Sayılar - İnteraktif Test 6
(x - 3) · (y + 4) · (z - 5) = tek sayı
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Çözüm:
Bir çarpımın sonucunun tek sayı olması için, çarpımdaki her bir terimin tek sayı olması gerekir.
x - 3 = Tek => x - Tek = Tek => x = Çift.
y + 4 = Tek => y + Çift = Tek => y = Tek.
z - 5 = Tek => z - Tek = Tek => z = Çift.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) x+y = Ç+T=T
B) y+z = T+Ç=T
C) x+z = Ç+Ç=Ç (Ancak y hakkında bilgi olmadan daima diyemeyiz)
D) x+y+z = Ç+T+Ç = Çift. Bu ifade daima çifttir.
E) x·z = Ç·Ç=Ç
Çözüm:
En küçük çift sayıya 'n' diyelim. Sayılar ardışık çift olduğu için ikişer ikişer artar.
Sayılar: n, n+2, n+4, n+6, n+8, n+10
Sayıların toplamı: 6n + (0+2+4+6+8+10) = 6n + 30
Bu toplam, en küçük sayının (n) 7 katına eşitmiş:
6n + 30 = 7n
n = 30. (En küçük sayı)
En büyük sayı ise n+10'dur.
En büyük sayı = 30 + 10 = 40.
a = b - 4
b = c + 5
olduğuna göre, a+b+c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Toplamın en küçük olması için a,b,c'nin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değerlerini bulmalıyız.
a pozitif olduğu için, a = b-4 > 0 => b > 4 olmalıdır.
c pozitif olduğu için, alabileceği en küçük değer 1'dir.
c=1 için; b = c+5 = 1+5 = 6.
b=6 değeri, b>4 şartını sağladığı için geçerlidir.
Şimdi a'yı bulalım: a = b-4 = 6-4 = 2.
En küçük değerler: a=2, b=6, c=1. Hepsi pozitif tam sayıdır.
Toplam: a+b+c = 2 + 6 + 1 = 9.
Çözüm:
A, B, C rakamlarıyla yazılabilecek 6 farklı sayı vardır (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). Bu sayıları çözümleyip topladığımızda her rakam yüzler, onlar ve birler basamağına ikişer kez gelir.
Toplam = 200(A+B+C) + 20(A+B+C) + 2(A+B+C) = 222(A+B+C).
222(A+B+C) = 1554
A+B+C = 1554 / 222 = 7.
Toplamları 7 olan birbirinden farklı üç rakam kümesi {1, 2, 4} olabilir. (0'ı kullanamayız çünkü tümü 3 basamaklı sayılar)
Bu rakamlarla yazılabilecek en küçük üç basamaklı sayı 124'tür.
(x-2) / (y+3) = 12 / 20
olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal oldukları için, karşılarındaki kesrin en sade haline eşit olmalıdırlar.
12/20 kesrini 4 ile sadeleştirirsek 3/5 elde ederiz. 3 ve 5 aralarında asaldır.
x-2 = 3 => x = 5.
y+3 = 5 => y = 2.
Toplam: x+y = 5+2 = 7.
(x+y) / (x-y) = 3/2
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm:
İçler dışlar çarpımı yapalım:
2(x+y) = 3(x-y)
2x + 2y = 3x - 3y
5y = x.
Bu eşitlik, x'in 5'in katı bir sayı olması gerektiğini gösterir. y pozitif bir tam sayı olduğu için (y=1,2,3...), x de {5,10,15...} gibi değerler alabilir.
Seçeneklerde 5'in katı olan sadece 5 vardır (y=1 durumu için).
Çözüm:
Bir faktöriyelin sonundaki sıfır sayısı, o sayının içindeki 5 çarpanlarının sayısıyla bulunur (çünkü 2 çarpanı her zaman daha fazladır).
