6)
= (24/6) · (30/6) · (42/6)
= 4 · 5 · 7 = 140 Cevap: 140 küp
Boyutları 3cm, 4cm ve 5cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalar kullanılarak, en küçük hacimli bir küp yapılmak isteniyor.
Bu iş için en az kaç tuğla gerekir?
Küçük tuğlalardan (Parça) büyük bir küp (Bütün) yapılıyor. Bu bir "Parçadan Bütüne" problemidir, yani EKOK.
Yapılacak büyük küpün bir kenarı, tuğlanın tüm kenarlarının (3, 4, 5) ortak katı olmalıdır.
Adım 2: EKOK Bul (Büyük Küpün Kenarı)
EKOK(3, 4, 5) = 60
Demek ki yapılacak en küçük küpün bir kenarı 60cm olmalıdır.
Adım 3: Tuğla Sayısını Bul
Tuğla Sayısı = (Büyük Küpün Hacmi) / (Bir Tuğlanın Hacmi)
Tuğla Sayısı = (60 · 60 · 60) / (3 · 4 · 5)
= (60/3) · (60/4) · (60/5)
= 20 · 15 · 12 = 3600 Cevap: 3600 tuğla
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
a ve b pozitif tam sayılardır.
EBOB(a, b) = 8
EKOK(a, b) = 120
olduğuna göre, a + b toplamı en fazla kaçtır?
a · b = EBOB(a, b) · EKOK(a, b)
a · b = 8 · 120 = 960
Adım 2: Yorumla
Çarpımları 960 olan ve EBOB'ları 8 olan iki sayı arıyoruz.
Toplamın en büyük değeri, sayılar birbirinden en uzak seçildiğinde bulunur.
Adım 3: Değerleri Seç
Toplamın en büyük olması için sayılardan biri EBOB'un kendisi (yani 8), diğeri ise EKOK'un kendisi (yani 120) seçilir.
a = 8
b = 120
Adım 4: Kontrol Et
EBOB(8, 120) = 8 (Çünkü 120, 8'in katıdır)
EKOK(8, 120) = 120 (Çünkü 120, 8'in katıdır)
Koşullar sağlandı.
Toplam = 8 + 120 = 128 Cevap: 128
A, x, y, z pozitif tam sayılardır.
A = 4x + 1 = 5y + 1 = 6z + 1
A sayısı 400'den büyük olduğuna göre, A'nın en küçük değeri kaçtır?
Her ifadeden 1 çıkarırsak:
A - 1 = 4x = 5y = 6z
Demek ki (A - 1) sayısı, 4, 5 ve 6'nın ortak katı (EKOK) olmalıdır.
Adım 2: EKOK Bul
EKOK(4, 5, 6) = 60
Yani, A - 1 = 60 · k (k bir kat sayısı)
A = 60k + 1
Adım 3: Şartı Sağla (A > 400)
A'nın 400'den büyük olmasını istiyoruz. 'k'ya değer verelim:
k = 5 -> A = 60(5) + 1 = 301 (Küçük)
k = 6 -> A = 60(6) + 1 = 361 (Küçük)
k = 7 -> A = 60(7) + 1 = 421 (400'den büyük ilk sayı) Cevap: 421
A, x, y, z pozitif tam sayılardır.
A = 4x + 5 = 6y + 7 = 8z + 9
Buna göre, A'nın en küçük değeri kaçtır?
Kalan (5) bölenden (4) büyük. Kalanlı bölme kuralına aykırı. Bu bir "gizli" pozitif kalandır. İfadeyi yeniden yazmalıyız.
A = 4x + 5 = 4(x+1) + 1
A = 6y + 7 = 6(y+1) + 1
A = 8z + 9 = 8(z+1) + 1
Adım 2: Denklemi Sadeleştir
(x+1), (y+1), (z+1) de birer tam sayıdır. Bunlara k, m, n diyelim.
A = 4k + 1
A = 6m + 1
A = 8n + 1
Bu, Örnek 7'deki pozitif kalan sorusuna dönüştü.
Adım 3: EKOK Bul ve Çöz
A - 1 = EKOK(4, 6, 8)
EKOK(4, 6, 8) = 24
A - 1 = 24
A = 25 Cevap: 25
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Tebrikler! Bölüm 4'ü tamamladın. EBOB/EKOK konusunun en zorlu sorularını gördün. Şimdi 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.
