EBOB - EKOK - İnteraktif Test 2
EBOB(x, 18) = 6
EKOK(x, 18) = 36
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm:
İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir.
x · 18 = EBOB(x, 18) · EKOK(x, 18)
x · 18 = 6 · 36
x = (6 · 36) / 18
x = 36 / 3
x = 12.
Buna göre, en az kaç parsel oluşur?
Çözüm:
En az sayıda parsel oluşması için, parsellerin kenar uzunluğunun mümkün olan en büyük değerde olması gerekir. Bu da 120 ve 150'nin En Büyük Ortak Böleni (EBOB) demektir.
EBOB(120, 150) = 30 metre. (Bir karenin kenarı)
Parsel Sayısı = (Tarlanın Alanı) / (Bir Parselin Alanı)
Parsel Sayısı = (120 · 150) / (30 · 30)
Parsel Sayısı = (120/30) · (150/30) = 4 · 5 = 20.
A = 4a+1 = 5b+1 = 6c+1
olduğuna göre, A'nın alabileceği üç basamaklı en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
A sayısından 1 çıkarırsak, elde edilen A-1 sayısı hem 4'ün, hem 5'in hem de 6'nın tam katı olur.
A-1 = EKOK(4, 5, 6)'nın bir katıdır.
EKOK(4, 5, 6) = 60.
O halde, A-1 = 60k. Yani, A = 60k + 1.
A'nın üç basamaklı en küçük değerini bulmak için k'ya değerler verelim:
k=1 için A = 60(1)+1 = 61 (iki basamaklı)
k=2 için A = 60(2)+1 = 120+1 = 121 (üç basamaklı en küçük değer)
Buna göre, bu iki sayının toplamı en az kaçtır?
Çözüm:
Sayılar x ve y olsun. EBOB(x, y) = 8 ise, x=8a ve y=8b (a, b aralarında asal ve a≠b).
Toplamın en az olması için a ve b'ye en küçük değerleri vermeliyiz.
Sayılar iki basamaklı olmalı.
a=1 için x = 8 (iki basamaklı değil).
a=2 için x = 16 (iki basamaklı).
a=2 aldıktan sonra, b'ye 2'den büyük ve 2 ile aralarında asal en küçük değeri vermeliyiz. Bu değer 3'tür.
b=3 için y = 24.
En küçük iki sayı 16 ve 24'tür.
Toplamları = 16 + 24 = 40.
EBOB(a, b) = 1
a · b = 150
olduğuna göre, kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi vardır?
Çözüm:
EBOB(a,b)=1 demek, a ve b'nin aralarında asal olması demektir. Çarpımları 150 olan aralarında asal sayı çiftlerini arıyoruz.
Önce 150'yi asal çarpanlarına ayıralım: 150 = 15 · 10 = (3·5)·(2·5) = 2 · 3 · 5².
Aralarında asal olmaları için, bu asal çarpanları gruplara ayırmalıyız. Bir grupta olan asal çarpan diğerinde olamaz.
Çiftler:
(1, 150), (2, 75), (3, 50), (6, 25).
Bu çiftler (a,b) sıralı ikilisi olarak (1,150) ve (150,1) şeklinde iki farklı şekilde yazılabileceği için, toplam 4 çift × 2 = 8 farklı sıralı ikili vardır.
Bu üç gemi limandan birlikte ayrıldıktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte ayrılırlar?
Çözüm:
Gemilerin tekrar birlikte ayrılacağı süre, sefer periyotlarının en küçük ortak katı (EKOK) kadardır.
EKOK(6, 8, 10)'u bulmalıyız.
6 = 2 · 3
8 = 2³
10 = 2 · 5
EKOK bulunurken, tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar alınır.
EKOK(6, 8, 10) = 2³ · 3¹ · 5¹ = 8 · 3 · 5 = 120.
En az 120 gün sonra tekrar birlikte ayrılırlar.
Bu iş için en az kaç adet kutu gerekir?
Çözüm:
Oluşturulacak küpün bir kenarı, prizmanın kenar uzunluklarının ortak bir katı olmalıdır. En az sayıda kutu için küpün kenarı en küçük olmalı, yani EKOK(2, 3, 4) olmalıdır.
EKOK(2, 3, 4) = 12 cm. (Küpün bir kenarı)
Gerekli Kutu Sayısı = (Küpün Hacmi) / (Bir Kutunun Hacmi)
Kutu Sayısı = (12 · 12 · 12) / (2 · 3 · 4)
Sadeleştirme yaparsak: (12/2) · (12/3) · (12/4) = 6 · 4 · 3 = 72.
