EBOB - EKOK - İnteraktif Test 6
A = 12x = 15y = 20z
olduğuna göre, A'nın alabileceği en küçük değer için x+y+z toplamı kaçtır?
Çözüm:
A sayısı 12, 15 ve 20'nin ortak bir katıdır. A'nın en küçük değeri, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) olacaktır.
EKOK(12, 15, 20) = 60.
A'nın en küçük değeri 60'tır.
Bu değere göre x, y ve z'yi bulalım:
12x = 60 => x = 5
15y = 60 => y = 4
20z = 60 => z = 3
Toplam: x+y+z = 5 + 4 + 3 = 12.
a + 12/b = 8
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına eşittir.
EKOK(a, b) = a · b = 84.
İkinci denklemi düzenleyelim:
a·b + 12 = 8b
a·b yerine 84 yazalım:
84 + 12 = 8b
96 = 8b
b = 12.
a·b = 84 ise a·12 = 84, buradan a = 7 bulunur.
Kontrol: a=7 ve b=12 aralarında asaldır. Şartlar sağlanır.
Cevap 7'dir.
Çözüm:
Sayılar x ve y olsun. EBOB(x, y) = 24 ise, x=24a ve y=24b (a, b aralarında asal ve a≠b).
Sayılar üç basamaklı olmalı. Toplamın en az olması için a ve b'ye en küçük değerleri vermeliyiz.
24a ≥ 100 => a ≥ 4.16...
a'nın alabileceği en küçük tam sayı 5'tir. Bu durumda x = 24 · 5 = 120.
b'ye ise 5'ten büyük ve 5 ile aralarında asal olan en küçük değeri vermeliyiz. Bu değer 6 değildir (aralarında asal değil), 7'dir.
b=7 için y = 24 · 7 = 168.
Hata: 5 ve 6 aralarında asal değil. 5 ve 7 aralarında asal.
a=5, b=6 alabilir miyiz? EBOB(5,6)=1. Evet alabiliriz.
En küçük toplam için a ve b en küçük ve aralarında asal olmalı.
a en az 5.
b en az 6. 5 ve 6 aralarında asaldır.
Sayılar: x=24*5=120, y=24*6=144.
Toplam = 120+144 = 264.
Bu iş için en az kaç kasaya ihtiyaç vardır?
Çözüm:
En az sayıda kasa kullanmak için, her bir kasanın alabileceği zeytin miktarının en fazla olması gerekir. Bu miktar, zeytin ağırlıklarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalıdır.
EBOB(96, 120, 144)'ü bulalım. Sayıların hepsi 24'ün katıdır.
96 = 24 · 4
120 = 24 · 5
144 = 24 · 6
EBOB(96, 120, 144) = 24 kg. (Bir kasanın ağırlığı)
Gerekli kasa sayısı:
1. zeytin: 96 / 24 = 4 kasa
2. zeytin: 120 / 24 = 5 kasa
3. zeytin: 144 / 24 = 6 kasa
Toplam kasa sayısı = 4 + 5 + 6 = 15.
Buna göre, bu sayının rakamları toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
Sayı, 18 ve 24'ün ortak katıdır. Yani EKOK(18, 24)'ün katıdır.
EKOK(18, 24) = EKOK(2·3², 2³·3) = 2³ · 3² = 8 · 9 = 72.
Sayı 72'nin katı olan üç basamaklı bir sayıdır.
Bu sayıları ve rakamları toplamlarını inceleyelim:
72·2=144 -> Toplam 9
72·3=216 -> Toplam 9
72·4=288 -> Toplam 18
72·5=360 -> Toplam 9
...
72·10=720 -> Toplam 9
72·11=792 -> Toplam 18
72·12=864 -> Toplam 18
72·13=936 -> Toplam 18
72·14=1008 (4 basamaklı)
Görüldüğü gibi, rakamlar toplamı en çok 18 olmaktadır.
A = 5x+2 = 6y+3 = 7z+4
olduğuna göre, A'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Kalanlar ile bölenler arasındaki farkın sabit (3) olduğuna dikkat edelim (5-2=3, 6-3=3, 7-4=3).
Bu durumda her ifadeye bu farkı (3) eklersek, ortak kat elde ederiz.
A+3 = 5x+5 = 5(x+1)
A+3 = 6y+6 = 6(y+1)
A+3 = 7z+7 = 7(z+1)
A+3 sayısı 5, 6 ve 7'nin ortak katıdır.
EKOK(5, 6, 7) = 210 (sayılar aralarında asal).
A+3 = 210k.
