Temel Kavramlar - İnteraktif Test 6
Çözüm:
Denklemi düzenleyelim: x = 12 - y/z.
x'in en büyük değerini alması için, y/z ifadesinin en küçük değerini alması gerekir.
y, z'ye tam bölünmelidir ve x > y > z koşulu sağlanmalıdır.
y/z ifadesinin en küçük pozitif tam sayı değeri 2 olabilir (1 olamaz çünkü y>z).
x = 12 - 2 = 10.
Bu durumda y = 2z olur. z'ye değer verip koşulu kontrol edelim:
- z=1 ise y=2. Koşul: x>y>z => 10>2>1. Sağlandı.
- z=2 ise y=4. Koşul: x>y>z => 10>4>2. Sağlandı.
- z=3 ise y=6. Koşul: x>y>z => 10>6>3. Sağlandı.
x = 12 - 3 = 9. (Daha küçük bir x değeri verdi)
y/z oranı arttıkça x değeri azalacaktır. Dolayısıyla x'in alabileceği en büyük değer, y/z'nin alabileceği en küçük değer olan 2'den elde edilir. Bu durumda x en fazla 10 olur.
Çözüm:
Bir sayının 45'e tam bölünebilmesi için aralarında asal olan 5 ve 9'a tam bölünmesi gerekir.
1. Adım (5'e Bölünebilme): Sayının son basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Yani B={0, 5}.
2. Adım (9'a Bölünebilme): Her B durumu için rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır.
A'nın alabileceği değerler {2, 6}'dır. Toplamları: 2 + 6 = 8.
Çözüm:
Çarpımları 30 olan tam sayı çiftlerinin toplamlarını inceleyelim:
Aynı sayıların negatifleri de mümkündür:
Şıklarda verilen değerlerden 12'ye ulaşılamaz.
Çözüm:
Birler basamağını bulmak için sayıların son rakamlarına bakmamız yeterlidir.
5! ve sonrası için:
5! ve sonraki tüm faktöriyellerin içinde hem 2 hem de 5 çarpanı olduğu için sonları daima 0'dır. Bu yüzden 5! ve sonrasındaki terimlerin birler basamağına bir etkisi yoktur.
Toplama sadece ilk iki terimin birler basamağı etki eder:
1 + 6 = 7
Toplamın birler basamağı 7'dir.
Çözüm:
Bir sayının 15 ile bölümünden kalanın 7 olması, o sayının 15'in asal çarpanları olan 3 ve 5 ile bölümünden kalanları bulmamız gerektiği anlamına gelir.
Durum 1: B=2
Rakamlar toplamı: 3+A+8+2 = 13+A. Bu toplam 3'ün katından 1 fazla olmalı: 13+A = 3k+1 => 12+A=3k. A, 3'ün katı olmalıdır. A={0,3,6,9}. (A≠B koşulu sağlanır).
Durum 2: B=7
Rakamlar toplamı: 3+A+8+7 = 18+A. Bu toplam 3'ün katından 1 fazla olmalı: 18+A = 3k+1 => 17+A=3k. A={1,4,7}. A≠B olduğu için A=7 olamaz. A={1,4}.
A'nın alabileceği tüm değerler: {0,3,6,9} ve {1,4}.
Toplam: 0+3+6+9+1+4 = 23.
Çözüm:
Çarpımın en büyük (yani 0'a en yakın) negatif değerini alması için, sayıların mutlak değerce birbirine en yakın olması gerekir.
Toplamları -8 olan üç farklı negatif tam sayı düşünelim:
-8'i 3'e bölersek yaklaşık -2.6 yapar. Bu, sayıların -2 ve -3 etrafında olması gerektiğini gösterir.
Sayıları -2, -3 seçersek, üçüncüsü -8 - (-2-3) = -3 olur. Ama sayılar farklı olmalı.
