Yeni Sayfa | SÖZEL KAFA

Sayılar - İnteraktif Test 4 (Problem Ağırlıklı)

1. Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2'şerli oturduğunda 1 öğrenci ayakta kalıyor, 3'erli oturduğunda ise 4 sıra boş kalıyor.
Buna göre, sınıf mevcudu kaçtır?

A) 19

B) 21

C) 27

D) 29

E) 31

Çözüm:

Sıra sayısına 's' diyelim.
1. Durum (2'şerli oturma): Her sıraya 2 kişi oturur ve 1 kişi ayakta kalır.
Sınıf Mevcudu = 2s + 1
2. Durum (3'erli oturma): 4 sıra boş kalıyorsa, öğrenciler (s-4) tane sıraya oturmuşlardır.
Sınıf Mevcudu = 3(s - 4)
İki denklem de aynı mevcudu verdiğine göre, birbirine eşitleyebiliriz:
2s + 1 = 3(s - 4)
2s + 1 = 3s - 12
1 + 12 = 3s - 2s
s = 13 (Sınıftaki toplam sıra sayısı)
Sınıf mevcudunu bulmak için denklemlerden birini kullanalım:
Mevcut = 2s + 1 = 2(13) + 1 = 26 + 1 = 27.

2. Bir manav, limonlarını kasalara 12'şerli yerleştirirse 5 limonu, 15'erli yerleştirirse yine 5 limonu artıyor.
Manavın limon sayısı 350'den fazla olduğuna göre, en az kaç limonu vardır?

A) 355

B) 360

C) 365

D) 370

E) 375

Çözüm:

Limon sayısına L diyelim. Verilen bilgilere göre:
L = 12a + 5
L = 15b + 5
Bu denklemlerden, L'den 5 çıkarırsak elde edilen sayının (L-5) hem 12'ye hem de 15'e tam bölündüğünü anlarız.
Yani, L-5 sayısı 12 ve 15'in ortak bir katıdır. En az limon sayısını bulmak için En Küçük Ortak Kat'ı (EKOK) bulmalıyız.
EKOK(12, 15) = 60.
O halde, L-5 = 60k şeklinde yazılabilir (k pozitif bir tam sayı).
L = 60k + 5.
Limon sayısı 350'den fazla ise: 60k + 5 > 350 => 60k > 345 => k > 5.75
k bir tam sayı olduğu için alabileceği en küçük değer 6'dır.
En az limon sayısı için k=6 alırız: L = 60(6) + 5 = 360 + 5 = 365.

3. Toplamları 150 olan iki pozitif tam sayının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) 15'tir.
Buna göre, bu sayıların farkı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 30

B) 45

C) 60

D) 75

E) 90

Çözüm:

Sayılar x ve y olsun. EBOB(x, y) = 15 ise, bu sayılar 15'in katıdır.
x = 15a ve y = 15b diyebiliriz. Burada a ve b aralarında asal olmalıdır (aralarında 1'den başka ortak bölen olmamalıdır).
Toplamları 150 olarak verilmiş:
15a + 15b = 150
15(a + b) = 150
a + b = 10
Şimdi toplamları 10 olan ve aralarında asal olan (a,b) pozitif tam sayı çiftlerini bulalım:
(1, 9) -> Aralarında asaldır.
(3, 7) -> Aralarında asaldır.
Bu çiftlere göre sayıların farkını hesaplayalım: |x-y| = |15a-15b| = 15|a-b|.
1. Durum: (a,b) = (1,9) ise fark = 15 * |1-9| = 15 * 8 = 120.
2. Durum: (a,b) = (3,7) ise fark = 15 * |3-7| = 15 * 4 = 60.
Bulunan olası farklar {120, 60}'dır. Seçeneklerde bu değerlerden sadece 60 bulunmaktadır.

4. Bir torbada 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış 20 top bulunmaktadır. Torbadan çekilen bir topun üzerindeki sayının 3 veya 4 ile bölünebilme olasılığı nedir?

