Matematik Serüveni 🚀
Ünite 4 / Bölüm 2: Asal Çarpanlar (Ustalık Sınıfı)
Harika gidiyorsun! 🧑🏫
Bölüm 1'de temel formülleri öğrendik. Şimdi "Ustalık Sınıfı"na geçiyoruz.
Bu bölümde konu anlatımı yok. Sadece zor ve farklı tarzdaki örnek sorular ve onların adım adım çözümleri var.
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
120 sayısının pozitif çift tam bölenlerinin sayısı kaçtır?
120 = 12 * 10 = (4 * 3) * (2 * 5) = (2² * 3¹) * (2¹ * 5¹)
120 = 2³ · 3¹ · 5¹
Adım 2: Formülü Yorumla (Tüm Bölenler - Tek Bölenler)
Bir sayının ya çifttir ya da tektir. O zaman Tüm Pozitif Bölenlerden (PBS), Tek Pozitif Bölenleri çıkarırsak, geriye Çift Pozitif Bölenler kalır.
Adım 3: Tüm Bölenlerin Sayısı (PBS)
Üsler {3, 1, 1}. PBS = (3+1)(1+1)(1+1) = 4 * 2 * 2 = 16 tane.
Adım 4: Tek Bölenlerin Sayısı
Bir bölenin *tek* olması için içinde hiç 2 çarpanı olmamalıdır.
Bu yüzden sayıdan 2³ çarpanını atarız: Geriye 3¹ · 5¹ kalır.
Tek Bölen Sayısı = (1+1)(1+1) = 2 * 2 = 4 tane.
Adım 5: Sonuç
Çift Bölen Sayısı = (Tüm Bölenler) - (Tek Bölenler)
Çift Bölen Sayısı = 16 - 4 = 12 Cevap: 12
60 sayısının asal olmayan tam bölenlerinin toplamı kaçtır?
60'ın asal bölenleri: {2, 3, 5}
60'ın *tüm* tam bölenleri (TBS): {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, ..., 60, -60}
Adım 2: Mantığı Kavra (TUZAK!)
*Tüm* tam bölenlerin toplamı her zaman 0'dır. Çünkü +1 ile -1, +2 ile -2, +3 ile -3... birbirini götürür.
Soru bizden "asal olmayanları" istiyor.
Adım 3: Çözüm
Tüm Tam Bölenlerin Toplamı = (Asal Bölenler) + (Asal Olmayan Tam Bölenler)
0 = (2 + 3 + 5) + (Bizden İstenen Şey)
0 = 10 + (Bizden İstenen Şey)
(Bizden İstenen Şey) = -10
Kural: Asal olmayan tam bölenlerin toplamı, asal bölenlerin toplamının *negatiflisidir*. Cevap: -10
A = 120 · 6² olduğuna göre, A sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 120'nin katıdır?
A = 120 * 6² = (12 * 10) * (2 * 3)²
A = (2² · 3¹) * (2¹ · 5¹) * (2² · 3²)
A = 2⁵ · 3³ · 5¹
Adım 2: Soruyu Türkçeye Çevir
Bölenlerin 120'nin katı olması demek, bölenlerin içinde en az (120) çarpanının bulunması demektir.
120 = 2³ · 3¹ · 5¹
Yani bizden istenen bölenler
(2³·3¹·5¹) · K formatında olmalı.
Adım 3: 120'yi Dışarı Çıkar
A sayısından (2³·3¹·5¹)'i dışarı (cebimize) alalım:
A = (2³·3¹·5¹) · (Geriye Kalanlar)
Geriye Kalanlar = (2⁵·3³·5¹) / (2³·3¹·5¹) = 2² · 3²
Adım 4: Geriye Kalanın PBS'sini Bul
"Geriye Kalanlar" (yani 2²·3²) ifadesinin pozitif bölen sayısı (PBS), 120'nin yanına kaç farklı çarpan (K) gelebileceğini söyler.
K = 2² · 3²
PBS(K) = (2+1) * (2+1) = 3 * 3 = 9 Cevap: 9 tane
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
n pozitif bir tam sayıdır. A = 7 * 10ⁿ sayısının pozitif tam bölen sayısı 98 olduğuna göre, n kaçtır?