Bu yüzden sayıları biraz daha birbirinden ayıralım. En yakın farklı tam sayılar:
-1, -2, -5 (Toplamları -8)
-1, -3, -4 (Toplamları -8)
Şimdi bu iki durumun çarpımlarını karşılaştıralım:
-10, -12'den daha büyük bir sayıdır (0'a daha yakındır). Bu yüzden çarpımın alabileceği en büyük değer -10'dur.
Çözüm:
Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapmak için büyük olanı küçük olan cinsinden yazarız.
(n+3)! = (n+3) * (n+2) * (n+1)!
Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım:
( (n+3) * (n+2) * (n+1)! ) / (n+1)! = 42
(n+1)! ifadeleri sadeleşir:
(n+3) * (n+2) = 42
Arka arkaya gelen hangi iki sayının çarpımı 42'dir? 6 ve 7.
n+3 = 7 ve n+2 = 6 olmalıdır.
İki denklemden de n = 4 bulunur.
Çözüm:
EBOB(a, b) = 6 ise, a ve b sayıları 6'nın katlarıdır.
a = 6k ve b = 6m yazabiliriz. Burada k ve m aralarında asal olmalıdır.
a + b = 48
6k + 6m = 48
6(k + m) = 48
k + m = 8
Şimdi toplamları 8 olan ve aralarında asal olan pozitif tam sayı (k,m) çiftlerini bulalım:
Olası durumları inceleyelim:
Şıklarda bu iki değerden 36 bulunmaktadır.
Çözüm:
Toplamın en küçük olabilmesi için sayılara negatif değerler vermeliyiz. 'a' ortak çarpan olduğu için, 'a' ya negatif bir değer verdiğimizde b ve c de negatif olacaktır.
Toplamı en küçük yapmak için sayılardan birini mutlak değerce çok büyük seçmeliyiz. Ortak çarpan olan 'a' ya -1 değerini verelim:
(-1) * b = 18 => b = -18
(-1) * c = 24 => c = -24
Toplam: a + b + c = (-1) + (-18) + (-24) = -43.
Diğer negatif ortak bölenleri (örneğin a=-2, -3, -6) denediğinizde toplamın -43'ten daha büyük (0'a daha yakın) olduğunu göreceksiniz. Örneğin a=-6 için b=-3, c=-4 ve toplam -13 olur.
Çözüm:
Bu soru aslında "120 sayısının kaç tane pozitif tam böleni vardır?" sorusuyla aynıdır.
Pozitif Bölen Sayısını (PBS) bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırırız:
120 = 12 * 10
120 = (4 * 3) * (2 * 5)
120 = (2² * 3¹) * (2¹ * 5¹)
120 = 2³ * 3¹ * 5¹
PBS'yi bulmak için asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız:
PBS = (3+1) * (1+1) * (1+1)
PBS = 4 * 2 * 2 = 16
Dolayısıyla x, 16 farklı pozitif tam sayı değeri alabilir.
Çözüm:
Yöntem 1: Ortalama bulma
Toplamı terim adedine bölersek ortadaki değeri buluruz. 100 / 4 = 25. Terim sayısı çift olduğu için bu değer tam ortada yer alan iki sayının (2. ve 3. sayının) ortalamasıdır.
25'in hemen solundaki ve sağındaki çift sayılar 24 ve 26'dır. Bunlar ortadaki iki sayıdır.
Sayılar: ?, 24, 26, ?
Sayılar ardışık çift olduğu için dizi: 22, 24, 26, 28 olur. En küçüğü 22'dir.
Yöntem 2: Cebirsel
En küçük sayıya n diyelim. Sayılar n, n+2, n+4, n+6 olur.
n + (n+2) + (n+4) + (n+6) = 100
4n + 12 = 100
4n = 88
n = 22.
Çözüm:
İstenen sayıları dikkatlice bulalım:
Şimdi bu iki sayıyı toplayalım:
(-102) + (-98) = -200.
Tebrikler!
Temel Kavramlar konusunun 6. testini başarıyla tamamladınız.
Pratik yapmaya devam ederek bilgilerinizi daha da pekiştirebilirsiniz!