Matematik Serüveni 🚀
Ünite 4 / Bölüm 2: EBOB/EKOK
Tebrikler, Bölüm 1'ü bitirdin! 🧑🏫
Şimdi EBOB/EKOK'un en zorlu ve kafa karıştırıcı problem tiplerine, yani "İleri Düzey Ustalık Sınıfı"na başlıyoruz.
Burada 3 boyutlu hacim problemleri ve asal çarpan-EBOB ilişkisi gibi konulara odaklanacağız.
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
A, B ve C sayıları asal çarpanlarına ayrılmıştır:
A = 2³ · 3² · 5¹
B = 2² · 3³ · 7¹
C = 2⁴ · 3¹ · 5²
Buna göre, EKOK(A, B, C) / EBOB(A, B, C) kaçtır?
EBOB bulunurken, ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar alınır.
Ortak Asallar: {2, 3}. (5 ve 7 ortak değil)
EBOB(A, B, C) = 2² · 3¹ = 4 · 3 = 12
Adım 2: EKOK Kuralı
EKOK bulunurken, tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar alınır.
Tüm Asallar: {2, 3, 5, 7}
EKOK(A, B, C) = 2⁴ · 3³ · 5² · 7¹
Adım 3: Oranlama
İstenen = (2⁴ · 3³ · 5² · 7¹) / (2² · 3¹)
(Üslü sayılarda bölme: Üsler çıkarılır)
= 2⁽⁴⁻²⁾ · 3⁽³⁻¹⁾ · 5² · 7¹
= 2² · 3² · 5² · 7
= 4 · 9 · 25 · 7 = 36 · 25 · 7 = 900 · 7 = 6300 Cevap: 6300
a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
EBOB(a, b) = 10
olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?
EBOB(a, b) = 10 ise, bu iki sayı da 10'un katıdır.
a = 10 · x
b = 10 · y
Buradaki en önemli kural, x ve y'nin aralarında asal olmasıdır. (Eğer aralarında asal olmasalardı, EBOB 10'dan daha büyük olurdu).
Adım 2: En Küçük Değeri Bul
Toplamın en az olması için, aralarında asal x ve y'ye en küçük değerleri vermeliyiz.
En küçük pozitif tam sayılar {1, 2, 3...}
x = 1
y = 2 (En küçük ve 1 ile aralarında asaldır. 'a' ve 'b' farklı dendiği için y=1 alamayız)
Adım 3: Sayıları Bul
a = 10 · x = 10 · 1 = 10
b = 10 · y = 10 · 2 = 20
Toplam = 10 + 20 = 30 Cevap: 30
a ve b aralarında asal sayılardır.
EKOK(a, b) + EBOB(a, b) = 46
Buna göre, a + b toplamı kaç farklı değer alabilir?
Aralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u ise çarpımlarıdır (a·b).
EBOB(a, b) = 1
EKOK(a, b) = a · b
Adım 2: Denklemi Çöz
(a · b) + 1 = 46
a · b = 45
Adım 3: Uygun Çiftleri Bul (Tuzak!)
Çarpımları 45 olan sayı çiftlerini bulmalıyız, ancak aralarında asal olmalılar.
1 · 45 = 45 (1 ve 45 aralarında asaldır. OLUR)
3 · 15 = 45 (3 ve 15 aralarında asal değildir, EBOB'ları 3'tür. OLMAZ)
5 · 9 = 45 (5 ve 9 aralarında asaldır. OLUR)
Adım 4: Toplamları Bul
Çift 1: a=1, b=45 -> Toplam = 1 + 45 = 46
Çift 2: a=5, b=9 -> Toplam = 5 + 9 = 14
Toplam 2 farklı değer alabilir. Cevap: 2 (Bunlar 46 ve 14'tür)
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Boyutları 24cm, 30cm ve 42cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kütük, hiç artmayacak şekilde en büyük hacimli eş küp parçalara ayrılacaktır.
Buna göre, en az kaç küp elde edilir?
Büyük bir prizma (Bütün), küçük eş küplere (Parça) ayrılıyor. Bu bir "Bütünden Parçaya" problemidir, yani EBOB.
Küp sayısının en az olması için, küp hacminin en büyük olması gerekir.
Küçük küpün bir kenarı, prizmanın tüm kenarlarını (24, 30, 42) bölmelidir.
Adım 2: EBOB Bul (Küpün Kenarı)
EBOB(24, 30, 42) = 6
Demek ki küçük küpün bir kenarı en fazla 6cm olabilir.
