Yeni Sayfa | SÖZEL KAFA

EBOB - EKOK - İnteraktif Test 4

1. x ve y pozitif tam sayılardır.
EKOK(x, y) = 90
x + y = 63
olduğuna göre, |x - y| farkı kaçtır?

A) 3

B) 9

C) 15

D) 27

E) 33

Çözüm:

Sayıların EBOB'una 'd' diyelim. x=da ve y=db (a,b aralarında asal).
x+y = d(a+b) = 63
EKOK(x,y) = dab = 90
Bu iki denklemi oranlarsak: d(a+b)/dab = 63/90 => (a+b)/ab = 7/10.
Buradan a+b=7 ve ab=10 olmalıdır. Bu şartı sağlayan sayılar 2 ve 5'tir. (2 ve 5 aralarında asaldır).
a+b = 7 denkleminden d'yi bulalım: d(7) = 63 => d=9.
Sayılarımız x=da=9·2=18 ve y=db=9·5=45.
Kontrol: x+y=18+45=63. EKOK(18,45)=90. Şartlar sağlanıyor.
Fark: |x - y| = |18 - 45| = 27.

2. Boyutları 120 cm ve 168 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir odanın zemini, hiç boşluk kalmayacak ve fayanslar kırılmayacak şekilde, mümkün olan en büyük boyutlu kare fayanslarla kaplanacaktır.
Buna göre, sadece odanın kenarlarına döşenen fayans sayısı kaçtır?

A) 20

B) 22

C) 24

D) 28

E) 35

Çözüm:

En büyük boyutlu kare fayansın bir kenarı, odanın kenar uzunluklarının EBOB'u olmalıdır.
EBOB(120, 168) = 24 cm. (Fayansın bir kenarı)
Odanın kenarlarına kaçar fayans sığdığını bulalım:
120 cm'lik kenara: 120 / 24 = 5 fayans
168 cm'lik kenara: 168 / 24 = 7 fayans
Kenarlara döşenen fayans sayısı, odanın çevresine döşenen fayans sayısına eşittir.
Toplam fayans sayısı = 2 · (Kısa kenardaki fayans sayısı + Uzun kenardaki fayans sayısı) - 4 (köşeler iki kez sayıldığı için)
Sayı = 2 · (5 + 7) = 2 · 12 = 24.
Alternatif yol: 5+5+7+7 = 24 fayans. Köşelerdeki 4 fayans iki kenarda da sayıldığı için çıkarmaya gerek yoktur.

3. İki basamaklı x ve y doğal sayılarının EKOK'u 180'dir.
Buna göre, x+y toplamı en çok kaç olabilir?

A) 135

B) 150

C) 165

D) 180

E) 270

Çözüm:

Toplamın en çok olması için sayıları mümkün olduğunca büyük ve birbirinden uzak seçmeliyiz. Sayılar EKOK'un bölenleri olmalıdır.
180'in iki basamaklı en büyük bölenlerini arayalım.
En büyük bölenlerden biri 180/2 = 90'dır. x=90 olabilir.
İkinci en büyük sayıyı arayalım: 180/3 = 60. y=60 olabilir.
Kontrol edelim: EKOK(90, 60) = EKOK(30·3, 30·2) = 30 · EKOK(3,2) = 30·6 = 180. Şart sağlanıyor.
Bu durumda alabileceğimiz en büyük iki basamaklı sayılar 90 ve 60'tır.
Toplamları: 90 + 60 = 150.

4. a, b, c birbirinden farklı asal sayılardır.
x = a³ · b²
y = a · b³ · c
z = a² · c³
olduğuna göre, EKOK(x, y, z) aşağıdakilerden hangisidir?

A) a·b·c

B) a²·b²·c²

C) a³·b³·c³

D) a⁶·b⁵·c⁴

E) a⁷·b⁶·c⁵

Çözüm:

EKOK bulunurken, tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar alınır ve çarpılır.
a'nın üsleri: 3, 1, 2. En büyüğü 3.
b'nin üsleri: 2, 3. En büyüğü 3.
c'nin üsleri: 1, 3. En büyüğü 3.
EKOK(x,y,z) = a³ · b³ · c³.

5. A = 6! + 7!
B = 7! + 8!
olduğuna göre, EKOK(A, B) kaçtır?

A) 6! · 7

B) 8! · 9

C) 72 · 7!

D) 64 · 8!

E) 9!

Çözüm:

Önce A ve B sayılarını düzenleyelim.
A = 6! + 7·6! = 6!(1+7) = 8 · 6!
B = 7! + 8·7! = 7!(1+8) = 9 · 7! = 9 · 7 · 6! = 63 · 6!
Şimdi EKOK(A, B) yani EKOK(8·6!, 63·6!)'i bulalım.
EKOK(8·6!, 63·6!) = 6! · EKOK(8, 63)
8 ve 63 aralarında asal olduğu için EKOK'ları çarpımlarıdır: EKOK(8,63)=8·63=504.
Sonuç: 504 · 6!
Şimdi sonucu şıklara benzetelim: 504·6! = (72·7)·6! = 72 · (7·6!) = 72 · 7!.

6. x-y ve x+y aralarında asal iki sayıdır.
EKOK(x-y, x+y) = 77
olduğuna göre, x kaçtır?

A) 7

B) 9

C) 11

D) 18

E) 77

Çözüm:

Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.
(x-y) · (x+y) = 77
77'nin aralarında asal çarpanlarını bulmalıyız. 77 = 7 · 11. (7 ve 11 aralarında asaldır).
x ve y pozitif tam sayılar olacağından x+y > x-y olmalıdır.
x - y = 7
x + y = 11
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2x = 18 => x = 9.

