Matematik Serüveni 🚀
Ünite 5 / Bölüm 2: Denklemler (Ustalık Sınıfı)
Bölüm 1'deki temelleri bitirdin. 🧑🏫
Şimdi "Ustalık Sınıfı"na geçiyoruz. Konu anlatımı yok, sadece Bölüm 1'den daha zorlu, çok adımlı ve daha kafa karıştırıcı örnekler ve çözümleri var.
Paydada 'x' olan denklemler, "yerine koyma" metodu ve "boş küme" tuzağı gibi kritik konulara odaklanacağız.
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
(x + 1) / 2 - (x - 1) / 3 = 2
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
İlk kesri (3) ile, ikinci kesri (2) ile genişlet.
[ 3 · (x + 1) / 6 ] - [ 2 · (x - 1) / 6 ] = 2
2. Adım: KRİTİK TUZAK! (Eksiyi Dağıtma)
Kesirlerin önündeki eksi (
-), ikinci kesrin tüm payını etkiler.
[ 3x + 3 ] - [ 2x - 2 ] / 6 = 2
Parantezi açarken
- dağılır:
(3x + 3 - 2x + 2) / 6 = 2 (Dikkat: -2x ve +2 oldu)
3. Adım: Payı sadeleştir ve çöz.
(x + 5) / 6 = 2
x + 5 = 12
x = 12 - 5 = 7
Cevap: x = 7
(3 / x) + (5 / 2) = 4
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
+5/2'yi karşıya -5/2 olarak atalım.
3 / x = 4 - (5 / 2)
2. Adım: Sağ tarafta payda eşitle.
3 / x = (8 / 2) - (5 / 2)
3 / x = 3 / 2
3. Adım: Yorumla veya İçler-Dışlar yap.
Paylar (3) eşit olduğuna göre, paydalar da (x ve 2) eşit olmalıdır.
x = 2
Cevap: x = 2
x / (x - 3) - 2 / (x + 3) = 18 / (x² - 9)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
x² - 9 ifadesinin (x - 3)(x + 3) olduğunu gör.
Kritik Not:
x=3 ve x=-3 olamaz, çünkü paydayı sıfır yaparlar.
2. Adım: Paydaları eşitle.
İlk kesri
(x+3) ile, ikinci kesri (x-3) ile genişlet.
[x(x + 3) - 2(x - 3)] / (x² - 9) = 18 / (x² - 9)
3. Adım: Paydalar eşitse, paylar da eşittir.
x(x + 3) - 2(x - 3) = 18
x² + 3x - 2x + 6 = 18 (Eksiyi dağıtmaya DİKKAT!)
4. Adım: Sadeleştir ve Kökleri Bul (2. Derece Denklem).
x² + x + 6 = 18
x² + x - 12 = 0
(Çarpımları -12, toplamları +1 olan sayılar: +4 ve -3)
(x + 4)(x - 3) = 0
Olası kökler:
x = -4 veya x = 3
5. Adım: KRİTİK KONTROL!
x = -4 denklemi sağlar.
x = 3 ise 1. Adım'da belirlediğimiz gibi paydayı sıfır yapar. Bu nedenle x=3 "yalancı kök"tür ve çözüm olamaz.
Çözüm Kümesi: {-4}
Şimdi 3 soruluk zorlu mini sınava geçelim!
y = 2x - 1
3x + 2y = 19
olduğuna göre, x kaçtır?
İlk denklem bize 'y'nin neye eşit olduğunu zaten söylemiş:
y gördüğün yere (2x - 1) yaz.
2. Adım: İkinci denklemde 'y' yerine değerini yaz.
3x + 2y = 19
3x + 2 · (2x - 1) = 19
3. Adım: Parantezi dağıt ve çöz (Bölüm 1'e döndük).
3x + 4x - 2 = 19
7x - 2 = 19
7x = 21
x = 3
Cevap: x = 3
x - 3y = 5
2x - 5y = 9
olduğuna göre, x kaçtır?
Yok etme metodu burada zahmetli (ilkini -2 ile çarpmak gerekir).
