Matematik Serüveni 🚀
Ünite 5 / Bölüm 1: Birinci Dereceden Denklemler
Yeni ünitemize hoş geldin! 🧑🏫
Burası matematiğin kalbidir. Problem çözmenin "motoru" olan denklem çözmeyi öğreneceğiz.
Bu konuda ustalaşırsan, matematiğin geri kalanı çok daha kolay gelecek. Tek bir hedefimiz var: "x'i yalnız bırakmak."
Hazır mısın?
Bölüm 1: Adımlar
Sevgili öğrencim, denklem çözmek bir sanattır ve bu sanatın tek bir kuralı vardır: "x'i yalnız bırakmak."
Bir denklem, iki kefesi dengede olan bir terazidir. a ve b bilinen sayılar (a ≠ 0) olmak üzere ax + b = 0 şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Eşitliğin bir tarafına ne yaparsan, diğer tarafına da aynısını yapmak zorundasın.
3x - 5 = 13denkleminde-5'i yok etmek için sol tarafa+5eklersin. Denge bozulmasın diye sağa da+5eklersin.3x - 5 + 5 = 13 + 5=>3x = 18olur.- Kısa Yol (Karşıya Atma): İşte bu yüzden bir terim, eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek geçer.
3x - 5 = 13 denklemini çözünüz.
-5'i karşıya +5 olarak at.
3x = 13 + 5
3x = 18
2. Adım:
x'in başındaki çarpım (3·) karşıya bölüm (/ 3) olarak geçer.
x = 18 / 3
x = 6
Cevap: x = 6
4(x - 2) + 3 = 19 denklemini çözünüz.
4'ü içeri dağıt.
(4·x) - (4·2) + 3 = 19
4x - 8 + 3 = 19
2. Adım: Sayıları sadeleştir.
4x - 5 = 19
3. Adım: Temel denklemi çöz.
-5'i karşıya +5 olarak at.
4x = 19 + 5
4x = 24
x = 24 / 4 = 6
Cevap: x = 6
5 - 2(1 - x) = 11 denklemini çözünüz.
2'yi değil, -2'yi dağıtıyoruz.
5 + (-2·1) + (-2·-x) = 11
5 - 2 + 2x = 11 (En çok hata -2x yazılınca yapılır!)
2. Adım: Sadeleştir ve çöz.
3 + 2x = 11
2x = 11 - 3
2x = 8
x = 4
Cevap: x = 4
Bir sayının 3 katının 5 eksiği, aynı sayının 7 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?
x de.
Sayının 3 katının 5 eksiği:
3x - 5
Aynı sayının 7 fazlası:
x + 7
2. Adım: Eşitle ve çöz.
3x - 5 = x + 7
3x - x = 7 + 5
2x = 12
x = 6
Cevap: x = 6
Şekildeki ABC üçgeninde B açısı, A açısının 2 katı; C açısı ise A açısının 3 katıdır. B açısı kaç derecedir?
A açısı =
x
B açısı =
2x (A'nın 2 katı)
C açısı =
3x (A'nın 3 katı)
2. Adım: Kuralı hatırla ve denklemi kur.
Kural: Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
A + B + C = 180
x + 2x + 3x = 180
3. Adım: Çöz ve bitir.
6x = 180
x = 30 derece. (Bu A açısıdır)
Soru bizden B açısını istiyor:
B = 2x = 2 · 30 = 60 derece. Cevap: 60
Şekildeki terazi dengededir. Bir dairenin kütlesi 3 kg olduğuna göre, bir karenin kütlesi kaç kg'dır?
Kare =
x kg (bilinmeyen)
Daire =
3 kg (bilinen)
2. Adım: Terazinin kefelerini denkleme dök.
Sol Kefe: 2 Kare + 1 Daire =
2x + 3
Sağ Kefe: 1 Kare + 3 Daire =
x + 3(3) = x + 9
3. Adım: Eşitle ve çöz.
2x + 3 = x + 9
2x - x = 9 - 3
x = 6
Cevap: Karenin kütlesi 6 kg'dır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Gözünü korkutmasın! Eğer denklemde kesirler (bölme) varsa, ilk işimiz paydalardan kurtulmaktır.
