Sayılar - İnteraktif Test 1 (Problem Ağırlıklı)
Çözüm:
5 kg'lık kasa sayısına 'x' dersek, 3 kg'lık kasa sayısı '45-x' olur.
Denklem: 5x + 3(45-x) = 155
5x + 135 - 3x = 155
2x = 20 => x = 10.
Yani 10 adet 5 kg'lık kasa kullanılmıştır.
Çözüm:
Sayı AB olsun. AB - BA = 54 => 9(A-B) = 54 => A-B = 6.
Ayrıca A+B = 10 olarak verilmiş.
İki denklemi alt alta toplarsak: 2A = 16 => A=8.
A+B=10 olduğundan B=2'dir.
İlk sayı 82'dir. Rakamları çarpımı 8 * 2 = 16'dır.
Çözüm:
Öğrenci sayısı Ö olsun. Ö=2k+1 ve Ö=3m+2.
Her tarafa 1 eklersek: Ö+1 = 2k+2 (2'nin katı) ve Ö+1 = 3m+3 (3'ün katı).
Demek ki Ö+1 sayısı hem 2'nin hem 3'ün, yani EKOK(2,3)=6'nın katıdır.
Ö+1 = 6'nın katları: 6, 12, ..., 54, 60, ...
Ö = 5, 11, ..., 53, 59, ...
50'den fazla olan en küçük değer 59'dur.
Çözüm:
En az fidan için, fidanlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir. Bu da kenar uzunluklarının EBOB'u demektir.
1. EBOB Bulma: EBOB(120, 150) = 30. Fidanlar arası mesafe en fazla 30 metre olabilir.
2. Fidan Sayısı: (Tarlanın Çevresi) / (İki Fidan Arası Mesafe)
Çevre = 2 * (120 + 150) = 540 metre.
Fidan Sayısı = 540 / 30 = 18.
Çözüm:
9 ile bölünebilme rakamlar toplamıyla ilgilidir.
ABC sayısının rakamları toplamı A+B+C'dir. A+B+C = 9k + 4.
ABCABC sayısının rakamları toplamı A+B+C+A+B+C = 2(A+B+C)'dir.
Toplam = 2(9k + 4) = 18k + 8.
18k ifadesi 9'a tam bölünür. Dolayısıyla kalan 8'dir.
Çözüm:
Gül sayısı G olsun. G = 5k+2, G = 7m+4.
Her tarafa 3 eklersek: G+3 = 5k+5 (5'in katı), G+3 = 7m+7 (7'nin katı).
Demek ki G+3 sayısı EKOK(5,7)=35'in katıdır.
G+3 = 35, 70, 105, ...
G = 32, 67, 102, ...
80'den az olan en büyük değer 67'dir.
Çözüm:
En küçük toplam: En küçük farklı iki sayı 10 ve 11'dir. Toplam = 21.
En büyük toplam: En büyük farklı iki sayı 99 ve 98'dir. Toplam = 197.
A sayısı 21'den 197'ye kadar tüm değerleri alabilir.
Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) + 1
= (197 - 21) + 1 = 176 + 1 = 177.
Çözüm:
Basamak sayısı B olsun.
İkişer çıkınca 1 basamak kalıyor: B = 2k + 1.
Üçer inince 2 basamak kalıyor: B = 3m + 2.
Bu, B sayısının 2'ye bölümünden kalan 1, 3'e bölümünden kalan 2 demektir.
Her tarafa 1 eklersek: B+1 = 2k+2 (2'nin katı), B+1 = 3m+3 (3'ün katı).
B+1, EKOK(2,3)=6'nın katıdır. En az dediği için B+1=6 alırız.
B = 5.
Çözüm:
1. Tek basamaklılar: 1'den 9'a kadar 9 tane sayı vardır. Toplam 9 * 1 = 9 basamak.
2. Çift basamaklılar: 10'dan 50'ye kadar (50-10)+1 = 41 tane sayı vardır. Toplam 41 * 2 = 82 basamak.
3. Toplam Basamak Sayısı: 9 + 82 = 91 basamak.
Çözüm:
1. nöbetten 9. nöbete kadar (9-1) = 8 nöbet dönemi geçer.
Her nöbet arası 4 gün olduğuna göre, geçen toplam gün sayısı: 8 * 4 = 32 gün.
Hangi güne denk geldiğini bulmak için 32'nin 7'ye bölümünden kalana bakarız (hafta 7 gündür).
32 = 4 * 7 + 4. Kalan 4'tür.
Cuma gününün üzerine 4 gün sayarız: Cumartesi(1), Pazar(2), Pazartesi(3), Salı(4).
Hata! Tekrar sayalım: Cuma + 1 gün = Cumartesi, +2=Pazar, +3=Pazartesi, +4=Salı. Cevap Salı olmalı. Şıklarda yok. Soruyu düzeltelim.
Yeni Soru: Bir asker 6 günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini Pazartesi tutarsa 11. nöbetini hangi gün tutar?
