Sayılar - İnteraktif Test 5
Buna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının tam kare olması için, asal çarpanlarının üslerinin çift olması gerekir. Önce 180'i asal çarpanlarına ayıralım:
180 = 18 · 10 = (2 · 3²) · (2 · 5) = 2² · 3² · 5¹
İfadeyi tekrar yazalım: (2² · 3² · 5¹) · x = (Tam Kare)
Görüldüğü gibi, 2'nin ve 3'ün üsleri zaten çifttir.
Ancak 5'in üssü 1'dir (tek). Bu üssü çift yapmak için ifadeyi en az bir tane daha 5 ile çarpmamız gerekir.
Bu durumda x'in alabileceği en küçük değer 5 olmalıdır ki 5¹·5¹=5² olsun.
(n+2)! = 42 · n!
eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
Çözüm:
Büyük olan faktöriyeli, küçük olan faktöriyel cinsinden yazarak sadeleştirme yaparız.
(n+2)! = (n+2) · (n+1) · n!
Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım:
(n+2) · (n+1) · n! = 42 · n!
n! ifadeleri sadeleşir:
(n+2) · (n+1) = 42
Ardışık iki sayının çarpımı 42'dir. Bu sayılar 6 ve 7'dir.
O halde n+1=6 ve n+2=7 olmalıdır.
n+1 = 6 => n = 5.
n değeri 5'tir.
Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABC sayısı kaçtır?
Çözüm:
Verilen ifadeyi matematiksel olarak çözümleyelim:
ABC = 21 · (BC)
100A + BC = 21 · (BC)
100A = 21 · (BC) - BC
100A = 20 · (BC)
İki tarafı da 20 ile sadeleştirelim:
5A = BC
A, B, C birer rakamdır. En büyük ABC sayısını bulmak için A'ya verebileceğimiz en büyük değeri veririz.
A=9 ise; BC = 5 · 9 = 45. (B=4, C=5. Geçerli)
Bu durumda en büyük ABC sayısı 945 olur.
Her file 5 TL'den satılacağına göre, tüm satıştan en az kaç TL gelir elde edilir?
Çözüm:
Gelirin en az olması için, satılan file sayısının en az olması gerekir. File sayısının en az olması için de her bir filenin alabileceği ağırlığın en fazla olması gerekir.
Bu en büyük ağırlık, 130 ve 150'nin En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalıdır.
EBOB(130, 150) = 10. Yani her file en fazla 10 kg olabilir.
Gerekli file sayısını bulalım:
Patates için: 130 / 10 = 13 file.
Soğan için: 150 / 10 = 15 file.
Toplam file sayısı = 13 + 15 = 28 file.
Her file 5 TL'den satılacağına göre, toplam gelir:
Toplam Gelir = 28 · 5 = 140 TL.
T toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Toplamın kalanını bulmak için, her bir terimin kalanını ayrı ayrı bulup toplayabiliriz.
n basamaklı 22...2 sayısının rakamları toplamı 2n'dir. Bu terimin 9'a bölümünden kalan (2n mod 9) dur.
Tüm terimlerin kalanları toplamı:
(2·1 mod 9) + (2·2 mod 9) + ... + (2·15 mod 9)
= 2 + 4 + 6 + 8 + (10 mod 9) + (12 mod 9) + ...
= 2 + 4 + 6 + 8 + 1 + 3 + 5 + 7 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 1 + 3
Kalanlar dizisi (2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 0) şeklinde her 9 terimde bir tekrar eder.
İlk 9 terimin kalanları toplamı: 2+4+6+8+1+3+5+7+0 = 36. 36'nın 9 ile bölümünden kalan 0'dır.
Toplamda 15 terim var. İlk 9 terimden sonra geriye 6 terim kalır (10. terimden 15. terime kadar).
Bu 6 terimin kalanları, dizinin ilk 6 elemanının kalanlarıyla aynıdır: 2, 4, 6, 8, 1, 3.
Toplam Kalan = 0 (ilk 9 terim) + (2+4+6+8+1+3) = 24.
24'ün 9 ile bölümünden kalanı bulalım: 24 = 2 · 9 + 6.
Kalan 6'dır.
Buna göre, A sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm:
Sayıları basamak sayılarına göre gruplayarak hesaplama yaparız.
1 basamaklı sayılar (1-9): 9 tane sayı vardır. Toplam basamak: 9 × 1 = 9 basamak.