(x / 3) + 1 = 5 denklemini çözünüz.
x'li terimi yalnız bırak. +1'i karşıya -1 olarak at.
x / 3 = 5 - 1
x / 3 = 4
2. Adım:
/ 3 (bölü 3) karşıya · 3 (çarpı 3) olarak geçer (içler-dışlar).
x = 4 · 3
x = 12
Cevap: x = 12
(2x - 1) / 3 = (x + 4) / 2 denklemini çözünüz.
(Solun payı [
2x-1] ile sağın paydası [2] çarpılır, solun paydası [3] ile sağın payı [x+4] çarpılır)
2 · (2x - 1) = 3 · (x + 4)
2. Adım: Parantezleri dağıt (Adım A'ya döndük).
4x - 2 = 3x + 12
3. Adım: Bilinenleri ve bilinmeyenleri ayır.
4x - 3x = 12 + 2
x = 14
Cevap: x = 14
Bir miktar para 5 kişiye eşit olarak paylaştırılıyor. Eğer aynı para 8 kişiye paylaştırılsaydı kişi başına 12 TL daha az düşecekti. Paylaştırılan toplam para kaç TL'dir?
P de.
5 kişiye paylaştırılırsa kişi başı para:
P / 5
8 kişiye paylaştırılırsa kişi başı para:
P / 8
2. Adım: Denklemi kur.
(İlk durum) - (İkinci durum) = 12 TL fark
(P / 5) - (P / 8) = 12
3. Adım: Payda eşitle (5 ve 8, 40'ta eşitlenir).
(8P / 40) - (5P / 40) = 12
3P / 40 = 12
4. Adım:
P'yi yalnız bırak.
3P = 12 · 40
3P = 480
P = 480 / 3 = 160
Cevap: 160 TL
x / (x - 2) - 4 / (x + 2) = 8 / (x² - 4) denkleminin çözüm kümesi nedir?
x² - 4 ifadesinin (x - 2)(x + 2) olduğunu gör. Bu, payda eşitlememiz için bir ipucudur.
Kritik Not:
x=2 ve x=-2 olamaz, çünkü paydayı sıfır yaparlar. Buna "tanım kümesi" denir.
2. Adım: Paydaları eşitle (Tüm paydalar (x²-4) olmalı).
İlk kesri
(x+2) ile, ikinci kesri (x-2) ile genişlet.
[x(x + 2) - 4(x - 2)] / (x² - 4) = 8 / (x² - 4)
3. Adım: Paydalar eşitse, paylar da eşittir.
x(x + 2) - 4(x - 2) = 8
x² + 2x - 4x + 8 = 8 (Eksiyi dağıtmaya DİKKAT!)
4. Adım: Sadeleştir ve Kökleri Bul.
x² - 2x + 8 = 8
x² - 2x = 0 (+8 karşıya -8 olarak geçti ve sıfırlandı)
x(x - 2) = 0 (Ortak paranteze al)
Olası kökler:
x = 0 veya x = 2
5. Adım: KRİTİK KONTROL!
x = 0 denklemi sağlar.
x = 2 ise 1. Adım'da belirlediğimiz gibi paydayı sıfır yapar (2 / (2-2) tanımsız olur). Bu nedenle x=2 "yalancı kök"tür ve çözüm olamaz.
Çözüm Kümesi: {0}
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
İki bilinmeyen (x ve y) varsa, onları çözmek için bize iki ayrı denklem gerekir. İki süper yöntemimiz var.
Denklemleri alt alta topladığımızda (veya çıkardığımızda) bilinmeyenlerden birinin yok olmasını hedefleriz.
Örn:
+3y ve -3y. Bu ikisi toplanınca 0 (sıfır) olur ve 'y' yok olur.
2x + y = 7
x - y = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
2x + y = 7
x - y = 2
(
+y ve -y zaten yok olmaya hazır!)
2. Adım: Taraf tarafa topla.
(2x + x) = 3x
(+y) + (-y) = 0 (y'ler yok oldu!)
(7 + 2) = 9
3x = 9 => x = 3
Cevap: x = 3
Toplamları 25, farkları 7 olan iki sayıdan büyük olanı kaçtır?
x (büyük) ve y (küçük) de.
