Yeni Sayfa | SÖZEL KAFA

EBOB - EKOK - İnteraktif Test 3

1. a ve b pozitif tam sayılardır.
EBOB(a, b) = 6 ve a/b = 2/3
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 24

B) 30

C) 36

D) 42

E) 60

Çözüm:

a/b = 2/3 oranı, bu sayıların en sade halidir. Bu demektir ki a=2k ve b=3k yazabiliriz. 2 ve 3 aralarında asal olduğu için, bu iki sayının EBOB'u katsayı olan 'k' olur.
EBOB(a, b) = EBOB(2k, 3k) = k.
Soruda EBOB(a, b) = 6 olarak verildiği için, k = 6'dır.
a = 2k = 2 · 6 = 12
b = 3k = 3 · 6 = 18
Toplamları: a + b = 12 + 18 = 30.

2. Dairesel bir pistin etrafını sırasıyla 12, 15 ve 20 dakikada tamamlayan üç koşucu, saat 14:00'te aynı noktadan aynı yöne doğru koşmaya başlıyorlar.
Buna göre, üçü birlikte ikinci kez başlangıç noktasında saat kaçta buluşurlar?

A) 15:00

B) 15:30

C) 16:00

D) 16:30

E) 17:00

Çözüm:

Koşucuların başlangıç noktasında tekrar birlikte olmaları için geçen süre, tur tamamlama sürelerinin en küçük ortak katı (EKOK) kadardır.
EKOK(12, 15, 20)'yi bulalım:
12 = 2² · 3
15 = 3 · 5
20 = 2² · 5
EKOK(12, 15, 20) = 2² · 3 · 5 = 4 · 3 · 5 = 60 dakika.
Bu, koşucuların her 60 dakikada (1 saatte) bir başlangıç noktasında buluştukları anlamına gelir.
İlk kez saat 14:00'te başladılar.
Birinci buluşmaları 1 saat sonra, yani 15:00'te olur.
İkinci buluşmaları ise birinci buluşmadan 1 saat sonra, yani 16:00'da olur.

3. A sayısı 5'e bölündüğünde 2, 6'ya bölündüğünde 3, 8'e bölündüğünde 5 kalanını vermektedir.
Buna göre, A sayısının alabileceği en küçük üç basamaklı değer kaçtır?

A) 112

B) 117

C) 123

D) 237

E) 243

Çözüm:

Verilenleri denklem olarak yazalım:
A = 5x + 2 => A + 3 = 5x + 5 (5'in katı)
A = 6y + 3 => A + 3 = 6y + 6 (6'nın katı)
A = 8z + 5 => A + 3 = 8z + 8 (8'in katı)
Görüldüğü gibi, A sayısına 3 eklediğimizde elde edilen A+3 sayısı hem 5'in, hem 6'nın hem de 8'in tam katı olmaktadır.
A+3 = EKOK(5, 6, 8)'in bir katıdır.
EKOK(5, 6, 8) = EKOK(5, 2·3, 2³) = 2³ · 3 · 5 = 8 · 15 = 120.
A+3 = 120k.
En küçük üç basamaklı A değeri için k=1 alalım:
A+3 = 120 => A = 117.

4. Kenar uzunlukları 160 cm ve 110 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir levhanın tüm kenarlarından 5 cm'lik bir şerit kesilip atılıyor. Kalan levha, hiç artmayacak şekilde en büyük alanlı eş karelere bölünüyor.
Buna göre, kaç adet kare elde edilir?

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

Çözüm:

Önce kalan levhanın boyutlarını bulalım. Her kenardan 5 cm kesildiği için, hem eninden hem de boyundan 2 · 5 = 10 cm kısalır.
Yeni en: 110 - 10 = 100 cm.
Yeni boy: 160 - 10 = 150 cm.
Bu 100x150 cm'lik levha, en büyük alanlı eş karelere bölünecek. Karenin bir kenarı, yeni boyutların EBOB'u olmalıdır.
EBOB(100, 150) = 50 cm. (Karenin bir kenarı)
Kare adedi = (Levhanın Alanı) / (Bir Karenin Alanı)
Adet = (100 · 150) / (50 · 50)
Adet = (100/50) · (150/50) = 2 · 3 = 6.

