Matematik Serüveni 🚀
Ünite 4 / Bölüm 1: Asal Çarpanlar ve Bölen Sayısı
Yeni ünitemize hoş geldin! 🧑🏫
Bu, EBOB-EKOK'tan sonra en çok bağlantılı olduğumuz konu: Asal Çarpanlar.
Bir sayının "pozitif bölen sayısı" (PBS) nasıl bulunur? "Asal olmayan tam bölenleri" ne demektir? Hepsini adım adım, tüm tuzaklarıyla işleyeceğiz.
Hazır mısın?
Bölüm 1: Adımlar
Her şeyin başladığı yer: Asal sayılar, sayıların "atomları" gibidir.
1'den büyük, kendisinden ve 1'den başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen doğal sayılardır.
Püf Noktaları:
- En küçük asal sayı 2'dir.
- 2, aynı zamanda tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asallar tektir.
Tanım "1'den büyük" diye başlar. 1 asal değildir. En çok bu tuzağa düşülür!
İki veya daha fazla sayının, 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılara "aralarında asal" denir.
8'in Bölenleri: {1, 2, 4, 8}
15'in Bölenleri: {1, 3, 5, 15}
Tek ortak bölen 1'dir. O halde 8 ve 15 aralarında asaldır.
Dikkat: Sayıların aralarında asal olması için kendilerinin asal olması GEREKMEZ (8 de 15 de asal değildir).
Kural: Ardışık sayılar (örn: 8 ve 9) daima aralarında asaldır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Bir sayıyı "atomlarına" yani asal çarpanlarına ayırmayı öğreneceğiz.
Bir sayının yanına dikey bir çizgi çeker ve en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak bölmeye başlarız.
180 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
180 | 2 (180 / 2 = 90) 90 | 2 (90 / 2 = 45) 45 | 3 (45, 2'ye bölünmez, 3'e geç) 15 | 3 (15 / 3 = 5) 5 | 5 (5, 3'e bölünmez, 5'e geç) 1 | (1'i bulduk, bitti)Sonuç: Çizginin sağında kalanları üslü olarak yazarız.
2 tane '2' var => 2²
2 tane '3' var => 3²
1 tane '5' var => 5¹ Cevap: 180 = 2² · 3² · 5¹
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Bu konunun en çok soru getiren kısmıdır. Bir sayıyı kaç sayının böldüğünü bulacağız.
A = aˣ · bʸ · cᶻ olsun.
Formül: Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.
PBS = (x + 1) · (y + 1) · (z + 1)
PBS'yi bulduktan sonra diğerlerini bulmak çok kolaydır.
Pozitif bölen kadar negatif bölen de vardır.
TBS = 2 * PBS
Asal Bölen Sayısı:
Tabanlardır (a, b, c). Formüle gerek yok, sayılır.
Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı:
(Tüm Pozitifler) - (Asal Olanlar)
= PBS - (Asal Bölen Sayısı)
180 sayısının; a) PBS'si, b) TBS'si, c) Asal olmayan pozitif bölen sayısı kaçtır?
180 = 2² · 3² · 5¹
Adım 2: a) Pozitif Bölen Sayısı (PBS)
Üslerimiz: {2, 2, 1}. Üsleri 1 artırıp çarp:
PBS = (2 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 3 * 3 * 2 = 18
Adım 3: b) Tam Bölen Sayısı (TBS)
TBS = 2 * PBS = 2 * 18 = 36
Adım 4: c) Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı
Asal bölenler tabanlardır: {2, 3, 5} (Yani 3 tane)
= PBS - (Asal Bölen Sayısı) = 18 - 3 = 15 Cevap: a) 18, b) 36, c) 15
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
KPSS'de sorular sana 180 gibi hazır verilmez. Parçalanmış verilir.
A = 72 * 10 sayısının pozitif tam bölen sayısı kaçtır?
Sakın üsleri (1, 1) alıp (1+1)*(1+1)=4 deme! Tabanlar (72 ve 10) asal değil.
