Yeni Sayfa | SÖZEL KAFA

Sayılar - İnteraktif Test 2 (Revize Edilmiş)

1. Bir öğrenci, bir kitabın sayfalarını 1'den başlayarak numaralandırmak için toplam 207 tane rakam kullanmıştır.
Buna göre, bu kitap kaç sayfadır?

A) 99

B) 103

C) 105

D) 107

E) 111

Çözüm:

Numaralandırmayı basamak sayısına göre ayıralım:
1-9 arası sayfalar: 9 sayfa × 1 rakam = 9 rakam.
10-99 arası sayfalar: 90 sayfa × 2 rakam = 180 rakam.
İlk 99 sayfa için toplam 9 + 180 = 189 rakam kullanılmıştır.
Kalan rakam sayısı: 207 - 189 = 18 rakam.
Bu kalan rakamlar 3 basamaklı sayılar için kullanılacaktır. Her sayfa 3 rakam gerektirir.
Kaç tane 3 basamaklı sayfa yazıldığı: 18 / 3 = 6 sayfa.
Toplam sayfa sayısı: 99 (ilk iki basamaklılar) + 6 (üç basamaklılar) = 105 sayfa.

2. A, B ve C pozitif tam sayılardır.
A = 5B + 3
B = 4C + 2
olduğuna göre, A sayısının 20 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 5

B) 7

C) 11

D) 13

E) 17

Çözüm:

İki denklemi birleştirmek için ikinci denklemdeki B'nin ifadesini, birinci denklemde yerine yazalım.
A = 5 * (4C + 2) + 3
A = 20C + 10 + 3
A = 20C + 13
Bu ifade, A sayısının 20'nin bir katından 13 fazla olduğunu gösterir. Dolayısıyla A'nın 20 ile bölümünden kalan 13'tür.

3. Bir bahçıvan, güllerini 8'erli gruplara ayırdığında 5 gül, 10'arlı gruplara ayırdığında ise 7 gül artıyor.
Bahçıvanın gül sayısı 200'den fazla olduğuna göre, en az kaç gülü vardır?

A) 203

B) 217

C) 223

D) 237

E) 243

Çözüm:

Gül sayısına G diyelim.
G = 8k + 5
G = 10m + 7
Her iki eşitliğe de 3 eklersek, ifadeler 8 ve 10'un tam katı olur:
G + 3 = 8k + 8 = 8(k+1)
G + 3 = 10m + 10 = 10(m+1)
Demek ki G+3 sayısı, hem 8'in hem de 10'un ortak katıdır. En küçük ortak katlarını (EKOK) bulalım.
EKOK(8, 10) = 40.
Öyleyse, G + 3 = 40'ın katı olmalıdır: G + 3 = 40n
G = 40n - 3.
Gül sayısı 200'den fazla ise: 40n - 3 > 200 => 40n > 203 => n > 5.075
n bir tam sayı olduğuna göre, en az 6 olabilir.
G = 40(6) - 3 = 240 - 3 = 237.

4. Üç basamaklı ABC sayısının sağına 2 rakamı yazılarak dört basamaklı ABC2 sayısı, soluna 1 rakamı yazılarak dört basamaklı 1ABC sayısı elde ediliyor.
ABC2 sayısı, 1ABC sayısından 523 fazla olduğuna göre, A+B+C toplamı kaçtır?

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

Çözüm:

Sayıları çözümleyerek denklemi kuralım:
ABC2 sayısı = 10 * (ABC) + 2
1ABC sayısı = 1000 + ABC
Verilen denkleme göre:
ABC2 = 1ABC + 523
10 * (ABC) + 2 = (1000 + ABC) + 523
10 * (ABC) + 2 = 1523 + ABC
İki taraftan da ABC çıkaralım:
9 * (ABC) + 2 = 1523
9 * (ABC) = 1521
ABC = 1521 / 9 = 169
O halde A=1, B=6, C=9'dur.
Toplamları: A+B+C = 1+6+9 = 16.

5. A = 12² ⋅ 10³ olduğuna göre, A sayısının pozitif tek tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

A) 7

B) 8

C) 12

D) 15

E) 24

Çözüm:

Tek bölen sayısını bulmak için, sayının asal çarpanları arasındaki tek olanları kullanırız. Önce sayıyı asal çarpanlarına ayıralım.
A = (12)² ⋅ (10)³
A = (2² ⋅ 3)² ⋅ (2 ⋅ 5)³
A = (2⁴ ⋅ 3²) ⋅ (2³ ⋅ 5³)
A = 2⁷ ⋅ 3² ⋅ 5³
Pozitif tek bölenleri bulmak için sadece tek asal çarpanların (3 ve 5) üslerini kullanırız. 2⁷ çarpanını yok sayarız.
Kalan ifade: 3² ⋅ 5³
Tek bölen sayısı = (3'ün üssü + 1) * (5'in üssü + 1)
Tek bölen sayısı = (2 + 1) * (3 + 1) = 3 * 4 = 12.

6. x ve y pozitif tam sayılardır.
x = EBOB(120, 150)
y = EKOK(20, 25)
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

A) 110

B) 120

C) 130

D) 150

E) 180

Çözüm:

x'i bulalım (EBOB):
120 = 10 ⋅ 12 = 2 ⋅ 5 ⋅ 2² ⋅ 3 = 2³ ⋅ 3 ⋅ 5
150 = 10 ⋅ 15 = 2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5²
EBOB için ortak asallardan üssü küçük olanlar alınır: 2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹ = 30. Yani x = 30.
y'yi bulalım (EKOK):
20 = 2² ⋅ 5
25 = 5²
EKOK için tüm asallardan üssü büyük olanlar alınır: 2² ⋅ 5² = 4 ⋅ 25 = 100. Yani y = 100.
Toplamları: x + y = 30 + 100 = 130.