Buna göre, x kaçtır?
Çözüm:
İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir.
x · 40 = EBOB(x, 40) · EKOK(x, 40)
x · 40 = 8 · 240
x = (8 · 240) / 40
x = 8 · 6
x = 48.
EBOB(a, b) + EKOK(a, b) = 146
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
Çözüm:
Ardışık iki çift sayının (örneğin 2k ve 2k+2) EBOB'u daima 2'dir.
EBOB(a, b) = 2.
Denklemde yerine koyalım:
2 + EKOK(a, b) = 146 => EKOK(a, b) = 144.
İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir:
a · b = 2 · 144 = 288.
Şimdi çarpımları 288 olan ardışık iki çift sayı arıyoruz.
16 · 18 = 288.
Sayılar 16 ve 18'dir.
Toplamları: 16 + 18 = 34.
A = 5x + 3 = 6y + 3 = 8z + 3
koşulunu sağlayan en küçük A sayısı kaçtır?
Çözüm:
Verilen eşitliklerden 3 çıkarırsak, A-3 sayısı 5, 6 ve 8'in tam katı olur.
A-3 = 5x = 6y = 8z
Yani A-3 sayısı, EKOK(5, 6, 8)'in bir katıdır.
EKOK(5, 6, 8) = EKOK(5, 2·3, 2³) = 2³ · 3 · 5 = 8 · 15 = 120.
A-3 = 120k.
En küçük A pozitif tam sayısı için k=1 alırız:
A-3 = 120 => A = 123.
Kasadaki elma sayısı 400'den fazla ise, en az kaç elma vardır?
Çözüm:
Elma sayısına E diyelim.
E = 6a + 5 (6'ya bölünmesinden 1 eksik)
E = 8b + 7 (8'e bölünmesinden 1 eksik)
E = 10c + 9 (10'a bölünmesinden 1 eksik)
Her eşitliğe 1 eklersek, E+1 sayısı 6, 8 ve 10'un tam katı olur.
E+1 = EKOK(6, 8, 10)'un bir katıdır.
EKOK(6, 8, 10) = 120.
E+1 = 120k => E = 120k - 1.
Elma sayısı 400'den fazla ise: 120k - 1 > 400 => 120k > 401 => k > 401/120 => k > 3.34...
k tam sayı olduğu için en az 4 olabilir.
E = 120(4) - 1 = 480 - 1 = 479.
EBOB(x, y) = 18
olduğuna göre, x+y toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
EBOB(x,y) = 18 ise, x ve y sayıları 18'in katı olmalıdır.
x = 18a ve y = 18b. (a, b aralarında asal ve a≠b).
Toplamın en çok olması için a ve b'ye verebileceğimiz en büyük değerleri bulmalıyız.
x ve y iki basamaklıdır (x<100, y<100).
18a < 100 => a < 5.55...
18b < 100 => b < 5.55...
a ve b'nin alabileceği en büyük değer 5'tir.
En büyük toplam için a ve b'ye en büyük ve aralarında asal değerleri seçelim. a=5.
b'ye 5'ten küçük ve 5 ile aralarında asal en büyük değeri verelim: b=4.
a=5, b=4 çiftini alabiliriz.
x = 18 · 5 = 90.
y = 18 · 4 = 72.
Toplam = 90 + 72 = 162.
EBOB(x, y) = 18
olduğuna göre, x+y toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
EBOB(x,y) = 18 ise, x ve y sayıları 18'in katı olmalıdır.
x = 18a ve y = 18b. (a, b aralarında asal ve a≠b).
Toplamın en çok olması için a ve b'ye verebileceğimiz en büyük değerleri bulmalıyız.
x ve y iki basamaklıdır (x < 100, y < 100).
18a < 100 => a < 5.55...
18b < 100 => b < 5.55...
a'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri 5'tir.
b'nin alabileceği, 5'ten farklı ve 5 ile aralarında asal olan en büyük tam sayı değeri ise 4'tür.
Bu durumda en büyük toplam için a=5 ve b=4 seçeriz.
x = 18 · 5 = 90.
y = 18 · 4 = 72.
Bu iki sayının toplamı: 90 + 72 = 162.
Tebrikler!
EBOB - EKOK konusunun ikinci testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.