A) 1/4

B) 3/10

C) 2/5

D) 1/2

E) 3/5

Çözüm:

Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Durum Sayısı).
Tüm durumların sayısı 20'dir.
İstenen durumlar (3 VEYA 4 ile bölünenler):
3 ile bölünenler: {3, 6, 9, 12, 15, 18} -> 6 tane.
4 ile bölünenler: {4, 8, 12, 16, 20} -> 5 tane.
"Veya" bağlacı olduğu için birleşim kümesini buluruz: s(A∪B) = s(A) + s(B) - s(A∩B).
A∩B kümesi, hem 3 hem 4'e bölünenler, yani 12'ye bölünenlerdir: {12} -> 1 tane.
İstenen durum sayısı = 6 + 5 - 1 = 10 tane.
Olasılık = 10 / 20 = 1/2.

5. x, y ve z pozitif tam sayılardır.
3x = 4y = 5z
x + y + z > 100 olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 40

B) 45

C) 50

D) 60

E) 80

Çözüm:

Bu tür eşitliklerde, sayıları katsayılarının EKOK'u cinsinden ifade ederiz.
EKOK(3, 4, 5) = 60.
Eşitliği 60k'ya eşitleyelim:
3x = 60k => x = 20k
4y = 60k => y = 15k
5z = 60k => z = 12k
Şimdi toplamlarını bulalım:
x + y + z = 20k + 15k + 12k = 47k.
Toplam > 100 ise: 47k > 100 => k > 100/47 => k > 2.12...
k bir tam sayı olduğu için alabileceği en küçük değer 3'tür.
x'in en küçük değerini bulmak için k=3 alırız:
x = 20k = 20(3) = 60.

6. Bir merdivenin basamaklarını ikişer ikişer çıkıp, üçer üçer inen bir kişinin çıkarken attığı adım sayısı, inerken attığı adım sayısından 8 fazladır.
Buna göre, merdiven kaç basamaklıdır?

A) 36

B) 42

C) 48

D) 54

E) 60

Çözüm:

Merdivenin basamak sayısına 'M' diyelim.
Çıkarken atılan adım sayısı = M / 2
İnerken atılan adım sayısı = M / 3
Verilen denkleme göre:
(Çıkarken atılan adım) = (İnerken atılan adım) + 8
M/2 = M/3 + 8
Paydaları eşitlemek için denklemi düzenleyelim:
M/2 - M/3 = 8
(3M/6) - (2M/6) = 8
M/6 = 8
M = 48.
Merdiven 48 basamaklıdır.

7. A = 15! + 16! olduğuna göre, A sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?

A) 34

B) 38

C) 65

D) 119

E) 143

Çözüm:

İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyelim:
A = 15! + 16 · 15!
A = 15! · (1 + 16)
A = 15! · 17
Şimdi A sayısının hangi seçeneğe bölünemeyeceğini bulmak için seçenekleri asal çarpanlarına ayıralım:
A) 34 = 2 · 17. (15! içinde 2 çarpanı var, yanında da 17 var. Bölünür.)
B) 38 = 2 · 19. (15! içinde 1'den 15'e kadar olan sayılar var, dolayısıyla 19 asal çarpanı yoktur. 17 de 19'a bölünmez. Bu sayıya bölünemez.)
C) 65 = 5 · 13. (15! içinde 5 ve 13 çarpanları vardır. Bölünür.)
D) 119 = 7 · 17. (15! içinde 7 çarpanı var, yanında da 17 var. Bölünür.)
E) 143 = 11 · 13. (15! içinde 11 ve 13 çarpanları vardır. Bölünür.)

8. 100! - 1 sayısının sondan dokuz basamağındaki rakamların toplamı kaçtır?

A) 9

B) 24

C) 72

D) 81

E) 90

Çözüm:

Öncelikle 100! sayısının sonunda kaç tane sıfır olduğunu bulalım. Bunun için 100'ü sürekli 5'e böleriz:
100 / 5 = 20
20 / 5 = 4
Sıfır sayısı = 20 + 4 = 24.
Yani 100! sayısı, ...000 şeklinde sonunda 24 tane sıfır olan bir sayıdır.
Bu sayıdan 1 çıkardığımızda, sondaki 24 tane sıfırın her biri 9'a dönüşür.
Örnek: 10000 - 1 = 9999.
Dolayısıyla, 100! - 1 sayısının son 24 basamağı 9'dur.
Bizden sondan dokuz basamağındaki rakamların toplamı isteniyor. Bu basamakların hepsi 9 olacaktır.
Toplam = 9 + 9 + ... + 9 (9 tane) = 9 · 9 = 81.