7. (4n+8) ve (5n+2) sayıları ardışık çift sayılar olduğuna göre, n'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

Çözüm:

Ardışık çift sayıların arasındaki fark 2'dir. Hangi sayının daha büyük olduğunu bilmediğimiz için iki durumu da incelemeliyiz.
Durum 1: (5n+2) - (4n+8) = 2
5n + 2 - 4n - 8 = 2
n - 6 = 2 => n = 8
Durum 2: (4n+8) - (5n+2) = 2
4n + 8 - 5n - 2 = 2
-n + 6 = 2 => n = 4
n'nin alabileceği değerler {8, 4}'tür.
Toplamları: 8 + 4 = 12.

8. Beş basamaklı 7A3AB sayısının 10 ile bölümünden kalan 4'tür.
Bu sayı 9 ile tam bölünebildiğine göre, A kaçtır?

A) 2

B) 3

C) 5

D) 7

E) 8

Çözüm:

Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağıdır. Dolayısıyla B=4'tür.
Sayı şimdi 7A3A4 oldu.
Bu sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir.
Rakamlar toplamı: 7 + A + 3 + A + 4 = 14 + 2A.
14 + 2A toplamı 9'un katı olmalıdır. A bir rakam olduğu için 9'un katlarından 14'ten büyük olanları düşünelim (18, 27, 36...).
14 + 2A = 18 => 2A = 4 => A = 2.
14 + 2A = 27 => 2A = 13 (A tam sayı değil, olmaz).
14 + 2A = 36 => 2A = 22 (A rakam değil, olmaz).
Tek mümkün değer A = 2'dir.

9. n bir doğal sayı olmak üzere, (n+1)! / (n-1)! = 30
eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Çözüm:

Faktöriyel özelliğini kullanarak ifadeyi sadeleştirelim. (n+1)! ifadesini (n-1)! cinsinden yazabiliriz.
(n+1)! = (n+1) ⋅ n ⋅ (n-1)!
Şimdi yerine koyalım:
( (n+1) ⋅ n ⋅ (n-1)! ) / (n-1)! = 30
Faktöriyeller sadeleşir: (n+1) ⋅ n = 30
Ardışık iki doğal sayının çarpımı 30'dur. Bu sayılar 5 ve 6'dır.
n = 5 ve n+1 = 6 olmalıdır.
Dolayısıyla n = 5'tir.

10. a ve b pozitif tam sayılardır.
120 ⋅ a = b³
olduğuna göre, a'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 30

B) 60

C) 150

D) 225

E) 300

Çözüm:

Eşitliğin sağ tarafı bir tam sayının küpü olduğuna göre, sol tarafın da asal çarpanlarının üsleri 3'ün katı olmalıdır.
Önce 120'yi asal çarpanlarına ayıralım:
120 = 12 ⋅ 10 = (2² ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 5) = 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹
Eşitliği tekrar yazalım: (2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹) ⋅ a = b³
Sol taraftaki her asal çarpanın üssünü 3'ün katı yapmalıyız.
2'nin üssü zaten 3'tür.
3'ün üssü 1'dir. 3³ yapmak için 3² ile çarpmalıyız.
5'in üssü 1'dir. 5³ yapmak için 5² ile çarpmalıyız.
Bu durumda 'a' sayısı bu eksik çarpanları içermelidir.
a (en küçük) = 3² ⋅ 5² = 9 ⋅ 25 = 225.

11. A = 3 + 6 + 9 + ... + 60
B = 4 + 8 + 12 + ... + 80
olduğuna göre, B - A farkı kaçtır?

A) 180

B) 200

C) 210

D) 240

E) 250

Çözüm:

İki toplamdaki terim sayılarını bulalım.
A için Terim Sayısı = ((Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı) + 1 = ((60-3)/3)+1 = 20.
B için Terim Sayısı = ((80-4)/4)+1 = 20.
İki dizideki terim sayıları eşit olduğundan, farkı terim terim çıkararak bulabiliriz.
B - A = (4 - 3) + (8 - 6) + (12 - 9) + ... + (80 - 60)
B - A = 1 + 2 + 3 + ... + 20
Bu toplam, 1'den 20'ye kadar olan ardışık sayıların toplamıdır.
Toplam = n(n+1)/2 = 20(20+1)/2 = 20 * 21 / 2 = 10 * 21 = 210.

12. Bir miktar para 8 kişiye eşit olarak paylaştırılıyor. Eğer aynı para 10 kişiye eşit olarak paylaştırılsaydı kişi başına 12 TL daha az para düşecekti.
Buna göre, paylaştırılan toplam para kaç TL'dir?

A) 360

B) 400

C) 420

D) 480

E) 500

Çözüm:

Toplam paraya P diyelim.
İlk durumda kişi başına düşen para: P / 8
İkinci durumda kişi başına düşen para: P / 10
Aralarındaki fark 12 TL olarak verilmiş:
(P / 8) - (P / 10) = 12
Paydaları eşitleyelim (40'ta):
(5P / 40) - (4P / 40) = 12
P / 40 = 12
P = 12 ⋅ 40 = 480.
Toplam para 480 TL'dir.

Tebrikler!

Sayılar konusunun ikinci testini başarıyla tamamladınız.

Hazır olduğunda bir sonraki konuya geçebiliriz.