A = 7 * 10ⁿ (Dikkat! 10 asal değil)
A = 7¹ * (2 * 5)ⁿ
A = 7¹ * 2ⁿ * 5ⁿ
Adım 2: PBS Formülünü Denkleme Dök
Tabanlar {7, 2, 5} asal. Üsler {1, n, n}.
PBS = (Üsleri 1 artır ve çarp)
PBS = (1 + 1) * (n + 1) * (n + 1)
PBS = 2 * (n + 1)²
Adım 3: Denklemi Çöz
Bize PBS'nin 98 olduğu verilmişti.
2 * (n + 1)² = 98
(n + 1)² = 49 (İki tarafı 2'ye böldük)
(Neyin karesi 49 eder? 7'nin)
n + 1 = 7 Cevap: n = 6
n pozitif bir tam sayıdır. A = 1500...0 (Sayının sonunda n tane sıfır vardır). A sayısının pozitif tam bölen sayısı 144 olduğuna göre, n kaçtır?
Sondaki 'n' tane sıfır, 10ⁿ demektir.
A = 15 * 10ⁿ
Adım 2: Tabanları Asal Yap
A = (3¹ · 5¹) * (2 · 5)ⁿ
A = (3¹ · 5¹) * (2ⁿ · 5ⁿ)
Adım 3: Tabanları Birleştir
A = 2ⁿ · 3¹ · (5¹ · 5ⁿ)
A = 2ⁿ · 3¹ · 5ⁿ⁺¹
Adım 4: PBS Formülünü Denkleme Dök
Üsler: {n, 1, n+1}
PBS = (n + 1) * (1 + 1) * (n + 1 + 1)
PBS = (n + 1) * 2 * (n + 2)
Adım 5: Denklemi Çöz
2 * (n + 1) * (n + 2) = 144
(n + 1) * (n + 2) = 72
Art arda gelen iki sayının çarpımı 72'dir. (8 * 9 = 72)
n + 1 = 8 => n = 7
n + 2 = 9 => n = 7 Cevap: n = 7
A sayısının asal olmayan tam bölen sayısı 45'tir. A sayısının asal bölen sayısı 3 olduğuna göre, A sayısının pozitif bölen sayısı (PBS) kaçtır?
(1) Tam Bölen Sayısı (TBS) = 2 * (PBS)
(2) Asal Olmayan Tam Bölen Sayısı = TBS - (Asal Bölen Sayısı)
Adım 2: Verilenleri Yerine Koy
Verilenler: Asal Olmayan TBS = 45, Asal Bölen Sayısı = 3.
(2) nolu formülü kullanalım:
45 = TBS - 3
TBS = 48
Adım 3: PBS'yi Bul
(1) nolu formülü kullanalım:
TBS = 2 * PBS
48 = 2 * PBS
PBS = 24 Cevap: 24
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
x ve y pozitif tam sayılardır.
180 · x = y²
olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
y² bir "tam kare" sayıdır (bir şeyin karesi). Bir sayının tam kare olması için, asal çarpanlarının tüm üsleri çift olmalıdır.
Soru: "180'i en az kaçla çarparsak tüm üsleri çift olur?"
Adım 2: 180'i Asal Çarpanlarına Ayır
180 = 18 * 10 = (2 · 9) * (2 · 5) = 2 · 3² · 2 · 5
180 = 2² · 3² · 5¹
Adım 3: Denklemi Yaz ve Eksikleri Bul
(2² · 3² · 5¹) · x = y²
Üsleri kontrol et: 2² (Çift, tamam), 3² (Çift, tamam), 5¹ (Tek, EKSİK!)
5¹ olan üssü çift yapmak için (yani 5² yapmak için) onu 5¹ ile çarpmalıyız.
x'in en küçük değeri 5¹ olmalıdır. Cevap: 5
x ve y pozitif tam sayılardır.
72 · x = y³
olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
y³ bir "tam küp" sayıdır. Bir sayının tam küp olması için, asal çarpanlarının tüm üsleri 3'ün katı olmalıdır (3, 6, 9...).