En küçük pozitif A değeri için k=1 alırız:
A+3 = 210 => A = 207.
x + y = 8d
EKOK(x, y) = 15d
olduğuna göre, büyük sayı küçük sayının kaç katıdır?
Çözüm:
x=da ve y=db diyelim. (a, b aralarında asal).
x+y = d(a+b) = 8d => a+b = 8.
EKOK(x,y) = dab = 15d => ab = 15.
Şimdi toplamları 8 ve çarpımları 15 olan aralarında asal sayı çifti arıyoruz.
Bu sayılar 3 ve 5'tir. (3+5=8, 3·5=15). 3 ve 5 aralarında asaldır.
Sayılarımız x=3d ve y=5d (veya tam tersi).
Büyük sayının küçük sayıya oranı: (5d) / (3d) = 5/3.
EBOB(n, 24) = 8
olduğuna göre, n'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm:
EBOB(n, 24)=8 ise, n sayısı 8'in katıdır. n=8k.
24 = 8 · 3.
EBOB(8k, 8·3) = 8 · EBOB(k, 3) = 8.
Bu eşitlikten EBOB(k, 3) = 1 buluruz. Yani k, 3 ile aralarında asal olmalıdır (k, 3'ün katı olmamalıdır).
n, 100'den küçük bir pozitif tam sayıdır:
n = 8k < 100 => k < 12.5.
k'nın alabileceği pozitif tam sayı değerleri: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Bu değerlerden 3'ün katı olanları ({3, 6, 9, 12}) çıkarmalıyız.
Geçerli k değerleri: {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}.
Toplamda 8 farklı k değeri, dolayısıyla 8 farklı n değeri vardır.
Çözüm:
Deponun içine sığacak en büyük hacimli eş küplerin bir kenarı, deponun boyutlarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalıdır.
EBOB(40, 50, 60) = 10 metre. (Küpün bir kenarı)
Küp adedini bulmak için deponun hacmini bir küpün hacmine böleriz.
Küp Adedi = (Depo Hacmi) / (Bir Küpün Hacmi)
Küp Adedi = (40 · 50 · 60) / (10 · 10 · 10)
Sadeleştirme yaparsak: (40/10) · (50/10) · (60/10) = 4 · 5 · 6 = 120.
Depoya 120 adet küp sığar.
EBOB(a, b) + EKOK(a, b) = 146
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
Çözüm:
Ardışık iki çift sayının (örneğin 2k ve 2k+2) EBOB'u daima 2'dir.
EBOB(a, b) = 2.
Denklemde yerine koyalım:
2 + EKOK(a, b) = 146 => EKOK(a, b) = 144.
İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir:
a · b = 2 · 144 = 288.
Şimdi çarpımları 288 olan ardışık iki çift sayı arıyoruz.
Sayılar birbirine yakın olmalı. Kök(288) yaklaşık 17'dir. Sayılar 16 ve 18 olabilir.
Kontrol: 16 · 18 = 288.
Sayılar 16 ve 18'dir.
Toplamları: 16 + 18 = 34.
EKOK(x, y) = 6 · EBOB(x, y)
x + y = 60
olduğuna göre, |x-y| farkı kaçtır?
Çözüm:
EBOB(x,y)=d diyelim. x=da, y=db (a,b aralarında asal).
EKOK(x,y) = dab.
Birinci denkleme göre: dab = 6d => ab = 6.
Çarpımları 6 olan aralarında asal (a,b) çiftleri: (1, 6) ve (2, 3).
İkinci denkleme göre: x+y = d(a+b) = 60.
1. Durum: (a,b)=(1,6) ise d(1+6)=60 => 7d=60 (d tam sayı değil).
2. Durum: (a,b)=(2,3) ise d(2+3)=60 => 5d=60 => d=12.
Sayıları bulalım:
x = da = 12 · 2 = 24
y = db = 12 · 3 = 36
Fark: |24 - 36| = 12.
x · y = 2048 ve a+b = 96
olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?
Çözüm:
İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir.
a · b = x · y = 2048.
Elimizde iki denklem var:
1) a + b = 96
2) a · b = 2048
Toplamları 96 ve çarpımları 2048 olan iki sayı arıyoruz. Deneme yanılma ile bulabiliriz. Sayılar toplamlarının yarısına (48'e) yakın olmalıdır. 32 ve 64'ü deneyelim.
32 + 64 = 96. (Toplam şartı sağlandı).
32 · 64 = 2048. (Çarpım şartı sağlandı).
Sayılar 32 ve 64'tür. Her ikisi de iki basamaklıdır.
Büyük olan sayı 64'tür.
Tebrikler!
EBOB - EKOK konusunun dördüncü testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda beşinci teste geçebiliriz.
