Yeni Sayfa | SÖZEL KAFA

Sayılar - İnteraktif Test 1 (Yeni)

1. a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere;
3a + 2b - 4c ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 45

B) 43

C) 41

D) 39

E) 38

Çözüm:

İfadenin en büyük değerini alması için pozitif katsayılı terimlere en büyük, negatif katsayılı terime ise en küçük rakamı vermeliyiz.
Katsayısı en büyük olan 'a' ya en büyük rakamı (9) verelim.
Katsayısı ikinci büyük olan 'b' ye bir sonraki en büyük rakamı (8) verelim.
Negatif katsayılı 'c' ye ise en küçük rakamı (0) verelim.
a=9, b=8, c=0 (Rakamlar farklı, şart sağlandı)
3(9) + 2(8) - 4(0) = 27 + 16 - 0 = 45.

2. a bir tam sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi daima bir çift sayıdır?

A) a+2

B) 2a+1

C) a(a+1)

D) a²

E) 3a

Çözüm:

Seçenekleri inceleyelim:
A) a tek ise a+2 tek olur. (Daima değil)
B) 2a çifttir, 2a+1 daima tektir. (Daima değil)
C) a(a+1) ifadesi ardışık iki tam sayının çarpımıdır. Ardışık sayılardan biri mutlaka çift olacağı için çarpımları daima çifttir.
D) a tek ise a² tek olur. (Daima değil)
E) a tek ise 3a tek olur. (Daima değil)

3. Ardışık 5 tek sayının toplamı 145 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

A) 27

B) 29

C) 31

D) 33

E) 35

Çözüm:

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısına bölünürse ortadaki terim bulunur.
Ortadaki sayı = 145 / 5 = 29.
Sayılar 5 tane olduğu için ortadaki sayı 3. sayıdır.
Sayılar: 25, 27, 29, 31, 33
Bu sayıların en büyüğü 33'tür.

4. İki basamaklı bir sayının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde sayının değeri 54 azalıyor.
Buna göre, bu sayının rakamları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

Çözüm:

Sayı AB olsun. Rakamları yer değiştirince BA olur.
AB - BA = 54
(10A + B) - (10B + A) = 54
9A - 9B = 54
9(A - B) = 54
A - B = 6
Bu şartı sağlayan (A,B) çiftleri: (7,1), (8,2), (9,3).
Bu çiftlerin rakamları toplamları:
7+1=8
8+2=10
9+3=12
Seçeneklerde bu değerlerden sadece 10 bulunmaktadır.

5. Dört basamaklı 4A5B sayısı 18 ile tam bölünebildiğine göre, A'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 5

B) 7

C) 9

D) 8

E) 6

Çözüm:

Bir sayının 18 ile tam bölünebilmesi için hem 2'ye hem de 9'a tam bölünmesi gerekir.
2 ile bölünme: Son rakam (B) çift olmalıdır. B = {0, 2, 4, 6, 8} olabilir.
9 ile bölünme: Rakamları toplamı (4+A+5+B = 9+A+B) 9'un katı olmalıdır. Bu durumda A+B toplamı 9 veya 18 olmalıdır.
A'nın en büyük değerini aradığımız için A=9'dan başlayarak kontrol edelim.
Eğer A=9 ise;
A+B=9 ise B=0 olur. (Sayı 4950, 2'ye bölünür. Sağlar)
A+B=18 ise B=9 olur. (Sayı 4959, 2'ye bölünmez. Sağlamaz)
Bulduğumuz A=9 değeri mümkün olan en büyük rakam olduğu için, başka bir A değerinin daha büyük olması imkansızdır.
Dolayısıyla A'nın alabileceği en büyük değer 9'dur.

6. Rakamları farklı, üç basamaklı 3AB sayısı 12 ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre, A kaç farklı değer alabilir?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Çözüm:

12 ile bölünme, 3 ve 4 ile bölünmeyi gerektirir. Rakamlar {3, A, B} birbirinden farklı olmalıdır.
4 ile bölünme: Son iki basamak (AB) 4'ün katı olmalıdır.
3 ile bölünme: Rakamlar toplamı (3+A+B) 3'ün katı olmalıdır. Yani A+B toplamı 3'ün katı olmalıdır.
Şimdi A'nın alabileceği değerleri deneyelim:
A=0: Sayı 30B. AB=0B, B=4,8 olabilir. 304 (toplam 7), 308 (toplam 11). Olmadı.
A=1: Sayı 31B. AB=1B, B=2,6 olabilir. 312 (toplam 6, rakamlar farklı. Olur), 316 (toplam 10). A=1 olabilir.
A=2: Sayı 32B. AB=2B, B=0,4,8 olabilir. 320 (toplam 5), 324 (toplam 9. Olur), 328 (toplam 13). A=2 olabilir.
A=4: Sayı 34B. AB=4B, B=0,8 olabilir. 340 (toplam 7), 348 (toplam 15. Olur). A=4 olabilir.
A=5: Sayı 35B. AB=5B, B=2,6 olabilir. 352 (toplam 10), 356 (toplam 14). Olmadı.
A=6: Sayı 36B. AB=6B, B=0,4,8 olabilir. 360 (toplam 9. Olur), 364 (toplam 13), 368 (toplam 17). A=6 olabilir.
A=7: Sayı 37B. AB=7B, B=2,6 olabilir. 372 (toplam 12. Olur), 376 (toplam 16). A=7 olabilir.
A=8: Sayı 38B. AB=8B, B=0,4 olabilir. 380 (toplam 11), 384 (toplam 15. Olur). A=8 olabilir.
A=9: Sayı 39B. AB=9B, B=2,6 olabilir. 392 (toplam 14), 396 (toplam 18. Olur). A=9 olabilir.
A'nın alabileceği değerler: {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9}. Toplam 7 farklı değer vardır.

