EBOB - EKOK - İnteraktif Test 1
Çözüm:
Sayıları asal çarpanlarına ayırarak veya bölen listesi yöntemiyle EBOB'u bulabiliriz.
48 = 2⁴ · 3¹
60 = 2² · 3¹ · 5¹
EBOB bulunurken, ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar alınır.
EBOB(48, 60) = 2² · 3¹ = 4 · 3 = 12.
Çözüm:
Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
15 = 3¹ · 5¹
25 = 5²
EKOK bulunurken, ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olan ve ortak olmayan tüm asal çarpanlar alınır.
EKOK(15, 25) = 3¹ · 5² = 3 · 25 = 75.
B = 2² · 3³ · 5²
olduğuna göre, EBOB(A, B) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Sayılar asal çarpanlarına ayrılmış şekilde verildiğinde EBOB bulmak için, her bir ortak asal çarpandan üssü küçük olan alınır.
2 için üsler 3 ve 2'dir, küçüğü 2.
3 için üsler 2 ve 3'tür, küçüğü 2.
5 için üsler 4 ve 2'dir, küçüğü 2.
EBOB(A, B) = 2² · 3² · 5².
Bu sayılardan biri 8 ise, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. Sayılar a ve b olsun.
EKOK(a, b) = a · b
120 = 8 · b
b = 120 / 8 = 15.
Kontrol edelim: 8 ve 15 aralarında asal mıdır? Evet, 1'den başka ortak bölenleri yoktur. Dolayısıyla diğer sayı 15'tir.
Buna göre, bu sayılardan büyük olanı en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
Sayılar x ve y olsun. EBOB(x, y) = 12 ise, sayılar 12'nin katıdır.
x = 12a ve y = 12b diyelim. Burada a ve b aralarında asal olmalıdır.
Toplamları 84 ise: 12a + 12b = 84 => 12(a+b) = 84 => a+b = 7.
Toplamları 7 olan ve aralarında asal (a,b) çiftleri: (1, 6), (2, 5), (3, 4).
Büyük sayının en fazla olması için, a ve b'den birinin en büyük olması gerekir. (1,6) çiftini seçeriz.
a=1, b=6 için sayılar: x=12·1=12, y=12·6=72. (Farklı sayılar şartı sağlandı).
Bu durumda büyük sayı en fazla 72 olabilir.
Bu iş için en az kaç fidana ihtiyaç vardır?
Çözüm:
En az fidan kullanmak için fidanlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir. Bu mesafe, kenar uzunluklarını tam bölmelidir. Yani 24 ve 30'un EBOB'unu bulmalıyız.
EBOB(24, 30) = 6 metre. (İki fidan arası en fazla mesafe)
Ağaç sayısı, şeklin çevresinin EBOB'a bölünmesiyle bulunur.
Çevre = 2 · (24 + 30) = 2 · 54 = 108 metre.
Fidan Sayısı = Çevre / EBOB = 108 / 6 = 18.
İkisi birlikte saat 10:00'da çaldıktan sonra, tekrar birlikte ilk kez saat kaçta çalarlar?
Çözüm:
Zillerin tekrar birlikte çalacağı süre, periyotlarının en küçük ortak katı (EKOK) kadardır.
20 = 2² · 5
35 = 5 · 7
EKOK(20, 35) = 2² · 5 · 7 = 4 · 35 = 140 dakika.
140 dakika = 2 saat 20 dakika.
Birlikte çaldıkları saat 10:00 olduğuna göre, bir sonraki birlikte çalma saatleri:
10:00 + 2 saat 20 dakika = 12:20.
EBOB(a,b) = 5 ve a/b = 3/4
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
Çözüm:
a/b = 3/4 oranı, a ve b'nin en sade halidir. Bu demektir ki a=3k ve b=4k yazabiliriz. Burada k, a ve b'nin ortak bölenlerinin en büyüğünü, yani EBOB'u temsil eder.
EBOB(a, b) = k = 5.
Şimdi a ve b'nin gerçek değerlerini bulabiliriz:
a = 3k = 3 · 5 = 15
b = 4k = 4 · 5 = 20
Toplamları: a+b = 15 + 20 = 35.
Çözüm:
Bu üç sayıyı da tam bölen en büyük doğal sayı, bu üç sayının En Büyük Ortak Böleni (EBOB)'dir.
120 = 2³ · 3 · 5
144 = 2⁴ · 3²
168 = 2³ · 3 · 7
EBOB için ortak asallardan üssü en küçük olanları alırız:
EBOB(120, 144, 168) = 2³ · 3¹ = 8 · 3 = 24.