Adım 2: Parçala
72 = 8 * 9 = 2³ * 3²
10 = 2 * 5 = 2¹ * 5¹
Adım 3: Tabanları Birleştir
A = (2³ * 3²) * (2¹ * 5¹)
A = (2³ * 2¹) * 3² * 5¹
A = 2⁴ * 3² * 5¹
Adım 4: Formülü Uygula
Üsler: {4, 2, 1}.
PBS = (4 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 5 * 3 * 2 = 30 Cevap: 30
A = 15² * 12³ sayısının pozitif tam bölen sayısı kaçtır?
A = (3 * 5)² * (4 * 3)³
A = (3 * 5)² * (2² * 3)³
Adım 2: Üsleri Dağıt
A = (3² * 5²) * ( (2²)³ * 3³ )
(Üssün üssü çarpılır: 2²*³ = 2⁶)
A = (3² * 5²) * (2⁶ * 3³)
Adım 3: Tabanları Birleştir
A = 2⁶ * (3² * 3³) * 5²
A = 2⁶ * 3⁵ * 5²
Adım 4: Formülü Uygula
Üsler: {6, 5, 2}
PBS = (6 + 1) * (5 + 1) * (2 + 1) = 7 * 6 * 3 = 126 Cevap: 126
n pozitif tam sayı. A = 7 * 10ⁿ sayısının pozitif tam bölen sayısı 98 olduğuna göre, n kaçtır?
A = 7 * (2 * 5)ⁿ
A = 7¹ * 2ⁿ * 5ⁿ
Adım 2: PBS Formülünü Denkleme Dök
Tabanlar {7, 2, 5} asal. Üsler {1, n, n}.
PBS = (1 + 1) * (n + 1) * (n + 1)
PBS = 2 * (n + 1)²
Adım 3: Denklemi Çöz
Bize PBS = 98 verilmişti.
2 * (n + 1)² = 98
(n + 1)² = 49 (İki tarafı 2'ye böldük)
(Neyin karesi 49'dur? 7'nin)
n + 1 = 7 Cevap: n = 6
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Tebrikler! Bölüm 1'i tamamladın. Şimdi 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.
Matematik Serüveni 🚀
Ünite 4 / Bölüm 1: Asal Çarpanlar ve Bölen Sayısı
Yeni ünitemize hoş geldin! 🧑🏫
Bu, EBOB-EKOK'tan sonra en çok bağlantılı olduğumuz konu: Asal Çarpanlar.
Bir sayının "pozitif bölen sayısı" (PBS) nasıl bulunur? "Asal olmayan tam bölenleri" ne demektir? Hepsini adım adım, tüm tuzaklarıyla işleyeceğiz.
Hazır mısın?
Bölüm 1: Adımlar
Her şeyin başladığı yer: Asal sayılar, sayıların "atomları" gibidir.
1'den büyük, kendisinden ve 1'den başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen doğal sayılardır.
Püf Noktaları:
- En küçük asal sayı 2'dir.
- 2, aynı zamanda tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asallar tektir.
Tanım "1'den büyük" diye başlar. 1 asal değildir. En çok bu tuzağa düşülür!
İki veya daha fazla sayının, 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılara "aralarında asal" denir.
8'in Bölenleri: {1, 2, 4, 8}
15'in Bölenleri: {1, 3, 5, 15}
Tek ortak bölen 1'dir. O halde 8 ve 15 aralarında asaldır.
Dikkat: Sayıların aralarında asal olması için kendilerinin asal olması GEREKMEZ (8 de 15 de asal değildir).
Kural: Ardışık sayılar (örn: 8 ve 9) daima aralarında asaldır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Bir sayıyı "atomlarına" yani asal çarpanlarına ayırmayı öğreneceğiz.
Bir sayının yanına dikey bir çizgi çeker ve en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak bölmeye başlarız.
180 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
180 | 2 (180 / 2 = 90) 90 | 2 (90 / 2 = 45) 45 | 3 (45, 2'ye bölünmez, 3'e geç) 15 | 3 (15 / 3 = 5) 5 | 5 (5, 3'e bölünmez, 5'e geç) 1 | (1'i bulduk, bitti)Sonuç: Çizginin sağında kalanları üslü olarak yazarız.