2 basamaklı sayılar (10-99): 99 - 10 + 1 = 90 tane sayı vardır. Toplam basamak: 90 × 2 = 180 basamak.
3 basamaklı sayılar (sadece 100): 1 tane sayı vardır. Toplam basamak: 1 × 3 = 3 basamak.
Toplam basamak sayısı = (1 basamaklılarınki) + (2 basamaklılarınki) + (3 basamaklılarınki)
Toplam = 9 + 180 + 3 = 192.
A sayısı 192 basamaklıdır.
Çözüm:
Bir sayının birler basamağını bulmak için, o sayının kuvvetlerinin birler basamağındaki tekrar eden deseni (periyodu) buluruz.
7¹ = 7
7² = 49 (Birler basamağı 9)
7³ = 343 (Birler basamağı 3)
7⁴ = 2401 (Birler basamağı 1)
7⁵ = ...7 (Birler basamağı 7, desen başa döndü)
Desen {7, 9, 3, 1} şeklindedir ve her 4 kuvvette bir tekrar eder. Periyot 4'tür.
Üs olan 2023'ü periyoda (4'e) bölerek kalanı buluruz.
2023'ün 4'e bölümünden kalan, son iki basamağı olan 23'ün 4'e bölümünden kalana eşittir.
23 / 4 = 5, kalan 3.
Kalan 3 olduğu için, desenin 3. elemanını alırız.
Desenin 3. elemanı 3'tür.
Buna göre, x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm:
Payı, paydada bulunan (x+4) ifadesine benzetecek şekilde düzenleyelim (polinom bölmesi).
x² + 4x + 15 = x(x+4) + 15
İfadeyi tekrar yazalım: [x(x+4) + 15] / (x+4)
= x(x+4)/(x+4) + 15/(x+4)
= x + 15/(x+4)
Bu ifadenin bir tam sayı olması için, x zaten bir tam sayı olduğundan, 15/(x+4) ifadesinin de bir tam sayı olması gerekir.
Bu durum, x+4'ün 15'in bir tam sayı böleni olması demektir.
15'in tam sayı bölenleri: {1, 3, 5, 15, -1, -3, -5, -15}.
Toplam 8 tane tam sayı böleni vardır. Her bir bölen için farklı bir x tam sayısı bulunacağından, x'in alabileceği 8 farklı değer vardır.
A = a² · b · c³
A sayısının pozitif bölen sayısı 24 olduğuna göre, A'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Pozitif Bölen Sayısı (PBS), asal çarpanların üslerinin birer artırılıp çarpılmasıyla bulunur.
PBS = (2+1) · (1+1) · (3+1) = 3 · 2 · 4 = 24.
Verilen PBS değeri ile hesaplanan değer uyuşuyor, soru doğrudur.
A sayısının en küçük değerini alması için, üssü en büyük olan asal çarpana en küçük asal sayı değeri verilmelidir. Üsler büyükten küçüğe 3, 2, 1'dir.
En büyük üs (3) en küçük asal sayıya (2) verilir: c=2.
Ortanca üs (2) ikinci küçük asal sayıya (3) verilir: a=3.
En küçük üs (1) üçüncü küçük asal sayıya (5) verilir: b=5.
Sayıları yerine koyalım:
A = 3² · 5¹ · 2³ = 9 · 5 · 8 = 45 · 8 = 360.
Geriye 30 kg mal kaldığına göre, başlangıçta kaç kg mal vardı?
Çözüm:
Bu tür sorularda paydaların çarpımını başlangıç miktarı olarak kabul etmek işlemi kolaylaştırır. Paydalar 4 ve 3, EKOK(3,4)=12. Başlangıçtaki mala 12x diyelim.
1. Satış: Malın 1/4'ü satılıyor. 12x · (1/4) = 3x satıldı.
Kalan mal: 12x - 3x = 9x.
2. Satış: Kalan malın 2/3'ü satılıyor. 9x · (2/3) = 6x satıldı.
En son kalan mal: 9x - 6x = 3x.
Geriye 30 kg mal kaldığı verilmiş:
3x = 30 => x = 10.
Başlangıçtaki mal miktarı 12x idi:
12 · 10 = 120 kg.
Buna göre, ortanca sayı kaçtır?
Çözüm:
Sayıları n-1, n, n+1 olarak alırsak işlem kolaylaşır.