7. 1! + 2! + 3! + ... + 50!
toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?

A) 0

B) 1

C) 3

D) 5

E) 9

Çözüm:

Birler basamağını bulmak için sayıların birler basamaklarına bakmamız yeterlidir.
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24 (Birler basamağı 4)
5! = 120 (Birler basamağı 0)
6! = 720 (Birler basamağı 0)
5! ve sonrasındaki tüm faktöriyel ifadelerinin sonunda 0 olacağı için birler basamakları 0'dır ve toplama etki etmezler.
Bu yüzden sadece ilk dört terimin birler basamaklarını toplamamız yeterlidir:
1 + 2 + 6 + 4 = 13.
Toplamın birler basamağı 3'tür.

8. 120 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

A) 8

B) 10

C) 12

D) 16

E) 20

Çözüm:

Pozitif Bölen Sayısını (PBS) bulmak için sayıyı önce asal çarpanlarına ayırırız.
120 = 12 ⋅ 10 = (4 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 5) = (2² ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 5) = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹
Sonra asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.
PBS = (3+1) ⋅ (1+1) ⋅ (1+1) = 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16.
120 sayısının 16 tane pozitif tam sayı böleni vardır.

9. (10! / 8!) - (7! / 6!)
işleminin sonucu kaçtır?

A) 76

B) 81

C) 83

D) 90

E) 97

Çözüm:

Faktöriyel ifadelerini sadeleştirelim.
10! / 8! = (10 ⋅ 9 ⋅ 8!) / 8! = 10 ⋅ 9 = 90
7! / 6! = (7 ⋅ 6!) / 6! = 7
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
90 - 7 = 83.

10. Bir A sayısının 11 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, 3A+7 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 5

E) 7

Çözüm:

Kalan bulma problemlerinde, sayı (A) yerine kalanıyla (5) işlem yapabiliriz.
İstenen ifadedeki A yerine kalanı olan 5'i yazalım:
3(5) + 7 = 15 + 7 = 22
Şimdi bulduğumuz bu sonucun 11 ile bölümünden kalanı bulalım.
22 sayısı 11'e tam bölündüğü için kalan 0'dır.

11. 24 ve 30 sayılarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) ile En Küçük Ortak Katı (EKOK) toplamı kaçtır?

A) 120

B) 124

C) 126

D) 130

E) 150

Çözüm:

Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
24 = 2³ ⋅ 3
30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
EBOB için ortak olan asal çarpanlardan üssü küçük olanlar alınır:
EBOB(24, 30) = 2¹ ⋅ 3¹ = 6
EKOK için ortak olan çarpanlardan üssü büyük olanlar ve ortak olmayanların tümü alınır:
EKOK(24, 30) = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹ = 8 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120
Toplamları: EBOB + EKOK = 6 + 120 = 126.

12. Bir duraktan her 12 dakikada bir dolmuş ve her 15 dakikada bir otobüs kalkmaktadır.
İkisi saat 09:00'da birlikte hareket ettikten sonra, tekrar saat kaçta birlikte hareket ederler?

A) 10:00

B) 10:15

C) 10:30

D) 11:00

E) 12:00

Çözüm:

Birlikte hareket etme zamanını bulmak için 12 ve 15'in En Küçük Ortak Katı'nı (EKOK) bulmalıyız.
EKOK(12, 15)'i bulalım.
12 = 2² ⋅ 3
15 = 3 ⋅ 5
EKOK(12, 15) = 2² ⋅ 3 ⋅ 5 = 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 dakika.
Yani her 60 dakikada bir (yani her 1 saatte bir) birlikte hareket ederler.
İlk kez 09:00'da birlikte hareket ettiklerine göre, bir sonraki birlikte hareket saatleri:
09:00 + 1 saat = 10:00.

Tebrikler!

Sayılar konusunun birinci testini başarıyla tamamladınız.

Hazır olduğunda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.