Daha kolay yol: İlk denklemde
-3y'yi karşıya atıp x'i yalnız bırak.
x = 5 + 3y
2. Adım: Bulduğun 'x' değerini ikinci denklemde yerine koy.
2x - 5y = 9
2 · (5 + 3y) - 5y = 9
3. Adım: 'y'yi bul.
10 + 6y - 5y = 9
10 + y = 9
y = 9 - 10 => y = -1
4. Adım: 'x'i bul (Bitmedi!)
Soru bizden 'x'i istiyordu.
y = -1 değerini ilk denklemde (x = 5 + 3y) yerine yaz.
x = 5 + 3(-1) = 5 - 3 = 2
Cevap: x = 2
(1 / x) + (1 / y) = 5
(3 / x) - (2 / y) = -5
olduğuna göre, x kaçtır?
Payda eşitlemek burada işi felakete götürür.
1/x ve 1/y'yi birer değişken gibi düşün (sanki 'a' ve 'b' imiş gibi).
a = 1/x ve b = 1/y olsun.
Denklemler:
a + b = 5 ve 3a - 2b = -5
2. Adım: 'a'yı bulmak için 'b'yi yok et.
İlk denklemi (2) ile çarp.
2a + 2b = 10
3a - 2b = -5
3. Adım: Taraf tarafa topla.
5a = 5 => a = 1
4. Adım: 'x'i bul.
a = 1/x demiştik.
1 = 1 / x => x = 1
Cevap: x = 1
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
3(x + 2) = 2x + x + 6
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Sol Taraf:
3(x + 2) = 3x + 6
Sağ Taraf:
2x + x + 6 = 3x + 6
2. Adım: Denklemi yaz ve yorumla.
3x + 6 = 3x + 6
Bilinmeyenleri (x'leri) bir tarafa atalım:
3x - 3x = 6 - 6
0 = 0
Kritik Yorum:
Eğer 'x'ler birbirini yok ettiğinde
0 = 0, 5 = 5 gibi doğru bir eşitlik kalıyorsa, bu 'x'in ne olduğunun bir önemi yok demektir.
Yani 'x' yerine ne koyarsan koy, denklem sağlanır. Cevap: Tüm Reel (Gerçel) Sayılar (R)
2(x + 4) = 2x + 5
denkleminin çözüm kümesi nedir?
2x + 8 = 2x + 5
2. Adım: Bilinmeyenleri (x'leri) bir tarafa at.
2x - 2x = 5 - 8
0 = -3
Kritik Yorum (Tuzak!):
Eğer 'x'ler birbirini yok ettiğinde
0 = -3, 8 = 5 gibi yanlış bir eşitlik (çelişki) kalıyorsa, bu denklemi sağlayan HİÇBİR 'x' değeri yok demektir.
'x'e ne verirsen ver, eşitliğin bir tarafı diğerinden hep 3 fazla çıkacaktır. Cevap: Boş Küme ( Ø )
ax + 4 = 3(x + 2) + b
denkleminin çözüm kümesi sonsuz (Reel Sayılar) ise, b kaçtır?
Sonsuz çözüm olması için
0 = 0 eşitliği kalmalıdır. Bu da şu demektir:
Sol taraftaki 'x'in katsayısı = Sağ taraftaki 'x'in katsayısı
Sol taraftaki sayı = Sağ taraftaki sayı
2. Adım: Sağ tarafı düzenle.
ax + 4 = 3x + 6 + b
3. Adım: 'x'in katsayılarını eşitle.
ax = 3x => a = 3
4. Adım: Kalan sayıları eşitle.
+4 = +6 + b
4 - 6 = b => b = -2
Cevap: b = -2
0 = 0 çıkarsa Sonsuz Çözüm, 0 = 5 gibi yanlış çıkarsa Boş Küme.
Şimdi 3 soruluk zorlu mini sınava geçelim!
Tebrikler! Bölüm 2'yi tamamladın. Şimdi rasyonel denklemler, yerine koyma ve özel durumları içeren 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.
Matematik Serüveni 🚀
Ünite 5 / Bölüm 2: Denklemler (Ustalık Sınıfı)
Bölüm 1'deki temelleri bitirdin. 🧑🏫
Şimdi "Ustalık Sınıfı"na geçiyoruz. Konu anlatımı yok, sadece Bölüm 1'den daha zorlu, çok adımlı ve daha kafa karıştırıcı örnekler ve çözümleri var.