Çözüm: (11-1)=10 nöbet dönemi. 10*6=60 gün geçer. 60 mod 7 = 4. Pazartesi+4 gün = Cuma.
Son Düzeltme (Şıklara Uygun): Bir asker 5 günde bir nöbet tutmaktadır. İlkini Çarşamba tutarsa 10. nöbetini ne zaman tutar?
Çözüm: (10-1)=9 dönem. 9*5=45 gün. 45 mod 7 = 3. Çarşamba+3 gün = Perşembe, Cuma, Cumartesi. Bu doğru.
Çözüm:
1. Asal Çarpanlara Ayırma: 180 = 18 * 10 = (2 * 3²) * (2 * 5) = 2² . 3² . 5¹.
2. Kural: a ve b'nin aralarında asal olması için ortak bir asal çarpana sahip olmamaları gerekir. Bu yüzden 180'in asal çarpan grupları (2², 3², 5¹) parçalanamaz; her grup ya a'ya ya da b'ye gitmelidir.
3. Olası Çiftler:
• 1 ve 2².3².5¹ (1, 180)
• 2² ve 3².5¹ (4, 45)
• 3² ve 2².5¹ (9, 20)
• 5¹ ve 2².3² (5, 36)
Toplam 4 farklı (sırasız) çift vardır. Soru "sıralı ikili" istediği için her çiftin tersi de sayılır (örneğin (4,45) ve (45,4)).
4. Sonuç: 4 * 2 = 8 farklı sıralı ikili vardır.
Çözüm:
x,y,z rakamlarıyla xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx olmak üzere 6 farklı sayı yazılır.
Bu sayıları alt alta toplayıp çözümlersek her basamakta 2 tane x, 2 tane y, 2 tane z bulunur.
Toplam = 100(2x+2y+2z) + 10(2x+2y+2z) + 1(2x+2y+2z)
Toplam = 222(x+y+z) = 2220.
x+y+z = 10.
En büyük sayıyı oluşturmak için yüzler basamağını en büyük seçeriz. Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı.
x=7, y=2, z=1 seçersek toplam 10 olur. En büyük sayı 721'dir.
(x=8, y=2, z=0 olamaz, 0'dan farklı. x=8, y=1, z=1 olamaz, birbirinden farklı.)
Tebrikler!
Sayılar konusunun problem ağırlıklı ilk testini tamamladın.
Hazır olduğunda "Sayılar - Test 2" ile devam edebilirsin.
Sayılar - İnteraktif Test 1 (Problem Ağırlıklı)
Çözüm:
5 kg'lık kasa sayısına 'x' dersek, 3 kg'lık kasa sayısı '45-x' olur.
Denklem: 5x + 3(45-x) = 155
5x + 135 - 3x = 155
2x = 20 => x = 10.
Yani 10 adet 5 kg'lık kasa kullanılmıştır.
Çözüm:
Sayı AB olsun. AB - BA = 54 => 9(A-B) = 54 => A-B = 6.
Ayrıca A+B = 10 olarak verilmiş.
İki denklemi alt alta toplarsak: 2A = 16 => A=8.
A+B=10 olduğundan B=2'dir.
İlk sayı 82'dir. Rakamları çarpımı 8 * 2 = 16'dır.
Çözüm:
Öğrenci sayısı Ö olsun. Ö=2k+1 ve Ö=3m+2.
Her tarafa 1 eklersek: Ö+1 = 2k+2 (2'nin katı) ve Ö+1 = 3m+3 (3'ün katı).
Demek ki Ö+1 sayısı hem 2'nin hem 3'ün, yani EKOK(2,3)=6'nın katıdır.
Ö+1 = 6'nın katları: 6, 12, ..., 54, 60, ...
Ö = 5, 11, ..., 53, 59, ...
50'den fazla olan en küçük değer 59'dur.
Çözüm:
En az fidan için, fidanlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir. Bu da kenar uzunluklarının EBOB'u demektir.
1. EBOB Bulma: EBOB(120, 150) = 30. Fidanlar arası mesafe en fazla 30 metre olabilir.
2. Fidan Sayısı: (Tarlanın Çevresi) / (İki Fidan Arası Mesafe)
Çevre = 2 * (120 + 150) = 540 metre.
Fidan Sayısı = 540 / 30 = 18.
Çözüm:
9 ile bölünebilme rakamlar toplamıyla ilgilidir.
ABC sayısının rakamları toplamı A+B+C'dir. A+B+C = 9k + 4.
ABCABC sayısının rakamları toplamı A+B+C+A+B+C = 2(A+B+C)'dir.
Toplam = 2(9k + 4) = 18k + 8.
18k ifadesi 9'a tam bölünür. Dolayısıyla kalan 8'dir.
Çözüm:
Gül sayısı G olsun. G = 5k+2, G = 7m+4.
Her tarafa 3 eklersek: G+3 = 5k+5 (5'in katı), G+3 = 7m+7 (7'nin katı).
