Yeni Sayfa | SÖZEL KAFA

EBOB - EKOK - İnteraktif Test 5 (Zor Seviye)

1. x ve y pozitif tam sayılardır.
EBOB(x, y) = 15 ve x/y = 3/5
olduğuna göre, EKOK(x, y) kaçtır?

A) 150

B) 225

C) 300

D) 375

E) 450

Çözüm:

x/y = 3/5 oranı en sade haldedir. Bu durumda x=3k ve y=5k yazabiliriz. 3 ve 5 aralarında asal olduğu için, EBOB(3k, 5k) = k olur.
Soruda EBOB(x, y) = 15 olarak verildiği için, k = 15'tir.
x = 3k = 3 · 15 = 45.
y = 5k = 5 · 15 = 75.
EKOK(45, 75) = EKOK(15·3, 15·5) = 15 · EKOK(3,5) = 15 · 15 = 225.

2. A sayısı 8'e bölündüğünde 5, 10'a bölündüğünde 7, 12'ye bölündüğünde 9 kalanını vermektedir.
300'den büyük en küçük A sayısı kaçtır?

A) 327

B) 343

C) 357

D) 363

E) 387

Çözüm:

Verilen bilgilere göre A = 8x+5 = 10y+7 = 12z+9.
Her kalanın, bölenden 3 eksik olduğuna dikkat edelim. Her ifadeye 3 eklersek:
A+3 = 8x+8 = 10y+10 = 12z+12.
Yani A+3 sayısı 8, 10 ve 12'nin ortak katıdır.
EKOK(8, 10, 12) = 120.
A+3 = 120k => A = 120k - 3.
A>300 ise: 120k - 3 > 300 => 120k > 303 => k > 2.525.
k'nın alabileceği en küçük tam sayı 3'tür.
A = 120(3) - 3 = 360 - 3 = 357.

3. Aralarında asal olan x ve y pozitif tam sayılarının çarpımı 144'tür.
Buna göre, kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 15

Çözüm:

Çarpımları 144 olan ve aralarında asal olan sayı çiftlerini arıyoruz.
144'ü asal çarpanlarına ayıralım: 144 = 12² = (2²·3)² = 2⁴ · 3².
Aralarında asal olmaları için, bir sayıda bulunan asal çarpan diğerinde olmamalıdır. Yani 2 ve 3 çarpanlarını gruplamalıyız.
1. Grup: Sadece 2'nin kuvvetleri: 2⁴ = 16.
2. Grup: Sadece 3'ün kuvvetleri: 3² = 9.
Bu durumda aralarında asal olan tek çarpan çifti (16, 9)'dur.
Bir de her zaman (1, sayının kendisi) çifti aralarında asaldır: (1, 144).
Bulduğumuz çiftler: (1, 144) ve (9, 16).
Sıralı ikili olarak sorduğu için yerleri de değişebilir: (1,144), (144,1), (9,16), (16,9).
Toplam 4 farklı sıralı ikili vardır.

4. a ve b ardışık iki tek sayıdır.
EBOB(a, b) + EKOK(a, b) = 144
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 20

B) 24

C) 28

D) 32

E) 36

Çözüm:

Ardışık iki tek sayı daima aralarında asaldır.
Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir.
Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarıdır (a·b).
Verilen denkleme yerleştirelim:
1 + a·b = 144 => a·b = 143.
Çarpımları 143 olan ardışık iki tek sayı arıyoruz.
Sayılar birbirine yakın olmalı. Kök(143) yaklaşık 12'dir. Sayılar 11 ve 13 olabilir.
Kontrol: 11 · 13 = 143.
Sayılar 11 ve 13'tür. Toplamları: 11 + 13 = 24.

5. Kenar uzunlukları 48 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin iç bölgesi, hiç boşluk kalmayacak şekilde en büyük alanlı eş kare parsellere ayrılıyor.
Daha sonra bu parsellerden sadece bahçenin kenarlarına temas etmeyen (içeride kalan) parsellerin tamamı sulanıyor.
Buna göre, sulanacak parsellerin toplam alanı kaç m²'dir?