Paydada 'x' olan denklemler, "yerine koyma" metodu ve "boş küme" tuzağı gibi kritik konulara odaklanacağız.
Hazır mısın?
Bölüm 2: Adımlar
(x + 1) / 2 - (x - 1) / 3 = 2
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
İlk kesri (3) ile, ikinci kesri (2) ile genişlet.
[ 3 · (x + 1) / 6 ] - [ 2 · (x - 1) / 6 ] = 2
2. Adım: KRİTİK TUZAK! (Eksiyi Dağıtma)
Kesirlerin önündeki eksi (
-), ikinci kesrin tüm payını etkiler.
[ 3x + 3 ] - [ 2x - 2 ] / 6 = 2
Parantezi açarken
- dağılır:
(3x + 3 - 2x + 2) / 6 = 2 (Dikkat: -2x ve +2 oldu)
3. Adım: Payı sadeleştir ve çöz.
(x + 5) / 6 = 2
x + 5 = 12
x = 12 - 5 = 7
Cevap: x = 7
(3 / x) + (5 / 2) = 4
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
+5/2'yi karşıya -5/2 olarak atalım.
3 / x = 4 - (5 / 2)
2. Adım: Sağ tarafta payda eşitle.
3 / x = (8 / 2) - (5 / 2)
3 / x = 3 / 2
3. Adım: Yorumla veya İçler-Dışlar yap.
Paylar (3) eşit olduğuna göre, paydalar da (x ve 2) eşit olmalıdır.
x = 2
Cevap: x = 2
x / (x - 3) - 2 / (x + 3) = 18 / (x² - 9)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
x² - 9 ifadesinin (x - 3)(x + 3) olduğunu gör.
Kritik Not:
x=3 ve x=-3 olamaz, çünkü paydayı sıfır yaparlar.
2. Adım: Paydaları eşitle.
İlk kesri
(x+3) ile, ikinci kesri (x-3) ile genişlet.
[x(x + 3) - 2(x - 3)] / (x² - 9) = 18 / (x² - 9)
3. Adım: Paydalar eşitse, paylar da eşittir.
x(x + 3) - 2(x - 3) = 18
x² + 3x - 2x + 6 = 18 (Eksiyi dağıtmaya DİKKAT!)
4. Adım: Sadeleştir ve Kökleri Bul (2. Derece Denklem).
x² + x + 6 = 18
x² + x - 12 = 0
(Çarpımları -12, toplamları +1 olan sayılar: +4 ve -3)
(x + 4)(x - 3) = 0
Olası kökler:
x = -4 veya x = 3
5. Adım: KRİTİK KONTROL!
x = -4 denklemi sağlar.
x = 3 ise 1. Adım'da belirlediğimiz gibi paydayı sıfır yapar. Bu nedenle x=3 "yalancı kök"tür ve çözüm olamaz.
Çözüm Kümesi: {-4}
Şimdi 3 soruluk zorlu mini sınava geçelim!
y = 2x - 1
3x + 2y = 19
olduğuna göre, x kaçtır?
İlk denklem bize 'y'nin neye eşit olduğunu zaten söylemiş:
y gördüğün yere (2x - 1) yaz.
2. Adım: İkinci denklemde 'y' yerine değerini yaz.
3x + 2y = 19
3x + 2 · (2x - 1) = 19
3. Adım: Parantezi dağıt ve çöz (Bölüm 1'e döndük).
3x + 4x - 2 = 19
7x - 2 = 19
7x = 21
x = 3
Cevap: x = 3
x - 3y = 5
2x - 5y = 9
olduğuna göre, x kaçtır?
Yok etme metodu burada zahmetli (ilkini -2 ile çarpmak gerekir).