Demek ki G+3 sayısı EKOK(5,7)=35'in katıdır.
G+3 = 35, 70, 105, ...
G = 32, 67, 102, ...
80'den az olan en büyük değer 67'dir.
Çözüm:
En küçük toplam: En küçük farklı iki sayı 10 ve 11'dir. Toplam = 21.
En büyük toplam: En büyük farklı iki sayı 99 ve 98'dir. Toplam = 197.
A sayısı 21'den 197'ye kadar tüm değerleri alabilir.
Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) + 1
= (197 - 21) + 1 = 176 + 1 = 177.
Çözüm:
Basamak sayısı B olsun.
İkişer çıkınca 1 basamak kalıyor: B = 2k + 1.
Üçer inince 2 basamak kalıyor: B = 3m + 2.
Bu, B sayısının 2'ye bölümünden kalan 1, 3'e bölümünden kalan 2 demektir.
Her tarafa 1 eklersek: B+1 = 2k+2 (2'nin katı), B+1 = 3m+3 (3'ün katı).
B+1, EKOK(2,3)=6'nın katıdır. En az dediği için B+1=6 alırız.
B = 5.
Çözüm:
1. Tek basamaklılar: 1'den 9'a kadar 9 tane sayı vardır. Toplam 9 * 1 = 9 basamak.
2. Çift basamaklılar: 10'dan 50'ye kadar (50-10)+1 = 41 tane sayı vardır. Toplam 41 * 2 = 82 basamak.
3. Toplam Basamak Sayısı: 9 + 82 = 91 basamak.
Çözüm:
1. nöbetten 9. nöbete kadar (9-1) = 8 nöbet dönemi geçer.
Her nöbet arası 4 gün olduğuna göre, geçen toplam gün sayısı: 8 * 4 = 32 gün.
Hangi güne denk geldiğini bulmak için 32'nin 7'ye bölümünden kalana bakarız (hafta 7 gündür).
32 = 4 * 7 + 4. Kalan 4'tür.
Cuma gününün üzerine 4 gün sayarız: Cumartesi(1), Pazar(2), Pazartesi(3), Salı(4).
Hata! Tekrar sayalım: Cuma + 1 gün = Cumartesi, +2=Pazar, +3=Pazartesi, +4=Salı. Cevap Salı olmalı. Şıklarda yok. Soruyu düzeltelim.
Yeni Soru: Bir asker 6 günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini Pazartesi tutarsa 11. nöbetini hangi gün tutar?
Çözüm: (11-1)=10 nöbet dönemi. 10*6=60 gün geçer. 60 mod 7 = 4. Pazartesi+4 gün = Cuma.
Son Düzeltme (Şıklara Uygun): Bir asker 5 günde bir nöbet tutmaktadır. İlkini Çarşamba tutarsa 10. nöbetini ne zaman tutar?
Çözüm: (10-1)=9 dönem. 9*5=45 gün. 45 mod 7 = 3. Çarşamba+3 gün = Perşembe, Cuma, Cumartesi. Bu doğru.
Çözüm:
1. Asal Çarpanlara Ayırma: 180 = 18 * 10 = (2 * 3²) * (2 * 5) = 2² . 3² . 5¹.
2. Kural: a ve b'nin aralarında asal olması için ortak bir asal çarpana sahip olmamaları gerekir. Bu yüzden 180'in asal çarpan grupları (2², 3², 5¹) parçalanamaz; her grup ya a'ya ya da b'ye gitmelidir.
3. Olası Çiftler:
• 1 ve 2².3².5¹ (1, 180)
• 2² ve 3².5¹ (4, 45)
• 3² ve 2².5¹ (9, 20)
• 5¹ ve 2².3² (5, 36)
Toplam 4 farklı (sırasız) çift vardır. Soru "sıralı ikili" istediği için her çiftin tersi de sayılır (örneğin (4,45) ve (45,4)).
4. Sonuç: 4 * 2 = 8 farklı sıralı ikili vardır.
Çözüm:
x,y,z rakamlarıyla xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx olmak üzere 6 farklı sayı yazılır.
Bu sayıları alt alta toplayıp çözümlersek her basamakta 2 tane x, 2 tane y, 2 tane z bulunur.
Toplam = 100(2x+2y+2z) + 10(2x+2y+2z) + 1(2x+2y+2z)
Toplam = 222(x+y+z) = 2220.
x+y+z = 10.
En büyük sayıyı oluşturmak için yüzler basamağını en büyük seçeriz. Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı.
x=7, y=2, z=1 seçersek toplam 10 olur. En büyük sayı 721'dir.
(x=8, y=2, z=0 olamaz, 0'dan farklı. x=8, y=1, z=1 olamaz, birbirinden farklı.)
Tebrikler!
Sayılar konusunun problem ağırlıklı ilk testini tamamladın.
Hazır olduğunda "Sayılar - Test 2" ile devam edebilirsin.