Yeni Sayfa | SÖZEL KAFA

Temel Kavramlar - İnteraktif Test 5 (5 Şıklı)

1. a, b ve c pozitif tam sayılardır. a = 2b ve b = 3c olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 45

B) 50

C) 55

D) 65

E) 75

Çözüm:

Tüm değişkenleri tek bir değişken cinsinden yazalım. 'c' en uygunudur.
b = 3c
a = 2b = 2(3c) = 6c

Şimdi toplamı bulalım:
a + b + c = 6c + 3c + c = 10c

Bu sonuç, toplamın 10'un bir katı olması gerektiğini gösterir. Şıklara baktığımızda 10'un katı olan tek sayı 50'dir.

2. Rakamları farklı iki basamaklı en büyük çift sayı ile rakamları farklı iki basamaklı en küçük tek sayının farkının mutlak değeri kaçtır?

A) 195

B) 194

C) 185

D) 1

E) 196

Çözüm:

İstenen sayıları adım adım bulalım:

Rakamları farklı iki basamaklı en büyük çift sayı: En büyük sayı 99'dur ancak rakamları aynı ve tektir. Bir küçüğü 98'dir. Rakamları farklı ve çifttir. Yani bu sayı 98'dir.

Rakamları farklı iki basamaklı en küçük tek sayı: En küçük iki basamaklı sayı -99'dur. Rakamları aynıdır. Bir büyüğü -98'dir, çifttir. Bir büyüğü -97'dir. Rakamları farklı ve tektir. Yani bu sayı -97'dir.

Şimdi farkın mutlak değerini alalım:
|98 - (-97)| = |98 + 97| = |195| = 195.

3. x, y, z birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. 2x + 3y + 4z = 65 ise, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 25

B) 26

C) 27

D) 28

E) 29

Çözüm:

x'in en büyük değerini alması için, katsayıları daha büyük olan y ve z'ye mümkün olan en küçük farklı pozitif tam sayı değerlerini vermeliyiz. (1, 2, 3, ...)

Durum 1: y=1, z=2 (Katsayısı büyük olana daha küçük değer verilir)
2x + 3(1) + 4(2) = 65
2x + 3 + 8 = 65
2x + 11 = 65
2x = 54 => x = 27
Sayılar (27, 1, 2) birbirinden farklıdır. Bu bir çözümdür.

Durum 2: y=2, z=1
2x + 3(2) + 4(1) = 65
2x + 6 + 4 = 65
2x + 10 = 65
2x = 55 => x=27.5 (Tam sayı değil)

Diğer tüm y ve z değerleri (örneğin y=1, z=3) x'i daha da küçültecektir. Bu yüzden x'in alabileceği en büyük değer 27'dir.

4. Dört basamaklı 5A2B sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 7

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

Çözüm:

Bir sayının 36'ya tam bölünebilmesi için, aralarında asal çarpanları olan 4 ve 9'a tam bölünmesi gerekir.

1. Adım (4'e Bölünebilme): Sayının son iki basamağı (2B) 4'ün katı olmalıdır. Bu durumda B'nin alabileceği değerler {0, 4, 8}'dir.

2. Adım (9'a Bölünebilme): Her B değeri için rakamlar toplamının 9'un katı olması gerekir.

B = 0 ise: Sayı 5A20 olur. Rakamlar toplamı: 5+A+2+0 = 7+A. Toplamın 9'un katı olması için A=2 olmalıdır.

B = 4 ise: Sayı 5A24 olur. Rakamlar toplamı: 5+A+2+4 = 11+A. Toplamın 9'un katı olması için A=7 olmalıdır.

B = 8 ise: Sayı 5A28 olur. Rakamlar toplamı: 5+A+2+8 = 15+A. Toplamın 9'un katı olması için A=3 olmalıdır.

A'nın alabileceği değerler {2, 7, 3}'tür. Toplamları: 2 + 7 + 3 = 12.

5. n bir pozitif tam sayı olmak üzere, (n! + (n+1)!) / n! ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) n

B) n + 1

C) n + 2

D) 2n + 1

E) 2

Çözüm:

Faktöriyelli ifadeleri sadeleştirmek için büyük olanı küçük olan cinsinden yazarız.
(n+1)! = (n+1) * n * (n-1) * ... * 1 = (n+1) * n!

Şimdi bu ifadeyi denklemde yerine koyalım:

(n! + (n+1) * n!) / n!

Payı n! ortak parantezine alalım:

(n! * (1 + (n+1))) / n!

n! ifadeleri sadeleşir:

1 + n + 1 = n + 2

6. x ve y tam sayılar olmak üzere, -5 < x < 4 ve -3 < y < 6 ise, 2x - 3y ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) -23

B) -22

C) -28

D) 19

E) -2

Çözüm:

2x - 3y ifadesini en küçük yapmak için;

Pozitif terim olan 2x'i olabildiğince küçük,

Negatif terim olan -3y'yi olabildiğince küçük (yani 3y'yi olabildiğince büyük) yapmalıyız.

Verilen aralıklardaki tam sayı değerlerini bulalım:

x'in en küçük tam sayı değeri: -4 (çünkü -5'ten büyük)

y'nin en büyük tam sayı değeri: 5 (çünkü 6'dan küçük)

Şimdi bu değerleri yerine yazalım:
2x - 3y = 2(-4) - 3(5) = -8 - 15 = -23.

7. Ardışık 5 tek sayının toplamı 145 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaçtır?

A) 29

B) 54

C) 58

D) 60

E) 62

Çözüm:

Ardışık sayı dizilerinde, toplamın terim sayısına bölünmesi bize ortadaki terimi verir.