EBOB - EKOK - İnteraktif Test 6
A = 12x = 15y = 20z
olduğuna göre, A'nın alabileceği en küçük değer için x+y+z toplamı kaçtır?
Çözüm:
A sayısı 12, 15 ve 20'nin ortak bir katıdır. A'nın en küçük değeri, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) olacaktır.
EKOK(12, 15, 20) = 60.
A'nın en küçük değeri 60'tır.
Bu değere göre x, y ve z'yi bulalım:
12x = 60 => x = 5
15y = 60 => y = 4
20z = 60 => z = 3
Toplam: x+y+z = 5 + 4 + 3 = 12.
a + 12/b = 8
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına eşittir.
EKOK(a, b) = a · b = 84.
İkinci denklemi düzenleyelim:
a·b + 12 = 8b
a·b yerine 84 yazalım:
84 + 12 = 8b
96 = 8b
b = 12.
a·b = 84 ise a·12 = 84, buradan a = 7 bulunur.
Kontrol: a=7 ve b=12 aralarında asaldır. Şartlar sağlanır.
Cevap 7'dir.
Çözüm:
Sayılar x ve y olsun. EBOB(x, y) = 24 ise, x=24a ve y=24b (a, b aralarında asal ve a≠b).
Sayılar üç basamaklı olmalı. Toplamın en az olması için a ve b'ye en küçük değerleri vermeliyiz.
24a ≥ 100 => a ≥ 4.16...
a'nın alabileceği en küçük tam sayı 5'tir. Bu durumda x = 24 · 5 = 120.
b'ye ise 5'ten büyük ve 5 ile aralarında asal olan en küçük değeri vermeliyiz. Bu değer 6 değildir (aralarında asal değil), 7'dir.
b=7 için y = 24 · 7 = 168.
Hata: 5 ve 6 aralarında asal değil. 5 ve 7 aralarında asal.
a=5, b=6 alabilir miyiz? EBOB(5,6)=1. Evet alabiliriz.
En küçük toplam için a ve b en küçük ve aralarında asal olmalı.
a en az 5.
b en az 6. 5 ve 6 aralarında asaldır.
Sayılar: x=24*5=120, y=24*6=144.
Toplam = 120+144 = 264.
Bu iş için en az kaç kasaya ihtiyaç vardır?
Çözüm:
En az sayıda kasa kullanmak için, her bir kasanın alabileceği zeytin miktarının en fazla olması gerekir. Bu miktar, zeytin ağırlıklarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalıdır.
EBOB(96, 120, 144)'ü bulalım. Sayıların hepsi 24'ün katıdır.
96 = 24 · 4
120 = 24 · 5
144 = 24 · 6
EBOB(96, 120, 144) = 24 kg. (Bir kasanın ağırlığı)
Gerekli kasa sayısı:
1. zeytin: 96 / 24 = 4 kasa
2. zeytin: 120 / 24 = 5 kasa
3. zeytin: 144 / 24 = 6 kasa
Toplam kasa sayısı = 4 + 5 + 6 = 15.
Buna göre, bu sayının rakamları toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
Sayı, 18 ve 24'ün ortak katıdır. Yani EKOK(18, 24)'ün katıdır.
EKOK(18, 24) = EKOK(2·3², 2³·3) = 2³ · 3² = 8 · 9 = 72.
Sayı 72'nin katı olan üç basamaklı bir sayıdır.
Bu sayıları ve rakamları toplamlarını inceleyelim:
72·2=144 -> Toplam 9
72·3=216 -> Toplam 9
72·4=288 -> Toplam 18
72·5=360 -> Toplam 9
...
72·10=720 -> Toplam 9
72·11=792 -> Toplam 18
72·12=864 -> Toplam 18
72·13=936 -> Toplam 18
72·14=1008 (4 basamaklı)
Görüldüğü gibi, rakamlar toplamı en çok 18 olmaktadır.
A = 5x+2 = 6y+3 = 7z+4
olduğuna göre, A'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Kalanlar ile bölenler arasındaki farkın sabit (3) olduğuna dikkat edelim (5-2=3, 6-3=3, 7-4=3).
Bu durumda her ifadeye bu farkı (3) eklersek, ortak kat elde ederiz.
A+3 = 5x+5 = 5(x+1)
A+3 = 6y+6 = 6(y+1)
A+3 = 7z+7 = 7(z+1)
A+3 sayısı 5, 6 ve 7'nin ortak katıdır.
EKOK(5, 6, 7) = 210 (sayılar aralarında asal).
A+3 = 210k.