Buna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
Sayılar x'e bölündüğünde 3 kalanını veriyorsa, bu sayılardan 3 çıkarıldığında elde edilen yeni sayılar x'e tam bölünür.
75 - 3 = 72
93 - 3 = 90
123 - 3 = 120
x sayısı 72, 90 ve 120'yi tam bölen bir sayıdır. x'in en büyük değerini bulmak için bu üç sayının EBOB'unu bulmalıyız.
EBOB(72, 90, 120) = 18.
Bölme kuralı gereği bölen sayı (x), kalandan (3) büyük olmalıdır. 18 > 3 olduğu için şart sağlanır ve x'in en büyük değeri 18'dir.
Bu sayılardan biri 36 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir. Sayılar a ve b olsun.
a · b = EBOB(a, b) · EKOK(a, b)
Verilen değerleri yerine yazalım:
36 · b = 12 · 144
b = (12 · 144) / 36
Sadeleştirme yaparsak (12/36 = 1/3):
b = 144 / 3
b = 48.
Diğer sayı 48'dir.
Kutudaki ceviz sayısının 150'den fazla olduğu bilindiğine göre, kutuda en az kaç ceviz vardır?
Çözüm:
Ceviz sayısına C diyelim. Verilen bilgilere göre:
C = 4a + 1
C = 5b + 1
C = 6c + 1
Bu, C-1 sayısının hem 4'ün, hem 5'in, hem de 6'nın tam katı olduğu anlamına gelir.
Dolayısıyla C-1 sayısı, EKOK(4, 5, 6)'nın bir katıdır.
EKOK(4, 5, 6) = EKOK(2², 5, 2·3) = 2² · 3 · 5 = 4 · 15 = 60.
O halde, C-1 = 60k şeklinde yazılabilir (k pozitif bir tam sayıdır).
C = 60k + 1.
Ceviz sayısı 150'den fazla ise: 60k + 1 > 150 => 60k > 149 => k > 149/60 => k > 2.48...
k bir tam sayı olduğu için alabileceği en küçük değer 3'tür.
En az ceviz sayısı için k=3 alırız: C = 60(3) + 1 = 180 + 1 = 181.
Tebrikler!
EBOB - EKOK konusunun birinci testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.
EBOB - EKOK - İnteraktif Test 1
Çözüm:
Sayıları asal çarpanlarına ayırarak veya bölen listesi yöntemiyle EBOB'u bulabiliriz.
48 = 2⁴ · 3¹
60 = 2² · 3¹ · 5¹
EBOB bulunurken, ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar alınır.
EBOB(48, 60) = 2² · 3¹ = 4 · 3 = 12.
Çözüm:
Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
15 = 3¹ · 5¹
25 = 5²
EKOK bulunurken, ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olan ve ortak olmayan tüm asal çarpanlar alınır.
EKOK(15, 25) = 3¹ · 5² = 3 · 25 = 75.
B = 2² · 3³ · 5²
olduğuna göre, EBOB(A, B) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Sayılar asal çarpanlarına ayrılmış şekilde verildiğinde EBOB bulmak için, her bir ortak asal çarpandan üssü küçük olan alınır.
2 için üsler 3 ve 2'dir, küçüğü 2.
3 için üsler 2 ve 3'tür, küçüğü 2.
5 için üsler 4 ve 2'dir, küçüğü 2.
EBOB(A, B) = 2² · 3² · 5².
Bu sayılardan biri 8 ise, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. Sayılar a ve b olsun.
EKOK(a, b) = a · b
120 = 8 · b
b = 120 / 8 = 15.
Kontrol edelim: 8 ve 15 aralarında asal mıdır? Evet, 1'den başka ortak bölenleri yoktur. Dolayısıyla diğer sayı 15'tir.
Buna göre, bu sayılardan büyük olanı en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
Sayılar x ve y olsun. EBOB(x, y) = 12 ise, sayılar 12'nin katıdır.
x = 12a ve y = 12b diyelim. Burada a ve b aralarında asal olmalıdır.
Toplamları 84 ise: 12a + 12b = 84 => 12(a+b) = 84 => a+b = 7.
Toplamları 7 olan ve aralarında asal (a,b) çiftleri: (1, 6), (2, 5), (3, 4).
Büyük sayının en fazla olması için, a ve b'den birinin en büyük olması gerekir. (1,6) çiftini seçeriz.
a=1, b=6 için sayılar: x=12·1=12, y=12·6=72. (Farklı sayılar şartı sağlandı).