Daha kolay yol: İlk denklemde
-3y'yi karşıya atıp x'i yalnız bırak.
x = 5 + 3y
2. Adım: Bulduğun 'x' değerini ikinci denklemde yerine koy.
2x - 5y = 9
2 · (5 + 3y) - 5y = 9
3. Adım: 'y'yi bul.
10 + 6y - 5y = 9
10 + y = 9
y = 9 - 10 => y = -1
4. Adım: 'x'i bul (Bitmedi!)
Soru bizden 'x'i istiyordu.
y = -1 değerini ilk denklemde (x = 5 + 3y) yerine yaz.
x = 5 + 3(-1) = 5 - 3 = 2
Cevap: x = 2
(1 / x) + (1 / y) = 5
(3 / x) - (2 / y) = -5
olduğuna göre, x kaçtır?
Payda eşitlemek burada işi felakete götürür.
1/x ve 1/y'yi birer değişken gibi düşün (sanki 'a' ve 'b' imiş gibi).
a = 1/x ve b = 1/y olsun.
Denklemler:
a + b = 5 ve 3a - 2b = -5
2. Adım: 'a'yı bulmak için 'b'yi yok et.
İlk denklemi (2) ile çarp.
2a + 2b = 10
3a - 2b = -5
3. Adım: Taraf tarafa topla.
5a = 5 => a = 1
4. Adım: 'x'i bul.
a = 1/x demiştik.
1 = 1 / x => x = 1
Cevap: x = 1
Şimdi 3 soruluk mini sınava geçelim!
3(x + 2) = 2x + x + 6
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Sol Taraf:
3(x + 2) = 3x + 6
Sağ Taraf:
2x + x + 6 = 3x + 6
2. Adım: Denklemi yaz ve yorumla.
3x + 6 = 3x + 6
Bilinmeyenleri (x'leri) bir tarafa atalım:
3x - 3x = 6 - 6
0 = 0
Kritik Yorum:
Eğer 'x'ler birbirini yok ettiğinde
0 = 0, 5 = 5 gibi doğru bir eşitlik kalıyorsa, bu 'x'in ne olduğunun bir önemi yok demektir.
Yani 'x' yerine ne koyarsan koy, denklem sağlanır. Cevap: Tüm Reel (Gerçel) Sayılar (R)
2(x + 4) = 2x + 5
denkleminin çözüm kümesi nedir?
2x + 8 = 2x + 5
2. Adım: Bilinmeyenleri (x'leri) bir tarafa at.
2x - 2x = 5 - 8
0 = -3
Kritik Yorum (Tuzak!):
Eğer 'x'ler birbirini yok ettiğinde
0 = -3, 8 = 5 gibi yanlış bir eşitlik (çelişki) kalıyorsa, bu denklemi sağlayan HİÇBİR 'x' değeri yok demektir.
'x'e ne verirsen ver, eşitliğin bir tarafı diğerinden hep 3 fazla çıkacaktır. Cevap: Boş Küme ( Ø )
ax + 4 = 3(x + 2) + b
denkleminin çözüm kümesi sonsuz (Reel Sayılar) ise, b kaçtır?
Sonsuz çözüm olması için
0 = 0 eşitliği kalmalıdır. Bu da şu demektir:
Sol taraftaki 'x'in katsayısı = Sağ taraftaki 'x'in katsayısı
Sol taraftaki sayı = Sağ taraftaki sayı
2. Adım: Sağ tarafı düzenle.
ax + 4 = 3x + 6 + b
3. Adım: 'x'in katsayılarını eşitle.
ax = 3x => a = 3
4. Adım: Kalan sayıları eşitle.
+4 = +6 + b
4 - 6 = b => b = -2
Cevap: b = -2
0 = 0 çıkarsa Sonsuz Çözüm, 0 = 5 gibi yanlış çıkarsa Boş Küme.
Şimdi 3 soruluk zorlu mini sınava geçelim!
Tebrikler! Bölüm 2'yi tamamladın. Şimdi rasyonel denklemler, yerine koyma ve özel durumları içeren 10 soruluk final sınavı zamanı.
Unutma: Geçmek için 10 sorudan en az 8'ini doğru yapmalısın!
Test Sonucu
Harikasın!
Tebrikler! Bu adımı başarıyla tamamladın.
Test Sonucu
Tekrar Deneyelim!
Birkaç hata var. Lütfen konuyu tekrar gözden geçirin.