Adım 2: 72'yi Asal Çarpanlarına Ayır
72 = 8 * 9 = 2³ · 3²
Adım 3: Denklemi Yaz ve Eksikleri Bul
(2³ · 3²) · x = y³
Üsleri kontrol et: 2³ (3'ün katı, tamam), 3² (3'ün katı değil, EKSİK!)
3² olan üssü 3'ün katı (yani 3³) yapmak için onu 3¹ ile çarpmalıyız.
x'in en küçük değeri 3¹ olmalıdır. Cevap: 3
A = (3n + 15) / n ifadesi bir pozitif tam sayı olduğuna göre, n kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
A = (3n / n) + (15 / n)
A = 3 + (15 / n)
Adım 2: Yorumlama
A'nın tam sayı olması için, (15 / n) ifadesinin de tam sayı olması gerekir.
Bu, 'n' sayısının 15'i tam bölmesi gerektiği anlamına gelir.
n = 15'in tam sayı bölenleri: {1, 3, 5, 15} ve {-1, -3, -5, -15}
Adım 3: TUZAK! (A Pozitif Olmalı)
A = 3 + (15 / n) ifadesinin pozitif olması gerekir.
n= -1 -> A = 3 + (15/-1) = 3 - 15 = -12 (Pozitif değil, OLMAZ)
n= -3 -> A = 3 + (15/-3) = 3 - 5 = -2 (Pozitif değil, OLMAZ)
n= -5 -> A = 3 + (15/-5) = 3 - 3 = 0 (Pozitif değil, OLMAZ)
n= -15 -> A = 3 + (15/-15) = 3 - 1 = 2 (Pozitif, OLUR)
Adım 4: Sonuç
Pozitif değerler: {1, 3, 5, 15} (4 tane)
Negatif değerler: {-15} (1 tane)
Toplam: 4 + 1 = 5 Cevap: 5 farklı değer alabilir.
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Tebrikler! Bölüm 2'yi tamamladın. Şimdi 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.
Matematik Serüveni 🚀
Ünite 4 / Bölüm 2: Asal Çarpanlar (Ustalık Sınıfı)
Harika gidiyorsun! 🧑🏫
Bölüm 1'de temel formülleri öğrendik. Şimdi "Ustalık Sınıfı"na geçiyoruz.
Bu bölümde konu anlatımı yok. Sadece zor ve farklı tarzdaki örnek sorular ve onların adım adım çözümleri var.
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
120 sayısının pozitif çift tam bölenlerinin sayısı kaçtır?
120 = 12 * 10 = (4 * 3) * (2 * 5) = (2² * 3¹) * (2¹ * 5¹)
120 = 2³ · 3¹ · 5¹
Adım 2: Formülü Yorumla (Tüm Bölenler - Tek Bölenler)
Bir sayının ya çifttir ya da tektir. O zaman Tüm Pozitif Bölenlerden (PBS), Tek Pozitif Bölenleri çıkarırsak, geriye Çift Pozitif Bölenler kalır.
Adım 3: Tüm Bölenlerin Sayısı (PBS)
Üsler {3, 1, 1}. PBS = (3+1)(1+1)(1+1) = 4 * 2 * 2 = 16 tane.
Adım 4: Tek Bölenlerin Sayısı
Bir bölenin *tek* olması için içinde hiç 2 çarpanı olmamalıdır.
Bu yüzden sayıdan 2³ çarpanını atarız: Geriye 3¹ · 5¹ kalır.
Tek Bölen Sayısı = (1+1)(1+1) = 2 * 2 = 4 tane.
Adım 5: Sonuç
Çift Bölen Sayısı = (Tüm Bölenler) - (Tek Bölenler)
Çift Bölen Sayısı = 16 - 4 = 12 Cevap: 12
60 sayısının asal olmayan tam bölenlerinin toplamı kaçtır?
60'ın asal bölenleri: {2, 3, 5}
60'ın *tüm* tam bölenleri (TBS): {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, ..., 60, -60}
Adım 2: Mantığı Kavra (TUZAK!)