Sayıyı sürekli 5'e bölerek 5 çarpanı sayısını buluruz.
n=20 için: 20/5 = 4. (20! sayısının sonunda 4 sıfır vardır)
n=21, 22, 23, 24 için de 5'e bölündüğünde bölüm değişmez, dolayısıyla bu sayıların faktöriyellerinin sonunda da 4 sıfır vardır.
n=25 için: 25/5=5, 5/5=1. Toplam 5+1=6 sıfır olur.
Dolayısıyla n'nin alabileceği değerler {20, 21, 22, 23, 24}'tür.
Bu değerlerin toplamı: 20+21+22+23+24 = 110.
a + b = 12
b · c = 30
olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
b sayısı, hem 30'un bir böleni olmalı hem de a pozitif olduğu için (a=12-b) 12'den küçük olmalıdır.
30'un 12'den küçük pozitif bölenleri: {1, 2, 3, 5, 6, 10}.
Her b değeri için a=12-b'den a'nın alacağı değeri bulalım:
b=1 -> a=11
b=2 -> a=10
b=3 -> a=9
b=5 -> a=7
b=6 -> a=6
b=10 -> a=2
a'nın alabileceği değerler: {11, 10, 9, 7, 6, 2}.
Bu değerlerin toplamı: 11+10+9+7+6+2 = 45.
120! = 15x · y
olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
15'in asal çarpanları 3 ve 5'tir. 120! içindeki 15 çarpanı sayısını bulmak için, büyük olan asal çarpanın (5) sayısını bulmamız yeterlidir, çünkü 3 çarpanı her zaman daha fazladır ve sınırlayıcı olan 5'tir.
120! içindeki 5 çarpanı sayısını bulmak için 120'yi sürekli 5'e böleriz:
120 / 5 = 24
24 / 5 = 4
Bölümlerin toplamı: 24 + 4 = 28.
Dolayısıyla x en fazla 28 olabilir.
x · y = 1/2
y · z = 1/3
z · x = 1/6
olduğuna göre x, y, z'nin doğru sıralaması hangisidir?
Çözüm:
Sayılar pozitif olduğu için, çarpım sonucu en büyük olan iki sayı en büyüktür.
1/2 > 1/3 > 1/6 olduğu için, x·y > y·z > z·x'tir.
1. Karşılaştırma: x·y > y·z (Her iki tarafı y'ye bölersek) => x > z.
2. Karşılaştırma: y·z > z·x (Her iki tarafı z'ye bölersek) => y > x.
Bu iki sonucu birleştirirsek: y > x ve x > z. Dolayısıyla y > x > z.
(A·B + 1) / B = 21/5
olduğuna göre, A · B çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Verilen denklemi A + 1/B = 21/5 olarak ayırabiliriz.
21/5 kesrini tam sayılı kesre çevirelim: 21'i 5'e böldüğümüzde bölüm 4, kalan 1 olur. Yani 4 tam 1/5'tir.
A + 1/B = 4 + 1/5.
A ve B pozitif tam sayılar olduğundan, bu eşitliğin sağlanması için A=4 ve B=5 olmalıdır. (Her ikisi de 9'dan küçüktür).
Çarpımları: A · B = 4 · 5 = 20.
x = 5y
y = 3z
x + y + z < 100
olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
Tüm değişkenleri en küçüğü olan z cinsinden yazalım:
y = 3z
x = 5y = 5(3z) = 15z.
Bu ifadeleri toplamda yerine koyalım:
15z + 3z + z < 100 => 19z < 100.
z'nin en büyük tam sayı değerini bulmak için 100'ü 19'a bölelim: 100/19 ≈ 5.26.
z pozitif bir tam sayı olduğu için 5.26'dan küçük en büyük tam sayı değeri 5'tir.
x'in en büyük değerini bulmak için z'nin en büyük değerini (z=5) kullanmalıyız:
x = 15z = 15 · 5 = 75.
Tebrikler!
Sayılar konusunun yedinci testini başarıyla tamamladınız.
Bu konudaki ustalığınızı kanıtladınız!