7. Boyutları 180 cm ve 240 cm olan bir salonun zemini kare şeklinde ve eşit büyüklükte mermerlerle kaplanacaktır.
Bu iş için en az kaç mermer gerekir?

A) 6

B) 8

C) 12

D) 15

E) 18

Çözüm:

En az sayıda mermer kullanmak için, mermerlerin boyutunun mümkün olan en büyük değerde olması gerekir. Bu da 180 ve 240'ın En Büyük Ortak Böleni (EBOB) demektir.
EBOB(180, 240) = 60 cm. (Bir mermerin kenarı)
Mermer Sayısı = (Salonun Alanı) / (Bir Mermerin Alanı)
Mermer Sayısı = (180 · 240) / (60 · 60)
Sadeleştirme yaparsak: (180/60) · (240/60) = 3 · 4 = 12.

8. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere;
EBOB(a, b) = 7
a² + b² = 1274
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?

A) 21

B) 28

C) 35

D) 42

E) 56

Çözüm:

a=7x ve b=7y (x, y aralarında asal).
Denklemde yerine koyalım:
(7x)² + (7y)² = 1274
49x² + 49y² = 1274
49(x² + y²) = 1274
x² + y² = 1274 / 49 = 26.
Kareleri toplamı 26 olan aralarında asal pozitif tam sayı çifti arıyoruz.
1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25.
x²=1 ise y²=25. Buradan y=5 bulunur. x=1 ve y=5 aralarında asaldır.
O halde x=1, y=5 (veya tam tersi) olabilir.
a = 7x = 7 · 1 = 7
b = 7y = 7 · 5 = 35
Toplamları: a+b = 7 + 35 = 42.

9. Boyutları 40 m, 50 m ve 60 m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir deponun içine, hiç boşluk kalmayacak şekilde, en büyük hacimli eş küplerden kaç tane sığar?

A) 60

B) 120

C) 150

D) 180

E) 240

Çözüm:

Deponun içine sığacak en büyük hacimli eş küplerin bir kenarı, deponun boyutlarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalıdır.
EBOB(40, 50, 60) = 10 metre. (Küpün bir kenarı)
Küp adedini bulmak için deponun hacmini bir küpün hacmine böleriz.
Küp Adedi = (Depo Hacmi) / (Bir Küpün Hacmi)
Küp Adedi = (40 · 50 · 60) / (10 · 10 · 10)
Sadeleştirme yaparsak: (40/10) · (50/10) · (60/10) = 4 · 5 · 6 = 120.
Depoya 120 adet küp sığar.

10. a ve b ardışık iki pozitif çift sayıdır.
EBOB(a, b) + EKOK(a, b) = 146
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?

A) 26

B) 34

C) 38

D) 42

E) 46

Çözüm:

Ardışık iki çift sayının (örneğin 2k ve 2k+2) EBOB'u daima 2'dir.
EBOB(a, b) = 2.
Denklemde yerine koyalım:
2 + EKOK(a, b) = 146 => EKOK(a, b) = 144.
İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir:
a · b = 2 · 144 = 288.
Şimdi çarpımları 288 olan ardışık iki çift sayı arıyoruz.
Sayılar birbirine yakın olmalı. Kök(288) yaklaşık 17'dir. Sayılar 16 ve 18 olabilir.
Kontrol: 16 · 18 = 288.
Sayılar 16 ve 18'dir.
Toplamları: 16 + 18 = 34.

11. Bir torbadaki bilyeler 5'erli sayıldığında 3, 6'şarlı sayıldığında 4 bilye artıyor.
Torbadaki bilye sayısı 100'den az olduğuna göre, en çok kaç olabilir?

A) 58

B) 68

C) 88

D) 92

E) 98

Çözüm:

Bilye sayısına B diyelim.
B = 5a + 3 => B + 2 = 5a + 5 (5'in katı)
B = 6b + 4 => B + 2 = 6b + 6 (6'nın katı)
B+2 sayısı hem 5 hem de 6'nın ortak katıdır. Yani EKOK(5,6)'nın katıdır.
EKOK(5, 6) = 30.
B+2 = 30k => B = 30k - 2.
Bilye sayısı 100'den az olduğuna göre, k'ya en büyük değeri vermeliyiz.
30k - 2 < 100 => 30k < 102 => k < 3.4.
k'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri 3'tür.
B = 30(3) - 2 = 90 - 2 = 88.

12. a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
EKOK(a, b) = 150
olduğuna göre, a+b toplamı en çok kaç olabilir?

A) 151

B) 175

C) 225

D) 300

E) 301

Çözüm:

İki sayının EKOK'u verildiğinde, toplamlarının en büyük değerini bulmak için sayılardan birini EKOK'un kendisine, diğerini ise EKOK'un (kendisi hariç) en büyük bölenine eşitleriz.
a = 150 alalım.
b'yi bulmak için 150'nin kendisi hariç en büyük bölenini buluruz. Bu, 150'yi en küçük asal bölenine (2) bölerek bulunur.
b = 150 / 2 = 75.
Kontrol: EKOK(150, 75) = 150. Sayılar birbirinden farklıdır.
Toplamın en büyük değeri: a + b = 150 + 75 = 225.

Tebrikler!

EBOB - EKOK konusunun dördüncü testini başarıyla tamamladınız.

Hazır olduğunuzda beşinci teste geçebiliriz.