2 tane '2' var => 2²
2 tane '3' var => 3²
1 tane '5' var => 5¹ Cevap: 180 = 2² · 3² · 5¹
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Bu konunun en çok soru getiren kısmıdır. Bir sayıyı kaç sayının böldüğünü bulacağız.
A = aˣ · bʸ · cᶻ olsun.
Formül: Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.
PBS = (x + 1) · (y + 1) · (z + 1)
PBS'yi bulduktan sonra diğerlerini bulmak çok kolaydır.
Pozitif bölen kadar negatif bölen de vardır.
TBS = 2 * PBS
Asal Bölen Sayısı:
Tabanlardır (a, b, c). Formüle gerek yok, sayılır.
Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı:
(Tüm Pozitifler) - (Asal Olanlar)
= PBS - (Asal Bölen Sayısı)
180 sayısının; a) PBS'si, b) TBS'si, c) Asal olmayan pozitif bölen sayısı kaçtır?
180 = 2² · 3² · 5¹
Adım 2: a) Pozitif Bölen Sayısı (PBS)
Üslerimiz: {2, 2, 1}. Üsleri 1 artırıp çarp:
PBS = (2 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 3 * 3 * 2 = 18
Adım 3: b) Tam Bölen Sayısı (TBS)
TBS = 2 * PBS = 2 * 18 = 36
Adım 4: c) Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı
Asal bölenler tabanlardır: {2, 3, 5} (Yani 3 tane)
= PBS - (Asal Bölen Sayısı) = 18 - 3 = 15 Cevap: a) 18, b) 36, c) 15
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
KPSS'de sorular sana 180 gibi hazır verilmez. Parçalanmış verilir.
A = 72 * 10 sayısının pozitif tam bölen sayısı kaçtır?
Sakın üsleri (1, 1) alıp (1+1)*(1+1)=4 deme! Tabanlar (72 ve 10) asal değil.
Adım 2: Parçala
72 = 8 * 9 = 2³ * 3²
10 = 2 * 5 = 2¹ * 5¹
Adım 3: Tabanları Birleştir
A = (2³ * 3²) * (2¹ * 5¹)
A = (2³ * 2¹) * 3² * 5¹
A = 2⁴ * 3² * 5¹
Adım 4: Formülü Uygula
Üsler: {4, 2, 1}.
PBS = (4 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 5 * 3 * 2 = 30 Cevap: 30
A = 15² * 12³ sayısının pozitif tam bölen sayısı kaçtır?
A = (3 * 5)² * (4 * 3)³
A = (3 * 5)² * (2² * 3)³
Adım 2: Üsleri Dağıt
A = (3² * 5²) * ( (2²)³ * 3³ )
(Üssün üssü çarpılır: 2²*³ = 2⁶)
A = (3² * 5²) * (2⁶ * 3³)
Adım 3: Tabanları Birleştir
A = 2⁶ * (3² * 3³) * 5²
A = 2⁶ * 3⁵ * 5²
Adım 4: Formülü Uygula
Üsler: {6, 5, 2}
PBS = (6 + 1) * (5 + 1) * (2 + 1) = 7 * 6 * 3 = 126 Cevap: 126
n pozitif tam sayı. A = 7 * 10ⁿ sayısının pozitif tam bölen sayısı 98 olduğuna göre, n kaçtır?
A = 7 * (2 * 5)ⁿ
A = 7¹ * 2ⁿ * 5ⁿ
Adım 2: PBS Formülünü Denkleme Dök
Tabanlar {7, 2, 5} asal. Üsler {1, n, n}.
PBS = (1 + 1) * (n + 1) * (n + 1)
PBS = 2 * (n + 1)²
Adım 3: Denklemi Çöz
Bize PBS = 98 verilmişti.
2 * (n + 1)² = 98
(n + 1)² = 49 (İki tarafı 2'ye böldük)
(Neyin karesi 49'dur? 7'nin)
n + 1 = 7 Cevap: n = 6
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Tebrikler! Bölüm 1'i tamamladın. Şimdi 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.