EBOB - EKOK - İnteraktif Test 2
EBOB(x, 18) = 6
EKOK(x, 18) = 36
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm:
İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir.
x · 18 = EBOB(x, 18) · EKOK(x, 18)
x · 18 = 6 · 36
x = (6 · 36) / 18
x = 36 / 3
x = 12.
Buna göre, en az kaç parsel oluşur?
Çözüm:
En az sayıda parsel oluşması için, parsellerin kenar uzunluğunun mümkün olan en büyük değerde olması gerekir. Bu da 120 ve 150'nin En Büyük Ortak Böleni (EBOB) demektir.
EBOB(120, 150) = 30 metre. (Bir karenin kenarı)
Parsel Sayısı = (Tarlanın Alanı) / (Bir Parselin Alanı)
Parsel Sayısı = (120 · 150) / (30 · 30)
Parsel Sayısı = (120/30) · (150/30) = 4 · 5 = 20.
A = 4a+1 = 5b+1 = 6c+1
olduğuna göre, A'nın alabileceği üç basamaklı en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
A sayısından 1 çıkarırsak, elde edilen A-1 sayısı hem 4'ün, hem 5'in hem de 6'nın tam katı olur.
A-1 = EKOK(4, 5, 6)'nın bir katıdır.
EKOK(4, 5, 6) = 60.
O halde, A-1 = 60k. Yani, A = 60k + 1.
A'nın üç basamaklı en küçük değerini bulmak için k'ya değerler verelim:
k=1 için A = 60(1)+1 = 61 (iki basamaklı)
k=2 için A = 60(2)+1 = 120+1 = 121 (üç basamaklı en küçük değer)
Buna göre, bu iki sayının toplamı en az kaçtır?
Çözüm:
Sayılar x ve y olsun. EBOB(x, y) = 8 ise, x=8a ve y=8b (a, b aralarında asal ve a≠b).
Toplamın en az olması için a ve b'ye en küçük değerleri vermeliyiz.
Sayılar iki basamaklı olmalı.
a=1 için x = 8 (iki basamaklı değil).
a=2 için x = 16 (iki basamaklı).
a=2 aldıktan sonra, b'ye 2'den büyük ve 2 ile aralarında asal en küçük değeri vermeliyiz. Bu değer 3'tür.
b=3 için y = 24.
En küçük iki sayı 16 ve 24'tür.
Toplamları = 16 + 24 = 40.
EBOB(a, b) = 1
a · b = 150
olduğuna göre, kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi vardır?
Çözüm:
EBOB(a,b)=1 demek, a ve b'nin aralarında asal olması demektir. Çarpımları 150 olan aralarında asal sayı çiftlerini arıyoruz.
Önce 150'yi asal çarpanlarına ayıralım: 150 = 15 · 10 = (3·5)·(2·5) = 2 · 3 · 5².
Aralarında asal olmaları için, bu asal çarpanları gruplara ayırmalıyız. Bir grupta olan asal çarpan diğerinde olamaz.
Çiftler:
(1, 150), (2, 75), (3, 50), (6, 25).
Bu çiftler (a,b) sıralı ikilisi olarak (1,150) ve (150,1) şeklinde iki farklı şekilde yazılabileceği için, toplam 4 çift × 2 = 8 farklı sıralı ikili vardır.
Bu üç gemi limandan birlikte ayrıldıktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte ayrılırlar?
Çözüm:
Gemilerin tekrar birlikte ayrılacağı süre, sefer periyotlarının en küçük ortak katı (EKOK) kadardır.
EKOK(6, 8, 10)'u bulmalıyız.
6 = 2 · 3
8 = 2³
10 = 2 · 5
EKOK bulunurken, tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar alınır.
EKOK(6, 8, 10) = 2³ · 3¹ · 5¹ = 8 · 3 · 5 = 120.
En az 120 gün sonra tekrar birlikte ayrılırlar.
Bu iş için en az kaç adet kutu gerekir?
Çözüm:
Oluşturulacak küpün bir kenarı, prizmanın kenar uzunluklarının ortak bir katı olmalıdır. En az sayıda kutu için küpün kenarı en küçük olmalı, yani EKOK(2, 3, 4) olmalıdır.
EKOK(2, 3, 4) = 12 cm. (Küpün bir kenarı)
Gerekli Kutu Sayısı = (Küpün Hacmi) / (Bir Kutunun Hacmi)
Kutu Sayısı = (12 · 12 · 12) / (2 · 3 · 4)
Sadeleştirme yaparsak: (12/2) · (12/3) · (12/4) = 6 · 4 · 3 = 72.