Bu üç sayının toplamı: (n-1) + n + (n+1) = 3n.
Bu üç sayının çarpımı: (n-1) · n · (n+1).
Verilen denklemi kuralım:
Çarpım = 21 · (Toplam)
(n-1) · n · (n+1) = 21 · (3n)
n · (n² - 1) = 63n
n pozitif bir tam sayı olduğu için n≠0'dır, dolayısıyla iki tarafı da n ile sadeleştirebiliriz:
n² - 1 = 63
n² = 64
n = 8 (n pozitif olduğu için)
Ortanca sayı 'n' idi, dolayısıyla cevap 8'dir.
2x + 5y = 40
eşitliğini sağlayan x'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu tür denklemlerde, bir tane (x,y) çifti bulduktan sonra diğerlerini bulmak için katsayıları kullanabiliriz.
2x = 40 - 5y. Eşitliğin sağ tarafı 5'in katı olduğu için sol taraf, yani 2x de 5'in katı olmalıdır. Bu durumda x, 5'in katı olmak zorundadır.
x'e 5'in katı olan pozitif tam sayı değerleri vererek y'nin pozitif olup olmadığını kontrol edelim:
x=5 ise: 2(5) + 5y = 40 => 10 + 5y = 40 => 5y = 30 => y=6. (Geçerli)
x=10 ise: 2(10) + 5y = 40 => 20 + 5y = 40 => 5y = 20 => y=4. (Geçerli)
x=15 ise: 2(15) + 5y = 40 => 30 + 5y = 40 => 5y = 10 => y=2. (Geçerli)
x=20 ise: 2(20) + 5y = 40 => 40 + 5y = 40 => 5y = 0 => y=0. (y pozitif olmadığı için geçersiz)
x'in alabileceği değerler: {5, 10, 15}.
Bu değerlerin toplamı: 5 + 10 + 15 = 30.
Tebrikler!
Sayılar konusunun beşinci ve son testini başarıyla tamamladınız.
Problem çözme becerilerinizi en üst seviyeye taşıdınız. Artık bir sonraki konu olan "Basit Eşitsizlikler" konusuna geçmeye hazırsınız!
Sayılar - İnteraktif Test 5
Buna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının tam kare olması için, asal çarpanlarının üslerinin çift olması gerekir. Önce 180'i asal çarpanlarına ayıralım:
180 = 18 · 10 = (2 · 3²) · (2 · 5) = 2² · 3² · 5¹
İfadeyi tekrar yazalım: (2² · 3² · 5¹) · x = (Tam Kare)
Görüldüğü gibi, 2'nin ve 3'ün üsleri zaten çifttir.
Ancak 5'in üssü 1'dir (tek). Bu üssü çift yapmak için ifadeyi en az bir tane daha 5 ile çarpmamız gerekir.
Bu durumda x'in alabileceği en küçük değer 5 olmalıdır ki 5¹·5¹=5² olsun.
(n+2)! = 42 · n!
eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
Çözüm:
Büyük olan faktöriyeli, küçük olan faktöriyel cinsinden yazarak sadeleştirme yaparız.
(n+2)! = (n+2) · (n+1) · n!
Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım:
(n+2) · (n+1) · n! = 42 · n!
n! ifadeleri sadeleşir:
(n+2) · (n+1) = 42
Ardışık iki sayının çarpımı 42'dir. Bu sayılar 6 ve 7'dir.
O halde n+1=6 ve n+2=7 olmalıdır.
n+1 = 6 => n = 5.
n değeri 5'tir.
Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABC sayısı kaçtır?
Çözüm:
Verilen ifadeyi matematiksel olarak çözümleyelim:
ABC = 21 · (BC)
100A + BC = 21 · (BC)
100A = 21 · (BC) - BC
100A = 20 · (BC)
İki tarafı da 20 ile sadeleştirelim:
5A = BC
A, B, C birer rakamdır. En büyük ABC sayısını bulmak için A'ya verebileceğimiz en büyük değeri veririz.
A=9 ise; BC = 5 · 9 = 45. (B=4, C=5. Geçerli)
Bu durumda en büyük ABC sayısı 945 olur.
Her file 5 TL'den satılacağına göre, tüm satıştan en az kaç TL gelir elde edilir?
