KPSS MATEMATİK
TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 4
SORU 1
Tek / Çift Sayılar
x, y ve z birer tam sayı olmak üzere,
x . y + z
ifadesinin tek sayı,
x + y . z
ifadesinin çift sayı olduğu bilinmektedir.
Buna göre; I. x . z
II. y + z
III. x + y
ifadelerinden hangileri daima çift sayıdır?
ifadesinin tek sayı,
ifadesinin çift sayı olduğu bilinmektedir.
Buna göre; I. x . z
II. y + z
III. x + y
ifadelerinden hangileri daima çift sayıdır?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
✅ ÇÖZÜM:
Verilen iki durumu analiz edelim:
Analiz:
1. İfade: x . y + z = Tek
2. İfade: x + y . z = Çift
Bu iki denklemi aynı anda sağlayan tek bir senaryo vardır:
x = Çift
y = Çift
z = Tek
Sağlaması:
1. İfade: Ç . Ç + T = Ç + T = Tek (Doğru)
2. İfade: Ç + Ç . T = Ç + Ç = Çift (Doğru)
Öncüllerin Kontrolü:
I. x . z = Çift . Tek = ÇİFT
II. y + z = Çift + Tek = Tek
III. x + y = Çift + Çift = ÇİFT
Doğru Cevap: C (I ve III)
Analiz:
1. İfade: x . y + z = Tek
2. İfade: x + y . z = Çift
Bu iki denklemi aynı anda sağlayan tek bir senaryo vardır:
x = Çift
y = Çift
z = Tek
Sağlaması:
1. İfade: Ç . Ç + T = Ç + T = Tek (Doğru)
2. İfade: Ç + Ç . T = Ç + Ç = Çift (Doğru)
Öncüllerin Kontrolü:
I. x . z = Çift . Tek = ÇİFT
II. y + z = Çift + Tek = Tek
III. x + y = Çift + Çift = ÇİFT
Doğru Cevap: C (I ve III)
SORU 2
Ardışık Sayılar
a, b ve c ardışık tek tam sayılardır ve a < b < c sıralaması vardır.
(1 - 2/a) . (1 - 2/b) . (1 - 2/c) = 11/13
olduğuna göre, b kaçtır?
olduğuna göre, b kaçtır?
A) 33
B) 35
C) 37
D) 39
E) 41
✅ ÇÖZÜM:
Ardışık tek tam sayılar arasındaki fark 2'dir. Buna göre:
b = a + 2 ve c = b + 2.
Verilen çarpım ifadesinde parantez içlerinde payda eşitleyelim:
[(a-2)/a] . [(b-2)/b] . [(c-2)/c] = 11/13
İfadeleri yerine koyalım:
b - 2 = a olduğundan 2. kesrin payı a olur.
c - 2 = b olduğundan 3. kesrin payı b olur.
Çarpım şu hali alır:
[(a-2)/a] . [a/b] . [b/c]
Sadeleştirmeler yapıldığında (çapraz götürme):
(a-2) / c = 11/13 kalır.
c yerine a + 4 yazalım (a ile c arasında 4 fark vardır):
(a-2) / (a+4) = 11/13
İçler dışlar çarpımı:
13a - 26 = 11a + 44
2a = 70 => a = 35.
Bizden b istenmektedir.
b = a + 2 = 35 + 2 = 37.
Doğru Cevap: C
Verilen çarpım ifadesinde parantez içlerinde payda eşitleyelim:
[(a-2)/a] . [(b-2)/b] . [(c-2)/c] = 11/13
İfadeleri yerine koyalım:
b - 2 = a olduğundan 2. kesrin payı a olur.
c - 2 = b olduğundan 3. kesrin payı b olur.
Çarpım şu hali alır:
[(a-2)/a] . [a/b] . [b/c]
Sadeleştirmeler yapıldığında (çapraz götürme):
(a-2) / c = 11/13 kalır.
c yerine a + 4 yazalım (a ile c arasında 4 fark vardır):
(a-2) / (a+4) = 11/13
İçler dışlar çarpımı:
13a - 26 = 11a + 44
2a = 70 => a = 35.
Bizden b istenmektedir.
b = a + 2 = 35 + 2 = 37.
Doğru Cevap: C
SORU 3
Asal Sayılar & Üslü İfade
x, y ve z birbirinden farklı asal sayılardır.
x = 13^(y - z)
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
✅ ÇÖZÜM:
x bir asal sayı olduğu için, 13^(y-z) ifadesinin sonucu asal olmalıdır.
13 sayısı asaldır. Üslü bir ifadenin sonucunun asal olabilmesi için taban asal olmalı ve üs kesinlikle 1 olmalıdır.
Eğer üs 1'den büyük olursa sayı asal olmaz (örneğin 13² = 169 asal değildir).
Buna göre:
1) y - z = 1 olmalıdır.
2) x = 13¹ = 13 olur.
y ve z asal sayılar olup aralarındaki fark 1'dir. Farkı 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir.
Yani: y = 3, z = 2.
Toplam: x + y + z = 13 + 3 + 2 = 18.
Doğru Cevap: B
13 sayısı asaldır. Üslü bir ifadenin sonucunun asal olabilmesi için taban asal olmalı ve üs kesinlikle 1 olmalıdır.
Eğer üs 1'den büyük olursa sayı asal olmaz (örneğin 13² = 169 asal değildir).
Buna göre:
1) y - z = 1 olmalıdır.
2) x = 13¹ = 13 olur.
y ve z asal sayılar olup aralarındaki fark 1'dir. Farkı 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir.