Bu durumda büyük sayı en fazla 72 olabilir.
Bu iş için en az kaç fidana ihtiyaç vardır?
Çözüm:
En az fidan kullanmak için fidanlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir. Bu mesafe, kenar uzunluklarını tam bölmelidir. Yani 24 ve 30'un EBOB'unu bulmalıyız.
EBOB(24, 30) = 6 metre. (İki fidan arası en fazla mesafe)
Ağaç sayısı, şeklin çevresinin EBOB'a bölünmesiyle bulunur.
Çevre = 2 · (24 + 30) = 2 · 54 = 108 metre.
Fidan Sayısı = Çevre / EBOB = 108 / 6 = 18.
İkisi birlikte saat 10:00'da çaldıktan sonra, tekrar birlikte ilk kez saat kaçta çalarlar?
Çözüm:
Zillerin tekrar birlikte çalacağı süre, periyotlarının en küçük ortak katı (EKOK) kadardır.
20 = 2² · 5
35 = 5 · 7
EKOK(20, 35) = 2² · 5 · 7 = 4 · 35 = 140 dakika.
140 dakika = 2 saat 20 dakika.
Birlikte çaldıkları saat 10:00 olduğuna göre, bir sonraki birlikte çalma saatleri:
10:00 + 2 saat 20 dakika = 12:20.
EBOB(a,b) = 5 ve a/b = 3/4
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
Çözüm:
a/b = 3/4 oranı, a ve b'nin en sade halidir. Bu demektir ki a=3k ve b=4k yazabiliriz. Burada k, a ve b'nin ortak bölenlerinin en büyüğünü, yani EBOB'u temsil eder.
EBOB(a, b) = k = 5.
Şimdi a ve b'nin gerçek değerlerini bulabiliriz:
a = 3k = 3 · 5 = 15
b = 4k = 4 · 5 = 20
Toplamları: a+b = 15 + 20 = 35.
Çözüm:
Bu üç sayıyı da tam bölen en büyük doğal sayı, bu üç sayının En Büyük Ortak Böleni (EBOB)'dir.
120 = 2³ · 3 · 5
144 = 2⁴ · 3²
168 = 2³ · 3 · 7
EBOB için ortak asallardan üssü en küçük olanları alırız:
EBOB(120, 144, 168) = 2³ · 3¹ = 8 · 3 = 24.
Buna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
Sayılar x'e bölündüğünde 3 kalanını veriyorsa, bu sayılardan 3 çıkarıldığında elde edilen yeni sayılar x'e tam bölünür.
75 - 3 = 72
93 - 3 = 90
123 - 3 = 120
x sayısı 72, 90 ve 120'yi tam bölen bir sayıdır. x'in en büyük değerini bulmak için bu üç sayının EBOB'unu bulmalıyız.
EBOB(72, 90, 120) = 18.
Bölme kuralı gereği bölen sayı (x), kalandan (3) büyük olmalıdır. 18 > 3 olduğu için şart sağlanır ve x'in en büyük değeri 18'dir.
Bu sayılardan biri 36 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir. Sayılar a ve b olsun.
a · b = EBOB(a, b) · EKOK(a, b)
Verilen değerleri yerine yazalım:
36 · b = 12 · 144
b = (12 · 144) / 36
Sadeleştirme yaparsak (12/36 = 1/3):
b = 144 / 3
b = 48.
Diğer sayı 48'dir.
Kutudaki ceviz sayısının 150'den fazla olduğu bilindiğine göre, kutuda en az kaç ceviz vardır?
Çözüm:
Ceviz sayısına C diyelim. Verilen bilgilere göre:
C = 4a + 1
C = 5b + 1
C = 6c + 1
Bu, C-1 sayısının hem 4'ün, hem 5'in, hem de 6'nın tam katı olduğu anlamına gelir.
Dolayısıyla C-1 sayısı, EKOK(4, 5, 6)'nın bir katıdır.
EKOK(4, 5, 6) = EKOK(2², 5, 2·3) = 2² · 3 · 5 = 4 · 15 = 60.
O halde, C-1 = 60k şeklinde yazılabilir (k pozitif bir tam sayıdır).
C = 60k + 1.
Ceviz sayısı 150'den fazla ise: 60k + 1 > 150 => 60k > 149 => k > 149/60 => k > 2.48...
k bir tam sayı olduğu için alabileceği en küçük değer 3'tür.
En az ceviz sayısı için k=3 alırız: C = 60(3) + 1 = 180 + 1 = 181.
Tebrikler!
EBOB - EKOK konusunun birinci testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.