Toplamları 25:
x + y = 25
Farkları 7:
x - y = 7
2. Adım: Taraf tarafa topla.
2x = 32
x = 16
Cevap: Büyük sayı 16'dır.
3x + 2y = 16
2x - 3y = 2
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
+2y ve -3y)
Payda eşitler gibi (2 ve 3, 6'da eşitlenir).
+6y ve -6y yapmalıyız.
Üstteki denklemi (3) ile, alttaki denklemi (2) ile çarp.
3 / (3x + 2y = 16) => 9x + 6y = 48
2 / (2x - 3y = 2) => 4x - 6y = 4
2. Adım: Yeni denklemleri topla.
13x = 52 => x = 4
3. Adım:
x=4'ü ilk denklemde yerine koyup 'y'yi bul.
3(4) + 2y = 16
12 + 2y = 16
2y = 4 => y = 2
4. Adım: Toplamı bul.
x + y = 4 + 2 = 6
Cevap: 6
Denklemlerden birinde bir bilinmeyeni (x veya y) yalnız bırakırız ve bu ifadeyi diğer denklemde "yerine koyarız".
y = x + 1
2x + 3y = 8
olduğuna göre, x kaçtır?
y'nin neye eşit olduğunu zaten söylemiş: y gördüğün yere (x + 1) yaz.
İkinci denklemdeki
y yerine (x + 1) yaz.
2x + 3(x + 1) = 8
2. Adım: Denklemi çöz (Bölüm 1'e döndük).
2x + 3x + 3 = 8
5x + 3 = 8
5x = 5 => x = 1
Cevap: x = 1
3a = 4b ve a + b = 21 ise, a - b farkı kaçtır?
3a = 4b
Bu durumda 'a' karşıdaki 4'ün katı, 'b' karşıdaki 3'ün katıdır.
a = 4k, b = 3k
2. Adım: 'k'yı bulmak için ikinci denklemi kullan.
a + b = 21
(4k) + (3k) = 21
7k = 21 => k = 3
3. Adım: a ve b'yi bul.
a = 4k = 4 · 3 = 12
b = 3k = 3 · 3 = 9
4. Adım: Soru kökünü çöz.
a - b = 12 - 9 = 3
Cevap: 3
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Mutlak değer, bir sayının 0'a olan uzaklığıdır. Uzaklık asla negatif olamaz! Bu en kritik bilgimiz.
a > 0 olmak üzere:
|f(x)| = a
"Neyin 0'a uzaklığı 'a' eder?" diye sorarız. Cevap:
a'nın ve -a'nın.
Çözüm:
f(x) = a veya f(x) = -a
Kural 2:
|f(x)| = |g(x)|
Çözüm:
f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x)
|2x - 1| = 7 denklemini çözünüz.
İçerideki
2x - 1 ifadesi ya 7'dir ya da -7'dir.
Durum 1:
2x - 1 = 7
2x = 8 => x = 4
Durum 2:
2x - 1 = -7
2x = -6 => x = -3
Kökler 4 ve -3'tür. Çözüm Kümesi: {-3, 4}
|2x + 1| = |x + 5| denkleminin çözüm kümesi nedir?
2x + 1 = x + 5
2x - x = 5 - 1 => x = 4 (Bu birinci kök)
2. Adım: Birini diğerinin eksilisine eşitle.
2x + 1 = -(x + 5)
2x + 1 = -x - 5
2x + x = -5 - 1
3x = -6 => x = -2 (Bu ikinci kök)
Çözüm Kümesi: {4, -2}
|x - 2| + |2x - 4| = 9 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
|2x - 4| ifadesi |2(x - 2)| demektir.
Mutlak değer kuralı:
|a · b| = |a| · |b|
|2| · |x - 2| = 2|x - 2|
2. Adım: Denklemi yeniden yaz.
|x - 2| + 2|x - 2| = 9
(1 tane elma + 2 tane elma = 3 tane elma)
3|x - 2| = 9
|x - 2| = 3
3. Adım: Temel kuralı uygula.
Durum 1:
x - 2 = 3 => x = 5
Durum 2:
x - 2 = -3 => x = -1
4. Adım: Kökleri topla.
5 + (-1) = 4
Cevap: 4
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Bu adımda "kökü yerine koyma" ve "yalancı kök" gibi çok kritik iki tekniği göreceğiz.
ax + 12 = 0 denkleminin çözüm kümesi x = -3 ise, (a-1)x + a = 0 denkleminin kökü kaçtır?