Yani: y = 3, z = 2.
Toplam: x + y + z = 13 + 3 + 2 = 18.
Doğru Cevap: B
SORU 4
Asal Sayılar & Denklem
x ve y birer asal sayı olmak üzere,
x² + y = 47
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 39
B) 41
C) 43
D) 45
E) 47
✅ ÇÖZÜM:
47 sayısı tek bir sayıdır.
x² + y = Tek olması için;
Ya (x² Tek, y Çift) ya da (x² Çift, y Tek) olmalıdır.
1. Durum: x Tek Asal olsun. x² tek olur. O halde y çift asal olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 2'dir. Yani y=2.
x² + 2 = 47 => x² = 45. Karesi 45 olan bir tam sayı (veya asal sayı) yoktur. Bu durum geçersizdir.
2. Durum: x Çift Asal olsun. Çift olan tek asal sayı 2'dir. Yani x=2.
2² + y = 47
4 + y = 47
y = 43.
43 sayısı asal mıdır? Evet, asaldır. Şart sağlanır.
Bizden x + y isteniyor: 2 + 43 = 45.
Doğru Cevap: D
x² + y = Tek olması için;
Ya (x² Tek, y Çift) ya da (x² Çift, y Tek) olmalıdır.
1. Durum: x Tek Asal olsun. x² tek olur. O halde y çift asal olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 2'dir. Yani y=2.
x² + 2 = 47 => x² = 45. Karesi 45 olan bir tam sayı (veya asal sayı) yoktur. Bu durum geçersizdir.
2. Durum: x Çift Asal olsun. Çift olan tek asal sayı 2'dir. Yani x=2.
2² + y = 47
4 + y = 47
y = 43.
43 sayısı asal mıdır? Evet, asaldır. Şart sağlanır.
Bizden x + y isteniyor: 2 + 43 = 45.
Doğru Cevap: D
SORU 5
Pozitif Tam Sayı Bölenleri
x ve y pozitif tam sayılardır.
x . y = 5x + 24
olduğuna göre, x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
olduğuna göre, x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
✅ ÇÖZÜM:
Denklemi y'yi yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim:
x.y - 5x = 24
x(y - 5) = 24
y - 5 = 24 / x
y = 5 + (24 / x)
y'nin pozitif tam sayı olması için, 24 / x ifadesinin tam sayı olması gerekir. Ayrıca y pozitif tam sayı olduğu için sonucun 0 veya negatif olmaması gerekir (Burada x ve 24 pozitif olduğu için y her zaman 5'ten büyük çıkar, sorun yoktur).
x, 24'ün pozitif tam sayı bölenleri olmalıdır:
24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Toplamda 8 farklı değer vardır.
Doğru Cevap: D
x.y - 5x = 24
x(y - 5) = 24
y - 5 = 24 / x
y = 5 + (24 / x)
y'nin pozitif tam sayı olması için, 24 / x ifadesinin tam sayı olması gerekir. Ayrıca y pozitif tam sayı olduğu için sonucun 0 veya negatif olmaması gerekir (Burada x ve 24 pozitif olduğu için y her zaman 5'ten büyük çıkar, sorun yoktur).
x, 24'ün pozitif tam sayı bölenleri olmalıdır:
24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Toplamda 8 farklı değer vardır.
Doğru Cevap: D
SORU 6
Doğal Sayı Denklemleri
a ve b pozitif tam sayılardır.
4a + 3b = 75
olduğuna göre, bu eşitliği sağlayan kaç farklı (a, b) ikilisi vardır?
olduğuna göre, bu eşitliği sağlayan kaç farklı (a, b) ikilisi vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
✅ ÇÖZÜM:
Bu tip (Diophantine) denklemlerde ilk sağlayan değeri bulup katsayılar oranında artırıp azaltma yöntemi kullanılır.
1. Adım (İlk değeri bulma): a'ya küçük değerler vererek b'yi bulalım.
a=3 için: 12 + 3b = 75 => 3b = 63 => b = 21. İlk ikili: (3, 21).
2. Adım (Çapraz Değişim Kuralı): Küçük katsayılı olan (b'nin katsayısı 3), diğer değişkeni (a) 3'er artırırken; Büyük katsayılı olan (a'nın katsayısı 4), diğer değişkeni (b) 4'er azaltır.
Değerleri yazalım:
a artacak (+3), b azalacak (-4).
1) a=3, b=21
2) a=6, b=17
3) a=9, b=13
4) a=12, b=9
5) a=15, b=5
6) a=18, b=1
(Bir sonraki adımda b negatif olur, o yüzden duruyoruz).
Toplamda 6 farklı ikili vardır.
Doğru Cevap: C
1. Adım (İlk değeri bulma): a'ya küçük değerler vererek b'yi bulalım.
a=3 için: 12 + 3b = 75 => 3b = 63 => b = 21. İlk ikili: (3, 21).
2. Adım (Çapraz Değişim Kuralı): Küçük katsayılı olan (b'nin katsayısı 3), diğer değişkeni (a) 3'er artırırken; Büyük katsayılı olan (a'nın katsayısı 4), diğer değişkeni (b) 4'er azaltır.
Değerleri yazalım:
a artacak (+3), b azalacak (-4).
1) a=3, b=21
2) a=6, b=17
3) a=9, b=13
4) a=12, b=9
5) a=15, b=5
6) a=18, b=1
(Bir sonraki adımda b negatif olur, o yüzden duruyoruz).
Toplamda 6 farklı ikili vardır.
Doğru Cevap: C