*Tüm* tam bölenlerin toplamı her zaman 0'dır. Çünkü +1 ile -1, +2 ile -2, +3 ile -3... birbirini götürür.
Soru bizden "asal olmayanları" istiyor.
Adım 3: Çözüm
Tüm Tam Bölenlerin Toplamı = (Asal Bölenler) + (Asal Olmayan Tam Bölenler)
0 = (2 + 3 + 5) + (Bizden İstenen Şey)
0 = 10 + (Bizden İstenen Şey)
(Bizden İstenen Şey) = -10
Kural: Asal olmayan tam bölenlerin toplamı, asal bölenlerin toplamının *negatiflisidir*. Cevap: -10
A = 120 · 6² olduğuna göre, A sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 120'nin katıdır?
A = 120 * 6² = (12 * 10) * (2 * 3)²
A = (2² · 3¹) * (2¹ · 5¹) * (2² · 3²)
A = 2⁵ · 3³ · 5¹
Adım 2: Soruyu Türkçeye Çevir
Bölenlerin 120'nin katı olması demek, bölenlerin içinde en az (120) çarpanının bulunması demektir.
120 = 2³ · 3¹ · 5¹
Yani bizden istenen bölenler
(2³·3¹·5¹) · K formatında olmalı.
Adım 3: 120'yi Dışarı Çıkar
A sayısından (2³·3¹·5¹)'i dışarı (cebimize) alalım:
A = (2³·3¹·5¹) · (Geriye Kalanlar)
Geriye Kalanlar = (2⁵·3³·5¹) / (2³·3¹·5¹) = 2² · 3²
Adım 4: Geriye Kalanın PBS'sini Bul
"Geriye Kalanlar" (yani 2²·3²) ifadesinin pozitif bölen sayısı (PBS), 120'nin yanına kaç farklı çarpan (K) gelebileceğini söyler.
K = 2² · 3²
PBS(K) = (2+1) * (2+1) = 3 * 3 = 9 Cevap: 9 tane
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
n pozitif bir tam sayıdır. A = 7 * 10ⁿ sayısının pozitif tam bölen sayısı 98 olduğuna göre, n kaçtır?
A = 7 * 10ⁿ (Dikkat! 10 asal değil)
A = 7¹ * (2 * 5)ⁿ
A = 7¹ * 2ⁿ * 5ⁿ
Adım 2: PBS Formülünü Denkleme Dök
Tabanlar {7, 2, 5} asal. Üsler {1, n, n}.
PBS = (Üsleri 1 artır ve çarp)
PBS = (1 + 1) * (n + 1) * (n + 1)
PBS = 2 * (n + 1)²
Adım 3: Denklemi Çöz
Bize PBS'nin 98 olduğu verilmişti.
2 * (n + 1)² = 98
(n + 1)² = 49 (İki tarafı 2'ye böldük)
(Neyin karesi 49 eder? 7'nin)
n + 1 = 7 Cevap: n = 6
n pozitif bir tam sayıdır. A = 1500...0 (Sayının sonunda n tane sıfır vardır). A sayısının pozitif tam bölen sayısı 144 olduğuna göre, n kaçtır?
Sondaki 'n' tane sıfır, 10ⁿ demektir.
A = 15 * 10ⁿ
Adım 2: Tabanları Asal Yap
A = (3¹ · 5¹) * (2 · 5)ⁿ
A = (3¹ · 5¹) * (2ⁿ · 5ⁿ)
Adım 3: Tabanları Birleştir
A = 2ⁿ · 3¹ · (5¹ · 5ⁿ)
A = 2ⁿ · 3¹ · 5ⁿ⁺¹
Adım 4: PBS Formülünü Denkleme Dök
Üsler: {n, 1, n+1}
PBS = (n + 1) * (1 + 1) * (n + 1 + 1)
PBS = (n + 1) * 2 * (n + 2)
Adım 5: Denklemi Çöz
2 * (n + 1) * (n + 2) = 144
(n + 1) * (n + 2) = 72
Art arda gelen iki sayının çarpımı 72'dir. (8 * 9 = 72)
n + 1 = 8 => n = 7
n + 2 = 9 => n = 7 Cevap: n = 7
A sayısının asal olmayan tam bölen sayısı 45'tir. A sayısının asal bölen sayısı 3 olduğuna göre, A sayısının pozitif bölen sayısı (PBS) kaçtır?