Kural: Kök denklemi sağlar. Yani
x = -3 ilk denklemi sağlamak zorundadır. x yerine -3 yazalım:
a(-3) + 12 = 0
-3a = -12
a = 4
2. Adım: 'a'yı ikinci denklemde yerine yaz.
(a-1)x + a = 0
(4-1)x + 4 = 0
3x + 4 = 0
3. Adım: Yeni denklemi çöz.
3x = -4
x = -4/3
Cevap: -4/3
√(x + 3) = 4 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
(√(x + 3))² = 4²
x + 3 = 16
2. Adım: Çöz.
x = 16 - 3
x = 13
3. Adım: (Alışkanlık olsun) Kontrol et.
√(13 + 3) = √16 = 4. Eşitlik sağlandı.
Cevap: 13
√(2x + 1) = x - 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
(√(2x + 1))² = (x - 1)²
2x + 1 = x² - 2x + 1
2. Adım: Hepsini bir tarafa topla (İkinci derece denklem oluştu).
0 = x² - 2x - 2x + 1 - 1
0 = x² - 4x
3. Adım: Kökleri bul (Çarpanlara Ayırma).
x(x - 4) = 0
Olası kökler:
x = 0 veya x = 4
4. Adım: KRİTİK KONTROL! (Mutlaka yapılmalı!)
Karekökün sonucu (yani
x-1) asla negatif olamaz!
x = 0 için:
√(2·0 + 1) = 0 - 1 => √1 = -1 => 1 = -1 (YANLIŞ!)
Bu nedenle
x=0 "yalancı kök"tür.
x = 4 için:
√(2·4 + 1) = 4 - 1 => √9 = 3 => 3 = 3 (DOĞRU!)
Çözüm Kümesi: {4}
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Tebrikler! Bölüm 1'i tamamladın. Şimdi tüm bu öğrendiklerimizi birleştiren 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.
Matematik Serüveni 🚀
Ünite 5 / Bölüm 1: Birinci Dereceden Denklemler
Yeni ünitemize hoş geldin! 🧑🏫
Burası matematiğin kalbidir. Problem çözmenin "motoru" olan denklem çözmeyi öğreneceğiz.
Bu konuda ustalaşırsan, matematiğin geri kalanı çok daha kolay gelecek. Tek bir hedefimiz var: "x'i yalnız bırakmak."
Hazır mısın?
Bölüm 1: Adımlar
Sevgili öğrencim, denklem çözmek bir sanattır ve bu sanatın tek bir kuralı vardır: "x'i yalnız bırakmak."
Bir denklem, iki kefesi dengede olan bir terazidir. a ve b bilinen sayılar (a ≠ 0) olmak üzere ax + b = 0 şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Eşitliğin bir tarafına ne yaparsan, diğer tarafına da aynısını yapmak zorundasın.
3x - 5 = 13denkleminde-5'i yok etmek için sol tarafa+5eklersin. Denge bozulmasın diye sağa da+5eklersin.3x - 5 + 5 = 13 + 5=>3x = 18olur.- Kısa Yol (Karşıya Atma): İşte bu yüzden bir terim, eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek geçer.
3x - 5 = 13 denklemini çözünüz.
-5'i karşıya +5 olarak at.
3x = 13 + 5
3x = 18
2. Adım:
x'in başındaki çarpım (3·) karşıya bölüm (/ 3) olarak geçer.
x = 18 / 3
x = 6
Cevap: x = 6
4(x - 2) + 3 = 19 denklemini çözünüz.
4'ü içeri dağıt.
(4·x) - (4·2) + 3 = 19
4x - 8 + 3 = 19
2. Adım: Sayıları sadeleştir.
4x - 5 = 19
3. Adım: Temel denklemi çöz.
-5'i karşıya +5 olarak at.
4x = 19 + 5
4x = 24
x = 24 / 4 = 6
Cevap: x = 6
5 - 2(1 - x) = 11 denklemini çözünüz.
2'yi değil, -2'yi dağıtıyoruz.