5. x ve y pozitif tam sayılardır.
EBOB(x, y) = 9 ve x + y = 81
olduğuna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı (x, y) sayı çifti vardır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Çözüm:

x ve y sayılarının EBOB'u 9 ise, bu sayılar 9'un katıdır.
x = 9a ve y = 9b diyebiliriz. Burada a ve b aralarında asal olmalıdır.
Toplamları 81 ise: 9a + 9b = 81 => 9(a+b) = 81 => a+b = 9.
Şimdi toplamları 9 olan ve aralarında asal (a, b) pozitif tam sayı çiftlerini bulalım:
(1, 8) -> Aralarında asaldır. (Sayılar 9, 72)
(2, 7) -> Aralarında asaldır. (Sayılar 18, 63)
(3, 6) -> Aralarında asal değildir (EBOB=3).
(4, 5) -> Aralarında asaldır. (Sayılar 36, 45)
Bu şartları sağlayan 3 farklı (a,b) çifti olduğu için, 3 farklı (x,y) sayı çifti vardır.

6. a ve b birer rakam olmak üzere, EKOK(a, b) = 12 şartını sağlayan kaç farklı "ab" iki basamaklı doğal sayısı yazılabilir?

A) 2

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

Çözüm:

a ve b rakamları EKOK'u oluşturan sayının bölenleri olmak zorundadır. 12'nin bölenleri: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Rakam oldukları için {1, 2, 3, 4, 6} kümesinden seçilmelidirler.
Şimdi bu kümeden EKOK'u 12 olan (a,b) çiftlerini arayalım:
1) a=3, b=4 için EKOK(3,4)=12. Yazılabilecek sayılar: 34, 43.
2) a=4, b=6 için EKOK(4,6)=12. Yazılabilecek sayılar: 46, 64.
3) a=3, b=12 (rakam değil)
4) a=4, b=12 (rakam değil)
5) a=6, b=12 (rakam değil)
Başka bir kombinasyon yoktur. Toplamda 4 farklı "ab" sayısı yazılabilir.

7. x pozitif bir tam sayıdır.
EBOB(x, 120) = 15
15 < x < 120 olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 30

B) 45

C) 75

D) 90

E) 105

Çözüm:

x sayısı ile 120'nin EBOB'u 15 ise, x sayısı 15'in katı olmalıdır ama 120'nin diğer bölenlerini (örneğin 2 veya 4) içermemelidir.
x = 15k diyelim.
120 = 15 · 8.
EBOB(15k, 15·8) = 15 · EBOB(k, 8) = 15.
Bu eşitliğin sağlanması için EBOB(k, 8) = 1 olmalıdır. Yani k ve 8 aralarında asal olmalıdır (k çift olmamalıdır).
Ayrıca 15 < x < 120 ise => 15 < 15k < 120 => 1 < k < 8.
k'nın alabileceği değerler: {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Bu değerlerden 8 ile aralarında asal olanlar: {3, 5, 7}.
x'in en küçük değerini bulmak için k'nın en küçük değerini (k=3) seçeriz.
x = 15k = 15 · 3 = 45.

8. Uzunlukları 72 m, 90 m ve 126 m olan üç demir çubuk, hiç artmayacak şekilde mümkün olan en uzun ve eşit parçalara ayrılıyor.
Her bir kesim işlemi 30 saniye sürdüğüne göre, tüm kesim işlemleri toplam kaç dakika sürer?

A) 6

B) 6.5

C) 7

D) 7.5

E) 8

Çözüm:

Parçaların en uzun olması için, parça uzunluğu 72, 90 ve 126'nın EBOB'u olmalıdır.
EBOB(72, 90, 126) = 18 metre. (Her bir parçanın uzunluğu)
Kaç parça oluştuğunu bulalım:
1. çubuk: 72 / 18 = 4 parça.
2. çubuk: 90 / 18 = 5 parça.
3. çubuk: 126 / 18 = 7 parça.
Toplam kesim sayısını bulalım (n parça için n-1 kesim yapılır):
Toplam kesim = (4-1) + (5-1) + (7-1) = 3 + 4 + 6 = 13 kesim.
Toplam süre = 13 kesim × 30 saniye = 390 saniye.
Süreyi dakikaya çevirelim: 390 / 60 = 6.5 dakika.