(1) Tam Bölen Sayısı (TBS) = 2 * (PBS)
(2) Asal Olmayan Tam Bölen Sayısı = TBS - (Asal Bölen Sayısı)
Adım 2: Verilenleri Yerine Koy
Verilenler: Asal Olmayan TBS = 45, Asal Bölen Sayısı = 3.
(2) nolu formülü kullanalım:
45 = TBS - 3
TBS = 48
Adım 3: PBS'yi Bul
(1) nolu formülü kullanalım:
TBS = 2 * PBS
48 = 2 * PBS
PBS = 24 Cevap: 24
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
x ve y pozitif tam sayılardır.
180 · x = y²
olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
y² bir "tam kare" sayıdır (bir şeyin karesi). Bir sayının tam kare olması için, asal çarpanlarının tüm üsleri çift olmalıdır.
Soru: "180'i en az kaçla çarparsak tüm üsleri çift olur?"
Adım 2: 180'i Asal Çarpanlarına Ayır
180 = 18 * 10 = (2 · 9) * (2 · 5) = 2 · 3² · 2 · 5
180 = 2² · 3² · 5¹
Adım 3: Denklemi Yaz ve Eksikleri Bul
(2² · 3² · 5¹) · x = y²
Üsleri kontrol et: 2² (Çift, tamam), 3² (Çift, tamam), 5¹ (Tek, EKSİK!)
5¹ olan üssü çift yapmak için (yani 5² yapmak için) onu 5¹ ile çarpmalıyız.
x'in en küçük değeri 5¹ olmalıdır. Cevap: 5
x ve y pozitif tam sayılardır.
72 · x = y³
olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
y³ bir "tam küp" sayıdır. Bir sayının tam küp olması için, asal çarpanlarının tüm üsleri 3'ün katı olmalıdır (3, 6, 9...).
Adım 2: 72'yi Asal Çarpanlarına Ayır
72 = 8 * 9 = 2³ · 3²
Adım 3: Denklemi Yaz ve Eksikleri Bul
(2³ · 3²) · x = y³
Üsleri kontrol et: 2³ (3'ün katı, tamam), 3² (3'ün katı değil, EKSİK!)
3² olan üssü 3'ün katı (yani 3³) yapmak için onu 3¹ ile çarpmalıyız.
x'in en küçük değeri 3¹ olmalıdır. Cevap: 3
A = (3n + 15) / n ifadesi bir pozitif tam sayı olduğuna göre, n kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
A = (3n / n) + (15 / n)
A = 3 + (15 / n)
Adım 2: Yorumlama
A'nın tam sayı olması için, (15 / n) ifadesinin de tam sayı olması gerekir.
Bu, 'n' sayısının 15'i tam bölmesi gerektiği anlamına gelir.
n = 15'in tam sayı bölenleri: {1, 3, 5, 15} ve {-1, -3, -5, -15}
Adım 3: TUZAK! (A Pozitif Olmalı)
A = 3 + (15 / n) ifadesinin pozitif olması gerekir.
n= -1 -> A = 3 + (15/-1) = 3 - 15 = -12 (Pozitif değil, OLMAZ)
n= -3 -> A = 3 + (15/-3) = 3 - 5 = -2 (Pozitif değil, OLMAZ)
n= -5 -> A = 3 + (15/-5) = 3 - 3 = 0 (Pozitif değil, OLMAZ)
n= -15 -> A = 3 + (15/-15) = 3 - 1 = 2 (Pozitif, OLUR)
Adım 4: Sonuç
Pozitif değerler: {1, 3, 5, 15} (4 tane)
Negatif değerler: {-15} (1 tane)
Toplam: 4 + 1 = 5 Cevap: 5 farklı değer alabilir.
Şimdi 3 soruluk son mini sınava, sonra da finale!
Tebrikler! Bölüm 2'yi tamamladın. Şimdi 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.