9. Bir okuldaki öğrenci sayısı 500 ile 600 arasındadır. Bu öğrenciler 12'şerli ve 15'erli gruplandığında her seferinde 3 öğrenci artmaktadır.
Buna göre, bu okulda kaç öğrenci vardır?

A) 513

B) 523

C) 533

D) 543

E) 553

Çözüm:

Öğrenci sayısına Ö diyelim.
Ö = 12a + 3
Ö = 15b + 3
Bu denklemlerden, Ö-3 sayısının hem 12'nin hem de 15'in bir katı olduğunu anlarız.
Ö-3 sayısı, EKOK(12, 15)'in bir katıdır.
EKOK(12, 15) = 60.
Ö - 3 = 60k => Ö = 60k + 3.
Öğrenci sayısı 500 ile 600 arasında olduğuna göre:
500 < 60k + 3 < 600
497 < 60k < 597
497/60 < k < 597/60
8.28... < k < 9.95...
k bir tam sayı olduğu için bu aralıktaki tek değeri 9'dur.
Okuldaki öğrenci sayısı: Ö = 60(9) + 3 = 540 + 3 = 543.

10. Bir kırtasiyeci, tanesi 12 TL olan kalemlerden ve tanesi 15 TL olan defterlerden toplam 20 adet alarak 276 TL ödüyor.
Buna göre, kırtasiyeci kaç adet defter almıştır?

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 15

Çözüm:

Defter sayısına 'd', kalem sayısına 'k' diyelim.
1. Denklem (Ürün adedi): d + k = 20
2. Denklem (Toplam fiyat): 15d + 12k = 276
Birinci denklemden k'yı çekelim: k = 20 - d.
Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine yazalım:
15d + 12(20 - d) = 276
15d + 240 - 12d = 276
3d = 276 - 240
3d = 36
d = 12.
Kırtasiyeci 12 adet defter almıştır.

11. Bir bidonun ağırlığı, yarısı su ile doluyken 14 kg, tamamı su ile doluyken 24 kg gelmektedir.
Buna göre, boş bidonun ağırlığı kaç kg'dır?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Çözüm:

Boş bidonun ağırlığına B, içindeki suyun tamamının ağırlığına S diyelim.
1. Durum (Yarısı dolu): B + S/2 = 14
2. Durum (Tamamı dolu): B + S = 24
İkinci denklemden birinci denklemi taraf tarafa çıkararak suyun yarısının ağırlığını bulabiliriz:
(B + S) - (B + S/2) = 24 - 14
S - S/2 = 10
S/2 = 10 => S = 20 kg (Suyun tamamının ağırlığı)
Şimdi B'yi bulmak için herhangi bir denklemde S'yi yerine koyalım:
B + S = 24 => B + 20 = 24 => B = 4 kg.
Boş bidonun ağırlığı 4 kg'dır.

12. Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı en büyük çift sayı ile rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en küçük tek sayının farkı kaçtır?

A) 9771

B) 9773

C) 9873

D) 9875

E) 9899

Çözüm:

1. Sayı (En büyük 4 basamaklı, rakamları farklı, çift sayı):
En büyük olması için binler basamağına en büyük rakamı (9) koyarız.
Yüzler basamağına kalan en büyük rakamı (8).
Onlar basamağına kalan en büyük rakamı (7).
Birler basamağına, kalan rakamlar {0,1,2,3,4,5,6} arasından en büyük çift olanı (6) koyarız.
Sayı: 9876.
2. Sayı (En küçük 3 basamaklı, rakamları farklı, tek sayı):
En küçük olması için yüzler basamağına 0'dan sonraki en küçük rakamı (1) koyarız.
Onlar basamağına kalan en küçük rakamı (0).
Birler basamağına, kalan rakamlar {2,3,4,5...} arasından en küçük tek olanı (3) koyarız.
Sayı: 103.
Fark: 9876 - 103 = 9773.

Tebrikler!

Sayılar konusunun dördüncü testini başarıyla tamamladınız.

Problem çözme becerilerinizi geliştirdiniz. Artık bir sonraki konuya geçmeye hazırsınız!