Buna göre, x kaçtır?
Çözüm:
İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir.
x · 40 = EBOB(x, 40) · EKOK(x, 40)
x · 40 = 8 · 240
x = (8 · 240) / 40
x = 8 · 6
x = 48.
EBOB(a, b) + EKOK(a, b) = 146
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
Çözüm:
Ardışık iki çift sayının (örneğin 2k ve 2k+2) EBOB'u daima 2'dir.
EBOB(a, b) = 2.
Denklemde yerine koyalım:
2 + EKOK(a, b) = 146 => EKOK(a, b) = 144.
İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir:
a · b = 2 · 144 = 288.
Şimdi çarpımları 288 olan ardışık iki çift sayı arıyoruz.
16 · 18 = 288.
Sayılar 16 ve 18'dir.
Toplamları: 16 + 18 = 34.
A = 5x + 3 = 6y + 3 = 8z + 3
koşulunu sağlayan en küçük A sayısı kaçtır?
Çözüm:
Verilen eşitliklerden 3 çıkarırsak, A-3 sayısı 5, 6 ve 8'in tam katı olur.
A-3 = 5x = 6y = 8z
Yani A-3 sayısı, EKOK(5, 6, 8)'in bir katıdır.
EKOK(5, 6, 8) = EKOK(5, 2·3, 2³) = 2³ · 3 · 5 = 8 · 15 = 120.
A-3 = 120k.
En küçük A pozitif tam sayısı için k=1 alırız:
A-3 = 120 => A = 123.
Kasadaki elma sayısı 400'den fazla ise, en az kaç elma vardır?
Çözüm:
Elma sayısına E diyelim.
E = 6a + 5 (6'ya bölünmesinden 1 eksik)
E = 8b + 7 (8'e bölünmesinden 1 eksik)
E = 10c + 9 (10'a bölünmesinden 1 eksik)
Her eşitliğe 1 eklersek, E+1 sayısı 6, 8 ve 10'un tam katı olur.
E+1 = EKOK(6, 8, 10)'un bir katıdır.
EKOK(6, 8, 10) = 120.
E+1 = 120k => E = 120k - 1.
Elma sayısı 400'den fazla ise: 120k - 1 > 400 => 120k > 401 => k > 401/120 => k > 3.34...
k tam sayı olduğu için en az 4 olabilir.
E = 120(4) - 1 = 480 - 1 = 479.
EBOB(x, y) = 18
olduğuna göre, x+y toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
EBOB(x,y) = 18 ise, x ve y sayıları 18'in katı olmalıdır.
x = 18a ve y = 18b. (a, b aralarında asal ve a≠b).
Toplamın en çok olması için a ve b'ye verebileceğimiz en büyük değerleri bulmalıyız.
x ve y iki basamaklıdır (x<100, y<100).
18a < 100 => a < 5.55...
18b < 100 => b < 5.55...
a ve b'nin alabileceği en büyük değer 5'tir.
En büyük toplam için a ve b'ye en büyük ve aralarında asal değerleri seçelim. a=5.
b'ye 5'ten küçük ve 5 ile aralarında asal en büyük değeri verelim: b=4.
a=5, b=4 çiftini alabiliriz.
x = 18 · 5 = 90.
y = 18 · 4 = 72.
Toplam = 90 + 72 = 162.
EBOB(x, y) = 18
olduğuna göre, x+y toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
EBOB(x,y) = 18 ise, x ve y sayıları 18'in katı olmalıdır.
x = 18a ve y = 18b. (a, b aralarında asal ve a≠b).
Toplamın en çok olması için a ve b'ye verebileceğimiz en büyük değerleri bulmalıyız.
x ve y iki basamaklıdır (x < 100, y < 100).
18a < 100 => a < 5.55...
18b < 100 => b < 5.55...
a'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri 5'tir.
b'nin alabileceği, 5'ten farklı ve 5 ile aralarında asal olan en büyük tam sayı değeri ise 4'tür.
Bu durumda en büyük toplam için a=5 ve b=4 seçeriz.
x = 18 · 5 = 90.
y = 18 · 4 = 72.
Bu iki sayının toplamı: 90 + 72 = 162.
Tebrikler!
EBOB - EKOK konusunun ikinci testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.