Sayılar - İnteraktif Test 6
(x - 3) · (y + 4) · (z - 5) = tek sayı
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Çözüm:
Bir çarpımın sonucunun tek sayı olması için, çarpımdaki her bir terimin tek sayı olması gerekir.
x - 3 = Tek => x - Tek = Tek => x = Çift.
y + 4 = Tek => y + Çift = Tek => y = Tek.
z - 5 = Tek => z - Tek = Tek => z = Çift.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) x+y = Ç+T=T
B) y+z = T+Ç=T
C) x+z = Ç+Ç=Ç (Ancak y hakkında bilgi olmadan daima diyemeyiz)
D) x+y+z = Ç+T+Ç = Çift. Bu ifade daima çifttir.
E) x·z = Ç·Ç=Ç
Çözüm:
En küçük çift sayıya 'n' diyelim. Sayılar ardışık çift olduğu için ikişer ikişer artar.
Sayılar: n, n+2, n+4, n+6, n+8, n+10
Sayıların toplamı: 6n + (0+2+4+6+8+10) = 6n + 30
Bu toplam, en küçük sayının (n) 7 katına eşitmiş:
6n + 30 = 7n
n = 30. (En küçük sayı)
En büyük sayı ise n+10'dur.
En büyük sayı = 30 + 10 = 40.
a = b - 4
b = c + 5
olduğuna göre, a+b+c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Toplamın en küçük olması için a,b,c'nin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değerlerini bulmalıyız.
a pozitif olduğu için, a = b-4 > 0 => b > 4 olmalıdır.
c pozitif olduğu için, alabileceği en küçük değer 1'dir.
c=1 için; b = c+5 = 1+5 = 6.
b=6 değeri, b>4 şartını sağladığı için geçerlidir.
Şimdi a'yı bulalım: a = b-4 = 6-4 = 2.
En küçük değerler: a=2, b=6, c=1. Hepsi pozitif tam sayıdır.
Toplam: a+b+c = 2 + 6 + 1 = 9.
Çözüm:
A, B, C rakamlarıyla yazılabilecek 6 farklı sayı vardır (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). Bu sayıları çözümleyip topladığımızda her rakam yüzler, onlar ve birler basamağına ikişer kez gelir.
Toplam = 200(A+B+C) + 20(A+B+C) + 2(A+B+C) = 222(A+B+C).
222(A+B+C) = 1554
A+B+C = 1554 / 222 = 7.
Toplamları 7 olan birbirinden farklı üç rakam kümesi {1, 2, 4} olabilir. (0'ı kullanamayız çünkü tümü 3 basamaklı sayılar)
Bu rakamlarla yazılabilecek en küçük üç basamaklı sayı 124'tür.
(x-2) / (y+3) = 12 / 20
olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal oldukları için, karşılarındaki kesrin en sade haline eşit olmalıdırlar.
12/20 kesrini 4 ile sadeleştirirsek 3/5 elde ederiz. 3 ve 5 aralarında asaldır.
x-2 = 3 => x = 5.
y+3 = 5 => y = 2.
Toplam: x+y = 5+2 = 7.
(x+y) / (x-y) = 3/2
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm:
İçler dışlar çarpımı yapalım:
2(x+y) = 3(x-y)
2x + 2y = 3x - 3y
5y = x.
Bu eşitlik, x'in 5'in katı bir sayı olması gerektiğini gösterir. y pozitif bir tam sayı olduğu için (y=1,2,3...), x de {5,10,15...} gibi değerler alabilir.
Seçeneklerde 5'in katı olan sadece 5 vardır (y=1 durumu için).
Çözüm:
Bir faktöriyelin sonundaki sıfır sayısı, o sayının içindeki 5 çarpanlarının sayısıyla bulunur (çünkü 2 çarpanı her zaman daha fazladır).