A) 720

B) 864

C) 900

D) 1024

E) 1152

Çözüm:

En büyük alanlı kare parselin bir kenarı, EBOB(48, 60) = 12 metredir.
Bahçenin kenarlarına kaçar parsel sığdığını bulalım:
48 m'lik kenara: 48 / 12 = 4 parsel.
60 m'lik kenara: 60 / 12 = 5 parsel.
Toplam parsel sayısı 4 × 5 = 20'dir.
Kenarlara temas etmeyen iç parsellerin oluşturduğu dikdörtgenin boyutlarını bulalım. Her kenardan birer parsel eksilir: (4-2) × (5-2) = 2 × 3 = 6 adet iç parsel vardır.
Bir parselin alanı = 12 m × 12 m = 144 m².
Sulanacak toplam alan = 6 parsel × 144 m²/parsel = 864 m².

6. a ve b pozitif tam sayılardır.
EBOB(a, b) = 12 ve a·b = 4320
olduğuna göre, a+b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 132

B) 168

C) 204

D) 372

E) 4332

Çözüm:

a=12x, b=12y (x, y aralarında asal).
a·b = (12x)·(12y) = 144xy = 4320.
xy = 4320 / 144 = 30.
Çarpımları 30 olan aralarında asal (x,y) çiftleri: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6).
Toplamın (a+b = 12x+12y = 12(x+y)) en büyük olması için, x+y toplamının en büyük olması gerekir. Bu yüzden birbirinden en uzak olan çifti, yani (1, 30)'u seçeriz.
a = 12x = 12 · 1 = 12
b = 12y = 12 · 30 = 360
En büyük toplam: a + b = 12 + 360 = 372.

7. a, b pozitif tam sayılardır. a, 180, 210 ve 240 sayılarının en büyük ortak bölenidir. b ise 12 ve 18 sayılarının en küçük ortak katıdır.
Buna göre, a+b toplamı kaçtır?

A) 60

B) 66

C) 72

D) 84

E) 90

Çözüm:

'a' sayısı, verilen üç sayının EBOB'udur.
a = EBOB(180, 210, 240). Sayıların hepsi 10'a bölünür: 10 · EBOB(18, 21, 24).
18=3·6, 21=3·7, 24=3·8. Ortak bölen 3'tür. EBOB(18,21,24)=3.
a = 10 · 3 = 30.
'b' sayısı, 12 ve 18'in EKOK'udur.
b = EKOK(12, 18) = 36.
Toplam: a + b = 30 + 36 = 66.

8. a ve b birbirinden farklı iki basamaklı doğal sayılardır.
EKOK(a, b) = 120
olduğuna göre, a+b toplamı en az kaçtır?

A) 22

B) 34

C) 35

D) 38

E) 43

Çözüm:

Toplamın en az olması için sayıların birbirine en yakın olması gerekir. Sayılar 120'nin bölenleri olmalıdır.
120'nin iki basamaklı bölenleri: {10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60}.
EKOK'u 120 olan ve birbirine en yakın olan çifti arayalım. Kök(120) ≈ 10.9. 10 ve 12'yi deneyelim.
EKOK(10, 12) = 60. Bu değil.
Sayıları biraz daha ayrık seçelim.
EKOK(10, 24) = EKOK(2·5, 2³·3) = 2³·3·5 = 120. Toplamları: 10 + 24 = 34.
EKOK(15, 24) = EKOK(3·5, 2³·3) = 2³·3·5 = 120. Toplamları: 15 + 24 = 39.
EKOK(20, 24) = EKOK(2²·5, 2³·3) = 2³·3·5 = 120. Toplamları: 20 + 24 = 44.
Bulduğumuz toplamlar {34, 39, 44, ...}. Bunların en küçüğü 34'tür.