5 + (-2·1) + (-2·-x) = 11
5 - 2 + 2x = 11 (En çok hata -2x yazılınca yapılır!)
2. Adım: Sadeleştir ve çöz.
3 + 2x = 11
2x = 11 - 3
2x = 8
x = 4
Cevap: x = 4
Bir sayının 3 katının 5 eksiği, aynı sayının 7 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?
x de.
Sayının 3 katının 5 eksiği:
3x - 5
Aynı sayının 7 fazlası:
x + 7
2. Adım: Eşitle ve çöz.
3x - 5 = x + 7
3x - x = 7 + 5
2x = 12
x = 6
Cevap: x = 6
Şekildeki ABC üçgeninde B açısı, A açısının 2 katı; C açısı ise A açısının 3 katıdır. B açısı kaç derecedir?
A açısı =
x
B açısı =
2x (A'nın 2 katı)
C açısı =
3x (A'nın 3 katı)
2. Adım: Kuralı hatırla ve denklemi kur.
Kural: Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
A + B + C = 180
x + 2x + 3x = 180
3. Adım: Çöz ve bitir.
6x = 180
x = 30 derece. (Bu A açısıdır)
Soru bizden B açısını istiyor:
B = 2x = 2 · 30 = 60 derece. Cevap: 60
Şekildeki terazi dengededir. Bir dairenin kütlesi 3 kg olduğuna göre, bir karenin kütlesi kaç kg'dır?
Kare =
x kg (bilinmeyen)
Daire =
3 kg (bilinen)
2. Adım: Terazinin kefelerini denkleme dök.
Sol Kefe: 2 Kare + 1 Daire =
2x + 3
Sağ Kefe: 1 Kare + 3 Daire =
x + 3(3) = x + 9
3. Adım: Eşitle ve çöz.
2x + 3 = x + 9
2x - x = 9 - 3
x = 6
Cevap: Karenin kütlesi 6 kg'dır.
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Gözünü korkutmasın! Eğer denklemde kesirler (bölme) varsa, ilk işimiz paydalardan kurtulmaktır.
(x / 3) + 1 = 5 denklemini çözünüz.
x'li terimi yalnız bırak. +1'i karşıya -1 olarak at.
x / 3 = 5 - 1
x / 3 = 4
2. Adım:
/ 3 (bölü 3) karşıya · 3 (çarpı 3) olarak geçer (içler-dışlar).
x = 4 · 3
x = 12
Cevap: x = 12
(2x - 1) / 3 = (x + 4) / 2 denklemini çözünüz.
(Solun payı [
2x-1] ile sağın paydası [2] çarpılır, solun paydası [3] ile sağın payı [x+4] çarpılır)
2 · (2x - 1) = 3 · (x + 4)
2. Adım: Parantezleri dağıt (Adım A'ya döndük).
4x - 2 = 3x + 12
3. Adım: Bilinenleri ve bilinmeyenleri ayır.
4x - 3x = 12 + 2
x = 14
Cevap: x = 14
Bir miktar para 5 kişiye eşit olarak paylaştırılıyor. Eğer aynı para 8 kişiye paylaştırılsaydı kişi başına 12 TL daha az düşecekti. Paylaştırılan toplam para kaç TL'dir?
P de.
5 kişiye paylaştırılırsa kişi başı para:
P / 5
8 kişiye paylaştırılırsa kişi başı para:
P / 8
2. Adım: Denklemi kur.
(İlk durum) - (İkinci durum) = 12 TL fark
(P / 5) - (P / 8) = 12
3. Adım: Payda eşitle (5 ve 8, 40'ta eşitlenir).
(8P / 40) - (5P / 40) = 12
3P / 40 = 12
4. Adım:
P'yi yalnız bırak.
3P = 12 · 40
3P = 480
P = 480 / 3 = 160
Cevap: 160 TL
x / (x - 2) - 4 / (x + 2) = 8 / (x² - 4) denkleminin çözüm kümesi nedir?
x² - 4 ifadesinin (x - 2)(x + 2) olduğunu gör. Bu, payda eşitlememiz için bir ipucudur.
Kritik Not:
x=2 ve x=-2 olamaz, çünkü paydayı sıfır yaparlar. Buna "tanım kümesi" denir.