Temel Kavramlar - İnteraktif Test 6
Çözüm:
Denklemi düzenleyelim: x = 12 - y/z.
x'in en büyük değerini alması için, y/z ifadesinin en küçük değerini alması gerekir.
y, z'ye tam bölünmelidir ve x > y > z koşulu sağlanmalıdır.
y/z ifadesinin en küçük pozitif tam sayı değeri 2 olabilir (1 olamaz çünkü y>z).
x = 12 - 2 = 10.
Bu durumda y = 2z olur. z'ye değer verip koşulu kontrol edelim:
- z=1 ise y=2. Koşul: x>y>z => 10>2>1. Sağlandı.
- z=2 ise y=4. Koşul: x>y>z => 10>4>2. Sağlandı.
- z=3 ise y=6. Koşul: x>y>z => 10>6>3. Sağlandı.
x = 12 - 3 = 9. (Daha küçük bir x değeri verdi)
y/z oranı arttıkça x değeri azalacaktır. Dolayısıyla x'in alabileceği en büyük değer, y/z'nin alabileceği en küçük değer olan 2'den elde edilir. Bu durumda x en fazla 10 olur.
Çözüm:
Bir sayının 45'e tam bölünebilmesi için aralarında asal olan 5 ve 9'a tam bölünmesi gerekir.
1. Adım (5'e Bölünebilme): Sayının son basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Yani B={0, 5}.
2. Adım (9'a Bölünebilme): Her B durumu için rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır.
A'nın alabileceği değerler {2, 6}'dır. Toplamları: 2 + 6 = 8.
Çözüm:
Çarpımları 30 olan tam sayı çiftlerinin toplamlarını inceleyelim:
Aynı sayıların negatifleri de mümkündür:
Şıklarda verilen değerlerden 12'ye ulaşılamaz.
Çözüm:
Birler basamağını bulmak için sayıların son rakamlarına bakmamız yeterlidir.
5! ve sonrası için:
5! ve sonraki tüm faktöriyellerin içinde hem 2 hem de 5 çarpanı olduğu için sonları daima 0'dır. Bu yüzden 5! ve sonrasındaki terimlerin birler basamağına bir etkisi yoktur.
Toplama sadece ilk iki terimin birler basamağı etki eder:
1 + 6 = 7
Toplamın birler basamağı 7'dir.
Çözüm:
Bir sayının 15 ile bölümünden kalanın 7 olması, o sayının 15'in asal çarpanları olan 3 ve 5 ile bölümünden kalanları bulmamız gerektiği anlamına gelir.
Durum 1: B=2
Rakamlar toplamı: 3+A+8+2 = 13+A. Bu toplam 3'ün katından 1 fazla olmalı: 13+A = 3k+1 => 12+A=3k. A, 3'ün katı olmalıdır. A={0,3,6,9}. (A≠B koşulu sağlanır).
Durum 2: B=7
Rakamlar toplamı: 3+A+8+7 = 18+A. Bu toplam 3'ün katından 1 fazla olmalı: 18+A = 3k+1 => 17+A=3k. A={1,4,7}. A≠B olduğu için A=7 olamaz. A={1,4}.
A'nın alabileceği tüm değerler: {0,3,6,9} ve {1,4}.
Toplam: 0+3+6+9+1+4 = 23.
Çözüm:
Çarpımın en büyük (yani 0'a en yakın) negatif değerini alması için, sayıların mutlak değerce birbirine en yakın olması gerekir.
Toplamları -8 olan üç farklı negatif tam sayı düşünelim:
-8'i 3'e bölersek yaklaşık -2.6 yapar. Bu, sayıların -2 ve -3 etrafında olması gerektiğini gösterir.
Sayıları -2, -3 seçersek, üçüncüsü -8 - (-2-3) = -3 olur. Ama sayılar farklı olmalı.