Sayıyı sürekli 5'e bölerek 5 çarpanı sayısını buluruz.
n=20 için: 20/5 = 4. (20! sayısının sonunda 4 sıfır vardır)
n=21, 22, 23, 24 için de 5'e bölündüğünde bölüm değişmez, dolayısıyla bu sayıların faktöriyellerinin sonunda da 4 sıfır vardır.
n=25 için: 25/5=5, 5/5=1. Toplam 5+1=6 sıfır olur.
Dolayısıyla n'nin alabileceği değerler {20, 21, 22, 23, 24}'tür.
Bu değerlerin toplamı: 20+21+22+23+24 = 110.
a + b = 12
b · c = 30
olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
b sayısı, hem 30'un bir böleni olmalı hem de a pozitif olduğu için (a=12-b) 12'den küçük olmalıdır.
30'un 12'den küçük pozitif bölenleri: {1, 2, 3, 5, 6, 10}.
Her b değeri için a=12-b'den a'nın alacağı değeri bulalım:
b=1 -> a=11
b=2 -> a=10
b=3 -> a=9
b=5 -> a=7
b=6 -> a=6
b=10 -> a=2
a'nın alabileceği değerler: {11, 10, 9, 7, 6, 2}.
Bu değerlerin toplamı: 11+10+9+7+6+2 = 45.
120! = 15x · y
olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
15'in asal çarpanları 3 ve 5'tir. 120! içindeki 15 çarpanı sayısını bulmak için, büyük olan asal çarpanın (5) sayısını bulmamız yeterlidir, çünkü 3 çarpanı her zaman daha fazladır ve sınırlayıcı olan 5'tir.
120! içindeki 5 çarpanı sayısını bulmak için 120'yi sürekli 5'e böleriz:
120 / 5 = 24
24 / 5 = 4
Bölümlerin toplamı: 24 + 4 = 28.
Dolayısıyla x en fazla 28 olabilir.
x · y = 1/2
y · z = 1/3
z · x = 1/6
olduğuna göre x, y, z'nin doğru sıralaması hangisidir?
Çözüm:
Sayılar pozitif olduğu için, çarpım sonucu en büyük olan iki sayı en büyüktür.
1/2 > 1/3 > 1/6 olduğu için, x·y > y·z > z·x'tir.
1. Karşılaştırma: x·y > y·z (Her iki tarafı y'ye bölersek) => x > z.
2. Karşılaştırma: y·z > z·x (Her iki tarafı z'ye bölersek) => y > x.
Bu iki sonucu birleştirirsek: y > x ve x > z. Dolayısıyla y > x > z.
(A·B + 1) / B = 21/5
olduğuna göre, A · B çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Verilen denklemi A + 1/B = 21/5 olarak ayırabiliriz.
21/5 kesrini tam sayılı kesre çevirelim: 21'i 5'e böldüğümüzde bölüm 4, kalan 1 olur. Yani 4 tam 1/5'tir.
A + 1/B = 4 + 1/5.
A ve B pozitif tam sayılar olduğundan, bu eşitliğin sağlanması için A=4 ve B=5 olmalıdır. (Her ikisi de 9'dan küçüktür).
Çarpımları: A · B = 4 · 5 = 20.
x = 5y
y = 3z
x + y + z < 100
olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
Tüm değişkenleri en küçüğü olan z cinsinden yazalım:
y = 3z
x = 5y = 5(3z) = 15z.
Bu ifadeleri toplamda yerine koyalım:
15z + 3z + z < 100 => 19z < 100.
z'nin en büyük tam sayı değerini bulmak için 100'ü 19'a bölelim: 100/19 ≈ 5.26.
z pozitif bir tam sayı olduğu için 5.26'dan küçük en büyük tam sayı değeri 5'tir.
x'in en büyük değerini bulmak için z'nin en büyük değerini (z=5) kullanmalıyız:
x = 15z = 15 · 5 = 75.
Tebrikler!
Sayılar konusunun yedinci testini başarıyla tamamladınız.
Bu konudaki ustalığınızı kanıtladınız!