2. Adım: Paydaları eşitle (Tüm paydalar (x²-4) olmalı).
İlk kesri
(x+2) ile, ikinci kesri (x-2) ile genişlet.
[x(x + 2) - 4(x - 2)] / (x² - 4) = 8 / (x² - 4)
3. Adım: Paydalar eşitse, paylar da eşittir.
x(x + 2) - 4(x - 2) = 8
x² + 2x - 4x + 8 = 8 (Eksiyi dağıtmaya DİKKAT!)
4. Adım: Sadeleştir ve Kökleri Bul.
x² - 2x + 8 = 8
x² - 2x = 0 (+8 karşıya -8 olarak geçti ve sıfırlandı)
x(x - 2) = 0 (Ortak paranteze al)
Olası kökler:
x = 0 veya x = 2
5. Adım: KRİTİK KONTROL!
x = 0 denklemi sağlar.
x = 2 ise 1. Adım'da belirlediğimiz gibi paydayı sıfır yapar (2 / (2-2) tanımsız olur). Bu nedenle x=2 "yalancı kök"tür ve çözüm olamaz.
Çözüm Kümesi: {0}
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
İki bilinmeyen (x ve y) varsa, onları çözmek için bize iki ayrı denklem gerekir. İki süper yöntemimiz var.
Denklemleri alt alta topladığımızda (veya çıkardığımızda) bilinmeyenlerden birinin yok olmasını hedefleriz.
Örn:
+3y ve -3y. Bu ikisi toplanınca 0 (sıfır) olur ve 'y' yok olur.
2x + y = 7
x - y = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
2x + y = 7
x - y = 2
(
+y ve -y zaten yok olmaya hazır!)
2. Adım: Taraf tarafa topla.
(2x + x) = 3x
(+y) + (-y) = 0 (y'ler yok oldu!)
(7 + 2) = 9
3x = 9 => x = 3
Cevap: x = 3
Toplamları 25, farkları 7 olan iki sayıdan büyük olanı kaçtır?
x (büyük) ve y (küçük) de.
Toplamları 25:
x + y = 25
Farkları 7:
x - y = 7
2. Adım: Taraf tarafa topla.
2x = 32
x = 16
Cevap: Büyük sayı 16'dır.
3x + 2y = 16
2x - 3y = 2
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
+2y ve -3y)
Payda eşitler gibi (2 ve 3, 6'da eşitlenir).
+6y ve -6y yapmalıyız.
Üstteki denklemi (3) ile, alttaki denklemi (2) ile çarp.
3 / (3x + 2y = 16) => 9x + 6y = 48
2 / (2x - 3y = 2) => 4x - 6y = 4
2. Adım: Yeni denklemleri topla.
13x = 52 => x = 4
3. Adım:
x=4'ü ilk denklemde yerine koyup 'y'yi bul.
3(4) + 2y = 16
12 + 2y = 16
2y = 4 => y = 2
4. Adım: Toplamı bul.
x + y = 4 + 2 = 6
Cevap: 6
Denklemlerden birinde bir bilinmeyeni (x veya y) yalnız bırakırız ve bu ifadeyi diğer denklemde "yerine koyarız".
y = x + 1
2x + 3y = 8
olduğuna göre, x kaçtır?
y'nin neye eşit olduğunu zaten söylemiş: y gördüğün yere (x + 1) yaz.
İkinci denklemdeki
y yerine (x + 1) yaz.
2x + 3(x + 1) = 8
2. Adım: Denklemi çöz (Bölüm 1'e döndük).
2x + 3x + 3 = 8
5x + 3 = 8
5x = 5 => x = 1
Cevap: x = 1
3a = 4b ve a + b = 21 ise, a - b farkı kaçtır?
3a = 4b
Bu durumda 'a' karşıdaki 4'ün katı, 'b' karşıdaki 3'ün katıdır.
a = 4k, b = 3k
2. Adım: 'k'yı bulmak için ikinci denklemi kullan.
a + b = 21
(4k) + (3k) = 21
7k = 21 => k = 3
3. Adım: a ve b'yi bul.
a = 4k = 4 · 3 = 12
b = 3k = 3 · 3 = 9
4. Adım: Soru kökünü çöz.
a - b = 12 - 9 = 3
Cevap: 3
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Mutlak değer, bir sayının 0'a olan uzaklığıdır. Uzaklık asla negatif olamaz! Bu en kritik bilgimiz.
a > 0 olmak üzere:
|f(x)| = a
"Neyin 0'a uzaklığı 'a' eder?" diye sorarız. Cevap:
a'nın ve -a'nın.