En küçük pozitif A değeri için k=1 alırız:
A+3 = 210 => A = 207.
x + y = 8d
EKOK(x, y) = 15d
olduğuna göre, büyük sayı küçük sayının kaç katıdır?
Çözüm:
x=da ve y=db diyelim. (a, b aralarında asal).
x+y = d(a+b) = 8d => a+b = 8.
EKOK(x,y) = dab = 15d => ab = 15.
Şimdi toplamları 8 ve çarpımları 15 olan aralarında asal sayı çifti arıyoruz.
Bu sayılar 3 ve 5'tir. (3+5=8, 3·5=15). 3 ve 5 aralarında asaldır.
Sayılarımız x=3d ve y=5d (veya tam tersi).
Büyük sayının küçük sayıya oranı: (5d) / (3d) = 5/3.
EBOB(n, 24) = 8
olduğuna göre, n'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm:
EBOB(n, 24)=8 ise, n sayısı 8'in katıdır. n=8k.
24 = 8 · 3.
EBOB(8k, 8·3) = 8 · EBOB(k, 3) = 8.
Bu eşitlikten EBOB(k, 3) = 1 buluruz. Yani k, 3 ile aralarında asal olmalıdır (k, 3'ün katı olmamalıdır).
n, 100'den küçük bir pozitif tam sayıdır:
n = 8k < 100 => k < 12.5.
k'nın alabileceği pozitif tam sayı değerleri: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Bu değerlerden 3'ün katı olanları ({3, 6, 9, 12}) çıkarmalıyız.
Geçerli k değerleri: {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}.
Toplamda 8 farklı k değeri, dolayısıyla 8 farklı n değeri vardır.
Çözüm:
Deponun içine sığacak en büyük hacimli eş küplerin bir kenarı, deponun boyutlarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalıdır.
EBOB(40, 50, 60) = 10 metre. (Küpün bir kenarı)
Küp adedini bulmak için deponun hacmini bir küpün hacmine böleriz.
Küp Adedi = (Depo Hacmi) / (Bir Küpün Hacmi)
Küp Adedi = (40 · 50 · 60) / (10 · 10 · 10)
Sadeleştirme yaparsak: (40/10) · (50/10) · (60/10) = 4 · 5 · 6 = 120.
Depoya 120 adet küp sığar.
EBOB(a, b) + EKOK(a, b) = 146
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
Çözüm:
Ardışık iki çift sayının (örneğin 2k ve 2k+2) EBOB'u daima 2'dir.
EBOB(a, b) = 2.
Denklemde yerine koyalım:
2 + EKOK(a, b) = 146 => EKOK(a, b) = 144.
İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir:
a · b = 2 · 144 = 288.
Şimdi çarpımları 288 olan ardışık iki çift sayı arıyoruz.
Sayılar birbirine yakın olmalı. Kök(288) yaklaşık 17'dir. Sayılar 16 ve 18 olabilir.
Kontrol: 16 · 18 = 288.
Sayılar 16 ve 18'dir.
Toplamları: 16 + 18 = 34.
EKOK(x, y) = 6 · EBOB(x, y)
x + y = 60
olduğuna göre, |x-y| farkı kaçtır?
Çözüm:
EBOB(x,y)=d diyelim. x=da, y=db (a,b aralarında asal).
EKOK(x,y) = dab.
Birinci denkleme göre: dab = 6d => ab = 6.
Çarpımları 6 olan aralarında asal (a,b) çiftleri: (1, 6) ve (2, 3).
İkinci denkleme göre: x+y = d(a+b) = 60.
1. Durum: (a,b)=(1,6) ise d(1+6)=60 => 7d=60 (d tam sayı değil).
2. Durum: (a,b)=(2,3) ise d(2+3)=60 => 5d=60 => d=12.
Sayıları bulalım:
x = da = 12 · 2 = 24
y = db = 12 · 3 = 36
Fark: |24 - 36| = 12.
x · y = 2048 ve a+b = 96
olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?
Çözüm:
İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir.
a · b = x · y = 2048.
Elimizde iki denklem var:
1) a + b = 96
2) a · b = 2048
Toplamları 96 ve çarpımları 2048 olan iki sayı arıyoruz. Deneme yanılma ile bulabiliriz. Sayılar toplamlarının yarısına (48'e) yakın olmalıdır. 32 ve 64'ü deneyelim.
32 + 64 = 96. (Toplam şartı sağlandı).
32 · 64 = 2048. (Çarpım şartı sağlandı).
Sayılar 32 ve 64'tür. Her ikisi de iki basamaklıdır.
Büyük olan sayı 64'tür.
Tebrikler!
EBOB - EKOK konusunun dördüncü testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda beşinci teste geçebiliriz.