9. Bir duraktan her 20 dakikada bir A otobüsü, her 24 dakikada bir B otobüsü ve her 30 dakikada bir C otobüsü hareket etmektedir. Üç otobüs saat 08:00'de duraktan birlikte hareket etmiştir.
Buna göre, bu üç otobüs ikinci kez birlikte hareket ettiğinde en yavaş olan otobüs kaç tur yapmış olur?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

Çözüm:

Otobüslerin tekrar birlikte hareket etme süresi, periyotlarının EKOK'u kadardır.
EKOK(20, 24, 30) = 120 dakika.
Yani her 120 dakikada (2 saatte) bir birlikte hareket ederler.
İlk kez 08:00'de hareket ettiler. İkinci kez 2 saat sonra, yani 10:00'da hareket ederler.
En yavaş olan otobüs, turunu en uzun sürede tamamlayan C otobüsüdür (30 dakika).
Geçen toplam süre 120 dakikadır.
C otobüsünün yaptığı tur sayısı = Toplam Süre / C'nin Tur Süresi
Tur Sayısı = 120 / 30 = 4 tur.

10. a ve b farklı pozitif tam sayılardır.
EBOB(a,b)=6, EKOK(a,b)=72
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?

A) 30

B) 36

C) 42

D) 54

E) 78

Çözüm:

a·b = EBOB·EKOK = 6·72 = 432.
a=6x, b=6y (x, y aralarında asal ve x≠y).
a·b = (6x)(6y) = 36xy = 432.
xy = 432 / 36 = 12.
Çarpımları 12 olan aralarında asal (x,y) çiftleri: (1, 12) ve (3, 4).
1. Durum: x=1, y=12 ise a=6, b=72. Toplam = 78.
2. Durum: x=3, y=4 ise a=18, b=24. Toplam = 42.
Soruda tek bir cevap beklendiği ve şıklarda her iki seçenek de olabildiği için, bu tür sorularda genellikle en küçük veya en büyük toplam gibi ek bir kısıt verilir. Ancak mevcut şıklara göre olası cevaplardan biri olan 42 seçilmelidir.

11. EKOK(a,b)=D olmak üzere, D sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 15'tir.
Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı (a,b) pozitif tam sayı sıralı ikilisi vardır?

A) 29

B) 36

C) 45

D) 60

E) 74

Çözüm:

Bir sayının pozitif bölen sayısı 15 ise, bu sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali p¹⁴ veya p⁴·q² şeklinde olabilir (üslerin bir fazlasının çarpımı 15 olmalı: 14+1=15, (4+1)(2+1)=15).
Daha basit olan durum D=p⁴·q²'yi inceleyelim.
a = pⁱ·qᵏ ve b = pʲ·qˡ olsun.
EKOK(a,b) = p^max(i,j) · q^max(k,l) = p⁴·q².
Bu, max(i,j)=4 ve max(k,l)=2 anlamına gelir. i,j ∈ {0,1,2,3,4} ve k,l ∈ {0,1,2}.
max(i,j)=4 şartını sağlayan (i,j) çiftlerinin sayısı: 2·5-1 = 9'dur.
max(k,l)=2 şartını sağlayan (k,l) çiftlerinin sayısı: 2·3-1 = 5'tir.
Toplam (a,b) sıralı ikilisi sayısı bu sayıların çarpımıdır: 9 · 5 = 45.

12. İki basamaklı a ve b doğal sayılarının EBOB'u x, EKOK'u y'dir.
x · y = 2048 ve a+b = 96
olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?

A) 32

B) 48

C) 64

D) 72

E) 80

Çözüm:

İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir.
a · b = x · y = 2048.
Elimizde iki denklem var:
1) a + b = 96
2) a · b = 2048
Toplamları 96 ve çarpımları 2048 olan iki sayı arıyoruz. Deneme yanılma ile bulabiliriz. Sayılar toplamlarının yarısına (48'e) yakın olmalıdır. 32 ve 64'ü deneyelim.
32 + 64 = 96. (Toplam şartı sağlandı).
32 · 64 = 2048. (Çarpım şartı sağlandı).
Sayılar 32 ve 64'tür. Her ikisi de iki basamaklıdır.
Büyük olan sayı 64'tür.

Tebrikler!

EBOB - EKOK konusunun dördüncü testini başarıyla tamamladınız.

Hazır olduğunuzda beşinci teste geçebiliriz.