Bu yüzden sayıları biraz daha birbirinden ayıralım. En yakın farklı tam sayılar:
-1, -2, -5 (Toplamları -8)
-1, -3, -4 (Toplamları -8)
Şimdi bu iki durumun çarpımlarını karşılaştıralım:
-10, -12'den daha büyük bir sayıdır (0'a daha yakındır). Bu yüzden çarpımın alabileceği en büyük değer -10'dur.
Çözüm:
Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapmak için büyük olanı küçük olan cinsinden yazarız.
(n+3)! = (n+3) * (n+2) * (n+1)!
Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım:
( (n+3) * (n+2) * (n+1)! ) / (n+1)! = 42
(n+1)! ifadeleri sadeleşir:
(n+3) * (n+2) = 42
Arka arkaya gelen hangi iki sayının çarpımı 42'dir? 6 ve 7.
n+3 = 7 ve n+2 = 6 olmalıdır.
İki denklemden de n = 4 bulunur.
Çözüm:
EBOB(a, b) = 6 ise, a ve b sayıları 6'nın katlarıdır.
a = 6k ve b = 6m yazabiliriz. Burada k ve m aralarında asal olmalıdır.
a + b = 48
6k + 6m = 48
6(k + m) = 48
k + m = 8
Şimdi toplamları 8 olan ve aralarında asal olan pozitif tam sayı (k,m) çiftlerini bulalım:
Olası durumları inceleyelim:
Şıklarda bu iki değerden 36 bulunmaktadır.
Çözüm:
Toplamın en küçük olabilmesi için sayılara negatif değerler vermeliyiz. 'a' ortak çarpan olduğu için, 'a' ya negatif bir değer verdiğimizde b ve c de negatif olacaktır.
Toplamı en küçük yapmak için sayılardan birini mutlak değerce çok büyük seçmeliyiz. Ortak çarpan olan 'a' ya -1 değerini verelim:
(-1) * b = 18 => b = -18
(-1) * c = 24 => c = -24
Toplam: a + b + c = (-1) + (-18) + (-24) = -43.
Diğer negatif ortak bölenleri (örneğin a=-2, -3, -6) denediğinizde toplamın -43'ten daha büyük (0'a daha yakın) olduğunu göreceksiniz. Örneğin a=-6 için b=-3, c=-4 ve toplam -13 olur.
Çözüm:
Bu soru aslında "120 sayısının kaç tane pozitif tam böleni vardır?" sorusuyla aynıdır.
Pozitif Bölen Sayısını (PBS) bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırırız:
120 = 12 * 10
120 = (4 * 3) * (2 * 5)
120 = (2² * 3¹) * (2¹ * 5¹)
120 = 2³ * 3¹ * 5¹
PBS'yi bulmak için asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız:
PBS = (3+1) * (1+1) * (1+1)
PBS = 4 * 2 * 2 = 16
Dolayısıyla x, 16 farklı pozitif tam sayı değeri alabilir.
Çözüm:
Yöntem 1: Ortalama bulma
Toplamı terim adedine bölersek ortadaki değeri buluruz. 100 / 4 = 25. Terim sayısı çift olduğu için bu değer tam ortada yer alan iki sayının (2. ve 3. sayının) ortalamasıdır.
25'in hemen solundaki ve sağındaki çift sayılar 24 ve 26'dır. Bunlar ortadaki iki sayıdır.
Sayılar: ?, 24, 26, ?
Sayılar ardışık çift olduğu için dizi: 22, 24, 26, 28 olur. En küçüğü 22'dir.
Yöntem 2: Cebirsel
En küçük sayıya n diyelim. Sayılar n, n+2, n+4, n+6 olur.
n + (n+2) + (n+4) + (n+6) = 100
4n + 12 = 100
4n = 88
n = 22.
Çözüm:
İstenen sayıları dikkatlice bulalım:
Şimdi bu iki sayıyı toplayalım:
(-102) + (-98) = -200.
Tebrikler!
Temel Kavramlar konusunun 6. testini başarıyla tamamladınız.
Pratik yapmaya devam ederek bilgilerinizi daha da pekiştirebilirsiniz!