Temel Kavramlar - İnteraktif Test 7
(x - 3) . (y + 4) . (z - 5) = tek sayı
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Çözüm:
Çarpımın tek olması için her bir çarpanın tek olması gerekir.
x - 3 = Tek => x - Tek = Tek => x = Çift.
y + 4 = Tek => y + Çift = Tek => y = Tek.
z - 5 = Tek => z - Tek = Tek => z = Çift.
D şıkkındaki toplam: x + y + z = Çift + Tek + Çift = Çift.
Çözüm:
En küçük sayıya x diyelim. Sayılar: x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10.
Toplamları: 6x + 30.
Denklem: 6x + 30 = 7x.
Buradan x = 30 bulunur. Bu en küçük sayıdır.
En büyük sayı ise x + 10 = 30 + 10 = 40'tır.
a = b - 4
b = c + 5
olduğuna göre, a+b+c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Toplamın en küçük olması için a,b,c'nin en küçük pozitif tam sayı değerlerini alması gerekir.
a=b-4 > 0 => b > 4.
b=c+5.
c en az 1 olabilir. c=1 için b=1+5=6.
b=6, b>4 şartını sağladığı için geçerlidir.
a=6-4=2.
En küçük değerler: c=1, b=6, a=2. Hepsi pozitif tam sayıdır.
Toplam: 2 + 6 + 1 = 9.
Çözüm:
A,B,C rakamlarıyla yazılabilecek 6 farklı sayı vardır (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). Bu sayıları çözümleyip topladığımızda her rakam yüzler, onlar ve birler basamağına ikişer kez gelir.
Toplam = 222(A+B+C).
222(A+B+C) = 1554 => A+B+C = 1554/222 = 7.
Toplamları 7 olan birbirinden farklı üç rakam {1,2,4} veya {0,3,4} veya {0,2,5} veya {0,1,6} olabilir.
En küçük ABC sayısı için en küçük rakamları kullanmalıyız ve yüzler basamağı en küçük olmalı. {1,2,4} rakamlarıyla yazılabilecek en küçük sayı 124'tür.
(x-2) / (y+3) = 12 / 20
olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal oldukları için, karşılarındaki kesrin en sade haline eşit olmalıdırlar.
12/20 kesrini 4 ile sadeleştirirsek 3/5 elde ederiz.
x-2 = 3 => x = 5.
y+3 = 5 => y = 2.
Toplam: x+y = 5+2 = 7.
(x+y) / (x-y) = 3/2
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm:
İçler dışlar çarpımı yapalım: 2(x+y) = 3(x-y).
2x+2y = 3x-3y => x = 5y.
Bu, x'in 5'in katı bir sayı olması gerektiği anlamına gelir. Şıklarda 5'in katı olan sadece 5 vardır. (y=1 için x=5).
Çözüm:
Sondaki sıfır sayısı, n'in içindeki 5 çarpanlarının sayısıyla bulunur.
n=20 için: 20/5 = 4. (4 sıfır)
n=21, 22, 23, 24 için de 5 çarpanı sayısı değişmez, yani 4 sıfır vardır.
n=25 için: 25/5 + 25/25 = 5+1 = 6. (6 sıfır olur)
Dolayısıyla n'nin alabileceği değerler {20, 21, 22, 23, 24}'tür.
Toplamları: 20+21+22+23+24 = 110.
a + b = 12
b . c = 30
olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
b hem 12'den küçük olmalı (a pozitif olduğu için) hem de 30'un böleni olmalıdır.
30'un 12'den küçük pozitif bölenleri: {1, 2, 3, 5, 6, 10}.
Her b değeri için a=12-b'den a'yı bulalım:
b=1 -> a=11. b=2 -> a=10. b=3 -> a=9. b=5 -> a=7. b=6 -> a=6. b=10 -> a=2.
a'nın alabileceği değerler: {11, 10, 9, 7, 6, 2}.
Toplam: 11+10+9+7+6+2 = 45.