Adım 3: Küp Sayısını Bul
Küp Sayısı = (Büyük Prizmanın Hacmi) / (Küçük Küpün Hacmi)
Küp Sayısı = (24 · 30 · 42) / (6 · 6 · 6)
= (24/6) · (30/6) · (42/6)
= 4 · 5 · 7 = 140 Cevap: 140 küp
Boyutları 3cm, 4cm ve 5cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalar kullanılarak, en küçük hacimli bir küp yapılmak isteniyor.
Bu iş için en az kaç tuğla gerekir?
Küçük tuğlalardan (Parça) büyük bir küp (Bütün) yapılıyor. Bu bir "Parçadan Bütüne" problemidir, yani EKOK.
Yapılacak büyük küpün bir kenarı, tuğlanın tüm kenarlarının (3, 4, 5) ortak katı olmalıdır.
Adım 2: EKOK Bul (Büyük Küpün Kenarı)
EKOK(3, 4, 5) = 60
Demek ki yapılacak en küçük küpün bir kenarı 60cm olmalıdır.
Adım 3: Tuğla Sayısını Bul
Tuğla Sayısı = (Büyük Küpün Hacmi) / (Bir Tuğlanın Hacmi)
Tuğla Sayısı = (60 · 60 · 60) / (3 · 4 · 5)
= (60/3) · (60/4) · (60/5)
= 20 · 15 · 12 = 3600 Cevap: 3600 tuğla
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
a ve b pozitif tam sayılardır.
EBOB(a, b) = 8
EKOK(a, b) = 120
olduğuna göre, a + b toplamı en fazla kaçtır?
a · b = EBOB(a, b) · EKOK(a, b)
a · b = 8 · 120 = 960
Adım 2: Yorumla
Çarpımları 960 olan ve EBOB'ları 8 olan iki sayı arıyoruz.
Toplamın en büyük değeri, sayılar birbirinden en uzak seçildiğinde bulunur.
Adım 3: Değerleri Seç
Toplamın en büyük olması için sayılardan biri EBOB'un kendisi (yani 8), diğeri ise EKOK'un kendisi (yani 120) seçilir.
a = 8
b = 120
Adım 4: Kontrol Et
EBOB(8, 120) = 8 (Çünkü 120, 8'in katıdır)
EKOK(8, 120) = 120 (Çünkü 120, 8'in katıdır)
Koşullar sağlandı.
Toplam = 8 + 120 = 128 Cevap: 128
A, x, y, z pozitif tam sayılardır.
A = 4x + 1 = 5y + 1 = 6z + 1
A sayısı 400'den büyük olduğuna göre, A'nın en küçük değeri kaçtır?
Her ifadeden 1 çıkarırsak:
A - 1 = 4x = 5y = 6z
Demek ki (A - 1) sayısı, 4, 5 ve 6'nın ortak katı (EKOK) olmalıdır.
Adım 2: EKOK Bul
EKOK(4, 5, 6) = 60
Yani, A - 1 = 60 · k (k bir kat sayısı)
A = 60k + 1
Adım 3: Şartı Sağla (A > 400)
A'nın 400'den büyük olmasını istiyoruz. 'k'ya değer verelim:
k = 5 -> A = 60(5) + 1 = 301 (Küçük)
k = 6 -> A = 60(6) + 1 = 361 (Küçük)
k = 7 -> A = 60(7) + 1 = 421 (400'den büyük ilk sayı) Cevap: 421
A, x, y, z pozitif tam sayılardır.
A = 4x + 5 = 6y + 7 = 8z + 9
Buna göre, A'nın en küçük değeri kaçtır?
Kalan (5) bölenden (4) büyük. Kalanlı bölme kuralına aykırı. Bu bir "gizli" pozitif kalandır. İfadeyi yeniden yazmalıyız.
A = 4x + 5 = 4(x+1) + 1
A = 6y + 7 = 6(y+1) + 1
A = 8z + 9 = 8(z+1) + 1
Adım 2: Denklemi Sadeleştir
(x+1), (y+1), (z+1) de birer tam sayıdır. Bunlara k, m, n diyelim.
A = 4k + 1
A = 6m + 1
A = 8n + 1
Bu, Örnek 7'deki pozitif kalan sorusuna dönüştü.
Adım 3: EKOK Bul ve Çöz
A - 1 = EKOK(4, 6, 8)
EKOK(4, 6, 8) = 24
A - 1 = 24
A = 25 Cevap: 25
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Tebrikler! Bölüm 4'ü tamamladın. EBOB/EKOK konusunun en zorlu sorularını gördün. Şimdi 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.