Ortadaki Sayı: 145 / 5 = 29

5 sayının ortasındaki (yani 3. sayı) 29'dur. Sayılar tek olduğu için ikişer ikişer artar ve azalır:
Sayılar: 25, 27, 29, 31, 33

En küçüğü 25, en büyüğü 33'tür.
En Küçük + En Büyük: 25 + 33 = 58

Kısa Yol: Ardışık dizilerde en küçük ve en büyük terimin toplamı, ortadaki terimin 2 katına eşittir.
2 * 29 = 58.

8. a, b, c pozitif tam sayılardır. a.b = 24 ve b.c = 30 olduğuna göre, a+b+c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 15

B) 18

C) 21

D) 29

E) 55

Çözüm:

Toplamın en küçük değerini bulmak için, sayılar arasındaki ortak çarpan olan b'ye en büyük değeri vermeliyiz. 'b' hem 24'ün hem de 30'un böleni olmalıdır.

b'nin alabileceği en büyük değer, EBOB(24, 30)'dur.
24 = 2³ * 3
30 = 2 * 3 * 5
EBOB(24, 30) = 2 * 3 = 6.

b'ye en büyük değeri olan 6'yı verelim:

b = 6:
a * 6 = 24 => a = 4
6 * c = 30 => c = 5

Toplam: a + b + c = 4 + 6 + 5 = 15.

9. 150 sayfalık bir kitabı numaralandırmak için toplam kaç tane rakam kullanılır?

A) 333

B) 339

C) 342

D) 351

E) 300

Çözüm:

Sayfa numaralarını basamak sayılarına göre gruplayarak hesaplayalım:

1 Basamaklı Sayfalar (1-9):
9 sayfa vardır.
Kullanılan rakam: 9 × 1 = 9

2 Basamaklı Sayfalar (10-99):
99 - 10 + 1 = 90 sayfa vardır.
Kullanılan rakam: 90 × 2 = 180

3 Basamaklı Sayfalar (100-150):
150 - 100 + 1 = 51 sayfa vardır.
Kullanılan rakam: 51 × 3 = 153

Toplam Rakam Sayısı: 9 + 180 + 153 = 342.

10. x bir tam sayı olmak üzere, (3x + 12) / x ifadesini tam sayı yapan kaç farklı x değeri vardır?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16

Çözüm:

Verilen ifadeyi daha basit bir forma getirelim:

(3x + 12) / x = (3x / x) + (12 / x) = 3 + (12 / x)

Bu ifadenin bir tam sayı olabilmesi için, 3 zaten bir tam sayı olduğundan, 12 / x ifadesinin de bir tam sayı olması gerekir. Bu da ancak x'in 12'yi tam bölmesiyle mümkündür.

12'nin tam bölenlerini bulmalıyız (pozitif ve negatif):

Pozitif Bölenler: {1, 2, 3, 4, 6, 12} (6 tane)

Negatif Bölenler: {-1, -2, -3, -4, -6, -12} (6 tane)

Toplamda 6 + 6 = 12 farklı x tam sayı değeri vardır.

11. a ve b aralarında asal iki pozitif tam sayıdır. a + (15/b) = 10 olduğuna göre, a - b farkı kaçtır?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Çözüm:

Denklemi düzenleyelim. a bir tam sayı olduğuna göre, 15/b ifadesi de a'yı tam sayı yapacak bir sonuç vermelidir. Bu, b'nin 15'in bir böleni olması gerektiğini gösterir.

Denklem: a = 10 - (15/b)

b, pozitif bir tam sayı olduğu için 15'in pozitif bölenlerini {1, 3, 5, 15} deneyelim:

b = 1 ise: a = 10 - 15 = -5. (a pozitif değil, geçersiz)

b = 3 ise: a = 10 - 5 = 5. a=5, b=3. Aralarında asallar mı? Evet. Bu bir çözüm.

b = 5 ise: a = 10 - 3 = 7. a=7, b=5. Aralarında asallar mı? Evet. Bu da bir çözüm.

b = 15 ise: a = 10 - 1 = 9. a=9, b=15. Aralarında asal değiller (ikisi de 3'e bölünür), geçersiz.

İki olası çözüm bulduk: (a=5, b=3) ve (a=7, b=5). Soru a-b farkını istiyor:
İlk durumda: 5 - 3 = 2
İkinci durumda: 7 - 5 = 2
Her iki geçerli durumda da sonuç 2'dir.

12. x, y, z negatif tam sayılardır. x/2 = y/3 = z/5 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) x > y > z

B) z > y > x

C) y > x > z

D) x > z > y

E) y > z > x

Çözüm:

Bu tür orantılarda, ifadeyi bir k sabitine eşitleyebiliriz. x, y, z negatif tam sayılar olduğu için, k negatif bir tam sayı olmalıdır. Kolaylık olması için k = -1 seçelim.

x/2 = -1 => x = -2
y/3 = -1 => y = -3
z/5 = -1 => z = -5

Şimdi bu negatif sayıları sayı doğrusunda düşünerek sıralayalım. Sayı doğrusunda sağda olan daha büyüktür.
-2, -3'ten daha sağdadır. (-2 > -3)
-3, -5'ten daha sağdadır. (-3 > -5)

Dolayısıyla doğru sıralama: x > y > z.

Tebrikler!

Temel Kavramlar konusunun bu testini başarıyla tamamladınız.

Pratik yapmaya devam ederek bilgilerinizi daha da pekiştirebilirsiniz!