9. A = EBOB(36, 54)
B = EKOK(10, 15)
olduğuna göre, EKOK(A, B) kaçtır?

A) 30

B) 60

C) 90

D) 120

E) 180

Çözüm:

Önce A ve B sayılarını bulalım.
A = EBOB(36, 54). 36=18·2, 54=18·3. Dolayısıyla A = 18.
B = EKOK(10, 15). 10'un katları: 10,20,30. 15'in katları: 15,30. Dolayısıyla B = 30.
Şimdi EKOK(A, B) yani EKOK(18, 30)'u bulalım.
18 = 2 · 3²
30 = 2 · 3 · 5
EKOK(18, 30) = 2 · 3² · 5 = 2 · 9 · 5 = 90.

10. a pozitif bir tam sayıdır.
EBOB(a, 24) = a
EKOK(a, 15) = 15
olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 1

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

Çözüm:

Verilen ifadeleri yorumlayalım:
EBOB(a, 24) = a demek, 'a' sayısının 24'ü tam böldüğü anlamına gelir (a, 24'ün bir bölenidir).
EKOK(a, 15) = 15 demek, 'a' sayısının 15'i tam böldüğü anlamına gelir (a, 15'in bir bölenidir).
Bu iki koşuldan, 'a' sayısının hem 24'ün hem de 15'in ortak bir böleni olması gerektiği sonucuna varırız.
Ortak bölenleri bulmak için önce EBOB(24, 15)'i buluruz.
EBOB(24, 15) = 3.
a sayısı, 3'ün pozitif bölenleri olabilir. 3'ün pozitif bölenleri: {1, 3}.
a'nın alabileceği değerler toplamı = 1 + 3 = 4.

11. Bir turist kafilesindeki kişi sayısı 400 ile 500 arasındadır. Bu kafile 5'erli gruplandığında 4, 6'şarlı gruplandığında 5 ve 7'şerli gruplandığında 6 kişi artmaktadır.
Buna göre, kafilede kaç kişi vardır?

A) 409

B) 419

C) 421

D) 459

E) 479

Çözüm:

Kafiledeki kişi sayısına K diyelim.
K = 5a + 4 (Bölenden 1 eksik)
K = 6b + 5 (Bölenden 1 eksik)
K = 7c + 6 (Bölenden 1 eksik)
Her eşitliğe 1 eklersek, K+1 sayısı 5, 6 ve 7'nin tam katı olur.
K+1 = EKOK(5, 6, 7)'nin bir katıdır.
5, 6, 7 aralarında asal oldukları için EKOK'ları çarpımlarıdır: 5 · 6 · 7 = 210.
K+1 = 210n => K = 210n - 1.
Kişi sayısı 400 ile 500 arasında ise: 400 < 210n - 1 < 500
401 < 210n < 501
401/210 < n < 501/210
1.9... < n < 2.38...
n bir tam sayı olduğu için bu aralıktaki tek değeri 2'dir.
Kafiledeki kişi sayısı: K = 210(2) - 1 = 420 - 1 = 419.

12. (YENİLENDİ) a, b, c birbirinden farklı asal sayılardır.
x = a²b²
y = a²c²
z = b²c²
olduğuna göre, EKOK(x,y,z) / EBOB(x,y,z) ifadesinin eşiti nedir?

A) 1

B) abc

C) a²b²c²

D) a³b³c³

E) a⁴b⁴c⁴

Çözüm:

Önce EBOB'u bulalım. EBOB için ortak olan asal çarpanları bulmalıyız. Ancak üç sayıda da ortak olan bir asal çarpan yoktur. Dolayısıyla, EBOB(x,y,z) = 1.
Şimdi EKOK'u bulalım. EKOK için tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanları alırız.
a için en büyük üs: 2 (x ve y'den gelir).
b için en büyük üs: 2 (x ve z'den gelir).
c için en büyük üs: 2 (y ve z'den gelir).
EKOK(x,y,z) = a²b²c².
İstenen oran: EKOK / EBOB = (a²b²c²) / 1 = a²b²c².

Tebrikler!

EBOB - EKOK konusunun üçüncü testini başarıyla tamamladınız.

Hazır olduğunuzda bir sonraki konuya geçebiliriz.