Çözüm:
Gelirin en az olması için, satılan file sayısının en az olması gerekir. File sayısının en az olması için de her bir filenin alabileceği ağırlığın en fazla olması gerekir.
Bu en büyük ağırlık, 130 ve 150'nin En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalıdır.
EBOB(130, 150) = 10. Yani her file en fazla 10 kg olabilir.
Gerekli file sayısını bulalım:
Patates için: 130 / 10 = 13 file.
Soğan için: 150 / 10 = 15 file.
Toplam file sayısı = 13 + 15 = 28 file.
Her file 5 TL'den satılacağına göre, toplam gelir:
Toplam Gelir = 28 · 5 = 140 TL.
T toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Toplamın kalanını bulmak için, her bir terimin kalanını ayrı ayrı bulup toplayabiliriz.
n basamaklı 22...2 sayısının rakamları toplamı 2n'dir. Bu terimin 9'a bölümünden kalan (2n mod 9) dur.
Tüm terimlerin kalanları toplamı:
(2·1 mod 9) + (2·2 mod 9) + ... + (2·15 mod 9)
= 2 + 4 + 6 + 8 + (10 mod 9) + (12 mod 9) + ...
= 2 + 4 + 6 + 8 + 1 + 3 + 5 + 7 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 1 + 3
Kalanlar dizisi (2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 0) şeklinde her 9 terimde bir tekrar eder.
İlk 9 terimin kalanları toplamı: 2+4+6+8+1+3+5+7+0 = 36. 36'nın 9 ile bölümünden kalan 0'dır.
Toplamda 15 terim var. İlk 9 terimden sonra geriye 6 terim kalır (10. terimden 15. terime kadar).
Bu 6 terimin kalanları, dizinin ilk 6 elemanının kalanlarıyla aynıdır: 2, 4, 6, 8, 1, 3.
Toplam Kalan = 0 (ilk 9 terim) + (2+4+6+8+1+3) = 24.
24'ün 9 ile bölümünden kalanı bulalım: 24 = 2 · 9 + 6.
Kalan 6'dır.
Buna göre, A sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm:
Sayıları basamak sayılarına göre gruplayarak hesaplama yaparız.
1 basamaklı sayılar (1-9): 9 tane sayı vardır. Toplam basamak: 9 × 1 = 9 basamak.
2 basamaklı sayılar (10-99): 99 - 10 + 1 = 90 tane sayı vardır. Toplam basamak: 90 × 2 = 180 basamak.
3 basamaklı sayılar (sadece 100): 1 tane sayı vardır. Toplam basamak: 1 × 3 = 3 basamak.
Toplam basamak sayısı = (1 basamaklılarınki) + (2 basamaklılarınki) + (3 basamaklılarınki)
Toplam = 9 + 180 + 3 = 192.
A sayısı 192 basamaklıdır.
Çözüm:
Bir sayının birler basamağını bulmak için, o sayının kuvvetlerinin birler basamağındaki tekrar eden deseni (periyodu) buluruz.
7¹ = 7
7² = 49 (Birler basamağı 9)
7³ = 343 (Birler basamağı 3)
7⁴ = 2401 (Birler basamağı 1)
7⁵ = ...7 (Birler basamağı 7, desen başa döndü)
Desen {7, 9, 3, 1} şeklindedir ve her 4 kuvvette bir tekrar eder. Periyot 4'tür.
Üs olan 2023'ü periyoda (4'e) bölerek kalanı buluruz.
2023'ün 4'e bölümünden kalan, son iki basamağı olan 23'ün 4'e bölümünden kalana eşittir.
23 / 4 = 5, kalan 3.
Kalan 3 olduğu için, desenin 3. elemanını alırız.
Desenin 3. elemanı 3'tür.
Buna göre, x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm:
Payı, paydada bulunan (x+4) ifadesine benzetecek şekilde düzenleyelim (polinom bölmesi).
x² + 4x + 15 = x(x+4) + 15
İfadeyi tekrar yazalım: [x(x+4) + 15] / (x+4)
= x(x+4)/(x+4) + 15/(x+4)
= x + 15/(x+4)
Bu ifadenin bir tam sayı olması için, x zaten bir tam sayı olduğundan, 15/(x+4) ifadesinin de bir tam sayı olması gerekir.
Bu durum, x+4'ün 15'in bir tam sayı böleni olması demektir.
15'in tam sayı bölenleri: {1, 3, 5, 15, -1, -3, -5, -15}.