120! = 15x . y
olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
15'in asal çarpanları 3 ve 5'tir. 120! içindeki 15 çarpanı sayısını bulmak için, büyük olan asal çarpanın (5) sayısını bulmamız yeterlidir, çünkü 3 çarpanı her zaman daha fazladır.
120! içindeki 5 çarpanı sayısı:
120/5 = 24
24/5 = 4
Toplam: 24 + 4 = 28. Dolayısıyla x en fazla 28 olabilir.
x . y = 1/2
y . z = 1/3
z . x = 1/6
olduğuna göre x, y, z'nin doğru sıralaması hangisidir?
Çözüm:
Sayılar pozitif olduğu için, çarpım sonucu en büyük olan iki sayı en büyüktür.
xy > yz > zx (çünkü 1/2 > 1/3 > 1/6).
1. xy > yz => x > z (y'ler sadeleşir).
2. yz > zx => y > x (z'ler sadeleşir).
Bu iki sonucu birleştirirsek: y > x > z.
(A*B + 1) / B = 21/5
olduğuna göre, A . B çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Verilen denklemi A + 1/B = 21/5 olarak ayırabiliriz.
21/5'i tam sayılı kesre çevirelim: 4 tam 1/5.
A + 1/B = 4 + 1/5.
A ve B pozitif tam sayılar olduğundan, bu eşitliğin sağlanması için A=4 ve B=5 olmalıdır.
Çarpımları: A . B = 4 * 5 = 20.
x = 5y
y = 3z
x + y + z < 100
olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
Tüm değişkenleri en küçüğü olan z cinsinden yazalım: y=3z, x=5(3z)=15z.
Toplamda yerine koyalım: 15z + 3z + z < 100 => 19z < 100.
z pozitif tam sayı olduğu için 100/19'dan küçük en büyük tam sayı değerini alabilir. 100/19 ≈ 5.26.
z'nin alabileceği en büyük değer 5'tir.
x'in en büyük değeri için z=5 almalıyız: x = 15 * 5 = 75.
Tebrikler!
Temel Kavramlar konusunun beşinci testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunda bir sonraki konu olan "Sayılar" testine geçebiliriz.
Temel Kavramlar - İnteraktif Test 7
(x - 3) . (y + 4) . (z - 5) = tek sayı
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Çözüm:
Çarpımın tek olması için her bir çarpanın tek olması gerekir.
x - 3 = Tek => x - Tek = Tek => x = Çift.
y + 4 = Tek => y + Çift = Tek => y = Tek.
z - 5 = Tek => z - Tek = Tek => z = Çift.
D şıkkındaki toplam: x + y + z = Çift + Tek + Çift = Çift.
Çözüm:
En küçük sayıya x diyelim. Sayılar: x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10.
Toplamları: 6x + 30.
Denklem: 6x + 30 = 7x.
Buradan x = 30 bulunur. Bu en küçük sayıdır.
En büyük sayı ise x + 10 = 30 + 10 = 40'tır.
a = b - 4
b = c + 5
olduğuna göre, a+b+c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Toplamın en küçük olması için a,b,c'nin en küçük pozitif tam sayı değerlerini alması gerekir.
a=b-4 > 0 => b > 4.
b=c+5.
c en az 1 olabilir. c=1 için b=1+5=6.
b=6, b>4 şartını sağladığı için geçerlidir.
a=6-4=2.
En küçük değerler: c=1, b=6, a=2. Hepsi pozitif tam sayıdır.
Toplam: 2 + 6 + 1 = 9.
Çözüm:
A,B,C rakamlarıyla yazılabilecek 6 farklı sayı vardır (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). Bu sayıları çözümleyip topladığımızda her rakam yüzler, onlar ve birler basamağına ikişer kez gelir.
Toplam = 222(A+B+C).
222(A+B+C) = 1554 => A+B+C = 1554/222 = 7.
Toplamları 7 olan birbirinden farklı üç rakam {1,2,4} veya {0,3,4} veya {0,2,5} veya {0,1,6} olabilir.
En küçük ABC sayısı için en küçük rakamları kullanmalıyız ve yüzler basamağı en küçük olmalı. {1,2,4} rakamlarıyla yazılabilecek en küçük sayı 124'tür.