Çözüm:
f(x) = a veya f(x) = -a
Kural 2:
|f(x)| = |g(x)|
Çözüm:
f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x)
|2x - 1| = 7 denklemini çözünüz.
İçerideki
2x - 1 ifadesi ya 7'dir ya da -7'dir.
Durum 1:
2x - 1 = 7
2x = 8 => x = 4
Durum 2:
2x - 1 = -7
2x = -6 => x = -3
Kökler 4 ve -3'tür. Çözüm Kümesi: {-3, 4}
|2x + 1| = |x + 5| denkleminin çözüm kümesi nedir?
2x + 1 = x + 5
2x - x = 5 - 1 => x = 4 (Bu birinci kök)
2. Adım: Birini diğerinin eksilisine eşitle.
2x + 1 = -(x + 5)
2x + 1 = -x - 5
2x + x = -5 - 1
3x = -6 => x = -2 (Bu ikinci kök)
Çözüm Kümesi: {4, -2}
|x - 2| + |2x - 4| = 9 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
|2x - 4| ifadesi |2(x - 2)| demektir.
Mutlak değer kuralı:
|a · b| = |a| · |b|
|2| · |x - 2| = 2|x - 2|
2. Adım: Denklemi yeniden yaz.
|x - 2| + 2|x - 2| = 9
(1 tane elma + 2 tane elma = 3 tane elma)
3|x - 2| = 9
|x - 2| = 3
3. Adım: Temel kuralı uygula.
Durum 1:
x - 2 = 3 => x = 5
Durum 2:
x - 2 = -3 => x = -1
4. Adım: Kökleri topla.
5 + (-1) = 4
Cevap: 4
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Bu adımda "kökü yerine koyma" ve "yalancı kök" gibi çok kritik iki tekniği göreceğiz.
ax + 12 = 0 denkleminin çözüm kümesi x = -3 ise, (a-1)x + a = 0 denkleminin kökü kaçtır?
Kural: Kök denklemi sağlar. Yani
x = -3 ilk denklemi sağlamak zorundadır. x yerine -3 yazalım:
a(-3) + 12 = 0
-3a = -12
a = 4
2. Adım: 'a'yı ikinci denklemde yerine yaz.
(a-1)x + a = 0
(4-1)x + 4 = 0
3x + 4 = 0
3. Adım: Yeni denklemi çöz.
3x = -4
x = -4/3
Cevap: -4/3
√(x + 3) = 4 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
(√(x + 3))² = 4²
x + 3 = 16
2. Adım: Çöz.
x = 16 - 3
x = 13
3. Adım: (Alışkanlık olsun) Kontrol et.
√(13 + 3) = √16 = 4. Eşitlik sağlandı.
Cevap: 13
√(2x + 1) = x - 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
(√(2x + 1))² = (x - 1)²
2x + 1 = x² - 2x + 1
2. Adım: Hepsini bir tarafa topla (İkinci derece denklem oluştu).
0 = x² - 2x - 2x + 1 - 1
0 = x² - 4x
3. Adım: Kökleri bul (Çarpanlara Ayırma).
x(x - 4) = 0
Olası kökler:
x = 0 veya x = 4
4. Adım: KRİTİK KONTROL! (Mutlaka yapılmalı!)
Karekökün sonucu (yani
x-1) asla negatif olamaz!
x = 0 için:
√(2·0 + 1) = 0 - 1 => √1 = -1 => 1 = -1 (YANLIŞ!)
Bu nedenle
x=0 "yalancı kök"tür.
x = 4 için:
√(2·4 + 1) = 4 - 1 => √9 = 3 => 3 = 3 (DOĞRU!)
Çözüm Kümesi: {4}
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
Tebrikler! Bölüm 1'i tamamladın. Şimdi tüm bu öğrendiklerimizi birleştiren 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.