Toplam 8 tane tam sayı böleni vardır. Her bir bölen için farklı bir x tam sayısı bulunacağından, x'in alabileceği 8 farklı değer vardır.
A = a² · b · c³
A sayısının pozitif bölen sayısı 24 olduğuna göre, A'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Pozitif Bölen Sayısı (PBS), asal çarpanların üslerinin birer artırılıp çarpılmasıyla bulunur.
PBS = (2+1) · (1+1) · (3+1) = 3 · 2 · 4 = 24.
Verilen PBS değeri ile hesaplanan değer uyuşuyor, soru doğrudur.
A sayısının en küçük değerini alması için, üssü en büyük olan asal çarpana en küçük asal sayı değeri verilmelidir. Üsler büyükten küçüğe 3, 2, 1'dir.
En büyük üs (3) en küçük asal sayıya (2) verilir: c=2.
Ortanca üs (2) ikinci küçük asal sayıya (3) verilir: a=3.
En küçük üs (1) üçüncü küçük asal sayıya (5) verilir: b=5.
Sayıları yerine koyalım:
A = 3² · 5¹ · 2³ = 9 · 5 · 8 = 45 · 8 = 360.
Geriye 30 kg mal kaldığına göre, başlangıçta kaç kg mal vardı?
Çözüm:
Bu tür sorularda paydaların çarpımını başlangıç miktarı olarak kabul etmek işlemi kolaylaştırır. Paydalar 4 ve 3, EKOK(3,4)=12. Başlangıçtaki mala 12x diyelim.
1. Satış: Malın 1/4'ü satılıyor. 12x · (1/4) = 3x satıldı.
Kalan mal: 12x - 3x = 9x.
2. Satış: Kalan malın 2/3'ü satılıyor. 9x · (2/3) = 6x satıldı.
En son kalan mal: 9x - 6x = 3x.
Geriye 30 kg mal kaldığı verilmiş:
3x = 30 => x = 10.
Başlangıçtaki mal miktarı 12x idi:
12 · 10 = 120 kg.
Buna göre, ortanca sayı kaçtır?
Çözüm:
Sayıları n-1, n, n+1 olarak alırsak işlem kolaylaşır.
Bu üç sayının toplamı: (n-1) + n + (n+1) = 3n.
Bu üç sayının çarpımı: (n-1) · n · (n+1).
Verilen denklemi kuralım:
Çarpım = 21 · (Toplam)
(n-1) · n · (n+1) = 21 · (3n)
n · (n² - 1) = 63n
n pozitif bir tam sayı olduğu için n≠0'dır, dolayısıyla iki tarafı da n ile sadeleştirebiliriz:
n² - 1 = 63
n² = 64
n = 8 (n pozitif olduğu için)
Ortanca sayı 'n' idi, dolayısıyla cevap 8'dir.
2x + 5y = 40
eşitliğini sağlayan x'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu tür denklemlerde, bir tane (x,y) çifti bulduktan sonra diğerlerini bulmak için katsayıları kullanabiliriz.
2x = 40 - 5y. Eşitliğin sağ tarafı 5'in katı olduğu için sol taraf, yani 2x de 5'in katı olmalıdır. Bu durumda x, 5'in katı olmak zorundadır.
x'e 5'in katı olan pozitif tam sayı değerleri vererek y'nin pozitif olup olmadığını kontrol edelim:
x=5 ise: 2(5) + 5y = 40 => 10 + 5y = 40 => 5y = 30 => y=6. (Geçerli)
x=10 ise: 2(10) + 5y = 40 => 20 + 5y = 40 => 5y = 20 => y=4. (Geçerli)
x=15 ise: 2(15) + 5y = 40 => 30 + 5y = 40 => 5y = 10 => y=2. (Geçerli)
x=20 ise: 2(20) + 5y = 40 => 40 + 5y = 40 => 5y = 0 => y=0. (y pozitif olmadığı için geçersiz)
x'in alabileceği değerler: {5, 10, 15}.
Bu değerlerin toplamı: 5 + 10 + 15 = 30.
Tebrikler!
Sayılar konusunun beşinci ve son testini başarıyla tamamladınız.
Problem çözme becerilerinizi en üst seviyeye taşıdınız. Artık bir sonraki konu olan "Basit Eşitsizlikler" konusuna geçmeye hazırsınız!