(x-2) / (y+3) = 12 / 20
olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal oldukları için, karşılarındaki kesrin en sade haline eşit olmalıdırlar.
12/20 kesrini 4 ile sadeleştirirsek 3/5 elde ederiz.
x-2 = 3 => x = 5.
y+3 = 5 => y = 2.
Toplam: x+y = 5+2 = 7.
(x+y) / (x-y) = 3/2
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm:
İçler dışlar çarpımı yapalım: 2(x+y) = 3(x-y).
2x+2y = 3x-3y => x = 5y.
Bu, x'in 5'in katı bir sayı olması gerektiği anlamına gelir. Şıklarda 5'in katı olan sadece 5 vardır. (y=1 için x=5).
Çözüm:
Sondaki sıfır sayısı, n'in içindeki 5 çarpanlarının sayısıyla bulunur.
n=20 için: 20/5 = 4. (4 sıfır)
n=21, 22, 23, 24 için de 5 çarpanı sayısı değişmez, yani 4 sıfır vardır.
n=25 için: 25/5 + 25/25 = 5+1 = 6. (6 sıfır olur)
Dolayısıyla n'nin alabileceği değerler {20, 21, 22, 23, 24}'tür.
Toplamları: 20+21+22+23+24 = 110.
a + b = 12
b . c = 30
olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
b hem 12'den küçük olmalı (a pozitif olduğu için) hem de 30'un böleni olmalıdır.
30'un 12'den küçük pozitif bölenleri: {1, 2, 3, 5, 6, 10}.
Her b değeri için a=12-b'den a'yı bulalım:
b=1 -> a=11. b=2 -> a=10. b=3 -> a=9. b=5 -> a=7. b=6 -> a=6. b=10 -> a=2.
a'nın alabileceği değerler: {11, 10, 9, 7, 6, 2}.
Toplam: 11+10+9+7+6+2 = 45.
120! = 15x . y
olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
15'in asal çarpanları 3 ve 5'tir. 120! içindeki 15 çarpanı sayısını bulmak için, büyük olan asal çarpanın (5) sayısını bulmamız yeterlidir, çünkü 3 çarpanı her zaman daha fazladır.
120! içindeki 5 çarpanı sayısı:
120/5 = 24
24/5 = 4
Toplam: 24 + 4 = 28. Dolayısıyla x en fazla 28 olabilir.
x . y = 1/2
y . z = 1/3
z . x = 1/6
olduğuna göre x, y, z'nin doğru sıralaması hangisidir?
Çözüm:
Sayılar pozitif olduğu için, çarpım sonucu en büyük olan iki sayı en büyüktür.
xy > yz > zx (çünkü 1/2 > 1/3 > 1/6).
1. xy > yz => x > z (y'ler sadeleşir).
2. yz > zx => y > x (z'ler sadeleşir).
Bu iki sonucu birleştirirsek: y > x > z.
(A*B + 1) / B = 21/5
olduğuna göre, A . B çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Verilen denklemi A + 1/B = 21/5 olarak ayırabiliriz.
21/5'i tam sayılı kesre çevirelim: 4 tam 1/5.
A + 1/B = 4 + 1/5.
A ve B pozitif tam sayılar olduğundan, bu eşitliğin sağlanması için A=4 ve B=5 olmalıdır.
Çarpımları: A . B = 4 * 5 = 20.
x = 5y
y = 3z
x + y + z < 100
olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
Tüm değişkenleri en küçüğü olan z cinsinden yazalım: y=3z, x=5(3z)=15z.
Toplamda yerine koyalım: 15z + 3z + z < 100 => 19z < 100.
z pozitif tam sayı olduğu için 100/19'dan küçük en büyük tam sayı değerini alabilir. 100/19 ≈ 5.26.
z'nin alabileceği en büyük değer 5'tir.
x'in en büyük değeri için z=5 almalıyız: x = 15 * 5 = 75.
Tebrikler!
Temel Kavramlar konusunun beşinci testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunda bir sonraki konu olan "Sayılar" testine geçebiliriz.