KPSS MATEMATİK
İkinci bölümde; Ardışık Sayılar, Asal Sayılar ve Aralarında Asallık konularını işleyeceğiz. ÖSYM bu bölümden her sene mutlaka "işlem hatası yaptırmaya yönelik" bir soru sorar.
A. ARDIŞIK SAYILAR
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılardır.
- Terim Sayısı: [(Son - İlk) / Artış] + 1
- Toplam: (Terim Sayısı) x (Ortanca)
- Ortanca: (Son + İlk) / 2
- 1'den n'ye Toplam: n . (n + 1) / 2
Sayı adedi TEK ise (Örn: 5 tane sayı), sayıların toplamını adede bölersen direkt ORTANCAYI bulursun.
Örnek: Toplam 100 olan 5 ardışık sayı. 100/5 = 20 (Ortanca).
Sayılar: 18, 19, 20, 21, 22
Ardışık 8 tam sayının ilk 5 tanesinin toplamı, son 3 tanesinin toplamına eşittir.
Buna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır?
En küçük sayıya x diyelim. Ardışık oldukları için 1'er artarlar.
Sayılar: x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6, x+7
İlk 5'inin Toplamı: 5x + (1+2+3+4) = 5x + 10
Son 3'ünün Toplamı: 3x + (5+6+7) = 3x + 18
Denklem: 5x + 10 = 3x + 18
2x = 8 => x = 4
Cevap: En küçük sayı 4'tür.
B. ASAL SAYILAR
Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılardır.
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...}
⚠️ DİKKAT: 1 Asal sayı değildir! En küçük asal sayı 2'dir.
"2", hem ÇİFT olup hem de ASAL olan tek sayıdır.
Soruda "x ve y asal sayılar, x + y = Tek Sayı" diyorsa, sayılardan biri kesinlikle 2 olmak zorundadır.
x bir tam sayı olmak üzere;
|2x² - 5x - 7| ifadesi bir asal sayıya eşittir.
Buna göre x'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
İfadeyi çarpanlarına ayıralım: (2x - 7) . (x + 1)
Bir çarpımın sonucunun ASAL olması için, çarpanlardan birinin mutlaka 1 (veya mutlak değerce 1) olması gerekir.
Durum 1: x + 1 = 1 => x = 0. (Sonuç: |-7|=7 Asal ✅)
Durum 2: x + 1 = -1 => x = -2. (Sonuç: |8+10-7|=11 Asal ✅)
Durum 3: 2x - 7 = 1 => x = 4. (Sonuç: 1.5=5 Asal ✅)
Durum 4: 2x - 7 = -1 => x = 3. (Sonuç: |-1|.4=4 Asal Değil ❌)
Toplam: 0 + (-2) + 4 = 2
C. ARALARINDA ASAL SAYILAR
Sayıların kendilerinin asal olmasına gerek yoktur. Önemli olan ortak bölenlerinin sadece 1 olmasıdır.
- Ardışık sayılar daima aralarında asaldır. (Örn: 8 ve 9)
- 1 ile bütün pozitif tam sayılar aralarında asaldır.
Soruda (x+2) / (y-3) = 24 / 32 ve parantez içleri aralarında asal deniyorsa;
Sakın içler dışlar yapma! Karşıdaki kesri en sade haline getirene kadar böl. Sonra payı paya, paydayı paydaya eşitle.
a + b ile a - b aralarında asal sayılardır.
(a + b) / (a - b) = 28 / 12 olduğuna göre, a . b kaçtır?
Karşıdaki kesir (28/12) aralarında asal değil. Sadeleştirelim.
Her ikisini 4'e böl: 7 / 3.
7 ve 3 aralarında asal mı? Evet. O zaman eşitleyebiliriz.
a + b = 7
a - b = 3
Taraf tarafa topla: 2a = 10 => a = 5.
Yerine koy: 5 + b = 7 => b = 2.
Sonuç: a . b = 5 . 2 = 10