Yeni Sayfa | SÖZEL KAFA

Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 1

1. x²y - xy²
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) x(x-y)

B) y(x-y)

C) xy(x-y)

D) xy(y-x)

E) x²y²(x-y)

Çözüm:

Her iki terimde de ortak olan çarpanları bulalım. Hem 'x' hem de 'y' her iki terimde de mevcuttur. Ortak çarpanların en küçük üslerini alırız.
Ortak çarpan: x¹y¹ = xy
İfadeyi xy parantezine alalım:
xy(x) - xy(y) = xy(x-y).

2. 101² - 99²
işleminin sonucu kaçtır?

A) 100

B) 200

C) 400

D) 404

E) 4000

Çözüm:

Bu ifade iki kare farkı özdeşliğidir: a² - b² = (a-b)(a+b).
a=101 ve b=99 olarak alırsak:
(101 - 99) · (101 + 99)
= 2 · 200
= 400.

3. a - b = 5 ve a · b = 14
olduğuna göre, a² + b² toplamı kaçtır?

A) 25

B) 39

C) 53

D) 61

E) 81

Çözüm:

Tam kare özdeşliğini kullanalım: (a - b)² = a² - 2ab + b².
a² + b²'yi bulmak için ifadeyi düzenlersek: a² + b² = (a - b)² + 2ab.
Verilen değerleri yerine yazalım:
a² + b² = (5)² + 2(14)
a² + b² = 25 + 28
a² + b² = 53.

4. x² - 8x + 15
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x+3)(x+5)

B) (x-1)(x-15)

C) (x-3)(x-5)

D) (x+3)(x-5)

E) (x-3)(x+5)

Çözüm:

Çarpımları +15, toplamları -8 olan iki sayı arıyoruz.
Çarpımın pozitif, toplamın negatif olması her iki sayının da negatif olduğunu gösterir.
15'in negatif çarpanları: (-1, -15), (-3, -5).
Toplamları: -1 + (-15) = -16. -3 + (-5) = -8.
Aradığımız sayılar -3 ve -5'tir.
Dolayısıyla ifade (x-3)(x-5) olarak çarpanlarına ayrılır.

5. ax - ay + 2x - 2y
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) a-2

B) y-x

C) x+y

D) a+2

E) a-y

Çözüm:

Bu ifadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayıralım.
İlk iki terimi 'a' parantezine, son iki terimi '2' parantezine alalım:
a(x - y) + 2(x - y)
Şimdi (x-y) ortak parantezine alalım:
(x - y)(a + 2)
İfadenin çarpanları (x-y) ve (a+2)'dir. Seçeneklerde a+2 bulunmaktadır.

6. (x² - 4) / (x² + x - 6)
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x-2)/(x-3)

B) (x+2)/(x-3)

C) (x-2)/(x+2)

D) (x+2)/(x+3)

E) (x-2)/(x+3)

Çözüm:

Pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım.
Pay: x² - 4 = x² - 2² (iki kare farkı) = (x-2)(x+2).
Payda: x² + x - 6. Çarpımları -6, toplamları +1 olan sayılar +3 ve -2'dir. = (x+3)(x-2).
İfadeyi tekrar yazalım:
[(x-2)(x+2)] / [(x+3)(x-2)]
(x-2) terimleri sadeleşir:
(x+2) / (x+3).

7. 9x² + 30x + k
ifadesi bir tam kare olduğuna göre, k kaçtır?

A) 9

B) 16

C) 25

D) 30

E) 36

Çözüm:

Tam kare ifade (a+b)² = a² + 2ab + b² şeklindedir.
Verilen ifadede a² = 9x² => a = 3x.
Ortadaki terim 2ab = 30x. a=3x'i yerine yazalım:
2(3x)b = 30x
6xb = 30x => b = 5.
Son terim b² olmalıdır.
k = b² = 5² = 25.

8. x = 2010 olduğuna göre,
(x-5)² + 10(x-5) + 25
ifadesinin değeri kaçtır?

A) 2000²

B) 2005²

C) 2010²

D) 2015²

E) 2020²

Çözüm:

Verilen ifade bir tam kare açılımıdır. a = (x-5) ve b = 5 dersek, ifade a² + 2ab + b²'ye benzer.
10(x-5) = 2 · 5 · (x-5). Bu 2ab'ye karşılık gelir.
25 = 5². Bu b²'ye karşılık gelir.
Dolayısıyla ifade (a+b)² yani [(x-5) + 5]² şeklindedir.
[(x-5) + 5]² = x²
x = 2010 olduğuna göre, ifadenin değeri 2010²'dir.

9. a³ - 1 / (a² + a + 1)
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) a+1

B) a-1

C) a²-1

D) a

E) 1

Çözüm:

Paydaki a³ - 1 ifadesi, iki küp farkı özdeşliğidir: x³-y³ = (x-y)(x²+xy+y²).
a³ - 1³ = (a-1)(a² + a·1 + 1²) = (a-1)(a² + a + 1).
Şimdi ifadeyi tekrar yazalım:
[(a-1)(a² + a + 1)] / (a² + a + 1)
(a² + a + 1) terimleri sadeleşir ve geriye a-1 kalır.

10. Kenar uzunluğu x birim olan bir karenin alanından, kenar uzunluğu y birim olan bir karenin alanı çıkarıldığında sonuç 48 birimkare bulunuyor.
Bu karelerin çevreleri toplamı 32 birim olduğuna göre, çevreleri farkı kaç birimdir?

A) 8

B) 12

C) 24

D) 32

E) 48

Çözüm:

Büyük karenin alanı x², küçük karenin alanı y²'dir. Alanları farkı: x² - y² = 48.
Büyük karenin çevresi 4x, küçük karenin çevresi 4y'dir. Çevreleri toplamı: 4x + 4y = 32.
4(x+y) = 32 => x+y = 8.
Alanları farkını çarpanlarına ayıralım: (x-y)(x+y) = 48.
x+y=8 değerini yerine yazalım: (x-y) · 8 = 48 => x-y = 6.
Bizden istenen çevreleri farkıdır: 4x - 4y = 4(x-y).
x-y=6 bulmuştuk: 4(6) = 24.

11. x² - y² + 4x + 4y
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x+y+2

B) x-y+4

C) x+y-4

D) x-y-4

E) x+y

Çözüm:

İfadeyi uygun şekilde gruplandırarak çarpanlarına ayırmayı deneyelim.
İki kare farkı ve ortak parantezi birlikte kullanalım:
(x² - y²) + (4x + 4y)
= (x-y)(x+y) + 4(x+y)
Şimdi ifadeyi (x+y) ortak parantezine alabiliriz:
= (x+y) [ (x-y) + 4 ]
= (x+y)(x-y+4)
Çarpanlar (x+y) ve (x-y+4)'tür. Seçeneklerde x-y+4 bulunmaktadır.

12. x + 1/x = 4
olduğuna göre, x² + 1/x² ifadesinin değeri kaçtır?

A) 8

B) 12

C) 14

D) 16

E) 18

Çözüm:

İstenen ifadeyi elde etmek için verilen ifadenin her iki tarafının karesini alalım.
(x + 1/x)² = 4²
Tam kare açılımını yapalım: x² + 2 · x · (1/x) + (1/x)² = 16
x² + 2 + 1/x² = 16
2'yi karşı tarafa atalım:
x² + 1/x² = 16 - 2 = 14.

Tebrikler!

Çarpanlara Ayırma konusunun birinci testini başarıyla tamamladınız.

Hazır olduğunuzda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.